人教版八年级上册数学全册同步讲义

人教版八年级上册数学全册同步讲义PAGEPAGE5第1讲三角形中的线段知识要点梳理

知识点一：1、三角形有关概念

（1）三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

（2）三角形的基本元素：

①三角形的三条边：即组成三角形的线段；

②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的外角。

③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点。（3）三角形的特征：①三条线段不在同一直线上，且首尾顺次相接；

②三角形是一个封闭的图形。

（4）三角形的符号：

①三角形用符号“△”表示。顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”；

注意：△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义②三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示。

2、三角形的分类

(1)按边分类：

要点诠释：

①不等边三角形：三边都不相等的三角形;

②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，

两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;

③等边三角形：三边都相等的三角形.

(2)按角分类：

要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.

知识点二：三角形三边间的关系

定理：三角形任意两边之和大于第三边。定理的数学语言：如图1，|b－c|＜a＜b＋c推论：三角形任意两边之差小于第三边。要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短。（2）给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形。判断方法常用的有两种（设a、b、c为三边的长）：①a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b都能成立，则以a、b、c为三边的长可以构成一个三角形（此法一般不用）;

②|b－c|＜a＜b＋c长为a，b，c的三条线段可组成三角形；或若c是最长的线段，且a＋b＞c，则以a、b、c为三边的长可构成一个三角形。

（3）已知三角形两边的长，可以确定第三边的取值范围:

设三角形的两边的长为a、b，则第三边的长c的取值范围是。

（4）证明线段之间的不等关系。

知识点三：三角形的高、中线、角平分线

1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如图2，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝90°。AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；

要点诠释：①三角形的高是线段；②三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心。③三角形的三条高：

(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角三角形的直角顶点。2、三角形的中线

三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：

如图3，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC。AD是ΔABC的中线BD＝CD＝BC。要点诠释：

①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形内部；③三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心．④中线把三角形分成面积相等的两个三角形。3、三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的角平分线的数学语言：如图4，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上。即AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC(或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC)要点诠释：①三角形的角平分线是线段；②一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心．④可以用量角器或圆规画三角形的角平分线。知识点四：三角形的稳定性

