D平面方程实用教案

1、zyxo0Mn一、平面的点法式一、平面的点法式(fsh)(fsh)方程方程),(0000zyxM设一平面(pngmin)通过已知点且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM称式为平面的点法式(fsh)方程,求该平面的方程.,),(zyxM任取点),(000zzyyxx法向量.量, ),(CBAn nMM000nMMMM0则有 故的为平面称n机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共14页第一页，共15页。kji例例1.1.求过三点求过三点(sn din)(sn din),1M又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即1M2M3M解: 取该平面(p

2、ngmin) 的法向量为),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面(pngmin) 的方程. 利用点法式得平面 的方程346231nn3121MMMM机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共14页第二页，共15页。二、平面二、平面(pngmin)(pngmin)的一般方程的一般方程设有三元(sn yun)一次方程 以上(yshng)两式相减 , 得平面的点法式方程此方程称为平面的一般0DzCyBxA任取一组满足上述方程的数,000zyx则0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA显然方程与此点法式方程等价, )0(222CBA),(CBAn 的

3、平面, 因此方程的图形是法向量为 方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共14页第三页，共15页。特殊特殊(tsh)情形情形 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示(biosh) 通过(tnggu)原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平

4、行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,), 0(iCBn机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共14页第四页，共15页。例例2. 求通过求通过 x 轴和点轴和点( 4, 3, 1) 的平面的平面(pngmin)方程方程.解:因平面(pngmin)通过 x 轴 ,0 DA故设所求平面(pngmin)方程为0zCyB代入已知点) 1,3,4(得BC3化简,得所求平面方程03 zy机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共14页第五页，共15页。三、两平面三、两平面(pngmin)(pngmin)的夹的夹角角设平面(pngmin)1的法向量为 平面(pngmin)2的法向

5、量为则两平面夹角 的余弦为 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共14页第六页，共15页。2特别特别(tbi)有下有下列结论：列结论：21) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第7页/共14页第

6、七页，共15页。因此(ync)有例例4. 一平面一平面(pngmin)通过两点通过两点垂直于平面(pngmin): x + y + z = 0, 求其方程 .解: 设所求平面的法向量为,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC约去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和则所求平面故, ),(CBAn方程为 n21MMn且机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共14页第八页，共15页。外一点(y din),求),(0000zyxP0

7、DzCyBxA例例5. 设设222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA解:设平面(pngmin)法向量为),(1111zyxP在平面(pngmin)上取一点是平面到平面的距离d .0P,则P0 到平面的距离为01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (点到平面的距离公式)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共14页第九页，共15页。xyzo0M例例6.解解: : 设球心设球心(qixn)(qixn)为为求内切于平面(pngmin) x + y + z = 1 与三个坐标面所构成则它位于(wiy)第一

8、卦限,且2220001111zyx00331xx , 1000zyxRzyx000因此所求球面方程为000zyx633331, ),(0000zyxM四面体的球面方程.从而)(半径R2222)633()633(633)633(zyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共14页第十页，共15页。内容内容(nirn(nirng)g)小结小结1.平面基本(jbn)方程:一般(ybn)式点法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共14页第十一页，共15页。0212121CCBBA

9、A212121CCBBAA2.平面(pngmin)与平面(pngmin)之间的关系平面(pngmin)平面(pngmin)垂直:平行:夹角公式:2121cosnnnn 021nn021 nn, 0:22222DzCyBxA),(2222CBAn , 0:11111DzCyBxA机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(1111CBAn 第12页/共14页第十二页，共15页。)5,15,10(0) 1(5) 1(15) 1(10zyx0632zyx备用备用(biyng)题题求过点 且垂直于二平面(pngmin) 和 的平面(pngmin)方程.) 1 , 1 , 1 (7zyx051223zyx解: 已知二平面的法向量为取所求平面的法向量 则所求平面方程为化简得),1, 1, 1 (1n)12,2,3(2n21nnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共14页第十三页，共15页。谢谢您的观看(gunkn)！第14页/共14页第十四页，共15页。NoImage内容(nirng)总结。解: 取该平面(pngmin) 的法向量为。利用点法式得平面(pngmin) 的方程。以上两式相减 , 得平面(pngmin)的点法式方程。显然方程与此点法式方程等价,。