复变函数(全书知识点)

1、复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transforms朱传喜等编江西高校出版社复数的诞生先从二次方程谈起:公元前400年，巴比伦人发现和使用 则当时无解，当时有解),0( , 02acbxaxaacbbx242042acb042acb二千多年没有进展：寻找三次方程 023dcxbxax的一般根式解 G. Cardano (1501-1576) : 怪才，精通数学，医学，语言学，文学，占星学他发现1040 xx没有根，形式地表为515515与 L.Euler(1707-1783): 瑞典数学家,13岁入大学，17岁获硕士,30岁右眼失明，60岁完全失明

2、1748年：Euler公式 C.Wessel (挪威1745-1818)和R.Argand(法国1768-1822）将复数用平面向量或点来表示K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865)定义复数 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的怀疑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展cossinieiaibR. Descartes(笛卡儿): 1596-1650, 法国哲学家，坐标几何的创始人1637他称一个负数的开方为虚数(imaginary number). 1777年：首次使用i表示，创立了复变函数论，并应用到水利学，地

3、图制图学 复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。第一章 复数与复变函数1.1 复数及其运算 定义定义 对任意两实数对任意两实数x、y ,称称 z=x+iy或或z=x+yi为为复数。复数。称为虚单位。称为虚单位。其中其中ii,1 2 1. 复数的概念复数的概念A 一般一般, , 任意两个复数不能比较大小。任意两个复数不能比较大小。复数复数z 的实部的实部 Re(z) = x ; 虚部虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)0|22 yxz 复数的模复数的模1212

4、12111222,0Re( )Im( )0zzxxyyzxiy zxiyzzz其中 判断复数相等判断复数相等定义定义 z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2的的和、差、积和商为：和、差、积和商为： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)0(|222211222212121 zzyxyxizyyxxzzz2. 代数运算代数运算z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .运算规律运算

5、规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律。复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（与实数相同与实数相同）即，）即，2121)()1(zzzz 2121)(zzzz 2121)(zzzz zz )2(2|1zzz 2222)Im()Re()3(yxzzzz )Im(2 )Re(2)4(zizzzzz 3.共轭复数共轭复数定义定义 若若z=x+iy , 称称 z=x-iy 为为z 的共轭复数的共轭复数.(conjugate).,)( ,43,55:1212121虚虚部部及及它它们们的的实实部部求求设设例例zzzziziz 574355:21 iiizz解解411:2 ii求求例例iii 11)(.

6、,0aaaa . 3011-1nn现现实实多多项项式式的的零零点点成成对对出出也也是是其其根根则则的的根根是是实实系系数数方方程程证证明明若若例例zxxxznn 22212212212:. 4zzzzzz 证证明明例例1. 点的表示点的表示此此时时，表表示示的的点点，可可用用平平面面上上坐坐标标为为复复数数.)(Pyxiyxz 平平面面复复平平面面或或平平面面虚虚轴轴轴轴实实轴轴轴轴zyx)(yxPiyxz，复复平平面面上上的的点点 点的表示：点的表示：A 数数z z与点与点z z同义同义. .1.2 复数的几何表示),(),(),(yxPiyxzyxyxP平平面面上上的的点点一一对对有有序序

7、实实数数任任意意点点系系，则则在在平平面面上上取取定定直直角角坐坐标标 ),(yxiyxz一一对对有有序序实实数数易易见见， .,)(iyxzOPyxOPyxPiyxz 表表示示可可用用向向量量，点点2. 向量表示法向量表示法A 00 OPzzyxrOPzArg:,|22记记作作辐辐角角模模： oxy(z)P(x,y)rz xy 称向量的长度为复数称向量的长度为复数z=x+iy的的模模或或绝对值绝对值；以正实轴以正实轴 为始边为始边, 以以 为终边的角的为终边的角的弧度数弧度数 称为复数称为复数z=x+iy的的辐角辐角.(z0时时)OP向向量量辐角无穷多：辐角无穷多：Arg z=0+2k， k

8、Z，xyzz/)Argtan(0 时，时， 0把其中满足把其中满足 的的0称为辐角称为辐角Argz的主值，的主值，记作记作0=argz。A z=0z=0时，辐角不确定。时，辐角不确定。 0, 00, 0arctan0, 02, 0arctanargyxyxxyyxRyxxyz 计算计算argz(z0) 的公式的公式A 当当z z落于一落于一, ,四象限时，不变。四象限时，不变。 A 当当z z落于第二象限时，加落于第二象限时，加 。 A 当当z z落于第三象限时，减落于第三象限时，减 。 2arctan2 xy oxy(z) z1z2 z1+z2z2- z112121212)(:zzzzzzz

