弹性力学接触问题

1、两弹性体之间的接触压力问题两弹性体之间的接触压力问题 两球体的接触问题 圆球与平面（或凹球面）的接触 例题接接 触触 问问 题题 根据半空间体在边界上受法向分布力中有关知识，可导出两弹性体之间的接触压力以及由此所引起的应力和变形，下面我们先对两弹性球体进行讨论。 设两个球体半径分别为R1和R2,如图。一.两球体的接触问题 设开始时两球体不受压力作用，它仅接触于一点O，那么此时，在两球体表面上取距公共法线距离为r的M1和M2两点，与O点的切平面之间的距离z1和z2.则由几何关系有：(R1z1)2+r2=R12 (R2z2)2+r2=R22得1212 Rrz2222 Rrz（a）当M1,M2离O点

2、很近时，则z1R1, z2R2，上面两式可化为：11212zRrz22222zRrz而M1、M2两点之间的距离为：22121212212)2121(rRRRRRRrzz 当两球体沿接触点的公共法线用力F 相压时，在接触点的附近，将产生局部变形而形成一个圆形的接触面。由于接触面边界的半径总是远小于R1、R2，所以可以采用关于半无限体的结果来讨论这种局部变形。 现分别用w1和w2表示M1点沿z1方向的位移及M2点沿z2方向的位移（即相外的相对移动）；(w1+w2)=z1+z2 设为圆心O1、O2因压缩而相互接近的距离，如果M1与O1、M2与O2之间无相对移动则M1与M2、之间接近的距离也为； 于是

3、M1点和M2点之间的距离减少为(w1+w2)，如果点M1、M2由于局部变形而成为接触面内的同一点M，则由几何关系有：将式（a）代入，得w1+w2=r2 (b)其中，21212RRRR（c） 根据对称性接触面一定是以接触点O为中心的圆。现以图中的圆表示接触面，而M点表示下面的球体在接触面上的一点（即变形以前的点M1），则按照弹性半空间受垂直压力q的解答，该点的位移为：dd11211sqEw 其中1及E1为下面球体的弹性常数，而积分应包括整个接触面。对于上面的球体，也可以写出相似的表达式，于是：dd)(2121sqkkww （d）其中12111Ek22221Ek并由（d）式及(c)式得221dd)

4、(rsqkk（e） 到此，把问题归结为去寻求未知函数q（即要找出压力的分布规律），使式（e）得到满足。 根据Hertz的假设，如果在接触面的边界上作半圆球面，而用它在各个点的高度代表压力q各该点处的大小。 例如弦mn上一点压力的大小，可用过mn所作半圆的高度h来代表。 接触圆内任一点的压力，应等于半球面在该点的高度h和k=q0/a的乘积。由此，不难从图可以看出， 令q0表示接触圆中心O的压力，则根据上述假定，应有 q0=ka 由此得： k= q0/ak这个常数因子表示压力分布的比例尺。A为弦mn上的半圆（用虚线表示）面的面积，即)sin(2222raAAaqshaqsq00ddAaqsq0d由

5、于)sin(2222raA代入后再代入式（e）202222021d)sin(22)(rraaqkk222021)2(4)(rraaqkk积分后得：，d221dd)(rsqkk有 要使此式对所有的r都成立，等号两边的常数项和r2的系数分别相等，于是有2)(0221aqkk4)(0221qkk 这样，只要式（g）成立，Hertz所假定的接触面上压力分布是正确的。根据平衡条件，上述半球体的体积与的乘积应等于总压力F，即Faaq3032(g)222021)2(4)(rraaqkk由此的最大压力（h）它等于平均压力F/a2的一倍半。将式（c）和式（h）代入式（g），求解a及即得：由此并可求得最大接触压力

6、为；3221212120)(3)(42323RRkkFRRFaPq302/3aFq 31212121)(4)(3RRRRkkFa3121212212216)()(9RRRRkkF31212212)(23.1RRERRF31222122120)(388.0RRRRFEq312121)(11.1RRERFRa 在E1=E2=E及1= 2=0.3时，由上列各式得出工程实践中广泛采用的公式： 在求出接触面间的压力之后，可利用按照弹性半空间受垂直压力q的解答导出的公式计算出两球体中的应力。 最大压应力发生在接触面中心，值为q0； 最大剪应力发生在公共法线上距接触中心约为0.47a 处，其值为0.31 q

7、0； 最大拉应力发生在接触面的边界上，其值为0.133 q0。二.圆球与平面（或凹球面）的接触 利用上面关于两弹性球体接触时的有关结论，可得如下公式： 当圆球与平面接触时，将以上结果中的R1=R0,R2则得：3122212101143FEERa3122222121011169FEER3122212120301116EEFRqF30109. 1EFRa 3022231. 1REF32020388. 0RFEq 在E1=E2=E及1= 2=0.3时，F 当圆球与凹球面接触时，将以R1代替两圆球接触时公式中的R1，则可得：3122212112211143FEERRRRa312222212121121

8、1169FEERRRR3122221212211230116FEERRRRqF311221)(11.1RRERFRa在E1=E2=E及1= 2=0.3时，31212122)(23.1RRERRF31222121220)(383.0RRRRFEqF三 例题 直径为10mm的钢球与 a)直径为100mm的钢球； b)钢平面； c)半径为50mm的凹球面相接触，其间的压紧力P=10N，试球接触圆的半径a,两球中心相对位移和最大接触应力q0 .(E=2.1105 N/mm2, =0.3）。解解:31212212)(23.1RRERRF31222122120)(388.0RRRRFEq312121)(11.1RRERFRaa)直径为10mm的钢球与直径为100mm的钢球；= 0.067 mm= 9.810-4 mm= 1080N/ mmF30109. 1EFRa 3022231. 1REF32020388. 0RFEq = 0.069 mm= 9.510-4 mm= 1010N/ mm(b)直径为10mm的钢