谈新课程理念下的《立体几何》教学

1、谈新课程理念下的立体几何教学北京市顺义牛栏山第一中学 孙枫新课程中的立体几何部分，从设计到理念与大纲教材有较大的变化，针对这些变化，下面我就这些变化作一个分析。一、立体几何内容变化 新课程中，立体几何知识分为两部分：一部分是必修2中的“立体几何初步”；另一部分是选修21中的“空间向量与立体几何”。这部分内容有以下的一些变化：1增加了平行投影、中心投影，三视图 增加这部分内容的主要目的是更进一步地认识空间图形，通过三视图及空间几何体与其三视图的互相转化，对空间图形有比较完整的认识，培养和发展学生的空间想像能力，几何直观能力，更全面地把握空间几何体。2对于“点、线、面之间的位置关系”，课标强调重点

2、应放在定性研究平行与垂直上，有关空间角、距离的计算在必修中不作要求，而“异面直线所成的角”、“ 直线与平面所成的角”、“三垂线定理及其逆定理”、“二面角及其平面角”等内容被安排在选修2-1“空间向量与立体几何”中，仅是理工科学生学习。3线、面平行、垂直的判定定理只要求直观感知、操作确认，不作证明，严格的证明被移到“空间向量与立体几何”部分，体现了分步到位，螺旋上升的设计理念。4新增内容“多面体与欧拉公式” ，被安排在选修系列3-5欧拉公式与闭曲面分类。二、立体几何内容、结构特点的变化大纲教材中的立体几何对能力的要求除了运算能力外，教材强调公理化体系，注重逻辑推理，重点要发展学生的空间想像能力，

3、逻辑推理能力。而新课程中，首先安排对空间几何体的整体认识，要求发展学生的空间想像能力。在空间点、直线、平面之间的位置关系的研究中，是以“长方体等几何体”为模型进行说理或简单的论证。在选修2-1的“空间向量与立体几何”部分，则是以逻辑推理与向量运算相结合的方式完善了空间几何推理论证，并对空间几何中的一些问题从向量角度予以证明。 由此看出，课程标准理念下的立体几何教学内容有这样的一些特点 ：1立体几何的内容安排，遵循从整体到局部、具体到抽象的原则与以往立体几何的内容体系相比，本模块立体几何的内容体系在结构上有重大改革。 以往立体几何内容，常从研究构成空间几何体的基本要素：点、直线和平面开始，讲述平

4、面及其基本性质，点、直线、平面之间位置关系和有关公理、定理，再研究由它们组成的几何体包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、台、球的结构特征、体积、表面积等等，基本上按照从局部到整体的原则. 这种安排有它的道理，它严格按公理化的体系，按知识的进程来安排内容.逻辑关系非常严谨，老师教起来也感觉数学的味道很浓.但这种安排没有考虑学生的认知规律、学生的思维方式，这也是学生学立体几何感觉困难吃力的原因之一. 而新课程下的立体几何，依据新的课程标准的要求，按照从整体到局部、具体到抽象的原则，这样的安排先从对空间几何体的整体感受入手，再研究组成空间几何体的点、直线和平面。这种安排更多地是从关注学生的角度出发，在章节内

5、容的安排上，在具体内容的学习要求上都有所体现。而这样安排有它实际的意义，因为我们生活在一个三维的世界中，对于一个物体，首先感受到的是它的轮廓，之后才会对它的侧面、边角感兴趣。而这种先由整体上认识空间几何体的安排，更符合人的认识规律，更有助于发展学生的空间观念、培养学生的空间想象能力、几何直观能力，符合学生的认知规律，提高学生学习立体几何的兴趣. 为了提高学生学习的兴趣，增强几何的直观性，有的教师让学生观察大量的空间几何图形的模型的同时，还让学生动手制作一些基本的空间几何体的模型，让学生感受这些几何体的结构特征，这对于空间几何体的认识和空间感的培养还是非常有帮助的. 2强调几何直观，渗透公理化思