9、z 三三角角不不等等式式由由此此得得由向量表示法知由向量表示法知之间的距离之间的距离与与点点2112zzzz 3. 三角表示法三角表示法)sin(cos irz 得得由由 sincosryrx4. 指数表示法指数表示法得得公式公式再由再由 sincos:ieEuleri irez 例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.1)122 ;2)sincos.55zizi 解1)|1244.rzz在第三象限, 因此235arctanarctan.3612 因此56554cos()sin()466izie2) 显然, r = | z | = 1, 又3sincoscos,525103cossinsi

10、n.52510因此31033cossin1010izie练习：练习：写出 的辐角和它的指数形式。132iz解：3 22argarctanarctan3,1 233z 2arg22,3ArgzzkkkZ1,rz23.ize 很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表 示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定 它所表示的平面图形.例1 将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方程来表示.解 通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为121121(),()().xxt xxtyyt yy 因此, 它的复数形式的参数方程为z=z1+t(z2z

11、1). (t 0为半径的为半径的圆圆 | z -z 0|(或或 0 | z z 0| 0, 对任意对任意 z D, 均有均有zG=z | |z|R，则，则D是有界是有界区域区域；否则无界。；否则无界。闭区域闭区域 区域区域D与它的边界一起构成闭区域与它的边界一起构成闭区域,.D记记为为.,00为为半半径径的的圆圆内内所所有有的的点点以以为为圆圆点点表表示示以以rzrzz .xyIm,Re轴轴的的直直线线轴轴和和表表示示分分别别平平行行于于 zz.,.,1020201几个点几个点只是边界增加了一个或只是边界增加了一个或它仍然是区域它仍然是区域几个点几个点如果在其中去掉一个或如果在其中去掉一个或组

12、成组成它的边界由两个圆周它的边界由两个圆周而且是有界的而且是有界的表示一个圆环表示一个圆环rzzrzzrzzr .0Im,0Re表表示示下下半半复复平平面面表表示示右右半半复复平平面面 zz2. 简单曲线（或简单曲线（或Jardan曲线曲线),)()(),()()(baCtytxbtatyytxx 、实实变变函函数数表表示示为为：平平面面上上一一条条连连续续曲曲线线可可令令z(t)=x(t)+iy(t) atb ;则曲线方程可记为：则曲线方程可记为：z=z(t)， atb.0)( )( ,)( )( 22则则称称该该曲曲线线为为光光滑滑的的且且、若若 tytxbaCtytx有限条光滑曲线相连接

13、构成一条分段光滑曲线。有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。重点重点 设连续曲线设连续曲线C：z=z(t)，atb，对于对于t1(a，b), t2 a, b,当当t1t2时，若时，若z(t1)=z(t2)，称称z(t1)为曲线为曲线C的重点。的重点。 定义定义 称称没有重点没有重点的连续曲线的连续曲线C为简单曲线或为简单曲线或 Jardan曲线曲线;若简单曲线若简单曲线C 满足满足z(a)=z(b)时，则称时，则称此曲线此曲线C是简单是简单闭闭曲线或曲线或Jordan闭闭曲线曲线 。 z(a)=z(b)简单闭曲线简单闭曲线z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线不是简单闭曲线3. 单连通域与多

14、连通域单连通域与多连通域简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质 任一条简单闭曲线任一条简单闭曲线 C：z=z(t)， ta，b，把复把复平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为的内部；一个是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界。的外部；还有一个是它们的公共边界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)内部内部外部外部边界边界定义定义 复平面上的一个区域复平面上的一个区域 B ，如果如果B内的任何简单闭曲线的内的任何简单闭曲线的内部总在内部总在B内内，就称，就称 B为单连通为单连通域；非单连通域

15、称为多连通域。域；非单连通域称为多连通域。例如例如 |z|0）是单连通的；是单连通的； 0r|z|R是多连通的。是多连通的。单连通域单连通域多连通域多连通域多连通域多连通域单连通域单连通域1. 复变函数的定义复变函数的定义与实变函数定义相类似与实变函数定义相类似定义定义).(, zfwzwivuwGzfiyxzG 记记作作）的的函函数数（简简称称复复变变函函数数是是复复变变数数则则称称复复变变数数与与之之对对应应就就有有一一个个或或几几个个使使得得存存在在法法则则的的非非空空集集合合是是一一个个复复数数设设A 是是多多值值函函数数. .值值，称称多多个个是是单单值值函函数数; ;值值，称称一一

16、个个若若)( )(zfwzzfwz。论的函数均为单值函数论的函数均为单值函数今后无特别声明，所讨今后无特别声明，所讨1.5 复变函数面区域（定义域）面区域（定义域）的定义集合，常常是平的定义集合，常常是平)(zfG函函数数值值集集合合, )(*GzzfwwG ),(),( )()(),();,(yxivyxuiyxfzfwvuivuwyxiyxz ),(),(yxvvyxuu 故故),(),()(yxvvyxuuivuzfw xyiyxiyxivuwivuwiyxzzw2)()(2222 则则令令例例1xyvyxuzw2222 例例2 22221111)(yxiyyxxzf若已知若已知.)(的

