《数字信号处理原理与实现（第3版）》全套教学课件

全套可编辑PPT课件2绪论1.数字信号处理的概念3（1）数字信号：用数字序列表示的信号。（2）数字信号处理：通过计算机或专用处理设备，用数值计算等数字的方式对数字序列进行各种处理，将信号变换成符合需要的某种形式。数字滤波：限制数字信号的频带或滤除噪声和干扰，以提取和增强信号的有用分量。频谱分析：对信号进行频谱分析或功率谱分析，了解信号的频谱组成，以对信号进行识别。涵盖范畴：滤波、变换、增强、压缩、估计和识别。涉及知识：微积分、概率统计、随机过程、高等代数、数值分析、复变函数和各种变换。2.数字信号处理的特点4（1）高精度：17位字长，10-6的精度，结合浮点运算。（2）高稳定性：使用超大规模集成的数字信号处理芯片（DSP芯片）。只有两种0/1两种状态，其抗干扰能力优于模拟信号。（3）灵活性好：参数可调：系统性能取决于系统参数，改变存储器中存放的参数，可得到不同的系统。而模拟系统要改变性能的话，只有更换元器件。时分复用：一套计算设备同时处理多路相互独立的信号。（4）易于大规模集成：数字部件由逻辑和记忆元件构成，具有高度规范性。（5）实现模拟系统无法完成的功能：信号的任意存取、严格的线性相位特性、解卷积和多维滤波等。（6）不足：速度还不能达到处理高频信号，如射频信号的要求。3.系统的基本组成与实现5（1）组成前置预滤波器：奈奎斯特（Nyquist）采样定理：在采样频率fs有限的情况下，只有当输入模拟信号的最高频率fh不大于fs/2时，采样信号的频谱才不会发生混叠。前置预滤波器的作用：使输入模拟信号的最高频率限制在一定范围。A/D变换器：对输入的模拟信号进行抽样、量化和编码，将模拟信号变成为

在时间上和幅值上均量化离散的信号，即数字信号。3.系统的基本组成与实现6数字信号处理器：功能：承担数字信号的各种处理工作。形式：通用计算机、各种数字硬件或软硬件构成的专用处理器、某个处理软件或软件包。D/A变换器：将数字信号变成模拟信号。模拟滤波器滤：滤除不需要的高频分量，输出所需的模拟信号。4.数字信号处理的实现方法7（1）分类：软件实现、硬件实现和软硬件相结合的实现方法。（2）软件实现方法：按照信号处理的原理和算法，自行编写程序或者采用现有程序在通用计算机上实现。特点：灵活、运算速度较慢。（3）硬件实现方法：按照具体的要求和算法，设计硬件结构图，用乘法器、加法器、延时器、存储器、控制器以及输入输出接口部件实现的一种方法。特点：运算速度快、灵活不够。（4）软硬件相结合：单片机、通用DSP、专用DSP、各种嵌入式(FPGA、ARM)等。5.数字信号处理的应用8（1）语音处理：语音信号分析、语音增强、语音合成、语音编码、语音识别和语音信箱等。5.数字信号处理的应用9（2）图形/图像处理：静止和活动图像的恢复和增强、去噪、数据压缩、和图像识别等，还应用于三维图像变换、动画、电子出版和电子地图等。图像分割实例5.数字信号处理的应用10（3）现代通信：高速调制解调、编/译码、自适应均衡、多路复用等。传真、数字交换、移动电话、数字基站、电视会议、保密通信和卫星通信等通信领域。网络管理/服务和IP电话、软件无线电。（4）数字电视：应用于数字电视系统中的视频压缩和音频压缩。（5）军事与尖端科技：雷达和声纳信号处理、雷达成像、自适应波束合成、阵列天线信号处理、导弹制导、全球定位GPS、航天飞船和侦察卫星等。（6）生物医学工程：心脑电图、超声波、CT扫描、核磁共振和胎儿心音的自适应检测等。（7）其它领域：地球物理学、音乐制作、消费电子、仪器仪表和自动控制与监测等。13信号的采样1.数字信号的概念14（1）数字信号的定义：时间上离散、幅度上被量化的信号。（2）数字信号的生成过程：采样：在时域对连续信号进行离散化的过程。得到采样或抽样信号，也称时域离散信号。量化：对时域离散信号的幅度进行有限位量化，得到数字信号。（3）以后对时域离散信号和数字信号不加区分。2.连续时间信号的采样15（1）采样器/取样器：定义：对连续时间信号进行周期采样的器件。可以看成是一个每隔

秒闭合一次的电子开关S。示意图：

图中

表示模拟信号，

或

表示采样信号，

为采样周期。2.连续时间信号的采样16（2）理想采样：定义：理想情况下，每一采样周期内开关闭合时间

。示意图：

(a)实际采样(b)理想采样2.连续时间信号的采样17理想采样信号的数学描述：

时，采样脉冲序列

变成冲激函数序列理想输出3.采样定理18（1）问题提出：模拟信号经采样变为离散时间信号后，是否会失掉一些信息？信号的频谱会发生怎样的变化？不丢失信息应满足什么条件？（2）周期冲激函数序列

的傅里叶变换：第一步：表示为傅里叶级数第二步：求傅里叶系数3.采样定理19第三步：的傅里叶变换（3）理想采样信号

的频谱结论：采样信号的频谱

是模拟信号频谱

的周期延拓，周期为采样角频率

。3.采样定理20（4）奈奎斯特（Nyquist）采样（抽样）定理分析

时没有混叠，时发生混叠。

3.采样定理21结论：在理想采样中，为了使平移后的频谱不产生“混叠”失真，应要求采样频率足够高。在信号

的频带受限的情况下，要使采样后能够不失真地还原出原信号，则采样频率应大于或等于信号最高频率的两倍，即这就是著名的奈奎斯特（Nyquist）采样（抽样）定理。折叠频率：采样频率的一半，即