如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．

要点诠释：

①三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．

②三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．

③四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．典型例题：题型一三角形的概念例题1下列说法:(1)不等边三角形就是三条边都不相等的三角形;(2)等边三角形一定是等腰三角形;(3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形;(4)有一个角是直角的三角形是直角三角形;(5)有一个角是锐角的三角形是锐角三角形.其中正确的说法有____________.题型二三角形三边的关系例题2．以下列各组线段为边,能组成三角形的是()A.2cm,3cm,5cmB.1cm,11cm,11cmC.5cm,8cm,2cmD.三边之比为5:10:4举一反三【变式1】用9根火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数为;用10根呢?【变式2】已知三角形的三边长分别为3,8,;若的值为偶数,则的值有______个.【变式3】等腰三角形的两边长分别为12和6，则此三角形的周长为（）。A、24B、30C、24或30D、以上都不对题型三三角形的线段例题3如图,△ABC中,∠1=∠2,G是AD中点,连结BG并延长,交AC于点E,CH⊥AD,延长线交AB于点F.请填空:AG是△ABE的_________;△ABC的角平分线是________;△ABD的中线是______;AH是________和_______和_______的高.举一反三【变式1】下列说法:(1)三角形的高必在三角形内部;(2)三角形的中线必在三角形内部;(3)三角形的角平分线必在三角形内部;(4)三角形的高、中线、角平分线都是线段.其中正确的有__________.【变式2】如图,BM是△ABC中AC边上的中线,已知AB=6cm,BC=4cm,那么△ABM与△BCM的周长差是多少?【变式3】(1)已知AD是△ABC的中线,△ABD的面积为4,则△ABC的面积是________;(2)已知在△ABC中，D是BC上一点，BD:CD=2:1,△ABD的面积为6,则△ABC的面积是___________;【变式4】在△ABC中，AB=2BC,AD、CE分别是BC、AB边上的高，试判断AD和CE的大小关系，并说明理由。巩固练习一、选择题1.下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A．B．C．D．2.如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B落在点B′的位置,则线段AC具有性质()A.是边BB′上的中线B.是边BB′上的高C.是∠BAB′的角平分线D.以上三种图2图1图2图13.如图2所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是()A.DE是△BCD的中线B.BD是△ABC的中线C.AD=DC,BD=ECD.∠C的对边是DE4.下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（）3cm，5cm，8cmB、8cm，8cm，18cmC、0.1cm，0.1cm，0.1cmD、30cm，40cm，8cm5.如果线段a，b，c能组成三角形，那么，它们的长度比可能是（）A、1∶2∶4B、1∶3∶4C、3∶4∶7D、2∶3∶46.如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为（） A、5B、6C、7D、8二、填空题1.如图4，图中所有三角形的个数为，在△ABE中，AE所对的角是，∠ABC所对的边是，AD在△ADE中，是的对边，在△ADC中，是的对边；2.如图5，已知∠1=0.5∠BAC，∠2=∠3，则∠BAC的平分线为，∠ABC的平分线为；3.如图6，D、E是边AC的三等分点，图中有个三角形，BD是三角形中边上的中线，BE是三角形中边上的中线；图4图5图4图5图64.如图7，在△ABC中，AD是中线，则△ABD的面积△ACD的面积（填“＞”“＜”“＝”）。5.如图8，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=度。图7图8图7图8解答题1.⑴已知等腰三角形的一边等于8cm，另一边等于6cm，求此三角形的周长；⑵已知等腰三角形的一边等于5cm，另一边等于2cm，求此三角形的周长。 提高拓展：1.如图3所示,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点,且S△ABC=4cm2,则=()图3A.2cm2B.1cm2C.cm2D.cm2图32.已知三角形三边长为a、b、c，化简|a＋b－c|-|a－b－c|3.在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm,求AD的长.课后巩固1.已知三角形的三边长分别为3、x、8，若x的值为奇数，则x的值有（）。A、1个B、2个C、4个D、3个2.下列各组三条线段中，不能组成三角形的是（）。A、三线段之比为2：2：3B、a+1，a+2，a+3（a﹥0）C、5cm，6cm，10cmD、3cm，5cm，9cm4.下列说法：①三角形的高、中线、角平分线都是线段；②三角形的三条中线都在三角形内部；③三角形的高有两条在三角形外部，还有一条在三角形内部；④如果P是△ABC的AC边的中点，则PB是△ABC的中线。其中正确的是（）。A、①②④B、②③④C、①④D、①②5、如图2，DE∥BC，CD是△ABC的平分线，∠ABC=60°，∠A=50°，则∠EDC=________。6、如图，AD为△ABC的中线，若AB=10，AC=7，则△ABD与△ACD的周长之差是：________。第2讲三角形中的角、多边形知识点梳理：知识点一：三角形的内角与外角三角形的内角：（1）定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的角.（2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于（3）三角形内角和定理的作用：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数；③求一个三角形中各角之间的关系.（二）三角形的外角（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的.三角形的外角和为°.（2）特点：①外角的顶点在三角形的一个顶点上；②外角的一条边是三角形的一边；③外角的另一条边是三角形某条边的.（3）性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个的和.②三角形的一个外角（大于，等于或小于）与它不相邻的任何一个内角.知识点二：多边形（一）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做.注意：各个角都相等、各条边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可.如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.（二）多边形的对角线：连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.从边形的一个顶点出发，可以画条对角线，边形一共有条对角线.（三）多边形的内角和公式：边形的内角和为.内角和公式的应用：（1）已知多边形的边数，求其内角和；（2）已知多边形内角和，求其边数.（四）多边形的外角和定理：多边形的外角和等于.外角和定理的应用：（1）已知外角度数，求正多边形边数；（2）已知正多边形边数，求外角度数.知识点三：镶嵌（一）平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.（二）镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个时，就能拼成一个平面图形.典例分析：题型一：三角形的内角和例1、若三角形的一个角是另一个角的6倍，而这两个角的和比第三个角大，求此三角形的最大角。针对练习1、在△ABC中，∠B＝20°+∠A，∠C＝∠B－10°，求∠A的度数.2.如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE的度数是_______题型二：三角形的内角和外角例2、如图在直角△ABD中，,,C为AD上一点（不与A、D重合），则可能是（）A、B、C、D、思考：本题你能求出的范围吗？例3、如图的平分线和△ABC的外角的平分线交于点D，，求的度数。针对练习第1题1.如图，CD∥AB，∠1=120°，∠2=80°，则∠E的度数是（）第1题2.如图所示，已知D是△ABC边AB上一点，E是边AC上的一点，BE、CD相交于点F，