17、的函函数数表表示示成成将将zzfzzzf1)( )(21),(21,zziyzzxiyxz 则则设设oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上，在几何上， w=f(z)可以看作：可以看作：).() (*)(变换变换平面）的映射平面）的映射平面平面wGwzGzzfw 的的原原象象。称称为为，而而映映象象的的象象点点为为称称wzzw)( 定义域定义域函数值集合函数值集合 2. 映射的概念映射的概念复变函数的几何意义复变函数的几何意义zw=f(z)wA 以下不再区分函数与映射（变换）。以下不再区分函数与映射（变换）。A 在复变函数中用两个复平面上点集之间的在复变函数中用两个复平面上点集之间

18、的 对应关系来表达两对变量对应关系来表达两对变量 u，v 与与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观函数问题时，可借助于几何直观. .复变函数的几何意义是一个映射（变换）复变函数的几何意义是一个映射（变换）.所构成的映射所构成的映射研究研究zw 例例3 iirezreirz )sin(cos设设解解关于实轴对称的一个映射关于实轴对称的一个映射见图见图1-11-2即，即，)sinsin()sincos( )(sin(cos yxiyxiyxiivuw 旋转变换旋转变换(映射映射) 见图见图2.( 实常数）所构成的映射实常数

19、）所构成的映射研究研究 zewi 例例4)( iiiiirereezewrez设设解解 sinsinsincosyxvyxuoxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o 图图1-1图图1-2图图2uv(w)o.2所所构构成成的的映映射射研研究究zw 例例5oxy(z)ouv(w) 2 oxy(z)ouv(w)R=2R=46 3 422 yx2zw 2zw 2zw 2zw 3. 反函数或逆映射反函数或逆映射例例 设设 z=w2 则称则称 为为z=w2的反函数或逆映射的反函数或逆映射zw )1 , 0(22 kezzwk为多值函数为多值函数,2支支.定义定义 设设 w =f

20、 (z) 的定义集合为的定义集合为G,函数值集合为函数值集合为G*Gz *)(Gwzfw *Gw )()(wzGz 或或几几个个一一个个则称则称z=(w)为为w=f(z)的反函数（的反函数（逆映射逆映射）.GzzfzGwwfw )()(* 当当反反函函数数单单值值时时显显然然有有)(zfz 一般一般是是一一一一对对应应的的。与与集集合合是是一一一一的的。也也称称集集合合映映射射都都是是单单值值的的，则则称称函函数数逆逆映映射射和和其其反反函函数数映映射射当当函函数数 GGzfwwzzfw)()()()()()( 例例 已知映射已知映射w= z3 ，求区域求区域 0argz 在平面在平面w上的象

21、。上的象。3 例例?1:,122平平面面上上怎怎样样的的曲曲线线映映射射成成被被平平面面上上的的曲曲线线判判断断已已知知映映射射wyxzzw 1. 函数的极限函数的极限AzfzzAzfzzzfAAzfzzAzUzzfwzz )()(lim)(,)(,0, 0),(),( 000)000时时，或或当当时时的的极极限限，记记作作当当为为则则称称有有时时当当）（，若若存存在在数数设设（定义定义uv(w)oA xy(z)o 0z)(zfw 几何意义几何意义: 当变点当变点z一旦进一旦进入入z0 的充分小去的充分小去心邻域时心邻域时,它的象它的象点点f(z)就落入就落入A的的一个预先给定的一个预先给定的

22、邻域中邻域中1.6 复变函数的极限和连续性A (1)(1) 意义中意义中 的方式是任意的的方式是任意的. . 与一元实变函数相比较要求更高与一元实变函数相比较要求更高. .0zz (2) A是复数是复数. . 2. 运算性运算性质质复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：000 ),(),()(iyxziyxzyxivyxuzf 设设定理定理1(3) 若若f(z)在在 处有极限处有极限,其极限其极限是唯一的是唯一的. .0z0),(),(0),(),(00),(lim),(lim)(lim00000vyxvuyxuivuAzfyxyxyxyxzz 则则 BA

23、zgzgzfzgzfABzgzfzgzfBAzgzfzgzfBzgAzfzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz )0)(lim()(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim,)(lim)(lim000000000000则则若若定理定理2A 以上定理用极限定义证以上定理用极限定义证! !例例1.)(22在在平平面面上上处处处处有有极极限限证证明明yxiyxw 例例2.0)(时时的的极极限限在在求求 zzzzzzf例例3.0Re)(时时的的极极限限不不存存在在在在证证明明 zzzzf在在平平面面上上处处处处有有极极限限22,yxy