称为折叠频率。奈奎斯特频率：等于信号最高频率两倍的采样频率（即

）24信号的恢复

1.问题提出25问题：被采样后的模拟信号是否可以恢复？如能恢复,怎样恢复？时没有混叠时发生混叠分析：回顾奈奎斯特定理例子

1.问题提出26结论：信号恢复的判据：如果被采样信号的最大频率，则可以恢复出原始模拟信号。信号恢复的方法：让采样信号通过一个截止频率为

的理想低通滤波器。

2.恢复过程27（1）信号恢复的公式（2）求解思路：因为频域乘积，等同于时域卷积。因此可以先求出低通滤波器的时域函数，与采样序列卷积，即为原模拟信号。（3）求解步骤：

第一步：求

2.恢复过程28第二步：卷积内插函数

2.恢复过程29（4）结果分析：内插函数性质：内插函数在

的采样点上的值为1，在其余采样点上的值均为零，在采样点之间的值不为零。

2.恢复过程30基于内插函数的信号回复结果分析：被恢复的信号

在采样点的值恰好等于原来连续信号在采样时刻

的。采样点之间的部分由各加权内插函数波形的叠加而成。采样内插公式表明了只要采样频率高于信号最高频率的两倍，整个连续信号就可以用它的采样值来代表，采样信号通过理想低通滤波器之后，可以唯一恢复出原来信号。

33序列的概念1.序列的表示形式34Analog-连续T-采样间隔n-序列号序列可以用

来表示：

也可表示成：

也可用图形表示：

2.典型序列35（1）单位采样序列仅在n=0处为1在

处都为0单位冲激函数对比2.典型序列36（2）单位阶跃序列处为1处为0与单位采样序列关系：2.典型序列37（3）矩形序列与单位采样序列、阶跃序列关系：在矩形框外为0在矩形框内为12.典型序列38（4）实指教序列当

，

时，为实指数因果序列：,收敛2.典型序列39（5）正弦序列数字频率与模拟域频率关系：数字频率初始相位振幅采样2.典型序列40正弦序列的周期性判定：为整数时，,周期假定序列有周期性，周期为N，则满足为有理数时，即

，则，为无理数时，正弦序列非周期例：2.典型序列41（6）复指数序列复指数序列在频率域具有周期性：数字频率可变振幅周期为：信号的运算和表示1.序列相加45

指两个不同序列，在同一时刻

，对幅度进行叠加，如

2.序列相乘46

指两个不同序列，在同一时刻

，作幅度乘法运算，如

3.数乘运算47指以一常数与序列相乘，如

，

可以是复数也可以是实数。当

为实数时，数乘运算

将使序列

幅度放大或缩小

倍。4.差分运算48差分运算是指同一序列中相邻序号的两个序列幅度之差。前向差分后向差分关系应用举例5.累加运算49当前时刻

和

以前所有值的总和例：某大学某班共20人，年龄统计如右图：对应年龄分布（累加运算）如右图：6.序列位移50例：7.序列的反褶51又称序列的转置或倒置规则：用

代换

中的独立变量

，即已知，求

例：8.序列的重排52对序列进行压缩或延伸等重新排列。序列的压缩（抽取）：即每M个输入值取一个值序列的延伸（插值）：即在原序列两相邻值之间插入（M-1）个零值原序列9.序列的卷积和53分为四步：

翻褶、移位、

相乘、相加定义：卷积和与两序列

的先后次序无关10.序列相关运算54与卷积的关系定义：自相关偶对称当

时，自相关即为序列的能量。11.序列的能量55定义：序列各抽样值的平方和12.用单位采样序列来表示任意序列56序列可以表示为：序列与单位采样序列的卷积移位序列可以表示为：序列与单位采样序列的移位卷积例：线性非移变系统1.离散时间系统60什么是离散时间系统？将输入序列变换成需要的输出序列的一种系统。输入序列变换输出序列2.线性系统61什么是线性系统？满足叠加原理的系统称为线性系统。包含可加性和齐次性两个性质3.非移变系统62什么是非移变系统？若系统的响应与输入信号施加于系统的时刻无关，则称该系统为非移变（或非时变）系统。解释：如满足则为非移变系统。3.非移变系统63非移变系统的判定技巧？序列的重排（无论抽取还是插值）都是非移变变换解释：内容都变了，谈不上移变。如果已知

，则相当于用替代中所有的

相当于用替代中所有的。即可求得

和，进而进行比较。4.单位采样响应与卷积和64单位采样响应：单位采样响应又称单位冲激响应，它是指输入为单位冲激序列时系统的输出。

基于单位采样响应线性非移变系统输出：已知：求：4.单位采样响应与卷积和65已经知道任一序列

可以写成

的移位加权和：系统输出：结论：线性非移变系统的输出=系统输入与系统单位冲击响应的卷积5.线性非移变系统的性质661）交换律结论：输入

和单位冲激响应

互换位置后，输出

保持不变。5.线性非移变系统的性质672）结合律5.线性非移变系统的性质683）分配率5.线性非移变系统的性质69例：已知两线性移不变系统级联，其单位采样响应为

当输入

时，求输出。[解：系统的因果稳定性1.稳定系统73什么是稳定系统？稳定系统是指对于每个有界输入，都产生有界输出的系统，即所谓BoundedInputBoundedOutput（BIBO）系统。稳定系统的充要条件证明：（1）充分性1.稳定系统74（2）必要性：用反证法假定系统稳定，但引入一个输入时的输出结论：

时刻的输出为无界，这不符合稳定的条件，因而假设不成立，则必要性得证。解:对于系统（1），可任选一个有界输入函数，如例:试判断下列两个系统的稳定性。（1）对于系统（2），要证明它的稳定性，就要考虑所有可能的有界输入下都产生有界输出；设1.稳定系统75（2），得，这时显然是无界的，因此系统（1）是不稳定的。，则