（1）若∠A＝62°，∠ACD＝15°，∠ABE＝20°.求∠BDC和求∠BFD的度数；（2）试说明∠BFC＞∠A.题型三：多边形的内角和外角例4、（1）一个多边形的每一个外角都等于30°，这个多边形的边数是，它的内角和是。（2）正多边形的内角和等于1440°，那么这个正多边形的边数为.（3）正八边形的每个内角为°对角线有条针对练习1．已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是_________．2.正十二边形每个内角的度数为．3.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为．题型四：平面镶嵌问题例5、一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成其中三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另一个为（）A.正三边形B.正四边形C.正五边形D.正六边形针对练习：1、下列正多边形中，不能够铺满地面的是（）.(A)正三角形(B)正方形(C)正六边形(D)正八边形2、现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种3、某公园便道用三种不同的正多边形地砖铺设，其中已选好了用正十二边形和正方形两种，还需要选用，使这三种组合在一起把便道铺满.题型五综合找规律如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An．设∠A=θ．则：（1）求∠A1的度数；（2）∠An的度数．针对练习：1.如图所示,∠ABC,∠ACB的内角平分线交于点O,∠ABC的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D,∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E,且∠A=60°,则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=________.巩固练习一、选择题1、下面各角能成为某多边形的内角的和的是（）A、430°B、4343°C、4320°D、4360°2、下列说法错误的个数是（）（1）钝角三角形三边上的高都在三角形的外部（2）三角形中，至少有两个锐角，最多有一个直角或钝角（3）三角形的一个外角等于它的两个内角的和（4）三角形的一个外角大于它的任何一个内角（5）三角形的三个外角（每个顶点只取一个外角）中，钝角个数至少有2个A.1个B.2个C.3个D.4个3、若一个三角形的三个内角度数之比为3：2：1，则与之相邻的三个外角度数之比为（）A.3：2：1B.1：2：3C.5：4：3D.3：4：54.如图，直线∥，∠1=40°，∠2=65°，则∠3=（）A．65° B．70° C．75° D．85°第5题第5题5.如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（）A．80B．50C．30D．206.如图所示，已知△ABC为直角三角形，∠B=90°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2等于（）A、90°B、135°C、270°D、315°二．填空题1．某多边形内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数是_______。2．如图，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝_________3．用三种边长相等的正多边形铺地面，已选了正方形和正五边形两种，还应选正_______边形。4、一个四边形的四个内角中最多有______个钝角,最多有______个锐角.5、一个多边形的每一个外角都等于72°,这个多边形的边数是_________,它的内角和是______度，对角线有_____条（第7题）6.如图，已知，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E、F，点G在直线EF上，GH⊥AB，若∠EGH=32°，则∠DFE的度数为____________.（第7题）7.如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=____°.若∠A=°，则∠1+∠2=____°.（用表示）第8题8.将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则α=________．第8题三、解答题1、已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC．求证：AD∥BC．2、如图,在△ABC中,D是BC边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC的度数.3将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．

