普通物理学第十章机械振动

1、普通物理学普通物理学( (下下) )n课程性质：学科基础课程，必修课程性质：学科基础课程，必修n学时：学时：1616周周4848学时学时n授课内容：第十章机械振动授课内容：第十章机械振动( (涉及知识点：谐振涉及知识点：谐振动动) )，第十一章机械波，第十一章机械波 ( (涉及知识点：平面简谐涉及知识点：平面简谐波的波函数、波的衍射折射和反射、波的叠加波的波函数、波的衍射折射和反射、波的叠加与干涉等与干涉等) )、第十二章光学、第十二章光学( (涉及知识点：光的涉及知识点：光的干涉、光的衍射、干涉、光的衍射、X X射线的衍射、光的偏振、旋射线的衍射、光的偏振、旋光性光性) ) ，第十三章早期量

2、子论和量子力学基础。，第十三章早期量子论和量子力学基础。n通过课程的学习，使大家熟悉自然界物质的结通过课程的学习，使大家熟悉自然界物质的结构、性质、相互作用及其运动的基本规律，为构、性质、相互作用及其运动的基本规律，为后继专业基础与专业课程的学习及进一步获取后继专业基础与专业课程的学习及进一步获取有关知识奠定必要的物理基础。有关知识奠定必要的物理基础。 课程的基本要求课程的基本要求n参考书：参考书：1程守洙,江之永，普通物理学(第六版)，高教版，20062马文蔚，物理学教程第五版（上、下），高等教育出版社，2006；3张三慧，大学基础物理学（上、下），清华大学出版社，2004； n成绩考核成绩

3、考核: 成绩由平时成绩(30%)和期末考试成绩(70%)构成。平时成绩根据作业、出勤等评定。期末考试采用闭卷笔试方式。参考书目、成绩考核参考书目、成绩考核第十章第十章 机械振动机械振动1、如何判断一个物体是否做简谐振动；、如何判断一个物体是否做简谐振动；2、如何建立简谐振动方程；、如何建立简谐振动方程；3、如何使用旋转矢量法解决简谐振动的问题；、如何使用旋转矢量法解决简谐振动的问题；4、简谐振动的能量特征；、简谐振动的能量特征；5、简谐振动的合成。、简谐振动的合成。a 定义：定义： 物体或物体的某一部分在一定位置物体或物体的某一部分在一定位置附近来回往复的运动附近来回往复的运动b 实例实例:心

4、脏的跳动，心脏的跳动，钟摆，乐器，钟摆，乐器， 地震等地震等机械振动机械振动c 周期和非周期振动周期和非周期振动平衡位置平衡位置10-1 弓弓提琴弦线的振动提琴弦线的振动 广义振动：广义振动：任一物理量任一物理量( (如位移、电流等如位移、电流等) )在在某一数值附近反复变化。某一数值附近反复变化。机械振动机械振动 电磁振动电磁振动 振动有各种不同的形式振动有各种不同的形式简谐振动简谐振动(谐振动谐振动)：物体振动时，如果离开平衡位置的位移物体振动时，如果离开平衡位置的位移x(或角位移或角位移 )随时间随时间t 变化可表示为余弦函数或正弦函数变化可表示为余弦函数或正弦函数)cos( tAx一、

5、弹簧振子的振动一、弹簧振子的振动平衡位置：振动物体所受合外力为零的位置平衡位置：振动物体所受合外力为零的位置kl0 xmoAA00Fx1 1、振动方程：、振动方程：kxmaf022 xmkdtxd22dtxda 谐振动运动学方程谐振动运动学方程谐振动微分方程谐振动微分方程其通解为：其通解为：)cos( tAx 22 （1 1）（）（2 2）两式均为物体作谐振动的特征表述。）两式均为物体作谐振动的特征表述。二、弹簧振子的振动方程二、弹簧振子的振动方程22dtxda 10222 xdtxd xmkx2振动的成因振动的成因:a 回复力回复力b 惯性惯性运动学特征运动学特征动力学特征动力学特征xa2)

