第六章计算全息(2-3)

1、62计算全息的编码方法n621计算全息的编码n编码：在通信中，是指把输入信息变换为信道上传送的信号的过程。n 在计算全息中输入信息是待记录的光波复振幅，而中间的传递介质是全息图，其信息特征是全息图上透过率的变化。n因此，将二维光场复振幅分布变换为全息图的二维透过率函数分布的过程，称为计算全息的编码。n由于成图设备的输出大多只能是实值非负函数，因此编码问题归结为将二维离散的复值函数变换为二维离散的实值函数的问题。而且，在这种转换能够在再现阶段完成其逆转换，从二维离散的实值函数恢复二维复值函数。n编码过程可用数学公式表示为n将复值函数变换为实值函数的编码方法可以归纳为两大类。n（1）把一个复值函数

2、表示为两个实值非负函数，如用振幅和相位两个实参数表示一个复数，分别对振幅和相位编码。n（2）仿照光学全息的方法，如引入离轴参考光波，通过物光波和参考光波的干涉产生干涉条纹的强度分布，成为实值非负函数。因此每个样点都是实的非负值，可直接用实参数来表示。由于没有相位编码问题，看起来比第一种方法简便。但是，参考光波的加入增加了空间带宽积，因此全息图上的抽样点数必须增加。622迂回相位编码方法n1、罗曼型n在对光波的振幅进行编码比较容易，但对相位编码就比较困难。罗曼根据不规则光栅的衍射效应，成功地提出了迂回相位编码方法。如图621所示n由于在某一位置处栅距增大了，则该处沿K方向相邻光线的光程差变为nK

3、方向的衍射光波在该位置处引入的相应的相位延迟为nK被罗曼称之为迂回相位，迂回相位的值与栅距的偏移量和衍射级次成正比，而与入射光波波长无关。迂回相位效应提示我们，通过局部改变光栅栅距的方法，可以在某个衍射方向上得到所需要的相位调制。n罗曼等人利用这一效应对相位进行编码。n假定全息图平面共有MN个抽样单元，抽样间距为x和y，则在全息图上待记录的光波复振幅的样点值为n在全息图每个抽样单元内放置一个矩形通光孔径，通过改变通光孔径的面积来编码复数波面的振幅，改变通光孔径中心与抽样单元中心的位置来编码相位。n这种编码方式如图622n这种编码方式，在y方向采用了脉冲宽度调制，在x方向采用了脉冲位置调制。由于

4、在迂回相位编码方法中，全息图的透过率只有0和1两个值，故制作简单，噪声低，抗干扰能力强，对记录材料的非线性效应不敏感，并可多次复制而不失真，因而应用较为广泛。n这种全息图的再现方法与光学全息图相似，观察范围应限于x方向的某个特定衍射级次K，仅在这个衍射方向上，全息图才能再现我们所期望的波前f(x,y)，为了使所期望的波前与其它衍射级次上的波前有效地分离，可以通过频域滤波。n2、四级迂回相位法n李威汉于1970年提出了一种延迟抽样全息图，这种方法从直观上可以理解为四阶迂回相位编码法。他将全息图的一个单元沿x方向分为四等分，各部分的相位分别是0， ， 复数平面上实轴和虚轴所表示的四个方向相对应。如

5、图623n全息图上待记录的一个样点的复振幅可以沿图中四个相位方向分解为四个正交分量n式中：r，r，j，j是复平面上的四个基矢量，即nf1，f2，f3，f4是实的非负数，对于一个样点，f1f4这四个分量中只有两个分量为非零值，因此要描述一个样点的复振幅，只需要在两个子单元中用开孔大小或灰度等级来表示就行了。n3、三阶迂回相位法n由于在复平面上用三个基矢就可以表征平面上任一复矢量，因此，全息图上的一个单元可以分为三个子单元，分别表示复平面上相位差为 的三个基矢，这样，就可以在三个子单元中用开孔面积或灰度等级来表示振幅分量的大小，这种方法是伯克哈特（Burckhardt)提出的。32623修正离轴参