24、x .)0 , 0()(2)(2222处处极极限限不不存存在在在在yxyxzf 3.函数的连续性函数的连续性定义定义.)()()(lim,;)(;)()()(lim0000000处处连连续续上上点点在在曲曲线线，则则称称且且、若若内内连连续续在在内内处处处处连连续续，则则称称若若在在区区域域处处连连续续在在，则则称称若若zCzfzfzfCzzDzfDzzfzfzfzzzz .),(),(lim),(),(lim),(),()(00),(),(00),(),(0000000yxvyxvyxuyxuiyxzyxivyxuzfyxyxyxyx 处处连连续续在在设设定理定理3例例4 证明证明f (z)

25、=argz在原点及负实轴上不连续。在原点及负实轴上不连续。上上不不连连续续。在在负负实实轴轴在在负负实实轴轴上上 argarglim arglim)0)(0 ,( )2(00zzzxxPyy 故故不不连连续续。在在原原点点没没有有定定义义， arg)()1(zzf 证明证明xy(z)ozz)0 ,(xP 定理定理4 连续函数的和、差、积、商连续函数的和、差、积、商 (分母不为分母不为0) 仍为连续函数仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数；连续函数的复合函数仍为连续函数； 连续函数的模也连续。连续函数的模也连续。.0)()()()(10点点外外处处处处连连续续在在复复平平面面内内除除分

26、分母母为为的的；在在整整个个复复平平面面内内是是连连续续由由以以上上讨讨论论zQzPzRzazaazPnn MzfMCzfC )(, 0)(在在曲曲线线上上恒恒有有上上连连续续在在若若内内的的曲曲线线段段为为闭闭曲曲线线或或端端点点包包括括在在设设曲曲线线有界性：有界性：第二章第二章 解析函数基础解析函数基础2.1 复变函数的导数(1)导数定义导数定义定义定义 设函数设函数w=f (z) zD, 且且z0、 z0 +zD，如果极限如果极限 存在，则称函数存在，则称函数f (z)在点在点z0处可导。处可导。称此极限值为称此极限值为f (z)在在z0的导数，的导数，记作记作zzfzzfz )()(

27、lim000zzfzzfdzdwzfzzz )()(lim)( 00000 如果如果w=f(z)在区域在区域D内处处可导，则称内处处可导，则称f (z)在区域在区域D内可导内可导。A (1) (1) z z00是在平面区域上以任意方式趋于零。是在平面区域上以任意方式趋于零。A (2) (2) z=z=x+iy,x+iy,z z= =x+iy, f=f(z+z)-f(z) x+iy, f=f(z+z)-f(z) .Re)(:可可导导在在平平面面上上的的任任何何点点都都不不证证明明zzf 例例1zzzzzf )Re()Re(:证证明明yixxxx yixx ;0,0; 1,0zfzzfz时时取取纯

28、纯虚虚数数趋趋于于当当时时取取实实数数趋趋于于当当.lim0不不存存在在zfz (2)求导公式与法则求导公式与法则 常数的导数常数的导数 c =(a+ib) =0. (zn) =nzn-1 (n是自然数是自然数).证明证明 对于复平面上任意一点对于复平面上任意一点z0，有，有10010021000)(limlimlim000 nnnnzznnzzzznzzzzzzzzzzzzzz -实函数中求导法则的推广实函数中求导法则的推广 设函数设函数f (z), ,g (z) 均可导，则均可导，则 f (z)g (z) =f (z)g (z)， f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)

29、g (z)0)( ,)()( )()()( )()(2 zgzgzgzfzgzfzgzf.0)()()()(10处处可可导导点点外外）处处在在复复平平面面上上（除除分分母母为为导导；在在整整个个复复平平面面上上处处处处可可由由以以上上讨讨论论zQzPzRzazaazPnn 复合函数的导数复合函数的导数 ( f g(z) =f (w)g (z)， 其中其中w=g(z)。 反函数的导数反函数的导数 ，其中，其中: w=f (z)与与z= (w)互为单值的反函数，且互为单值的反函数，且(w) 0。)( 1)( wzf 例例3 问：函数问：函数f (z)=x+2yi是否可导？是否可导？!0, 020,

30、 012lim0不存在不存在时时当当时时当当 yxxyyixyixz)( 11)5()(22zfzzzzf，求求已已知知 例例2解解22)1(1)52)(5(2)( zzzzzfyixyixiyyxxzzfzzfzz )2()(2lim)()(lim00解解.2)(处处处处不不可可导导故故函函数数yixzf 例例4 证明证明 f (z)=zRez只在只在z=0处才可导。处才可导。 时时不不存存在在时时0!)(Re(lim00Relim00zyixxzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz Re)Re(limRe)Re()(lim00证明证明不存在！不存在！时时当当时时当当 0, 010