（1）求证：CF∥AB．（2）求∠DFC的度数．

拓展提高：1.（河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90° B．100° C．130° D．180°2.一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（）A．5B．5或6C．5或7D．5或6或73.（1）如图1是一个五角星ABCDE，请算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小.（2）如图2，3，4，5的变式图形中，上面的结论成立吗？为什么图1图2图3图4图54、（1）如图①∠1＋∠2与∠B＋∠C有什么关系？为什么？（2）把图①△ABC沿DE折叠，得到图②，填空：∠1＋∠2_______∠B＋∠C(填“＞”“＜”“=”)，当∠A＝40°时，∠B＋∠C＋∠1＋∠2＝______（3）如图③，是由图①的△ABC沿DE折叠得到的，如果∠A＝30°，则x＋y＝360°－（∠B＋∠C＋∠1＋∠2）＝360°－＝,猜想∠BDA＋∠CEA与∠A的关系为5、一个零件的形状如下图所示，规定∠A＝90°，∠B和∠C分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC＝149°，就断定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的原因。6、如图所示,在△ABC中,∠A=α,△ABC的内角平分线或外角平分线交于点P,且∠P=β,试探求下列各图中α与β的关系,并选择一个加以说明.第3讲全等三角形的性质【知识点与方法梳理】全等形：形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形．平移、翻折、旋转前后的图形全等全等三角形的记法：全等于，记作：≌，其中与为对应角，AB与DE为对应边。全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等．（2）全等三角形的对应角相等．找对应边和对应角的常用方法有：（1）有公共边的，公共边是对应边.（2）有公共角的，公共角是对应角.（3）有对顶角的，对顶角是对应角，一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边.（4）一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角（5）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．（6）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角【经典例题】[例1]如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．[例2]、如图，如果图中的两个三角形全等，根据图中所标数据，可以推理得到∠α=______[例3]、如图所示，△ABD≌△ACE，点B和点C是对应顶点，AB=8，BD=7，AD=6，则BE的长是__________【经典练习】1、如图，△ABC≌△ADE，则AB=，∠=∠．若∠=130°，∠BAD=40°，则∠BAC=2．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AB=3，EF=4，则AC=．3、△ABC≌△BAD，A和B，C和D是对应顶点，如果AB=8cm，BD=6cm，AD=5cm，则BC=________cm．4、如图，△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=500，∠AEC=1200，则∠DAC的度数等于.5.如图1，若△ABC≌△ADE，∠EAC=35°，则∠BAD=_________度.6、已知：△DEF≌△MNP，且EF＝NP，∠F＝∠P，∠D＝48°，∠E＝52°，MN＝12cm，求：∠P的度数及的长.7、在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°,那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（）A.∠AB.∠BC.∠CD.∠B或∠C8、如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）A.△ABD和△CDB的面积相等B.△ABD和△CDB的周长相等C.∠A+∠ABD＝∠C+∠CBDD.AD∥BC，且AD＝BC9、如图，在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于10、如图，已知△ABE≌△ACF，∠E=∠F=90°，∠CMD=70°，则∠2=______度．【巩固练习】基础训练题1、如图，△ABC≌△CDA，并且BC=DA，那么下列结论错误的是（）A、∠1=∠2B、AC=CAC、AB=ADD、∠B=∠D2、下列说法错误的有（）

