数学分析课件：3-3 导数的运算法则

1、3 导数的运算法则 一、求导的四则运算定理3.1并且并且也可导也可导们的和、差、积、商们的和、差、积、商则它则它可导可导在区间在区间如果函数如果函数,)(),(Ixvxu).0)()()()()()()()( )3(2 xvxvxvxuxvxuxvxu);()()()( )()( )2(xvxuxvxuxvxu );()( )()( )1(xvxuxvxu ),0)( ,)()()( xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 证 仅证仅证(3).(3).hxv

2、hxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处可导处可导在在xxf推广：四则运算性质可推广到有限项; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf )()()()()()( )()3(21211xfxfxfxfxfxfxfnnnii ; )()(11 ninikkkixfxf例1.sin223的导数的导数求求xxxy 解23xy x4 例2.ln2sin的导数的导数求求xxy 解xxxylncos

3、sin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 例3.tan的导数的导数求求xy 解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得例4.sec的导数的导数求求xy 解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得二、复合函数的求导法则定理3.2 链

4、式法则: 对中间变量的导数乘以中间变量对 自变量的导数.)(,)(ufvvu而函数而函数可导可导在点在点设函数设函数 在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点)(,)(xfyvu 且且可导可导,v).()(vufdvdududydvdy 证,)(可可导导在在点点由由uufy )(lim0ufuyu )0lim()(0 uufuy故故uuufy )(则则vyv 0lim)(lim00vuvuufv vuvuufvvv 0000limlimlim)( ).()(00 xuf 0, 0 uv时时不不妨妨设设可推广到有限次复合，例如),(),(),(xvvuufy 设设的导数为的导数为则复合函数则

5、复合函数)(xfy 例5.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot .dxdvdvdududydxdy 例6.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例7.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy 解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a例8.)(sin的导数的导数求函数求函数nnnxfy 解)(sin)(sin1nnnnnxf

6、xnfy )(sin)(sin1nnnxxn 1cos nnnxx )(sincos113nnnnnxfxxn ).(sin)(sin)(sin1nnnnnxxfx 三、反函数的导数定理3.3存在并且可导，满足存在并且可导，满足则它的反函数则它的反函数)(1yfx .)( 1)(1xyf ,0)( )( xfIxf内严格单调，且内严格单调，且区间区间设设yxyyfyyfyfyy 01101lim)()(lim)(证, 0, 0 xy时有时有由严格单调，由严格单调，.)( 11lim0 xfxyy 上式上式例9.arcsin的导数的导数求函数求函数xy 解,)2,2(sin内单调、可导内单调、可

7、导在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且内有内有在在)1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc 例10.log的导数的导数求函数求函数xya , 0ln)( aaayy且且,), 0(内有内有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解,),(内单调、可导内单调、可导在在 yyIax 四、小结axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.常数和基本初等函数的导数常数和基本初等函数的导数xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(