6、cos(tAxkxf 2、简谐振动特征、简谐振动特征 3、如何判断一个运动是简谐振动：、如何判断一个运动是简谐振动：(1)运动微分方程：运动微分方程：0222 xdtxd （或运动方程为（或运动方程为 ）)cos( tAx运动学特征运动学特征kxf (2)为维持运动物体所受合外力为维持运动物体所受合外力动力学特征动力学特征乒乓球在地面上的上下跳动是否为简谐振动？乒乓球在地面上的上下跳动是否为简谐振动？速度：速度：速度也是简谐振动速度也是简谐振动 加速度：加速度：22dtxda)cos()(amtata 也是简谐振动也是简谐振动4 4、简谐振动的速度、加速度、简谐振动的速度、加速度dtdx )2

7、cos( tA)sin( tA)cos()( ttm)cos( tAx)cos(2tA)cos(2tAt to oT TA AX三、描述简谐振动的特征量三、描述简谐振动的特征量-周期、振幅、相位周期、振幅、相位 （一）周期（一）周期T-物体完成一次全振动所需时间物体完成一次全振动所需时间: : 对弹簧振子：对弹簧振子：物体在单位时间内完成振动的次数。物体在单位时间内完成振动的次数。频率频率: :T1 角频率角频率: : 22TkmT 2 mk 21 mk 2频率为频率为Hz33.1/1T例如，心脏的跳动例如，心脏的跳动80次次/分分s 75. 0) s (8060T周期为周期为大象大象 253

8、0 马马 4050猪猪 6080 兔兔 100松鼠松鼠 380 鲸鲸 8动物的心跳（次动物的心跳（次/分）分） 昆虫翅膀振动的频率（昆虫翅膀振动的频率（Hz） 雌性蚊子雌性蚊子 355415 雄性蚊子雄性蚊子 455600 苍苍 蝇蝇 330 黄黄 蜂蜂 220 （二）（二） 振幅振幅A（三）（三） 相位相位(phase)(phase) t+ 决定振动物体的运动状态决定振动物体的运动状态谐振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。谐振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。A t to oT TAX相位相位 t+ =0 =0 x=Av=0a=-2A相位相位 t+ = /2 x=0v=-A a=0a

9、0 vv0 aOAXOAX)cos(tAx)sin(tAv)cos(2tAa cos00Axt 时时 sin0Av 00 xv tan2020)( vxA 则)cos( tAx问：问：1 1、确定振动方程三个特征量是什么？、确定振动方程三个特征量是什么？（四）（四）A和和 的确定的确定3 3、 ( (或或 . .T) )由什么决定？由什么决定？ ( (或或 . .T). ). A 和和 。2、A 和和 由什么决定？由什么决定？ 初始条件！初始条件！系统本身的性质决定！系统本身的性质决定！)sin(tAv第一个重点：如何判断物体是否作简谐振动？第一个重点：如何判断物体是否作简谐振动？1 1、运动

10、学分析：、运动学分析：2、动力学分析、动力学分析*：)cos(tAx)cos(vmtvv)cos(amtaa kxf Notice:坐标原点选在平衡位置。坐标原点选在平衡位置。3、运动的微分方程满足、运动的微分方程满足*： 0222xdtxd例例1 小球在半径很大的光滑凹球面底部来回滚动，小球在半径很大的光滑凹球面底部来回滚动， 试分析小球的运动是否是简谐振动。试分析小球的运动是否是简谐振动。22dtdRRat坐标原点选在坐标原点选在O点点(切线方向受力为零），切线方向受力为零），规定向右侧是坐标正方向。规定向右侧是坐标正方向。 sin很很小小22dtdmRmg 022 RgdtdRg 2令令