，所以系统（2）是稳定的。2.因果系统76什么是因果系统？因果系统是指输出的变化不领先于输入的变化的系统。某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前的输入：因果系统的充要条件证明：（1）充分性为02.因果系统77只和时的值有关因果（证毕）（2）必要性：用反证法假定系统因果，但至少有一项不为0

将至少和时的一个输入值有关，这不符合因果性条件，所以假设不成立。（证毕）2.因果系统78因果性的讨论非因果系统在理论上是存在的:---理想低通滤波器和理想微分器等---平滑滤波技术：语音、气象数据处理保存下来，可用以后的数据对前几年的状态进行平滑。---图像处理中，自变量已不是时间，此时因果性往往不是根本性的限制。因果序列：

试讨论其因果性和稳定性。解:（1）讨论因果性：因为在例:已知一个线性非移变系统的单位采样响应为

2.因果系统79时，，故该系统为非因果系统。所以时该系统稳定，时该系统不稳定。（2）讨论稳定性：因为线性常系数差分方程1.连续时间系统与离散时间系统83

LTI(线性移不变)连续时间系统输入序列变换输出序列输入函数变换输出函数

LTI(线性移不变)离散时间系统微分方程差分方程2.线性常系数差分方程84形式：或常系数的含义：和均为常数,和决定系统的特征。若系数中含有自变量n，则称为变系数差分方程。线性的含义：

方程中各

和各

项都只有一次幂，且没有相互交叉项。差分方程的阶数：

方程项中的最大与最小取值之差确定的。3.线性常系数差分方程的求解85经典解法。类似于连续时间系统中求解微分方程的方法，它包括求齐次解与特解，再由边界条件确定待定系数。递推解法。递推解法又称迭代法，比较简单，适合用计算机求解，为数值解。卷积和计算法。由差分方程求出系统的单位采样响应，再与已知的输入序列进行卷积运算，得到系统的输出，即零状态响应。变换域方法。与连续时间系统的拉普拉斯变换法类似，是将差分方程变换到Z域进行求解。4.基于差分方程的滤波器系统设计86例：2阶IIR系统4.基于差分方程的滤波器系统设计87例：3阶FIR系统解：该系统差分方程是一阶差分方程，需要一个初始条件。（1）设初始条件为例1：设系统由下列线性常系数差分方程5.递推法求解差分方程-举例88描述，若输入序列,试求输出序列，此时输出序列即为系统的单位采样响应，必有

还可得

依次迭代求得

5.递推法求解差分方程-举例89

故系统的单位采样响应为5.递推法求解差分方程-举例90（2）设初始条件，此时系统的初始状态不为零，求得

则系统的输出序列为结论：对于同一个差分方程和同一个输入信号，因为其初始条件不同，得到的输出信号是不相同的。93离散时间信号与系统的频域分析3.1序列的傅立叶变换941、推导序列的傅里叶变换

采样信号的傅里叶变换：周期谱3.1序列的傅立叶变换95周期函数的傅立叶展开式此式即为序列x(n)的傅立叶变换傅立叶级数的系数令此式即为傅立叶逆变换

令3.1序列的傅立叶变换962、序列傅里叶变换的两点说明

3.1序列的傅立叶变换97

3.1序列的傅立叶变换984、举例计算下列序列的傅里叶变换3.1序列的傅立叶变换99此式重要！

102离散时间信号与系统的频域分析3.2序列的傅立叶变换的性质(1)1031、线性性2、周期性3、时移与频移4、时域卷积定理5、频域卷积定理6、帕塞瓦尔定理7、对称性3.2序列的傅立叶变换的性质(1)1041、线性性若：则有，3.2序列的傅立叶变换的性质(1)1052、周期性

3.2序列的傅立叶变换的性质(1)1063、时移与频移若则时移性与频移性分别对应为

3.2序列的傅立叶变换的性质(1)107验证时移性由此可见，时移不会改变各频率分量对应的能量分布。

3.2序列的傅立叶变换的性质(1)108

相位发生了相应变化3.2序列的傅立叶变换的性质(1)109109验证频移性非对称！3.2序列的傅立叶变换的性质(1)110

3.2序列的傅立叶变换的性质(1)1114、时域卷积定理5、频域卷积定理数据截断进行加窗处理3.2序列的傅立叶变换的性质(1)1126、帕塞瓦尔定理若：则有：此式表明了序列能量时域和频域的一致性115离散时间信号与系统的频域分析3.2序列的傅立叶变换的性质(2)1161、线性性2、周期性3、时移与频移4、时域卷积定理5、频域卷积定理6、帕塞瓦尔定理7、对称性3.2序列的傅立叶变换的性质(2)117共轭对称序列定义为：（1）定义共轭反对称序列定义为：如果一个实序具有共轭对称性，则该序列为偶对称序列如果一个实序列具有共轭反对称性，则该序列为奇对称序列这里上标*表示共轭。7、对称性3.2序列的傅立叶变换的性质(2)118（2）序列,频域对称分解定理

i)任何一个序列x(n)总能够表示为一个共轭对称序列与一个共轭反对称序列之和，即：

其中

3.2序列的傅立叶变换的性质(2)119

其中3.2序列的傅立叶变换的性质(2)120

其中3.2序列的傅立叶变换的性质(2)121

3.2序列的傅立叶变换的性质(2)122ii)频域函数的共轭对称分解：

其中

其中3.2序列的傅立叶变换的性质(2)123iii）序列傅里叶变换的共轭对称性质设：实序列的傅里叶变换具有共轭对称性

共轭对称序列的傅里叶变换为实函数纯虚序列的傅里叶变换具有共轭反对称性共轭反对称序列的傅里叶变换为纯虚函数

126离散时间信号与系统的频域分析3.3序列的Z变换1273.3.1Z变换的定义及收敛域3.3.2几种序列的Z变换及其收敛域3.3.1Z变换的定义及收敛域1281、z变换的定义序列x(n)的z变换定义为：2、z变换的收敛域对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。