①只有两个三角形才能完全重合；②如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同；

③两个正方形一定是全等图形；④边数相同的图形一定能互相重合．A、4个B3个C2个D1个3、已知△ABC与△DEF全等，∠A=∠D=90°，∠B=37°，则∠E的度数是（）A、37°B、53°C、37°或63°D、37°或53°4.一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y=____5、已知如图△ABC≌△DEF，且BC=EF,∠B=∠DEF．则∠A=____，AC=____、DE=___．6、如图，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是7、如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为8、如图，若△ABC≌△DEF，则∠E等于9、如图，△ABC≌△DEF，DF和AC，FE和CB是对应边．若∠A=100°，∠F=47°，则∠DEF等于10、如图，△ABC≌△ADE，∠DAC=60°，∠BAE=100°，BC、DE相交于点F，则∠DFB的度数是能力提高题1.已知等腰△ABC的周长为18cm，BC=8cm，若△ABC≌△A′B′C′，则△A′B′C′中一定有一条边等于（）A、7cmB、2cm或7cmC、5cmD、2cm或5cm2、如图所示，两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数，则x=____度．3、如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠BAC=150°，则∠θ的度数是4、如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于F，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠AED=105°，∠DAC=10°，则∠DFB为第4讲全等三角形的判定(一)【知识点与方法梳理】三角形全等的判定一（定理）：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．三角形全等的判定二（公理）：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)利用尺规作图法做一个角等于已知角的理论依据是：三角形的全等边边边定理BACBACD例如:如图,△ABC与△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B【经典例题】例1.如图：已知∠AOB。利用尺规作图法求作：∠A′B′C′，使∠A′B′C′=∠AOB例2.如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．求证：△ABC≌△FDE例3.已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2．求证：△ABD≌△ACE．例4、已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=ADEDEDCAB【经典练习】1.如图,已知,AB=CD,CE=DF,AE=BF,则AE∥BF吗?为什么?2、如图，将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起，使AA'、BB'可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（）（A）边角边（B）角边角（C）边边边（D）角角边3.已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点．求证：△ABE≌△ACF．4．已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AB＝DE，BF＝CE。求证：△ABC≌△DEF；5、如图，AB=AC，BD=CD，求证：∠1=∠2．6、如图，已知AB=CD，AC=BD，求证：∠A=∠D．7、如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：⑴AD//BC；⑵AE//CF．已知：如图，，，。求证：。9.如图,AE=AD,要使ΔABD≌ΔACE,请你增加一个条件是ABCDABCD11. 已知AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F在一条直线上，AD=BF,求证：∠E=∠CDOCBAB12.如图，DOCBAB使（只添一个即可）．13.在△ABC中，AB＝AC，BE、CF是中线，则由可得△AFC≌△AEB.14.已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．【巩固练习】基础训练题1、如图1，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是()A.120°B.125°C.127°D.104°2、如图2，线段AD与BC交于点O，且AC=BD，AD=BC，则下面的结论中不正确的是()A.△ABC≌△BADB.∠CAB=∠DBAC.OB=OCD.∠C=∠D3、如图3，在△ABC和△A1B1C1中，已知AB=A1B1，BC=B1C1，则补充条件____________，可得到△ABC≌△A1B1C1．4.已知如图，A、E、F、C四点共线，BF=DE，AB=CD.⑴请你添加一个条件，使△DEC≌△BFA；⑵在⑴的基础上，求证：DE∥BF.5、已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE，求证：∠BDC=∠DAE6、如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，试说明△ABD≌△ACD。 7、已知：如图，∥，。求证：。8、已知：如图，∥，，。求证：。9、已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，，，，垂足分别是A、D。求证：10、如图，在中，是上一点，交于点，，，与有什么位置关系？说明你判断的理由。能力提高题1、已知：如图，，。求证∠CAO=∠DBO2、已知：如图,D、E分别是△ABC的边AB,AC的中点,点F在DE的延长线上,且EF=DE．求证：(1)BD=FC(2)AB∥CF3、已知:如图,AB=AC,EB=EC,AE的延长线交BC于D．求证：BD=CD．4、已知:如图,AB=AC,AD=AE=BC,∠BAC=∠DAE,∠BDA=∠BCE.求证:(1)BD=CE(2)BE=AB5、如图，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全等三角形？请依次给予证明。BBCDASFE6.已知如图：AB=CD，BE=ED，∠BAD=∠BDA，求证：AC=2AE（提示：倍长中线法）第5讲全等三角形的判定（二）【知识点与方法梳理】复习巩固：三角形全等的判定一（公理）：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．三角形全等的判定二（定理）：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)新课要点：三角形全等的判定三（定理）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．