31、, 00lim0yxxyyixxzA (1) (1) 复变函数在一点处可导，要比实函数复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得在一点处可导要求高得多，也复杂得 多，这是因为多，这是因为z z00是在平面区域上是在平面区域上 以任意方式趋于零的原故。以任意方式趋于零的原故。 (2) (2) 在高等数学中要举出一个处处连续，在高等数学中要举出一个处处连续， 但处处不可导的例题是很困难的但处处不可导的例题是很困难的, , 但在复变函数中，却轻而易举。但在复变函数中，却轻而易举。?)(,;),()(,22的的可可导导性性复复函函数数中中内内可可导导在在实实函函数数中中zzfx

32、xf &思考题思考题解：zzfzzfzw)()(zzzz22zzzzzzz)(zzzzz:0z)0(0zzzw0)0( f:0z0 xz取zzzw0yiz取zzzw所以2)(zzfw在复平面上除原点外处处不可导。(3)可导与连续可导与连续若若 w=f (z) 在点在点 z0 处可导处可导 w=f (z) 点点 z0 处连续处连续.? 连续连续在在所以所以由此可得由此可得则则令令有有时时使得当使得当则则可导可导在在若若证明证明000000000000000)(),()(lim,)()()(, 0lim),()()(,)()()(,0, 0, 0,)(:zzfzfzzfzzzzfzfzzf

33、zzfzzfzzfzzfzzfzzfzzzfzz 可微定义可微定义:若函数w=f(z)在点z的改变量可写成zzAdwzzfzzAzzfzzzzzzzzAzfzzfwz)(,)()()(|)(| , 0)(lim,)()()()(0记为处的微分在点为处可微，而称在点无穷小，则称的高阶是其中(4)可导与可微可导与可微可导可导 可微可微易知 A(z)=f (z)当f(z)=z时, dz=z. 所以常记 dw=df(z)=f (z)dz.一一. 解析函数的概念解析函数的概念定义定义 如果函数如果函数w=f (z)在在z0及及z0的某个邻域内处处的某个邻域内处处 可导，则称可导，则称f (z)在在z0解

34、析；解析； 如果如果f (z)在区域在区域D内每一点都解析，则称内每一点都解析，则称 f (z)在在D内解析，或称内解析，或称f (z)是是D内的解析函数内的解析函数 (全纯函数或正则函数）全纯函数或正则函数）。如果如果f (z)在点在点z0不解析，就称不解析，就称z0是是f (z)的的奇点奇点。A (1) w=f (z) 在在 D 内解析内解析 在在D内可导。内可导。 (2) 函数函数f (z)在在 z0 点可导，未必在点可导，未必在z0解析。解析。2.2 解析函数例如例如(1) w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面在整个复平面处处可导，故是整个复平面 上的解析函数；上的解析函数；

35、(2) w=1/z，除去除去z=0点外，是整个复平面上的解析点外，是整个复平面上的解析 函数；函数；(3) w=zRez 在整个复平面上处处不解析在整个复平面上处处不解析(见例见例4)；(4) 仅在原点可导，故在整个复平面上不解析。仅在原点可导，故在整个复平面上不解析。定理定理1 设设w=f (z)及及w=g(z)是区域是区域D内的解析函数，内的解析函数，则则 f (z)g(z)，f (z)g(z) 及及 f (z) g(z) (g (z)0时时)均是均是D内的解析函数。内的解析函数。2wz.)0()()()()(10的的解解析析函函数数点点外外除除分分母母为为是是复复平平面面上上函函数数；是

36、是整整个个复复平平面面上上的的解解析析由由以以上上讨讨论论zQzPzRzazaazPnn 定理定理 2 设设 w=f (h) 在在 h 平面上的区域平面上的区域 G 内解析内解析, h=g(z) 在在 z 平面上的区域平面上的区域 D 内解析内解析, h=g(z)的函数值的函数值集合集合 G，则复合函数则复合函数w=f g(z)在在D内处处解析。内处处解析。 如果复变函数如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定在定义域义域 D内内处处可导，则函数处处可导，则函数 w = f (z) 在在 D内解析。内解析。 我们将从函数我们将从函数 u (x , y) 及

37、及 v (x , y) 的可导性，探的可导性，探求函数求函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。问题问题 如何判断函数的解析性呢？如何判断函数的解析性呢？二二. 解析函数的充要条件解析函数的充要条件yixyxivyxuyyxxivyyxxu ),(),(),(),(则则可可导导在在点点设设函函数数,),(),()(iyxzyxivyxuzfw ()( )f zzf zz xyxvyxxvixyxuyxxuxyxivyxuyxxivyxxuzzfzzfzfxxxz

38、),(),(lim),(),(lim ),(),(),(),(lim )()(lim)(0000)0( yzzz若若沿沿平平行行于于实实轴轴的的方方式式xvixu yiyxvyyxviyiyxuyyxuyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfzfyyyz ),(),(lim),(),(lim),(),(),(),(lim)()(lim)(0000)0( xzzz若沿平行于虚轴的方式若沿平行于虚轴的方式yuiyvyvyui 1 yuxvyvxuyuiyvxvixuzf )( 存存在在A 记忆记忆yvxvyuxu 定义定义 方程方程称为称为Cauchy-Riemann方程方程(简称简称C-

