数学建模 飞行器空间坐标修正

1、六校数学建模联赛题目： 飞行器空间的坐标修正【摘要】 随着我国在航天事业上的不断发展，飞行器的惯性导航系统的运用起着越来越重要的作用。但由于惯性导航系统仪器的精度因素影响，会对飞行器的空间坐标确定产生影响，且随着时间的积累这种影响产生的误差会逐渐增大，严重影响导航系统的精度，因此，对器的误差修正非常必要。本文在分析了各物理量的关系的基础上，经过严密地推导，得出各个轴方向上的位移与其对应速度的修正之后的函数关系，据此建立了相关的数学模型并通过评价说明了模型的合理性和科学性对于问题一：我们采用数据分析中的卡尔曼滤波法、迭代处理和线性拟合对误差经行剔除。对于问题二：我们用问题一修正过后的数据去修正飞

2、行器飞行速度所得的坐标，避免了惯性导航系统中误差随着时间的推移而增大的效应。对于问题三：对于大型客机，飞行速度稳定高度基本不变，适合前面的处理方式。关键词：卡耳曼滤波法 迭代法 线性拟合 相互支持度 加权融合一、问题重述1.1问题背景飞行器的导航精度问题一直是航空航天领域研究的重要课题，惯性导航系统是一种不依赖于任何外部信息的自主式导航系统，在航空航天领域起着越来越重要的作用。由于其系统结构误差、惯性测量部件误差、标度系数误差等因素的影响，惯性导航系统的积累误差随着时间的推移而逐渐增大，这一问题严重影响到航空航天技术的发展。目前关于定位精度的研究成果主要是从物理技术(例如红外测距)方面来提高定

3、位的精度，近年来，围绕定位坐标精度问题的相关研究也渐渐展开。因此进一步研究飞行器空间坐标修正方法有重要的理论意义和应用价值。本题的目标是利用数学的方法对飞行器的误差进行修正，并利用结果进行飞行器的仿真。1.2问题提出某一观测站测得飞行器空间位置(假设观测站为坐标原点)X(x、y、z)，飞行器的飞行速度V(x轴、y轴、z轴),飞行器与观测站之间的偏向角a，俯仰角q以及观测数据的时间间隔t。所给的各项数据均含有一定的误差，其中观测站的坐标(0,0,0)不含误差，飞行器的坐标（观测值）可能含有较大误差。请根据所给数据进行如下工作：问题一：飞行器坐标的数据为观测值，由于电子仪器的精度和噪声干扰等，含有

4、一定的误差波动，建立数学模型对飞行器坐标观测值的随机波动误差进行修正。问题二：由于观测数据的仪器误差，飞行器坐标在长时间的飞行中，坐标数据的观测值由于误差的累积发生漂移，建立数学模型，对飞行器的坐标的这种误差进行修正。(提示：在短时间内，可以视为飞行器坐标含有一定的常量误差，或者飞行器的这种误差是线性变化的)。问题三：结合具体的飞行器给出误差修正方案。二、模型假设假设一：.观测站的坐标与机体的的坐标系不存在有相对运动不考虑地球的曲率半径的影响，不考虑地球公转自转。假设二：速度的测量值比坐标的测量值精确度更高，对极其符合线性关系的数据，认为线性拟合之后误差已经修正的很好了。假设三：假设噪声的干扰

5、造成的误差可以通过卡尔曼滤波器1或者迭代法消除。假设四：在使用速度拟合位移曲线的时候假设中间时间间隔做匀速运动。 三、符号说明与解释 X1,Y1,H1 由观测站所得的飞行器空间位置坐标 X2,Y2,H2 由速度计算所得的坐标vx,vy,vh 行器沿各个轴方向上的速度t 观测数据的时间间隔alpha 飞行器与观测站之间的偏向角.theta 飞行器与观测站之间的俯仰角h2 h3 h4 迭代一次 迭代二次 迭代三次后h坐标i,j,k 机体采用的坐标系的三个基向量I,j,k 观测站采用的坐标系的三个基向量4、 问题分析问题一：惯性导航系统是自主式导航系统，飞行器的飞行速度Vx Vy Vz 及飞行器与观

6、测站之间的仰角（theta）偏向角（alpha）可以由系统提供。为此，我们假设他符合迭代和卡尔曼滤波两种模型。电子仪器精确度和噪音干扰：H1-t原始数据图象我们发现在H坐标上，数据存在很大波动，可以肯定噪声干扰较大。所以要对H坐标数据滤去噪声带来的数值。X1-t原始数据图象Y1-t函数图象根据上图知道，飞行器坐标的观测值的随机波动误差的来源主要是h方向的误差，x y方向如图是线性关系，对飞行的空间坐标影响不大，可以不用分析。根据图知道，h方向的波动函数随时间的增大图象上下波动，影响较大，需要修正。对问题二的分析：短时间内，飞行器含有一定的常量误差，若飞行器k+1的时刻位置为X2(k+1)，k时