11、0222 dtd解：解：gRT22 tmamgsinmg O cos00Axt 时时 sin0Av 00 xv tan2020)( vxA 则)cos( tAx建立简谐振动方程就是确定建立简谐振动方程就是确定A, 和和 ，初相初相 有两个解，有两个解， 需根据需根据x0 或或 v0的正负来决定的正负来决定2、A 和和 由系统的初始条件（由系统的初始条件（x x0 0,v,v0 0) )决定：决定：1 1、 由系统本身的性质决定：由系统本身的性质决定：)sin( tAvmk*第二个重点问题：如何建立简谐振动方程第二个重点问题：如何建立简谐振动方程A与与 的确定的确定,例题例题2 如图：如图：m=

12、210-2kg, 平衡时弹簧的平衡时弹簧的形变为形变为 l = 9.8cm。由平衡位置将弹簧压。由平衡位置将弹簧压缩缩9.8cm, 物体由静止释放。物体由静止释放。（1）证明其振动是简谐振动；）证明其振动是简谐振动；（2）取开始振动时为计时零点，写出取开始振动时为计时零点，写出 振动方程；振动方程； （3）若取）若取x0= 0，v0 0为计时零点，写出为计时零点，写出振动方程。振动方程。解解 取平衡位置为坐标原点。向下为正。取平衡位置为坐标原点。向下为正。 弹簧的弹性系数为：弹簧的弹性系数为：k = mg / l物体在任意位移物体在任意位移 x x 时受力分析时受力分析kxlxkmgF )(-

13、物体作简谐振动！物体作简谐振动！XOmxlmgTsradlgmk/10098.08 .9 )cos( tAxk = mg / lA 和和 ？由初始条件由初始条件 t=0时：时：x0= 9.8cm, v0=0, 得得, 0)(00 xvarctgmvxA09802020.)( 由于：由于：x0= Acos = 0.098 0 ，振动方程为：振动方程为：x = 9.8 10-2cos( 10t+ ) mXmOl cos 0 x0=Acos =0 , v0= A sin 0 , x = 9.8 10-2cos( 10 t + 3 /2 ) m对同一谐振动对同一谐振动, 取不同的计时起点取不同的计时起

14、点, 不同，但不同，但 和和 A不不 变变 。x1 = 9.8 10-2cos( 10t+ ) m)cos( tAx)sin( tAvXmOl比较两个方程可得出什么结论？比较两个方程可得出什么结论？ （3）若取）若取x0= 0，v0 0为计时零点为计时零点, 写出振动方程。写出振动方程。 = /2 ,3 /2 cos =0 sin 0, 取取 = 3 /21 1）公式法：）公式法：2 2） 曲线法：曲线法：o oA- -AtxT由：由：)cos( tAxA、T、 已知已知A、T、 求方程求方程已知曲线已知曲线* *A A、T T、 曲线曲线已知已知 A、T、 第三个重点问题：简谐振动的描述：第

15、三个重点问题：简谐振动的描述：AAXXOM ( 0 )A初相M ( t )ttM ( t )tM ( t )tM ( t )M ( t )tM ( t )tM (T )T周期 TM ( t )tM ( t )tXOM ( 0 )初相M ( t )tA矢量端点在X 轴上的投影对应振子的位置坐标t 时刻的振动相位( t 旋转矢量A以匀角速逆时针转动循环往复x = A cos ( t 简谐振动方程旋转矢量端点 M 作匀速圆周运动振子的运动速度（与 X 轴同向为正）A其 速率AtAXAAXOtO 旋转矢量端点 M 的加速度为法向加速度，其大小为A振子的运动加速度（与 X 轴同向为正）At和任一时刻的

16、和 值，其正负号仅表示方向。同号时为加速异号时为减速 (1)弹簧振子(2)单摆(3)无阻尼电磁振荡(了解)四 简谐振动实例(2) 单摆角时摆球受力矩为则取摆幅很小mgldtdJM22根据转动定律lg令整理得0222dtd)cos(tmglT22解方程得振动周期为(3)无阻尼电磁振荡(了解) GLLcUCqUcdtdqI 22dtqdLdtdILL022CqdtqdL因为而整理得LC10222qdtqd其中令)cos(tqqm)sin(tqdtdqIm解得五 简谐振动的能量 振子运动速度AA简谐振动方程弹簧劲度振子质量振动角频率振动系统： 如 水平弹簧振子A系统动能系统动能系统势能系统势能AAA