39、R方程方程).yuxvyvxu C-R方程等价于证明: .0zf).,(),()(),(21),(21yxvyxuzfzziyzzx. 0)(2)(21)21()(21)(yvyvixvxuiyviyuxvixuzyyfzxxfzf定理定理1 设设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在在 D 内有定义，内有定义， 则则 f (z)在点在点 z=x+iy D处处可导的充要条件是可导的充要条件是 u(x, y) 和和 v(x, y) 在点在点 (x, y ) 可微，且满足可微，且满足 Cauchy-Riemann方程方程yuxvyvxu 上述条件满足时上述条件满足时,有有xyy

40、yyxxxivviuviuuivuzf )( 证明证明（由由f (z)的可导的可导 C-R方程满足上面已证！只须证方程满足上面已证！只须证 f (z)的可导的可导 函数函数 u(x, y)、v(x, y)可微可微）。）。 函数函数 w =f (z)点点 z可导，即可导，即)( )()()(zfzzfzzfz 设设则则 f (z+ z)-f(z)=f (z)z+ (z)z (1), 且且zzfzzfzfz )()(lim)( 00)(lim0 zz u+iv = (a+ib)(x+iy)+( 1+i 2)(x+iy)=(ax-by+ 1x 2y)+i(bx+ay+ 2x+ 1y)令：令：f (z

41、+z) f (z)=u+iv，f (z)= a+ib， (z)= 1+i 2 故（故（1）式可写为）式可写为因此因此 u=ax by+ 1x 2y , v=bx+ay+ 2x 1y0)(lim0 zz 0limlim200100 yxyx0lim2100 zyxyx 0lim1200 zyxyx 所以所以u(x, y)，v(x, y)在点在点(x, y)处可微处可微. （由函数（由函数u(x,y) ,v (x,y)在点在点(x,y)处可微及满足处可微及满足 C-R方程方程 f (z)在点在点z=x+iy处可导）处可导）u(x，y)，v(x，y)在在(x，y)点可微，即：点可微，即：yxyyux

42、xuu 21 yxyyvxxvv 43 )4 ,3,21( ,0lim00，其其中中 kkyx yixiyyviyuxxvixuviuzfzzf )()()()()()(4231 yixizxvixuRC )()()(4231 方方程程由由0)(1|,1|31 izxzyzxxvixuzzfzzfzfz )()(lim)(0zyizxixuizuzzfzzf )()()()(4231 定理定理2 函数函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在在D内解析充要内解析充要 条件是条件是 u(x, y) 和和 v(x, y)在在D内内可微，且可微，且 满足满足Cauchy-Riemann方程方

43、程yuxvyvxu A 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系联系. .当一个函数可导时当一个函数可导时, ,仅由其实部或虚部就可以仅由其实部或虚部就可以求出导数来求出导数来. .A 利用该定理可以判断那些函数是不可导的利用该定理可以判断那些函数是不可导的. .使用时使用时: i) 判别判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性，偏导数的连续性， ii) 验证验证C-R条件条件.iii) 求导数求导数：yvyuixvixuzf 1)( A 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的的, , 但是求

44、复变函数的导数时要注意但是求复变函数的导数时要注意, , 并不是两个并不是两个实函数分别关于实函数分别关于x, ,y求导简单拼凑成的求导简单拼凑成的. .推论 ：,( , )u vx yCR若在处一阶偏导数连续且满足方程,( )f zuivzxiy则在处可导.三三. 举例举例2)3( )sin(cos)()2(;)1(zwyiyezfzwx ；例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：判定下列函数在何处可导，在何处解析：解解 (1) 设设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则则析析。在在全全平平面面不不可可导导，不不解解故故zwyvxuyvxvyuxu 1001解解(2) f

45、(z)=ex(cosy +isiny) 则则 u=excosy, v= exsiny在在全全平平面面可可导导，解解析析。故故)sin(cos)( cossinsincosyiyezfyuxvyvxuyeyvyexvyeyuyexuxxxxx )(sincos)( zfyieyexvixuzfxx 仅在点仅在点z = 0处满足处满足C-R条件，故条件，故。处处可可导导，但但处处处处不不解解析析仅仅在在02 zzw解解 (3) 设设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则则 0022 yvxvyyuxxu例例2 求证函数求证函数.0),(),( 2222dzdwiyxzyxy

