2018届高三数学一轮复习：选修4-5第2节课时分层训练7

1、课时分层训练(七十)不等式的证明1 .已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x2|的最小值为a.求a的值；(2)若p, q, r是正实数，且满足p+q+r = a,求证：p2+q2+r2>3.解(1)因为 |x+ 1|+X-2|>|(x+1)-(x- 2)| = 3, 当且仅当一1&x02时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3,即a = 3.4分(2)证明：法一：由(1)知p+q+r=3,且p, q, r大于0,(p+ q+ r)2 = 9.又易知 p2+q2+r2>pq+pr+qr.8 分故 9= (p+ q+ r)2= p2 + q2+ r2+ 2pq +

2、 2pr+2qr<3(p2+ q2+r2),因此，p2+q2+r2>3.10分法二：由(1)知p+q+r = 3,又因为p, q, r是正实数，所以(p2 + q2+/)(12+ 12+ 12)>(px 1 + qx 1+ rx 1)2 = (p+ q+ r)2=9, 故 p2 + q2+r2>3.10分2 . (2015 湖南高考)设 a>0, b>0,且 a+b=；+b.证明：(1)a+b>2；a2 + a<2与b2+b<2不可能同时成立.1 1 a+b-八证明由 a+bMa+bM-ab-，a>0, b>0,得 ab= 1.

3、2分(1)由基本不等式及 ab=1,有a+b>2V0b=2,即a+b>2.5分(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立，则由a2+a<2及a>0,得0<a<1; 同理，0<b<1,从而ab<1,这与ab= 1矛盾.故a2 + a<2与b2+b<2不可能同时成立.10分3. (2014全国卷 I )若2>0, b>0,且；+(=.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a, b,使得2a+3b=6?并说明理由.解(1)由牺 =a+ b>=b,得ab>2,当且仅当a=b=也时等号成立.2 分

4、故a3+b3>2洞b3>4/，当且仅当a=b=J2时等号成立.所以a3+b3的最小值为4m5分(2)由(1)知，2a+3b>2Vab>4V3.由于4V3>6,从而不存在a, b,使得2a+3b=6.10分4. (2017石家庄模拟)已知函数f(x) = |x|+|x 1|.(1)若f(x)引m1|恒成立，求实数m的最大值M;(2)在(1)成立的条件下，正实数a, b满足a2+b2=M,证明：a+b> 2ab.【导学号：01772449】解(1)f(x)=|x|+ X-1|>X-(x- 1)|=1,当且仅当0&x&1时取等号，.f(x)=

5、|x|+|x1|的最小值为 1.3 分要使f(x)河m1|恒成立,只需|m-1|<1, 0<m<2,则m的最大值M = 2.5分(2)证明：由(1)知，a2+b2=2,由 a2+b2>2ab,知 ab01.又 a+b>2/ab,则(a+b)gB>2ab.8 分由知，ab01.故 a+b> 2ab.10 分5.已知函数 f(x)=k|x3|, kC R,且 f(x+3户0 的解集为1,1.(1)求k的值；_一 一，1 111.(2)右 a, b, cth正头数，且 q+ 2kb+ 3kc=求证：a + 2b+ 3c> 9.【导学号：01772450

6、】解(1)因为 f(x) = k|x 3|,所以f(x+ 3)>0等价于|x|&k, 2分由|x|wk有解，得k>0,且解集为k, k.因为f(x+ 3)上0的解集为-1,1.因止匕k= 1.5分一 .111(2)证明：由(1)知:+五+于=1,因为a, b, c为正实数.a 2b 3C111所以 a+2b+3c=(a +2b+3c) (+元+ 金 jc a 2b a 3c 2bl 3c=3+ 2b + 7+ 3c+7+ 3c+2b>3+2、蜃b + 2、信3c +2、/lb* = 9.8 分 2b a 3c a - 3c 2 b当且仅当a = 2b = 3c时等号成

7、立.因止匕a+2b+309.10分6. (2017福州质检)已知函数f(x)=|x+1|.(1)求不等式f(x)<|2x+1|-1的解集M;(2)设 a, bCM,证明：f(ab)>f(a)-f(-b).解(1)当x01时，原不等式可化为一x-1<-2x-2,解得x< 1;2分-1 ,当一1<x< 2时，原不等式可化为 x+1<-2x- 2,解得x< 1,此时原不等式无解；_ ,1一当x>一2时，原不等式可化为x+ 1<2x,解得x>1.综上,M = x|x< 1 或 x> 1.5 分(2)证明:因为 f(a)-f(-b)= |a+ 1|-1-b+ 1|< |a+1-(- b+1)|=|a+b|, 6分所以，要证 f(ab)>f(a) f( b),只需证 |ab+ 1|>|a+ b|,即证 |ab+1|2 >|a+b|2,即证 a2b2+2ab+ 1 >a2