6、考光的编码方法n 迂回相位编码方法是用抽样单元矩形开孔的两个结构参数，分别编码样点处光波复振幅的振幅和相位如果模仿光学离轴全息的方法，在计算机中实现光波复振幅分布与一虚拟的离轴参考光叠加，使全息图平面上待记录的复振幅分布转换成强度分布，就避免了相位编码问题这时，只需要在全息图单元上用开孔面积或灰度变化来编码这个实的非负函数，即可完成编码n设待记录的物光波复振幅为f(x，y)，离轴的平面参考光波为R(x，y)，即n在线性记录的条件下，并忽略一些不重要的常数因子，光学离轴全息的透过率函数为n在透过率函数所包含的三项中，第三项通过对余弦型条纹的振幅和相位调制，记录了物波的全部信息。n第一、二项是这种

7、光学全息方法不可避免地伴生的，除了其中均匀的偏置分量使h(x，y)为实的非负函数的目的外，它们只是占用了信息通道，而从物波信息传递的角度来说，完全是多余的从光学全息形成的过程来看，第一、二项是不可避免地伴生的，但是计算机制作全息图的灵活性，使人们在做计算全息时，可以人为地将它们去掉而重新构造全息函数，即n式中：A(x，y)是归一化振幅n下面我们从频域更容易理解光学离轴全息函数（626）和修正型离轴全息函数（627）的差别。n设想直接对（626）式所表示的全息函数抽样制作计算全息图，则根据抽样定理，其抽样间隔必须为 ，n这些计算全息图的空间频谱如图625(c)所示，它是光学离轴全息空间频谱的周期

8、性重复由于修正后的全息函数已经去掉A2(x，y)项，故在频率域中自相关项的频率成分已不存在，只有代表物波频率成分的两个矩形和直流项的频率成分函数如图625(d)所示，由（626）式所表示的全息函数抽样制作计算全息图时，根据抽样定理其抽样间隔n于是总的抽样点数就降低为原来的14，这时计算全息图的频谱如图625(e)所示。n 应该指出，载频在全息图上的表现形式是余弦型条纹的间距，这与光学全息是相同的，但光学离轴全息函数与我们所构造的全息函数的频域结构不同，因此载频也不同选取载频的目的是保证全息函数在频域个各结构分量不混叠对全息函数进行抽样是制作计算全息的要求，抽样间隔必须保证全息函数的整体频谱(包

9、含各个结构分量)不混叠，这两个概念不可混淆n 这种以常量为偏置项的全息图是博奇1966年提出的，称为博奇全息图。由于计算机处理的灵活性，偏置项还可以采取其它形式加进偏置项的目的是使全息函数变成实值非负函数，每个样点都是实的非负值，因此不存在相位编码问题，比同时对振幅和相位编码的方法简便但是。由于加进了偏置分量，增加了要记录的全息图的空间带宽积，因而增加了抽样点数一般来说，物波函数的信息容量越大，抽样点数就越多对于任何一种编码方法都是不能违背抽样定理的，正如前面所述，避免了对相位的编码，但又以增加抽样点数为代价由于每个样点都是实的非负值，因此在制作全息图时，只需要在每个单元中用开孔大小或灰度等级

10、来表示这个实的非负值就行了n624二元脉冲密度编码n二元脉冲密度编码是计算全息的另一种编码方法，与修正离轴参考光的方法相类似。对于要记录的物波函数n构造一个计算全息函数n式中：A(x,y)是归一化振幅，n然后对计算全息函数h(x，y)高密度抽样，在对每一个像素的透过率二值化的同时，将误差向相邻像素扩散这一过程可用图626加以说明。n如图n在制作计算全息图时，必须考虑二维图像的情况，图627表明了二维图像二值化后误差扩散和校正的原理图中，“x”表示己处理过的像素，“”表示未处理的像素。每一个像素点二元化后的误差向它相邻的未处理的领域扩散，扩散区域的尺寸和误差分配系数将影响二元化像素的微结构。63