46、iyxxyxivyxuw处解析，并求处解析，并求在在 证明证明 由于在由于在z0处，处，u(x,y)及及v(x,y)都是可微函数，都是可微函数，且满足且满足C-R条件：条件：,)(22222yxxyyvxu 222)(2yxxyxvyu 故函数故函数w=f (z)在在z0处解析，其导数为处解析，其导数为22222222222221)()()(2)(zyxiyxyxxyiyxxyxvixuzw DzCzfDzzf ,)(,0)( 若若例例3 复复常常数数）()(001)( 2121CiCCzfCvCuvuvuvuiivuzfyyxxyyxx 证明证明例例4 如果如果f (z)=u(x, y)+i

47、 v(x, y)是一解析函数，是一解析函数， 且且f (z)0，那么曲线族那么曲线族u(x, y)=C1， v(x, y)=C2必互相正交，这里必互相正交，这里C1 、 C2常数常数.那么在曲线的交点处，那么在曲线的交点处，i)uy、 vy 均不为零时，均不为零时，由隐函数求导法则知曲线族由隐函数求导法则知曲线族 u(x, y)=C1，v(x, y)=C2中任一条曲线的斜率分别为中任一条曲线的斜率分别为 yxuuk/1 yxvvk/2 01)( yvyuizf0不不全全为为与与yvyu 解解利用利用C-R方程方程 ux=vy, uy=-vx 有有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -

48、1，即：两族曲线互相正交即：两族曲线互相正交.ii) uy，vy中有一为零时，不妨设中有一为零时，不妨设uy=0，则，则k1=， k2=0（由（由C-R方程）方程）即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的一条是铅直的, 它们仍互相正交。它们仍互相正交。例如 2222,200 .fzzxyi xy fzzz两族分别以直线y=x和坐标轴为渐近线的等轴双曲线x2y2 = c1, 2xy = c2 互相正交。111108642x2468v=101y108642u=02468uv10101010?)(,)()(2222在复平面内处处解析在复平面内处

49、处解析取何值时取何值时问常数问常数若若zfdcbaydxycxibyaxyxzf a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2练习练习: 解析函数退化为常数的几个充分条件解析函数退化为常数的几个充分条件：(a) 函数在区域内解析且导数恒为零；(b) 解析函数的实部、虚部、模或辐角中有一个恒为常数；(c) 解析函数的共轭在区域内解析。.),()00:),(2222内内的的调调和和函函数数为为则则称称即即（方方程程续续偏偏导导数数且且满满足足内内具具有有二二阶阶连连在在若若二二元元实实变变函函数数DyxyxLaplaceDyx 定义定义内的调和函数。内的调和函数。是是，内解析内解析在区域在区域若

50、若DyxvvyxuuDyxivyxuzf),(),(),(),()( 定理定理2.3 调和函数调和函数证明：证明：设设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域在区域D内解析，则内解析，则xvyuyvxuRC 方方程程由由yxvyuxyvxu 222222从从而而有有xyvyxvyxvyxu 22.),(),(具具有有任任意意阶阶的的连连续续导导数数理理由由解解析析函函数数高高阶阶导导数数定定, 0 D2222 yuxu内有内有故在故在0 2222 yvxv同理有同理有0, 0 vu2222yx 其其中中即即u及及v 在在D内满足拉普拉斯内满足拉普拉斯(Laplace)方程方程:内的调和

51、函数。内的调和函数。是是，Dyxvvyxuu),(),( .),(),(D,),(的的共共轭轭调调和和函函数数为为函函数数内内构构成成解解析析函函数数的的调调和和在在称称使使得得内内的的调调和和函函数数为为设设yxuyxvivuDyxu 定义定义上面定理说明：上面定理说明：.部部的的共共轭轭调调和和函函数数内内解解析析函函数数的的虚虚部部是是实实D.),(),(),(),()(,的的共共轭轭调调和和函函数数必必为为内内在在内内解解析析在在即即yxuuyxvDDyxivyxuzf 由解析的概念得：由解析的概念得：.,:的的共共轭轭调调和和函函数数必必为为调调和和函函数数的的两两个个方方程程内内满

52、满足足在在uvvuvuvuRCDxyyx ., 一一定定解解析析内内就就不不在在则则内内的的两两个个调调和和函函数数区区域域是是任任意意选选取取的的在在若若DivuDvu 现在研究反过来的问题：现在研究反过来的问题：.的的共共轭轭调调和和函函数数不不是是yxuyxv 如如)11)()()(xyyxvuvuzyxiyxivuzf 处处处处不不解解析析平平面面上上在在（由由此此，的的共共轭轭调调和和函函数数必必须须是是方方程程，即即还还必必须须满满足足及及内内解解析析在在要要想想使使.,uvRCvuDivu .),(),(ivuyxvRCyxu 从从而而构构成成解解析析函函数数程程可可求求得得它它