级数收敛的充要条件是满足绝对可和3.3.1Z变换的定义及收敛域1293、z变换的零极点

3.3.2几种序列的Z变换及其收敛域1301.有限长序列

3.3.2几种序列的Z变换及其收敛域1312.右边序列

3.3.2几种序列的Z变换及其收敛域132因果序列

3.3.2几种序列的Z变换及其收敛域1333.左边序列

3.3.2几种序列的Z变换及其收敛域1344.双边序列N为任意值时皆有值

3.3.2几种序列的Z变换及其收敛域135

3.3.2几种序列的Z变换及其收敛域136

3.3.2几种序列的Z变换及其收敛域137小结给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外。左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内。

140离散时间信号与系统的频域分析3.4序列的Z逆变换141留数法根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域

内是解析的，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即

而

其中围线c是在X(z)的环状收敛域内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线。3.4序列的Z逆变换142若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则：利用留数定理求围线积分，令若F(z)在围线c上连续，在c内有K个极点zk，则：3.4序列的Z逆变换143留数的计算公式单阶极点的留数：N重极点阶极点的留数：3.4序列的Z逆变换1443.4序列的Z逆变换1453.4序列的Z逆变换1463.4序列的Z逆变换1473.4序列的Z逆变换1483.4序列的Z逆变换149

3.4序列的Z逆变换1503.4序列的Z逆变换151事实上，如果对应的右边序列为，则同一对应的左边列则为左边序列不包括k=0用留数法求得：154离散时间信号与系统的频域分析3.5系统函数与频率响应函数1551）系统函数是单位抽样响应h(n)的z变换一、系统函数1、定义：LSI系统的系统函数H(z)：2）由LSI系统的差分方程确定系统函数H(z)：若描述系统的差分方程为：

3.5系统函数与频率响应函数156两边取z变换则有：因此，系统函数，单位抽样响应h(n)与差分方程可以互求，三者都可以用来描述系统的特性。注意：系统函数可以根据输入输出的比值来计算，但与系统的输入输出无关，系统函数只与系统本身的连接方式，系统参数等系统自身的特性有关。3.5系统函数与频率响应函数1571）因果：2）稳定：序列h(n)绝对可和，即而h(n)的z变换的Roc：满足2、系统的因果和稳定3）因果稳定的充要条件：Roc：H(z)的Roc须是以小于1为半径的整个圆外，且包括即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内。

稳定系统的系统函数H(z)的Roc须包含单位圆。3.5系统函数与频率响应函数1583.5系统函数与频率响应函数159二、频率响应函数幅度响应相位响应1、LTI系统对复指数序列的稳态响应：频率响应函数的意义3.5系统函数与频率响应函数160LTI系统的频率响应为系统对于复指数输入的增益。任意信号通过线性时不变系统只可能丢失频率分量，而不会产生新的频率分量。3.5系统函数与频率响应函数1612、LTI实系统对正弦序列的稳态响应若输入序列为：3.5系统函数与频率响应函数162相位为输入相位与系统相位响应之和，初相的变化意味着序列通过LTI系统需要时间，即有延迟。输出同频正弦序列，幅度受频率响应幅度加权，其中令可得3.5系统函数与频率响应函数1633、LTI系统对任意输入序列的稳态响应其中：输出信号的频谱受到系统频率响应函数的加权166离散时间信号与系统的频域分析3.6频率响应的几何确定法167一、频率响应的几何确定法一个系统的输入序列与输出序列之间的关系用以下的差分方程描述两边取Z变换得到系统函数3.6频率响应的几何确定法168是的多项式之比，因此一般都可以分解成3.6频率响应的几何确定法169令，得频率响应函数零点矢量极点矢量03.6频率响应的几何确定法170则频率响应的幅度幅角：3.6频率响应的几何确定法1713.6频率响应的几何确定法172（2）零点位置影响谷值零点在单位圆上，谷点为零零点趋向于单位圆，谷点趋向于零（3）极点位置影响峰值二、零极点对系统幅频特性的影响极点趋向于单位圆，峰值趋向于无穷极点在单位圆外，系统不稳定（1）Z平面原点处的零极点对幅频特性无影响0175离散傅里叶变换4.1Fourier变换的几种可能形式176时间函数频率函数连续时间、离散频率—周期信号的傅里叶级数连续时间、连续频率—傅里叶变换离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换离散时间、离散频率—离散傅里叶变换傅里叶变换是以时间为自变量的信号和以频率为自变量的频谱函数之间的一种变换关系。由于时间和频率可以是连续的也可以是离散的，因此有四种不同的傅里叶变换对。4.1Fourier变换的几种可能形式1771、连续时间、离散频率—傅里叶级数2、连续时间、连续频率—傅里叶变换

时域周期频域离散时域非周期频域连续的谱4.1Fourier变换的几种可能形式1783、离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换以上三种傅里叶变换的形式，有一个共同的缺点：至少有一个变换域是连续的，因此不适合计算机进行频谱分析。如果想利用计算机去计算傅里叶变换，就必须时域离散，频域也离散，而且序列的长度为有限长序列的傅里叶变换。这就是本章要讨论的离散傅里叶变换（DFT）和离散傅里叶级数（DFS），周期序列对应的是离散傅里叶级数，有限长序列对应的是离散傅里叶变换。

时域的离散化

频域的周期延拓4.1Fourier变换的几种可能形式1794、离散时间、离散频率—离散傅里叶变换时域离散，周期；频域周期、离散4.1Fourier变换的几种可能形式180一个域（时域或频域）连续，则另一个域必为非周期一个域（时域或频域）周期，则另一个域必为离散小结时域抽样周期延拓DTFTFT周期延拓FT频域抽样DFT四种变换之间的联系：4.2离散傅里叶级数（DFS）183一、导出DFS有限长序列：周期序列：1844.2离散傅里叶级数（DFS）序列的傅里叶变换

