高数 第0章 预备知识.

1、北京工业大学北京工业大学高等数学教程高等数学教程第第0章章 预备知识预备知识0.1 两个常用符号两个常用符号全称量词全称量词： : “ ”表示表示 “任取任取 ”, 或或“任意给定任意给定”.“ ”表示表示 “存在存在 ”, “至少存在一个至少存在一个”.Any(每一个每一个)或或All(所有的所有的)的字头的字头 A 的倒写的倒写Exist(存在存在)的字头的字头 E 的倒写的倒写: 存在量词存在量词： ),(000 xxxxxUx0 x 0 x 0 x ,0 xxx数数集集0.2 邻域与去心邻域邻域与去心邻域记作记作,0邻邻域域的的去去心心的的点点 x0),(00 xxxxU点点 称为称为

2、邻域的中心邻域的中心,0 x 称为称为邻域的半径邻域的半径.).,(0 xU记作记作也称也称空心邻域空心邻域,0邻域邻域的的点点 x称为称为设设 是两个实数是两个实数, 且且 . 0 与与0 x0.3 一元函数一元函数0.3.1 一元函数与一元函数与集合集合设为设为D实数集实数集R的非空子集的非空子集, 如果对任意的如果对任意的 ,Dx 都存在唯一的都存在唯一的 与之对应与之对应, Ry 可用可用 表示表示,)(xfy 并称并称 x为为自变量自变量, y为为因变量因变量.则称则称y是是x的一元的一元函数函数,而而定义域定义域就是自变量的取值范围就是自变量的取值范围, 分别记为分别记为).(ra

3、n)(domff 与与因变量的取值范围因变量的取值范围, 值域值域就是就是或者简记为或者简记为 .RDff和和如果用集合的记号如果用集合的记号, )(,D| ),(xfyxyxff 则一元函数则一元函数 可表示为可表示为)(xfy 集合集合 f 是是 的子集的子集,2R这个子集在平面上的表示就是这个子集在平面上的表示就是函数函数 的图像的图像.)(xfy 集合论是现代数学的基础集合论是现代数学的基础, 函数也可以从集合函数也可以从集合设设 A, B是两个非空集合是两个非空集合, ,| ),(ByAxyxBA 为为A与与B的的直积直积, 或或笛卡尔积笛卡尔积,),(yx称为有序对称为有序对. 角

4、度进行定义角度进行定义. 称称如果如果 f 是集合是集合A 到到B的一个的一个二元关系二元关系,的任意子集都称为集合的任意子集都称为集合A 到集合到集合B的的BA 一个一个二元关系二元关系.并且并且 ,Ax 都存在唯一的都存在唯一的 ,By 使得使得 ,),(fyx 则称则称 f 是是A到到B的的 一个一个函数函数. 设设 是一元函数是一元函数,)(xfy 如果如果 ,Rfy 记之为记之为),(1yfx 都存在都存在,Dfx 唯一的唯一的使得使得 ),(xfy 称为称为 的的反函数反函数.)(xfy 以以 y 为自变量为自变量. )(1yfx 在初等数学中在初等数学中, 约定总是以约定总是以

5、x 作自变量作自变量,).(1xfy 所以才把所以才把 改写为改写为)(1yfx 需注意需注意: 一个函数与其反函数的自变量与因一个函数与其反函数的自变量与因变量是互换的变量是互换的. 函数函数 以以 x 为自变量为自变量, )(xfy 而其反函数而其反函数有界有界无界无界, 0 M若若,)(上上有有界界在在则则称称Dxf0.3.2 有界函数有界函数 .)(,上上无无界界在在称称否否则则Dxf.)(上上有有定定义义是是设设DxfMxf )(,Dx 使得使得yxoD)(xfy MM )(xfy MM yxoD0 x;)(上上的的有有界界函函数数是是也也称称Dxf有有六个常见的有界函数六个常见的有

6、界函数:, 1|sin| x,|arccos| x, 1|cos| x),( x,2|arcsin| x,2|arctan| x,|cotarc| x),( x 1 , 1 x 0, 10, 12)(2xxxxxf 在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不对应法则用不同的式子来表示的函数同的式子来表示的函数, 称为称为分段函数分段函数.12 xy12 xy0.3.3 分段函数与分段函数与Dirichlet函数函数 ., 0, 1)(是是无无理理数数是是有有理理数数xxxD例例2 狄里克莱函数狄里克莱函数例例1例例3 符号函数符号函数 0, 10, 00, 1sgnxxx