6、想，引进合情推理，进行适当的几何推理 高中立体几何课程历来以培养逻辑思维能力为主要目标的，而新课标更加强调空间想象能力的培养，强调空间观念的建立，并且通过强调几何直观来落实空间想象能力的培养.在课程标准中强调：“借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间点、线、面位置关系的定义”，“通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定”,并总结归纳一系列的判定定理和性质定理。在新课标中要求学生在获得数学结论、空间观念形成的过程中，应当“经历合情推理-演绎推理的过程”，从而将合情推理引入课程。在大量的实际背景，直观操作和感受的基础上，

7、引导学生归纳、概括出若干定理，让学生感受公理化思想（而不是进行严格的公理化的训练）、了解证明的意义。使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，经历从特殊到一般，从具体到抽象的过程，逐步认识直线与平面、平面与平面的位置关系，在推理过程中渗透公理化思想，养成言必有据的理性思维精神，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力。 从以往的教学实践来看，高中学生普遍对立体几何的入手感到困难，其主要原因有：学生的实际感知及所具有的数学能力一时难以适应这种由平面到空间的突变；在教学中缺乏直观的空间模型和实验操作，以至于学生不能通过观察、分析和动手操作中悟出数学问题的实质。针对学生抽象思维能力比较薄弱、对具体素

8、材的依赖性强，具体与抽象割裂的不足，在教材中，有的放矢地设计立体空间模型的实验，通过实验，让学生直观感受到数学问题的结论，并通过分析、论证、说理，充分调动学生的感觉器官，从而从不同的感觉渠道促进学生空间概念的建立.如“直线与平面平行的判断定理”，在传统教材的证明非常经典，在证明的过程中也渗透了许多的数学思想。而在新课程中，该定理是通过直观感知，操作确认而获得的，虽然没有经历传统证法中的思维训练，但让学生经历了实验、探究、合作交流的过程，并直观感知判断线面垂直的必备条件，这对于学生认识空间位置关系、提升空间想象能力都是非常有益的。3从整套教材来看，立体几何教学、学习的要求不是一步到位，而是分阶段

9、、分层次、多角度的。与传统立体几何的教学内容相比，课标标准在“立体几何初步”删掉了许多定理，剩下的又有一半不做证明要求，那么是不是课标标准对立体几何证明的要求降低了呢？ 毫无疑问，这种看法是片面的，只要我们认真学习新的课标标准，从整体的教学内容安排来看这个问题，就不难发现：几何教学、学习的要求不是一步到位，而是分阶段，分层次，多角度.（1）新课程中立体几何的学习是分三个阶段进行的：必修课程: 数学2立体几何初步选修课程：系列2空间向量与立体几何选修系列3，4：系列3-1数学史选讲中的部分专题以及系列3-3，球面上的几何；系列3-5，欧拉公式与闭曲面分类；系列3-6，三等分角与数域扩充；系列4-

10、1，几何证明选讲等；因此我们不能说：新的课程标准降低了几何证明的要求.从上面三个阶段来看，要求是一步一步提高的，这样的安排更符合学生的实际认知水平.能满足不同层次学生的学习几何的需要。（2）立体几何的学习也是分层次、多角度的：第一层次：对几何体的认识，依赖于学生的直观感受，不做任何推理的要求. 第二层次：以长方体为载体（包括其它的实物模型、身边的实际例子）对图形（模型）进行观察、实验和说理.引入合情推理. 第三层次：严格的推理证明.如线面平行、垂直的性质定理的证明 第四层次：空间向量与立体几何，用代数的方法研究几何问题 在选修系列2部分（空间向量与立体几何）引入向量与坐标，用它们处理线与线、线