对序列在一个周期内等间隔采样，采样间隔则第K个采样点的频率为1854.2离散傅里叶级数（DFS）上式可写为此式是周期序列的DFS1864.2离散傅里叶级数（DFS）二、导出IDFS两边乘以，并在一个周期内求和此式是周期序列的IDFS1874.2离散傅里叶级数（DFS）周期序列的DFS正变换和反变换：其中：1884.2离散傅里叶级数（DFS）三、DFS的物理意义任何周期序列，都可以分解成N个周期复指数序列的和。这些周期复指数序列的数字角频率为，它们的幅度和相位由离散傅里叶级数系数决定。周期序列的频谱是离散谱，并且是和序列的周期相同的周期谱。也就是说，周期序列总共只有N个独立的频率分量。周期序列频谱的特点：

1894.2离散傅里叶级数（DFS）四、DFS的性质1、线性：其中，为任意常数若则注意：两序列周期相同1904.2离散傅里叶级数（DFS）2、序列的移位若则1914.2离散傅里叶级数（DFS）3、调制特性若例：从wav文件中读取一段音乐信号，画出其频谱特性，然后进行DSB和AM调制，频移至8KHz，再观察其幅频特性；则1924.2离散傅里叶级数（DFS）[y,fs]=audioread('shuangjiang.mp3');sound(y,fs)s=y(:,1)’x=s(60000:62047)%截取部分数据x1=fft(x,2048)x2=fftshift(x1)xf=20*log10(abs(x2))%计算幅度谱f=(0:2047)*fs/2048-fs/2figure(1);plot(f,xf);gridontitle('原始信号的频谱')1934.2离散傅里叶级数（DFS）y=x.*cos(2*pi*8*10^3/fs*(0:2047))%DSB信号y1=fft(y,2048)y2=fftshift(y1)f=(0:2047)*fs/2048-fs/2yf=20*log10(abs(y2))figure(2);plot(f,yf);gridontitle('DSB调制信号频谱')1944.2离散傅里叶级数（DFS）z=(1+0.8*x).*cos(2*pi*8*10^3/fs*(0:2047))%AM信号z1=fft(z,2048)z2=fftshift(z1)y1f=20*log10(abs(z2))f=(0:2047)*fs/2048-fs/2figure(3);plot(f,y1f);gridontitle('AM调制信号频谱')1954.2离散傅里叶级数（DFS）4、周期卷积和若则同样，利用对称性若则1964.2离散傅里叶级数（DFS）例如：已知序列分别将序列以6为周期延拓成周期序列，求两个周期序列的周期卷积和。1974.2离散傅里叶级数（DFS）例如：已知序列分别将序列以6为周期延拓成周期序列，求两个周期序列的周期卷积和。1984.2离散傅里叶级数（DFS）例如：已知序列分别将序列以6为周期延拓成周期序列，求两个周期序列的周期卷积和。4.3离散傅里叶变换（DFT）2011、离散傅里叶变换（DFT）的定义n对N取余数运算例如有限长序列：N=8同样：X(k)个也是一N点的有限长序列则周期序列：2024.3离散傅里叶变换（DFT）有限长序列的DFT正变换和反变换：其中：2034.3离散傅里叶变换（DFT）2、DFT与ZT、DTFT之间的关系令令x(n)的离散时间傅里叶变换是x(n)的在单位圆上的z变换；x(n)的DFT是x(n)的傅里叶变换在单位圆上的N点等间隔抽样；2044.3离散傅里叶变换（DFT）2054.3离散傅里叶变换（DFT）2064.3离散傅里叶变换（DFT）对同一序列，不同点数的DFT，其结果不同！做DFT的序列时域、频域均为N点，区间为【0，N-1】2074.3离散傅里叶变换（DFT）3、DFT隐含周期性DFT的一个重要特点就是隐含的周期性，从表面上来看，离散傅里叶变换在时域和频域都是非周期的、有限长的序列，但实质上DFT是从DFS引伸出来的，它们的本质是一致的，因此DFS的周期性决定DFT具有隐含的周期性。这种隐含的周期性在快速傅里叶变换中有着重要的应用，可以从以下三个不同的角度去理解这种隐含的周期性。2084.3离散傅里叶变换（DFT）是在等间隔采N个样值，是以为周期1)2)3)4.4DFT的对称性211一、序列的分解圆周共轭反对称序列：圆周共轭对称序列：任意有限长序列可以分解成圆周共轭对称序列和圆周共轭反对称序列，即2124.4DFT的性质圆周共轭反对称序列：圆周共轭对称序列：以有限长实序列，N=6为例213同理也可以做这样的分解：其中：4.4DFT的性质2144.4DFT的性质2154.4DFT的性质2164.4DFT的性质

序列DFT小结2174.4DFT的性质例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT:2184.4DFT的性质221离散傅里叶变换

4.4.6圆周卷积222若则一、圆周卷积的定义NN4.4.6圆周卷积223注意：圆周卷积所取长度不同，结果不同两个N点序列做圆周卷积之后仍然为N点的序列4.4.6圆周卷积224二、圆周卷积的计算不进位乘法

4.4.6圆周卷积225N计算：4.4.6圆周卷积226=[359968]4.4.6圆周卷积227N三、圆周卷积与线性卷积的关系4.4.6圆周卷积228得到：NN4.4.6圆周卷积229DFT法计算线性卷积注意：232离散傅里叶变换