11、 计算傅里叶变换全息n 在这种全息图中，被记录的复数波面是物波函数的傅里叶变换由于这种全息图再现的是物波函数的傅里叶谱，所以要得到物波函数本身，必须通过变换透镜再进行一次逆变换，这与光学傅里叶变换全息图的基本原理是一致的对复数波面进行编码可以采用上节介绍的两种方法一种是迂回相位编码方法，直接对抽样点上复数波面的振幅和相位进行编码。另一种是修正离轴参考光编码方法，将全息函数造成实的非负函数从而只对振幅进行编码631 抽样n抽样包括对物波函数和对全息图抽样，设物波函数为f(x，y)，其傅里叶频谱为F(,)，其中x，y和,分别是连续的空间变量和空间频域变量。假定物波函数在空域和频域都是有限的，空域宽

12、度为x， y ，频域带宽为 ， ，或2Bx，2By，于是有n并且n根据抽样定理，对于物波函数，空域的抽样单元数JKn在谱平面上的抽样情况与物面类似，频域的抽样单元数MNn由此可见，物面抽样单元数和全息图平面上的抽样单元数相等，即物空间具有和谱空间同样的空间带宽积。n确定了抽样点总数后，物波函数和物谱函数可以表示为如下离散形式632 计算离散傅里叶变换n这一过程是采用计算机，并基于快速傅里叶变换算法(FFT)完成的对于连续函数的傅里叶变换可表示为n而计算机完成傅里叶变换必须采用离散傅里时变换的形式，二维序列f(j，k)的离散傅里叶变换定义为n直接用上面公式作二维离散傅里叶变换，涉及极大的计算量，

13、1965年库列-图基(Cooley-Tukey)提出矩阵分解的新算法，也就是快速傅里叶变换算法，大大缩短了计算时间，才使二维图形的离散傅里叶变换在实际上成为可能。nF(m,n)通常是复数，记为n式中：n由于光学模板的振幅透过率最大为1，所以在编码前还应对A(m,n)的值进行规一化，使其最大值为1。n633 编码编码编码的目的是将离散的复值函数F(m,n)转换成实的非负值函数（全息图透过率函数）。634 绘制全息图绘制全息图计算机完成振幅和相位编码的计算后，按计算得到的全息图的几何参数来控制成图设备以输出原图由于成图设备的分辨率有限(例如常规的绘图仪)，而原图又是按放大的尺寸绘制的，故需经过光学

14、缩版到合适的尺寸，才可以得到实际可用的计算全息片图631(a)是迂回相位编码的计算傅里叶变换全息图的原图635 再现n 计算全息的再现方法与光学全息相似，仅在某个特定的衍射级次上才能再现我们所期望的波前图632是计算傅里叶变换全息图的再现光路，当用平行光垂直照明全息图时，在透射光场中沿某一特定衍射方向的分量波将再现物光波的傅里叶变换，而直接透过分量具有平面波前，并且另一侧的衍射分量将再现物谱的共轭光波于是经透镜L进行逆傅里叶变换后，输出平面中心是一个亮点，两边是正、负一级像和高级次的像，如图631(b)所示n如图：636几点讨论n1、模式溢出校正 在对相位编码时，当 时，第m单元的矩孔将跨入邻

15、近的(m+1)单元，因而有可能与相邻单元矩孔发生重叠，这时重叠部分的振幅本应叠加，但对于这种二元模板就不可能做到，致使全息图再现时失真解决的办法是将溢出部分移至本单元的另一侧，如图633所示n如图n 模式溢出校正依据的原理是光栅衍射理论由于计算全息图可以看作是类光栅结构，各抽样单元中相应位置具有同样相位值，而(m，n)的计算是取主值范围，即对模数 取的余数，所以把溢出至邻近单元的矩形孔移到本单元另一侧，对相位编码没有任何影响。n2、相位误差的校正、相位误差的校正n在罗曼早期提出的迂回相位编码方法中，孔径处的相位是用单元中心处的相位来近似的，这隐含了整个抽样单元内相位值的变化是相等的如果在抽样单元内，相位的变化很缓慢，则这个近似是大致成立的，但实际上单元内的n相位总会有变化，因此早期的编码方法会引入相位误差。校正的办法是用孔径位移处的实际相位来确定孔径的位置，也就是说，矩形孔中心的偏移量要正比于矩孔中心处的实际相位值n校正前后的孔径位置变化如图634所示用校正法编码相位值，不仅要求知道单元