7、刻的位置为X2(k)，k时刻的速度为V(k)，则有：X2(k+1)=V(k)t+X2(k)+C(k) （C(k)为常量误差）有上式知：X2(k+1)=SV(k)t+SC(k)由上面知，因常量误差的积累会使误差很大，即会使坐标数据发生漂移，所以不能用这种方法计算。因此我们用问题一修正后的数据对飞行器速度所得的坐标经行修正，即：X2(k+1)=V(k)t+X1(k) (X1(k)为问题一修正后的坐标位置），这样就避免了因常量误差的积累而使误差很大影响数据的情况。然后在对X1 (k+1) 和 X2(k+1)两个数据进行融合，融合后的数据可以根据X=（s2）X(k+1)/(s2+s2)+（s2）X(k

8、+1)/(s2+s(s和s为X(k+1)和X(k+1)的方差）得出来的数据就很好的对误差进行了修正。此处定义一个距离相互支持度2：K1=10-（X2-X1）/10 (对于距离坐标K表示在10m的精度内，两数据相似程度，)K2=-(1-2)/ (对于角度坐标在的精度内，两角度数据相似程度)。可以由相互支持度判断修正后数据有效性，一定程度上也决定加权数据融合的权因子。五、模型的建立与求解5.1针对问题一：5.1.1模型一、采用迭代原理。上面已经说到导航系统观测到的x y方向位置对飞行器的空间实际位置的影响不大，不需要修正，现在对h方向经行修正，对数据迭代三次后所得的图象为：迭代后的数值见附录二。5

9、.1.2模型二、用卡尔曼模型，处理后的图为图二为卡尔曼滤波后的效应放大图。 由上面可以知道，采用迭代处理后的数据得到了很好的误差修正，根据迭代三次的数据图象来看，每一次的迭代都对数据经行了一次修正，使数据趋于更加的稳定，因此，迭代原理很好的的解决了原始数据误差较大的情况，对误差进行了很好的修正。另外，卡尔曼滤波修正，由图象可以知道，对数据也经行了修正，只是，因为数据的少，没有很好显示在图片上，因此在这种情况下，我们一般采用迭代处理。5.2针对问题二：5.2.1问题一修正后的数据图象：H1-t修正图X1-t修正图函数关系为 x=-65t+1360.25 Y1t修正图，其函数关系为y=-70t+1

10、309.55.2.2、由飞行器速度所计算的所得的坐标修正图：Y2-t速度坐标修正后数值图象X2-t速度坐标修正后的数值图象紫色图线为修正值，红色部分为x2与x1的差值。H2-t速度坐标修正图三个坐标方向数据融合后的图象： 由上图可以知道，x y h方向通过导航系统直接得到的数据经过线性拟合后的修正图象和由飞行器的速度计算所得的函数图象十分相识，误差很小。说明X(k+1)=V(k)t+X(k)此函数关系成立，对常量误差的积累起到很好的修正。由融合后的数据图象显示知，呈现出很好的线性关系，说明融合后的数据对误差其到很好的修正。5.3针对问题三我们通过仿真数据结合问题一和问题二的方法对数据进行修正。

11、X1坐标与x2速度坐标修正图：Y1坐标与y2速度坐标修正图H1坐标与h2速度坐标修正图 由上面三个图象可以知，仿真数据的坐标修正和速度坐标修正的图象基本一致，说明误差很小，即误差被修正的很好。因为两个数据的相互支持度很高，所以数据的融合可以算他们的平均值，融合后的数据图像为：X数据融合图：Y数据融合后的图象h数据融合后的图形 由仿真数据融合后的图形可知，通过导航系统直接给出的空间位置数据与飞行器速度积分演算出来的空间位置数据项融合后，可以很好的对误差进行修正，这一方案在融合图象上很好验证了可行性，且误差修正的精确度高！六、模型评价 对于问题一的修正，我们假设了两种模型，分别采用了均值迭代法和卡

12、尔曼滤波法来处理电子仪器的精度和噪声干扰，由数据函数图象知，迭代后的数值随时间的增加波动明显减小，而且迭代的次数越多，波动越小，即修正的效果越好，在很大的程度上消除了噪声的干扰。另外，为了更进一步的对误差修正，我们还应用了卡尔曼滤波法，由图显示，卡尔曼滤波虽然也显示出误差修正的效果，但应为数据的少，在很短的时间内对误差修正，由卡尔曼放大图上可知，这一波动修正也有一定的效应。 对于问题二，我们通过上面修正后的数据与通过速度坐标修正后的数据进行融合，应为两个的数据的相互支持度很高，所以融合是采用取两数据的平均值，观测图知，这种融合很巧妙的将飞行器的空间坐标误差进行修正，而且效果非常的好，很好的避开