4.4.6圆周相关233一、线性相关定义令则有自相关函数：4.4.6圆周相关234相关函数不满足交换率，两者之间的关系为：4.4.6圆周相关235二、圆周相关定理4.4.6圆周相关236类似于线性卷积与圆周卷积之间的关系当时，圆周相关可完全代表线性相关有限长序列的N点的圆周相关。只在范围内取值，正好是的圆周移位，变量是n，不需要翻褶。求和也是在内进行的4.4.6圆周相关237利用圆周相关定理，可用DFT计算两序列的线性相关4.4.6圆周相关238相关函数的z变换：4.4.6圆周相关239相关函数的频谱：由此可看出，自相关序列的傅里叶变换等于序列幅度谱的平方,或者说，自相关序列与序列幅度谱平方是一个傅里叶变换对。相关函数的应用：噪声中信号的检测信号中隐含周期性的检测信号时差估计等4.4.6圆周相关240例1、采用自相关函数估计法，提取带有白噪声干扰的频率为10Hz的正弦信号的功率谱。带干扰的正弦信号带干扰的自相关函数信号的功率谱4.4.6圆周相关241白噪声的自相关函数

由图可见:含有周期成分和干扰噪声信号的自相关函数在t=0时具有最大值，且在t较大时仍具有明显的周期性，其频率和周期成分的周期相同；而不含有周期的白噪声信号在t=0处也有最大值，但在稍大时明显衰减至零，自相关函数的这一性质被用来识别随机信号中是否含有周期成分以及周期信号的频率。244快速傅利叶变换5.1直接计算DFT的问题及改进的基本途径245N点有限长序列x(n)正变换：

5.1.1直接计算DFT的运算量反变换:5.1直接计算DFT的问题及改进的基本途径246

运算量

5.1直接计算DFT的问题及改进的基本途径247

5.1直接计算DFT的问题及改进的基本途径248𝑭𝑻算法的基本思想：利用𝑫𝑭𝑻系数的特性，合并𝑫𝑭𝑻运算中的某些项，把长序列𝑫𝑭𝑻→短序列𝑫𝑭𝑻，从而减少其运算量。FFT算法分类:时间抽选法DIT:Decimation-In-Time频率抽选法DIF:Decimation-In-Frequency5.1直接计算DFT的问题及改进的基本途径249

5.1直接计算DFT的问题及改进的基本途径250所以带入DFT中：

展开：5.1直接计算DFT的问题及改进的基本途径251

有：合并有些项

5.1直接计算DFT的问题及改进的基本途径252结论由此找出其它各项的类似归并方法：乘法次数可以减少一半。例：

5.1直接计算DFT的问题及改进的基本途径2532、将长序列DFT利用对称性和周期性分解为短序列DFT--思路因为DFT的运算量与N2成正比的如果一个大点数N的DFT能分解为若干小点数DFT的组合，则显然可以达到减少运算工作量的效果。5.1直接计算DFT的问题及改进的基本途径2542、将长序列DFT利用对称性和周期性分解为短序列DFT--方法把N点数据分成二半：其运算量为：再分二半：这样一直分下去，剩下两点的变换。5.1直接计算DFT的问题及改进的基本途径2552、将长序列DFT利用对称性和周期性分解为短序列DFT--结论快速付里时变换(FFT)就是在此特性基础上发展起来的，并产生了多种FFT算法，其基本上可分成两大类：按抽取方法分：时间抽取法(DIT);频率抽取法(DIF)按“基数”分：基-2FFT算法；基-4FFT算法；混合基FFT算法；分裂基FFT算法5.2按时间抽选的基-2FFT算法(DIT-FFT)2585.2.1算法原理设序列点数N=2L，L为整数。若不满足，则补零N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。将序列x(n)按n的奇偶分成两组：5.2按时间抽选的基-2FFT算法(DIT-FFT)259则x(n)的DFT:

5.2按时间抽选的基-2FFT算法(DIT-FFT)260再利用周期性求X(k)的后半部分

和是以N/2为周期的5.2按时间抽选的基-2FFT算法(DIT-FFT)261蝶式计算结构也即为蝶式信号流图上面频域中前/后半部分表示式可以用蝶形信号流图表示。X1(k)X2(k)作图要素：(1)左边两路为输入(2)右边两路为输出(3)中间以一个小圆表示加、减运算（右上路为相加输出、右下路为相减输出)(4)如果在某一支路上信号需要进行相乘运算，则在该支路上标以箭头，将相乘的系数标在箭头旁。(5)当支路上没有箭头及系数时，则该支路的传输比为1。5.2按时间抽选的基-2FFT算法(DIT-FFT)2625.2按时间抽选的基-2FFT算法(DIT-FFT)263分解后的运算量：复数乘法复数加法一个N/2点DFT(N/2)2N/2(N/2–1)两个N/2点DFTN2/2N(N/2–1)一个蝶形12N/2个蝶形N/2N总计运算量减少了近一半5.2按时间抽选的基-2FFT算法(DIT-FFT)264N/2仍为偶数，进一步分解：N/2N/45.2按时间抽选的基-2FFT算法(DIT-FFT)265同理：其中：5.2按时间抽选的基-2FFT算法(DIT-FFT)266图5.4DIT-FF二次分解5.2按时间抽选的基-2FFT算法(DIT-FFT)267这样逐级分解，直到2点DFT当N=8时，即分解到X3(k)，X4(k)，X5(k)，X6(k)，k=0,15.2按时间抽选的基-2FFT算法(DIT-FFT)2685.2按时间抽选的基-2FFT算法(DIT-FFT)269