11、与面、面与面的交角以及点到线、点到面的距离，从而使几何问题代数化，这不仅使几何问题的处理有了多种方法，而且对立体几何问题的认识也有了多视角，这无疑会帮助学生更好地认识客观世界中的几何问题。三、立体几何内容变化的分析从几何的发展，以及几何的研究方法和教材的变化整体看，随着几何知识复杂程度的提高，用代数方法研究几何问题是几何研究发展的大趋势，而且研究几何使用的代数工具也是不断提升。另外，从推理角度来说，既有合情推理，又有演绎推理，而且从数学自身发展的过程来看，即使演绎推理也并非“几何”所独有，它广泛存在于数学的各个分支中。 四、立体几何有关内容的教学建议1.关于空间几何体的结构引导学生重点观察柱、

12、锥、台、球的特点，并根据各自的经验、结合身边的模型讨论各个几何体的特点，可以通过学生自制模型来提高认识，并在比较中形成对柱、锥、台、球结构特征的直观认识。 2.关于投影、三视图对于这些内容，教师在讲授前要充分了解初中教材中的所涉及到的知识点的范畴、与高中教学要求的异同，也好做到有的放矢。2.1 平行投影、中心投影初中人教版教材涉及的主要内容有：投影、投影线、投影面、中心投影、平行投影、正投影、线段的投影、平面的投影、正方体的投影，教学要求均为了解。2.2 三视图2.2.1 教学内容与教学要求三视图的主视图、左视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察到的几何体的正投影图，它们都是平

13、面图形。三视图的教学内容与初中相比基本一致，不同的是，初中涉及的几何体都比较简单，具体的教学要求不尽相同，初中的教学要求是：由几何体画三视图（三等原则）；由三视图说出立体图形的名称、描述物体的形状；由三视图求物体的表面积。高中的三视图的教学要求是：简单几何体的三视图（图形比初中的复杂）；增加了斜二测画法（空间几何体的直观图）；空间几何体的表面积与体积。2.2.2 三视图的教学建议： 对于画三视图和直观图的几何体，只要求前一节介绍的柱、锥、台、球及它们的一些简单组合，不必研究较复杂的几何体，尤其由三视图和直观图画实际的立体图形要求不宜过高。三视图的教学中注意要求的层次性，注意虚线的使用。三视图还

14、原几何体不惟一的情况不要涉及。教师在这部分教学中应该意识到：实物与相应的平面图形、几何体与其三视图之间的相互转化关系，不仅是一个思考过程，也是一个实际操作过程。在教学中，要使学生能根据条件作出立体模型、根据三视图经过头脑的加工和组合，并在此基础上通过实际尝试和动手操作来实现。总之，本节教学的主要目标，不是仅仅会画空间几何体.而是通过作图：从实物模型到三视图再到直观图这样一个过程，来认识空间几何体，培养空间想象能力，这是我们教学的重心，也是学习后续内容的基础。3.关于逻辑推理与证明立体几何中涉及的逻辑推理与证明，主要集中在必修2中的第二章“直线和平面位置关系”中关于线、面的平行与垂直问题的处理，

15、这部分具体的教学要求是，对线面平行、线面垂直的判定不作证明，只要求操作确认，对线面平行、线面垂直的性质定理要求证明，但教材的理念十分清晰，就是分步到位，因此立体几何教学不应忽视推理与证明。那么在具体教学中如何把握“直观感知”、操作确认”，下面以直线与平面垂直的判定为例作简要说明。【教学目标】1通过观察图片和折纸试验，使学生理解直线与平面垂直的定义，归纳和确认直线与平面垂直的判定定理，并能简单应用定义和判定定理；2通过对判定定理的探究和运用，初步培养学生的几何直观能力和抽象概括能力；3通过对探索过程的引导，努力提高学生学习数学的热情，培养学生主动探究的习惯 【教学过程】1. 实例引入、理解直线与平面垂直的概念2. 通过试验，探究定理 设计问题串，引导学生直观感知判断线面垂直的条件问题1：折痕AD与桌面一定垂直吗？问题2：如何翻折才能使折痕与桌面垂直？追问：为什么折痕与桌面是垂直的？（引导学生进行合理的解释）问题3：如果一条直线与平面内的一条直线垂直，能判断此直