7、xy有有,Rx .sgn xxx xyo11 例例4 取整函数取整函数 表示不超过表示不超过x 的最大整数的最大整数.如如 5 . 2,n Znnxn ,1当当xy 2 2 . 55 5 . 2 3 阶梯曲线阶梯曲线 定义域定义域,)(domRf 值域值域.)(ranZf xyo 3 2 12 3 22 1 1 4 1xy 1. 幂函数幂函数)0,( 是是常常数数xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 0.4 基本初等函数基本初等函数 基本初等函数基本初等函数可分为五大类可分为五大类, 包括幂函数包括幂函数, 指数函数指数函数, 对数函数对数函数, 三角函数和反三角函数三角函数

8、和反三角函数. 幂函数的定义域幂函数的定义域与与 的取值有关的取值有关. xay xay 1)1( a)1, 0( aaayx)1 , 0( .718. 2, eeyx特别地特别地，2. 指数函数指数函数 )1, 0(log aaxyaxyalog xya1log )1( a)0 , 1( 称为称为自然对数自然对数.特别地特别地，xyelog xyln 记为记为3. 对数函数对数函数 xysin 定义域为定义域为),( 值域为值域为.1 , 1 11 xyO 2 2 23 2 23 2正弦函数正弦函数xysin 4. 三角函数三角函数 该函数是奇函数该函数是奇函数.xycos 定义域为定义域为

9、),( 值域为值域为.1 , 1 11 xyO 2 2 23 2 23 25 余弦函数余弦函数xycos 该函数是偶函数该函数是偶函数.xytan xycot 定义域定义域).,(值域值域Znnx ,2)12( 定义域定义域).,(值域值域Znnx , xyO2 2 23 23 xyO 22 2 23 正切函数正切函数xxxycossintan 余切函数余切函数xxxysincoscot 正割函数正割函数xxycos1sec 常用三角函数公式常用三角函数公式:xxysin1csc 余割函数余割函数1cossin)1(22 xxxx22sec1tan)2( xx22csc1cot)3( xxx2

10、2sincos2cos)5( 22cos1sin)6(2xx 22cos1cos)7(2xx xxxcossin22sin)4( xx22sin211cos2 xyarcsin xysinarc 定义域定义域值域值域,1 , 1 .2,2 反正弦函数反正弦函数xyO2 2 11 5. 反三角函数反三角函数 该函数是奇函数该函数是奇函数.xyarccos 定义域定义域值域值域,1 , 1 ., 0 反余弦函数反余弦函数xycosarc xyO 11 该函数该函数非奇非偶非奇非偶.xyarctan 定义域定义域值域值域),(.2,2 反正切函数反正切函数xytanarc xyO2 2 反余切函数反

11、余切函数xyarccot xyO2 xycotarc 定义域定义域值域值域),()., 0( ,1,2xuuy .12xy 0.5 初等函数初等函数而函数而函数定义定义 设函数设函数 的定义域为的定义域为)(ufy ),(dom f则称函数则称函数 为为x 的的复合函数复合函数.)(xgfy x 是自变量是自变量, u 称为中间变量称为中间变量, y 是因变量是因变量.注意注意: 复合函数可由两个以上的函数复合而成复合函数可由两个以上的函数复合而成. .)(xgu 的值域为的值域为),(ran g若若,)(ran)(dom gf 1. 复合函数复合函数设设种形式多层复合得到种形式多层复合得到.

12、基本初等函数只有基本初等函数只有11种形式种形式,复合函数的复合函数的11种形式如下：种形式如下：简单的复合函数简单的复合函数也只有也只有11种形式种形式, 更复杂的复合函数则可以由这更复杂的复合函数则可以由这11,log,)()()(xfaxfaxf , )(cot, )(arctanxfarcxf, )(cot, )(tanxfxf)(arccos, )(arcsinxfxf)(cos, )(sinxfxf其中其中 .)(xxf 形如形如 的函数称为的函数称为幂指函数幂指函数, )()(xgxf也是复合函数也是复合函数, 幂指函数幂指函数.)()(ln)()(xfxgxgexf 因因,2c