17、系统总能量系统总能量均随时间而变且能量相互转换变到最大时变为零系统的机械能守恒。及A变为零变到最大时时间 能量1 1、两劲度系数分别为、两劲度系数分别为k k1 1和和k k2 2的轻弹的轻弹簧串联在一起，下面挂着质量为簧串联在一起，下面挂着质量为m m的的物体，构成一个弹簧谐振子，则系统物体，构成一个弹簧谐振子，则系统的振动周期的振动周期T=T=？k k1 1k k2 2m m【解解】串联串联并联并联1 212kkkkk12kkk121222 m(kk )mTkk k2 2、一简谐振动曲线如图示，求振动方、一简谐振动曲线如图示，求振动方程？程？4 42 2-4-4X(cmX(cm) )t(s

18、t(s) )1 10 0【解解】 xAcos( t)3 t52316 5463 xcos(t)2Ax 0A 2Ax 0A 摩擦阻力弹性力振动速度不太大时受：阻力系数摩擦阻力与 反向负号：以液体中的水平弹簧振子为例：弹性力振子 受合外力即令称为振动系统的固有角频率得称为阻尼系数若阻尼较弱，且时，上述微分方程的解为10-2 阻尼振动和取决于初始状态。为振动角频率，为阻尼振动的振幅，随时间的增大而指数衰减。越大，振幅衰减越快，且振动周期 越长。本图设周期阻尼振动（续2） 相对较大的阻尼振动，其振幅衰减较快，但只要满足，振子仍可出现往复运动的特征，仍属阻尼振动。若阻尼过大，以致，用此条件求解微分方程，

19、其结果表明（数学表达从略）振子不能作往复运动，而是从开始的最大位置缓慢地回到平衡位置。此情况称为过阻尼。若，振子从开始的最大位置较快地回到平衡位置，并处于往复运动的临界状态。此情况称为临界阻尼。临界阻尼过阻尼阻尼振动阻尼振动（续3）10-3 受迫振动 共振系统在周期性外力的持续作用下所作的等幅振动称为受迫振动受迫振动。周期性的外力称为驱动力驱动力。只受弹性力或准弹性力和粘滞阻力作用的振动系统，其振幅总是随时间衰减，振动不能持久。如果要使振动持久不衰，就必须由外界不断供给能量。共振共振 : 受迫振动的振幅出现极大值的现象。声、光、电、原子内部、工程技术声、光、电、原子内部、工程技术同时要注意避同

20、时要注意避免共振造成破坏。免共振造成破坏。幅 值角频率周期性外力（强迫力）弹性力示意运动方程及其解 任何非正弦型外力都可以看成正弦型外力的线性迭加。研究了振动系统对正弦型外力的响应，也就原则上解决了振动系统对任何外力的响应问题。下面我们仅考虑简谐强迫力 tFd cos0弹簧振子的运动方程为： tFxkxxmd cos0 令 mFfmkm0020 , ,2上式变为： tfxxxd cos 2020 ) cos() cos(0220 0tAteAxdt22222004)(ddfA2202 tandd其中 为待定常数，由初始条件决定.00 ,A此微分方程的通解为:开始振动比较复杂经过一段时间后，受迫

21、振动进入稳定振动状态。受迫振动的位移时间曲线重点讨论受迫振动稳定状态时的振幅重点讨论受迫振动稳定状态时的振幅受迫振动的振幅出现极大值的现象称为 共振。受迫振动 共振（续）22222004)(ddmfA较小较大求得 极大时的 为若强迫力的角频率 已定， 大则 小。 若阻尼系数 已定，当 等于或接近系统的固有角频率时， 获得极大值。令共振时的振幅值为共振时的强迫力频率称为共振频率共振演示实验共振演示实验236145 共振现象在实际中的应用共振现象在实际中的应用乐器、收音机乐器、收音机 单摆单摆1作垂直于纸面作垂直于纸面的简谐运动时，单摆的简谐运动时，单摆5将将作相同周期的简谐运动，作相同周期的简谐