53、的的虚虚部部方方利利用用部部已已知知一一个个解解析析函函数数的的实实),(yxv虚虚部部),(yxu实部实部0,),(,2222 yuxuDyxuD则则函函数数内内的的调调和和是是区区域域一一单单连连通通区区域域设设内内有有连连续续一一阶阶偏偏导导数数在在、即即Dxuyu ,dyxudxyudyyvdxxvxuxyuy )()(且且),(yxdvv )(),(),(),(00 cdyxudxyuyxvyxyx.内内解解析析在在方方程程满满足足DivuRCxuyvyuxv .)(),()(,),( 内内解解析析在在使使得得式式所所确确定定的的则则内内调调和和函函数数在在单单连连通通设设Divuz

54、fyxvDyxu 定理定理A 公式不用强记！可如下推出：公式不用强记！可如下推出：dyxvdxyvdyyvdxxvduRC 方方程程由由然然后后两两端端积积分分。由由求求其其共共轭轭调调和和函函数数已已知知：方方程程dyudxudyyvdxxvdvyxvyxuxyRC :),(),(类似地，类似地， 然后两端积分得，然后两端积分得，)(),(),(),(00 cdyvdxvyxuyxyxxyA 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解析函数的关系。析函数的关系。iifyxyxui

55、vuzf 1)()(22由由下下列列条条件件求求解解析析函函数数例例1dyyxdxxydyyvdxxvdvxyyuxvyxxuyv)2()2(22 解解cyxyxcdyyxxdxcdyyxdxxyyxvyxoyx 222)2()2()2(),(220),()0,0(曲线积分法曲线积分法icziiciyxiiyxcyxyxixyyxzf 2222222)211()(2)()21221()()(故故2)21()(211)21(1)(22izizfciiciiiif 代代入入上上式式得得，A )(21),(21zziyzzx )22(22222yxddxyydyxdxxdyydx dyyxdxxyd

56、yyvdxxvdv)2()2( 又解又解cyxyxyxv 222),(22)21221()()(2222cyxyxixyyxzf 凑凑全全微微分分法法)(2222xyxyvyxyv )21221()()(2222cyxyxixyyxzf 又解又解偏偏积积分分法法xyxyxvxv 2)( 2 cxx 2)(2 cxyxyyxv 222),(22xx )( )2()2()( yxiyxiuuivuzfyxxx )21221()()(2222cyxyxixyyxzf 又解又解不不定定积积分分法法)(2()()(2iyxiiyxiiyx zi 2iczizf 222)(2.4 初等函数初等函数 本节将

57、实变函数的一些常用的初等函数本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。性质，并说明它的解析性。一一. 指数函数指数函数它与实变指数函数有类似的性质它与实变指数函数有类似的性质：0exp)1( zz)0exp,( xez事实上事实上xezzfxz exp)(,)2(时时为为实实数数当当)0( y)2(12(的的例例见见 , 2, 1, 02)expArg(expkkyzezx)1()sin(cosexp)(:expyiyezzfzziyxzx 如如下下的的指指数数函函数数定定义义复复变变数数对对定义定义.

58、exp)(expexp)()3(zzzzf 且且在复平面上处处解析，在复平面上处处解析，右右边边左左边边设设事事实实上上 )exp()sin()cos()sincoscos(sinsinsincoscos )sin(cos)sin(cos expexp)2 , 1(,21212121212121221121212121zzyyiyyeyyyyiyyyyeyiyeyiyezzjiyxzxxxxxxjjj)exp(expexp:)4(2121zzzz 加法定理加法定理.exp zez代代替替为为了了方方便便，我我们们用用以以后后:)(的的周周期期性性由由加加法法定定理理可可推推得得zezf Zki

59、kTzfTzf ,2),()( .2 )()2sin2(cos)2(,22为为任任意意整整数数事事实实上上kikTzfekikeeeeikzfzzikzikz A 这个性质是实变指数函数所没有的。这个性质是实变指数函数所没有的。zzxxzzeeeyyiyyeee111)sin()(cos(0 又又2121zzzzeee 没没有有幂幂的的意意义义. .它它的的定定义义为为仅仅仅仅是是个个符符号号 ，)sin(cos ,)1(yiyeexzyiyexziysincos:Euler0)2( 公公式式 就就得得时时, ,的的实实部部特特别别当当到到A )Im(zie求求例例1 ie 141求求例例21

60、 ze解方程解方程例例3xeysin ie 12241, 2, 1, 02 kikz二二. 对数函数对数函数定义定义 指数函数的反函数称为对数函数。即，指数函数的反函数称为对数函数。即，Lnzwzfwzzew 记作记作称为对数函数称为对数函数的函数的函数把满足把满足,)()0()(2,lnZkkvrureerezivuwiivui 那么那么令令), 1, 0()2(ln kkirLnzw ), 2, 1, 0()2(arglnArgln kkzizzizLnz 或或(1) 对数的定义对数的定义.2,)0(的的一一个个整整数数倍倍相相差差其其任任意意两两个个相相异异值值即即虚虚部部无无穷穷多多角角的的一