13、otxy ,uy ,cotvu .2xv 复合函数的分解复合函数的分解(复合函数拆成几个简单函数复合函数拆成几个简单函数), 由函数的最外层运算一层层剥到最由函数的最外层运算一层层剥到最里边里边, 切不可漏层切不可漏层.剥皮法剥皮法 2. 初等函数初等函数:由常数和基本初等函数经过有限次由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数, 称为称为初等函数初等函数.例如例如0.6 函数的表示函数的表示 数学中表示函数的传统方式包括显函数数学中表示函数的传统方式包括显函数(解析解析表达式表达式)、

14、由方程确定的隐函数、参数方程和极坐、由方程确定的隐函数、参数方程和极坐标方程标方程. 称为称为显函数显函数. )(xfy 如果如果 ),( 为为区区间间IIx 都存在唯一的都存在唯一的 y,0),( yxF满足方程满足方程 则称则称 y是由方程是由方程 确定的确定的 x的的隐函数隐函数.0),( yxF1. 参数方程参数方程通常很难或无法写出隐函数的显式表达式通常很难或无法写出隐函数的显式表达式. 例如例如,. 01 yxexy )()(tyytxx称为称为参数方程参数方程, 其中其中t 称为称为参数参数.隐函数的隐函数的方程也可以用参数方程方程也可以用参数方程表示表示.)20( ,sinco

15、s ttytx例如例如, 方程方程 的的参数方程为参数方程为:122 yxa aaa Oxy解解则星形线的参数方程为则星形线的参数方程为)20( ,sincos33 ttaytax例例5 求星形线求星形线 的参数方程的参数方程.)0(323232 aayx令令 taytax33sin,cos 2. 极坐标系与极坐标方程极坐标系与极坐标方程 (1) 极坐标系极坐标系在空间取定一点在空间取定一点O,称为称为极轴极轴,r O称为称为极点极点,这样就组成了这样就组成了极坐标系极坐标系.),( rP 以以O为起点作为起点作射线射线, ),0( rOPr的的距距离离到到极极点点是是点点其其中中 于是平面上

16、的任一点于是平面上的任一点P 都可用都可用一对有序数组一对有序数组 确定：确定： ),( rr).20( 与极轴正向的夹角与极轴正向的夹角是是OP直角坐标与极坐标有如下的变换关系式直角坐标与极坐标有如下的变换关系式 )20,0(,sincos rryrx),( 为为常常数数aar (2) 平面曲线的极坐标方程平面曲线的极坐标方程某些平面曲线用极坐标方程表示更为简单某些平面曲线用极坐标方程表示更为简单. 例如例如,表示以原点为圆心表示以原点为圆心,以以a 为半径的圆为半径的圆.),( 为为常常数数 表示以原点为起点表示以原点为起点,与与x 轴正向轴正向夹角为夹角为 的一条射线的一条射线. sin

17、22rr 即即例例6 圆方程圆方程 换成极坐标形式是换成极坐标形式是:yyx222 )0( ,sin2 r极坐标方程极坐标方程 化成参数方程为化成参数方程为)( rr sin)(cos)(ryrx)0(),cos1( aar 例例 讨论方曲线讨论方曲线 的形状，的形状，并将极坐标方程转化为直角坐标系方程。并将极坐标方程转化为直角坐标系方程。)cos1( arxyOa2解：解：方程两边同乘以方程两边同乘以r得到：得到：再由再由)20,0(,sincos rryrx可知，曲线的直角坐标方程为：可知，曲线的直角坐标方程为：0.7 关于命题关于命题 关于命题的有关问题关于命题的有关问题, 特别介绍命题

18、的否定形式特别介绍命题的否定形式. 读作非读作非A. 数学的讨论离不开命题数学的讨论离不开命题.本节我们简单介绍一些本节我们简单介绍一些我们用我们用A 表示一个命题，表示一个命题， 命题命题A 的否定记为的否定记为,A 如果命题如果命题A 成立时命题成立时命题B 一定成立题一定成立题, 则称由命题则称由命题A可以推出命题可以推出命题 B, 记作记作,”“BA表示由表示由A 可推出可推出B. 称称B为为A的的必要条件必要条件. 那么那么A 也一定不成立也一定不成立， 此时称此时称A为为B的的充分条件充分条件,如果如果 A B 并且并且B 不成立不成立，即非即非B可以推出非可以推出非 A. 在数学中在数学中, 我们通常只对某些概念本身而不我们通常只对某些概念本身而不对其否定进行描述对其否定进行描述, 其否定命题可以按照确定的程式得到其否定命题可以按照确定的程式得到. 这是因为这是因为, 当一个命题给定后当一个命题给定后命题命题 表示表示:成立”成立”有有“