13、了因常量误差的积累导致飞行器坐标数据发生漂移的现象。 对于问题三，因前面我们通过数据融合后的数据有很好的修正误差的效果，所以对于具体的飞行器，我们依然采用的是数据融合来修正误差！数据融合及卡耳曼可以很好的对电子仪器中的噪声干扰进行修正，但对于电子仪器的精度干扰不能很好的修正七模型改进。本个模型对误差的修正并没有达到真正最优的效果，因为数据的组数较少，加之我们对一些程序设计没有很好的掌握，未能在卡尔曼滤波器及均值迭代法消除噪声的数值中做太多分析，所以卡尔曼的最优滤波迭代处理的效果未能很好展现出来，如果能在问题一采用的卡尔曼滤波和均值迭代处理中通过程序设计消除噪声影响，加上后面的数据融合进行修正效

14、果会更好些。参考文献1. 胡 旅 满 ，刘先省。一种实用的数据融合算法2004.1222. 赵希人.卡尔曼滤波器在船用惯性导航系统中的应用.1985.713. 高等数学.江西出版社.2011.8附录一均值迭代处理的mat lab代码：functionh2= nihe (h)%UNTITLED4Summaryofthisfunctiongoeshere%DetailedexplanationgoeshereN=41;temp=(h-mean(h)./abs(h-mean(h);aver=(sum(abs(h-mean(h)/N;h2=h-temp.*aver;End卡尔曼滤波mat lab代码：

15、clearclc;N=101;%采样点的个数CON=602.737800000000610.741200000000618.744600000000626.748000000000634.751400000000642.754800000000650.758200000000658.761600000000666.765000000000674.768400000000682.771800000000690.775200000000698.778600000000706.782000000000714.785400000000722.788800000000730.79220000000073

16、8.795600000000746.799000000000754.802400000000762.805800000000770.809200000000778.812600000000786.816000000000794.819400000000802.822800000000810.826200000000818.829600000000826.833000000000834.836400000000842.839800000000850.843200000000858.846600000000866.850000000000874.853400000000882.8568000000

17、00890.860200000000898.863600000000906.867000000000914.870400000000922.873800000000930.877200000000938.880600000000946.884000000000954.887400000000962.890800000000970.894200000000978.897600000000986.901000000000994.9044000000001002.907800000001010.911200000001018.914600000001026.918000000001034.92140

18、0000001042.924800000001050.928200000001058.931600000001066.935000000001074.938400000001082.941800000001090.945200000001098.948600000001106.952000000001114.955400000001122.958800000001130.962200000001138.965600000001146.969000000001154.972400000001162.975800000001170.979200000001178.982600000001186.9

19、86000000001194.989400000001202.992800000001210.996200000001218.999600000001227.003000000001235.006400000001243.009800000001251.013200000001259.016600000001267.020000000001275.023400000001283.026800000001291.030200000001299.033600000001307.037000000001315.040400000001323.043800000001331.0472000000013

20、39.050600000001347.054000000001355.057400000001363.060800000001371.064200000001379.067600000001387.071000000001395.074400000001403.07780000000;%飞行器坐标的理论值x=zeros(1,N);%用来记录坐标的最优化估算值y=599.8058765607.7992796613.8542847623.2107999633.2484116638.9026154648.8974241656.1049206665.4691306670.0803864679.7515

21、546686.768601698.9148593704.8106257713.3940629718.9618163727.4848863735.7186891744.9918199751.7793962760.6700869765.8879912775.6334528783.1049811790.4219001800.4799414808.390873816.0904032822.5414777833.1495586840.2802725847.6881812856.03111863.7753913870.2361353879.793164887.1445866895.0371693902.8

22、768351911.4707023918.0414119928.9803901936.4808528943.8897035952.0581586959.1716099969.0238533975.8949409983.2911497993.3061495999.75184321007.4047261015.7801941023.1090331030.9191051042.5414311049.6438051056.2546871062.7286751071.1301971079.7499961088.8010251094.6268811101.6654211110.5677131120.288

23、2781128.3769411136.4691831143.7779221152.2354881159.645071168.9099921174.6225171184.4764611191.0994911199.7590061208.5998191217.0784581222.8385681233.2766561240.6322281247.9165631255.7762781263.7311071271.6514551280.0125511287.9663471296.8564431305.5210871312.5018721319.8037691328.6499051336.1090711342.9192191352.9268721360.3125451368.1916121376.5007481384.3244841391.0822851399.896368;%坐标的观测值，其中叠加了噪声x(1)=599.8058765;%为x(k)赋初值p(1)=1;%x(1)对应的协方差Q=cov(randn