22、运动，其它单摆基本不动其它单摆基本不动.小号发出的声波足以使酒杯破碎小号发出的声波足以使酒杯破碎随后在大风中因产随后在大风中因产生共振而断塌生共振而断塌 1940年美国华盛顿的普热海峡年美国华盛顿的普热海峡塔科曼大桥塔科曼大桥在大风中产生振动在大风中产生振动10-5 振动的合成与分解振动的合成与分解 简谐振动是最简单、最基本的振动，任何一个复杂的振动都可以看成若干个简谐振动的合成。 1. 方向、频率相同，初位相不同的两个简谐振动的合成(掌握)2. 方向相同，频率不同的两个简谐振动的合成 (掌握)3. 方向垂直、频率相同的两个简谐振动的合成（二维振动）(了解)4. 方向垂直、频率不同的两个简谐振

23、动的合成，利萨如图形(了解)5. 振动的分解、谐波分析(Fourier分析)(了解)一、方向、频率相同，初位相不同的两个简谐振动的一、方向、频率相同，初位相不同的两个简谐振动的合成合成设物体同时参与两个同方向、同频率的简谐振动，每个振动的位移与时间关系可表为 ) cos() cos(222111tAxtAx 利用振幅矢量法，由图不难看出，合运动仍是同频率的简谐振动，即 ) cos(21tAxxx2211221112212221coscossinsintan)cos(2AAAAAAAAA与计时起始时刻有关合成初相分振动初相差与计时起始时刻无关，但它对合成振幅属相长还是相消合成起决定作用 , 2

24、, 1 , 0 ,2 ) 1 (12kk则 21AAA , 2 , 1 , 0 ,) 12( )2(12kk|21AAA12 ) 3(为一般值 则 则 2121 |AAAAA合振动分振动；其中，合振幅例:n个同频率、同振动方向的简谐振动的合成已知taxcos1)cos(2tax)2cos(3tax)1(cosntaxnText in here分析及结果)cos(tax2sin2nRA2sin2Ra2sin2sinnaA)(21),(21COPnCOM21nCOMCOP)21cos(2sin2sinntnax根据旋转矢量合成应为根据等腰三角形关系有因此得Text in here讨论nanaA2s

25、in2sinlim0(1)各分振动初相位相同时00sinsinnkkaAnk2(2)各分振动初相位差 k 为不等于nk的整数(k为自然数)时设 ) cos() cos(22221111tAxtAx为简单起见，设 AAA2122cos22cos2)cos()cos(21212121221121ttAttAxxx若2121 , |2121 ,2有 2cos22cos22112121ttAx二、二、方向相同方向相同，频率不同频率不同的两个简谐振动的合成的两个简谐振动的合成 方向相同，频率不同的两个简谐振动的合成方向相同，频率不同的两个简谐振动的合成(续续)2cos22cos22112121ttAx此简谐振动的频率与原来两振动频率几乎相等 2121 ,2而振幅随时间的变化为 22cos22121tA由于振幅所涉及的是绝对值，故其变化周期由下式决定 T 2 21故振幅变化频率： | | 2 12121T| | 2 12121T即两频率之差。这一现象称为拍，v称为拍频，拍的振动曲线如图所示。当两振动的振幅不等，即 A1 A2 时，也有拍现象，此时合振幅仍有时大时小的变化，但不会达到零。 方向相同，频率不同的两个简谐振动的合成方向相同，频率不同的两个简谐振动的合成(续续)多个谐振动合成的图形第十章作业nP46 10-1 10-2 10-7 10-16 10-22 1