5.2.2DIT-FFT的运算量当N=2L时，共有L级蝶形，每级N/2个蝶形，每个蝶形有1次复数乘法2次复数加法。复数乘法：复加次数：比较DFT:5.2按时间抽选的基-2FFT算法(DIT-FFT)2725.2.3DIT-FFT算法的特点1.原位计算m表示第m级迭代，k，j表示数据所在的行数5.6按时间抽取蝶形运算结构5.2按时间抽选的基-2FFT算法(DIT-FFT)273例：N=8FFT运算,输入:看出：用原位运算结构运算后，A(0)…A(7)正好顺序存放X(0)…X(7),可以直接顺序输出。5.2按时间抽选的基-2FFT算法(DIT-FFT)2742.倒位序倒位序自然序0000000010041001010220101106301100114100101551010113611011177111n0n1n2000110110011015.2按时间抽选的基-2FFT算法(DIT-FFT)275整序重排子程序具体执行时，只须将1与4对调送入，3与6对调送入，而0，2，5，7不变，仅需要一个中间存储单元。n01234567n’04261537在实际运算时，先按自然顺序将输入序列存入存储单元，再通过变址运算将自然顺序变换成按时间抽取的FFT算法要求的顺序。变址的过程可以用程序安排加以实现--称为“整序”或“重排”（采用码位倒读）且注意：(1)当n=n’时，数据不必调换；(2)当n≠n时，必须将原来存放数据x(n)送入暂存器R，再将x(n’)送入x(n),R中内容送x(n’).进行数据对调。(3)为了避免再次考虑前面已调换过的数据，保证调换只进行一次，否则又变回原状。n’>n时，调换。5.2按时间抽选的基-2FFT算法(DIT-FFT)276图5.8变址运算规律5.2按时间抽选的基-2FFT算法(DIT-FFT)2773.蝶形运算对N=2L点FFT，输入倒位序，输出自然序，第m级运算每个蝶形的两节点距离为2m–1第m级运算：5.2按时间抽选的基-2FFT算法(DIT-FFT)278蝶形运算两节点的第一个节点为k值，表示成L位二进制数，左移L–m位，把右边空出的位置补零，结果为r的二进制数。5.3按频率抽选的基2-FFT算法(DIF-FFT)281设序列点数N=2L，L为整数。5.3.1算法原理将X(k)按k的奇偶分组前，先将输入x(n)按n

的顺序分成前后两半：5.3按频率抽选的基2-FFT算法(DIF-FFT)282

5.3按频率抽选的基2-FFT算法(DIF-FFT)283按k的奇偶将X(k)分成两部分：5.3按频率抽选的基2-FFT算法(DIF-FFT)284令则X(2r)和X(2r+1)分别是x1(n)和x2(n)的N/2点DFT，记为X1(k)和X2(k)285图5.10DIF-FFT一次分解5.3按频率抽选的基2-FFT算法(DIF-FFT)2865.3按频率抽选的基2-FFT算法(DIF-FFT)N/2仍为偶数，进一步分解：N/2N/42875.3按频率抽选的基2-FFT算法(DIF-FFT)x3(0)x3(1)-1-1x4(0)x4(1)N/4点DFTN/4点DFTx1(0)x1(1)x1(2)x1(3)X3(0)=X1(0)=X(0)X4(0)=X1(1)=X(2)X3(1)=X1(2)=X(4)X4(1)=X1(3)=X(6)2885.3按频率抽选的基2-FFT算法(DIF-FFT)同理其中2895.3按频率抽选的基2-FFT算法(DIF-FFT)图5.11DIF-FFT二次分解2905.3按频率抽选的基2-FFT算法(DIF-FFT)逐级分解，直到2点DFT当N=8时，即分解到x3(n)，x4(n)，x5(n)，x6(n)，n=0,12915.3按频率抽选的基2-FFT算法(DIF-FFT)图5.12N=8DIF-FFT蝶形图5.3按频率抽选的基2-FFT算法(DIF-FFT)2945.3.2算法特点1.原位计算-1L级蝶形运算，每级N/2个蝶形，每个蝶形结构：

m表示第m级迭代，k，j表示数据所在的行数5.3按频率抽选的基2-FFT算法(DIF-FFT)2952.蝶形运算对N=2L点FFT，输入自然序，输出倒位序，两节点距离：2L-m=N/2m第m级运算：5.3按频率抽选的基2-FFT算法(DIF-FFT)296

蝶形运算两节点的第一个节点为k值，表示成L位二进制数，左移m-1位，把右边空出的位置补零，结果为r的二进制数。的确定5.3按频率抽选的基2-FFT算法(DIF-FFT)297

图5.12N=8DIF-FFT蝶形图2985.3按频率抽选的基2-FFT算法(DIF-FFT)5.3.3DIT与DIF的异同基本蝶形不同DIT:先复乘后加DIF:先减后复乘运算量相同都可原位运算DIT和DIF的基本蝶形互为转置2995.4离散傅里叶反变换的快速算法(IFFT)比较：IDFT:DFT:FFT:IFFT3005.4离散傅里叶反变换的快速算法(IFFT)3015.4离散傅里叶反变换的快速算法(IFFT)3025.4离散傅里叶反变换的快速算法(IFFT)直接调用FFT子程序计算IFFT的方法：共轭FFT共轭乘1/N方法一3035.4离散傅里叶反变换的快速算法(IFFT)方法二=令：上式表明，先调用FFT程序计算的DFT，然后把运算结果翻褶后平移N位，最后再乘以常数1/N，就得306快速傅利叶变换5.8快速傅里叶变换的应用307需运算量：若系统满足线性相位，即：则需运算量：若L点x(n)，M点h(n)，则直接计算其线性卷积y(n)5.8.1快速卷积运算1.线性卷积的FFT算法

5.8快速傅里叶变换的应用3081)

H(k)=FFT[h(n)]N/2*log2N4)

y(n)=IFFT[Y(k)]N/2*log2N3)

Y(k)=H(k)X(k)N2)

X(k)=FFT[x(n)]N/2*log2N

N

FFT法：以圆周卷积代替线性卷积5.8快速傅里叶变换的应用309图5.13用FFT来计算线性卷积5.8快速傅里叶变换的应用310比较直接计算和FFT法计算的运算量讨论：1）当2）当

5.8快速傅里叶变换的应用3112.重叠相加法N

5.8快速傅里叶变换的应用312图5.14重叠相加法卷积示意图5.8快速傅里叶变换的应用313重叠相加法例子

5.8快速傅里叶变换的应用3142）重叠保留法舍弃yi(n)的前M-1个点，再将yi(n)顺次连接，即得y(n)。分段右移序列卷积N

5.8快速傅里叶变换的应用315图5.15重叠保留法卷积示意图5.8快速傅里叶变换的应用316重叠保留法例子

319数字滤波器的基本网络结构6.1数字滤波器结构的表示方法320

数字滤波器的系统函数：

（6.1）

常系数线性差分方程:(6.2)6.1数字滤波器结构的表示方法321加法器常数乘法器单位延时基本运算单元方框图流图

6.1数字滤波器结构的表示方法322例：二阶数字滤波器方框图结构流图结构图6.2二阶数字滤波器方框图及流图结构（a）方框图结构

（b）流图结构6.2

IIR数字滤波器的基本结构323IIR数字滤波器的特点：系统函数：差分方程：1）系统的单位抽样相应h(n)无限长3）存在输出到输入的反馈，递归型结构

6.2

IIR数字滤波器的基本结构3246.2.1直接Ⅰ型差分方程：图6.3阶IIR系统直接Ⅰ型流图需N+M个延时单元6.2

IIR数字滤波器的基本结构325直接Ⅰ型结构的特点两个网络级联：第一个横向结构M节延时网络实现零点，第二个有反馈的N节延时网络实现极点。共需(N+M)级延时单元系数ai,bi不是直接决定单个零极点，因而不能很好地进行滤波器性能控制。极点对系数的变化过于灵敏，从而使系统频率响应对系统变化过于灵敏，也就是对有限精度（有限字长）运算过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。6.2

IIR数字滤波器的基本结构3266.2.2直接Ⅱ型（典范型）从上面直接型结构的两部分看成两个独立的网络（即两个子系统）。原理：一个线性时不变系统，若交换其级联子系统的次序，系统函数不变。把此原理应用于直接I型结构。即：交换两个级联网络的次序合并两个具有相同输入的延时支路。

得到另一种结构即直接II型。6.2

IIR数字滤波器的基本结构327直接II型的结构流图过程1--对调x(n)b0b1b2Z-1Z-1y(n)a1a2Z-1Z-1bMZ-1aN-1aNZ-1Z-1第一部分第二部分x(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2Z-1Z-1bMZ-1Z-1对调对调6.2

IIR数字滤波器的基本结构328直接II型的结构流图过程2--合并由于对调后前后两路都有一条内容完全相同的延时链，可以合并为一条即可。x(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2Z-1Z-1bMZ-1合并x(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b1b2bMy(n)y(n)这就是直接II型的结构流图。6.2

IIR数字滤波器的基本结构329直接II型结构特点：两个网络级联。第一个有反馈的N节延时网络实现极点；第二个横向结构M节延时网络实现零点。实现N阶滤波器（一般N>=M)只需N级延时单元，所需延时单元最少。故称典范型。同直接I型一样，具有直接型实现的一般缺点。6.2

IIR数字滤波器的基本结构330例6.1已知IIRDF系统函数，画出直接I型、直接II型的结构流图。解：因为6.2

IIR数字滤波器的基本结构331例6.1已知IIRDF系统函数，画出直接I型、直接II型的结构流图。解：因为334数字滤波器的基本网络结构6.2

IIR数字滤波器的基本结构335将系统函数按零极点因式分解:6.2.3级联结构6.2

IIR数字滤波器的基本结构336滤波器的基本二阶节将共轭成对的复数组合成二阶多项式，系数即为实数。为采用相同结构的子网络，也将两个实零点/极点组合成二阶多项式称为滤波器的二阶基本节。一般用直接II型（正准型、典范型表示）6.2

IIR数字滤波器的基本结构337用二阶节级联表示的滤波器系统整个滤波器则是多个二阶节级联x(n)y(n)β11a21Z-1Z-1a11β21β12a22Z-1Z-1a12β22β1Ma2MZ-1Z-1a1Mβ2M…...6.2

IIR数字滤波器的基本结构338级联型的特点：调整系数,

,能单独调整滤波器的第k对零点，而不影响其它零极点

运算的累积误差较小具有最少的存储器便于调整滤波器频率响应性能调整系数,能单独调整滤波器的第k对极点，而不影响其它零极点6.2

IIR数字滤波器的基本结构3396.2.4并联型(1)系统函数的部分分式展开将因式分解的H(z)展成部分分式：(6.8)式中组合成实系数二阶多项式：6.2

IIR数字滤波器的基本结构340(2)基本二阶节的并联结构将H(z)分解为一阶及二阶系统的并联(部分分式展开)，每级子系统都用典范型实现。AN1Z-1a1x(n)aN1a11Z-1Z-1A1β11y(n)A0...β01a21a1N2a2N2β0N2β1N2其实现结构为：...6.2

IIR数字滤波器的基本结构341(3)并联型基本二阶节结构并联型的基本二阶节的形式：其中：要求分子比分母小一阶x(n)β0a2Z-1Z-1a1β1y(n)

6.2

IIR数字滤波器的基本结构342并联型的特点：通过调整系数，可单独调整一对极点位置，

但不能单独调整零点位置各并联基本节的误差互相不影响，故运算误差最小可同时对输入信号进行运算，故运算速度最高6.2

IIR数字滤波器的基本结构343原网络中所有支路方向倒转，并将输入x(n)和输出y(n)相互交换，则其系统函数H(z)不改变。6.2.5转置定理图6.7直接Ⅱ型结构的转置图6.8将图6.7画成输入在左、输出在右的习惯形式6.2

IIR数字滤波器的基本结构344例：用典范型和一阶级联型、并联型实现方程：解：正准型、一阶级联和并联的系统函数表示：6.2

IIR数字滤波器的基本结构345图示如下：正准型级联型并联型348数字滤波器的基本网络结构6.3

FIR数字滤波器的基本结构349FIR数字滤波器的特点：系统函数

（6.9）有N-1个零点分布于z平面z=0处