三角形全等的判定四（定理）两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．【经典例题】例1.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，DCBAO1234DCBAO1234求证：（1）△ABC≌△ADC；（2）BO＝DO．例2.如图，∠DCE=90o，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A、B，试说明AD+AB＝BE.例3.已知：如图，AB=DE，直线AE，BD相交于C，∠B＋∠D=180°，AF∥DE，交BD于F．求证：CF=CD．【经典练习】1.已知：如图，∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF，（1）若以“SAS”为依据，还须添加的一个条件为________________.（2）若以“ASA”为依据，还须添加的一个条件为________________.（3）若以“AAS”为依据，还须添加的一个条件为________________.2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则△______≌△_______.依据是ADADBCEF若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF=()A.150°B.40°C.80°D.90°4.如图,AB=CD，AD=BC，O为BD中点，过O点作直线与DA、BC延长线交于E、F，若，EO=10，（1）求∠DBC的度数（2）求FO的长5．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，AB与CD相等吗？请你说明理由.6.如图，C为线段AB上一点，在△ACM和△CBN中，AC=MC，BC=NC，∠ACM=∠BCN=60°，求证：①AN=MB，②CE=CF7.如图，AB=AC，AD=AE.AB、DC相交于M，AC、BE相交于N，∠DAB=∠EAC.求证：AM=AN8.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB,AD=AC,AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G.(1)求证DF//BC(2)若AD=8cm，AG=5cm，求DE的长【巩固练习】基础训练题1.如图，AB∥CD，AD∥BC，那么AD=BC，AB=ＤC，你能说明其中的道理吗？(可添加辅助线)2.如图，AE⊥AB，AD⊥AC，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE。3.已知∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE.求证；AB=AC，AD=AE；4.已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF。判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请说明理由。5.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。6.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠CDDCBAFE能力提高题1.已知如图，E.F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF,求证：AC与BD互相平分.AABEOFDCBACDF2BACDF21E3.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AD//BC4.已知：在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD.(1) 如图1，若∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD;②∠APB=60°。(2)如图2，若∠AOB=∠COD=,则AC与BD是否相等？（直接回答，不用证明）求此时的∠APB（用表示）5.如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．ABABCDEF图9第6讲全等三角形的判定(三)【知识点与方法梳理】复习巩固：三角形全等的判定一三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．三角形全等的判定二有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)三角形全等的判定三两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．三角形全等的判定四两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．新课要点：三角形全等的判定五斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等．（ＨＬ）【经典例题】例1.如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，求证：例2.已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD=BC，求证：AD∥BC.AADBC例3.如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，具有BF=AC，FD=CD，试探究BE与AC的位置关系.AABDCEFABEDFC例4.如图，A、E、F、B四点共线，AC⊥CE、BD⊥ABEDFC【经典练习】1.如图，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件或；若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件或．2.如图，在△ABC中，已知D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝DF.求证：AB=AC3．如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AC∥DB，且AC=BD，那么Rt△AEC≌Rt△BFD的理由是（）.A．SSS B.AAS C.SAS D.HLABCDEF124.已知：如图，AC平分∠ABCDEF125.如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．（1）若BC在DE的同侧（如图①）且AD=CE，说明：BA⊥AC．（2）若BC在DE的两侧（如图②）其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由．【巩固练习】基础训练题1．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB=∠DFE=，AB=DE，AC=DF，那么Rt△ABC与Rt△DEF（填全等或不全等）ACDB2．如图，点C在∠DAB的内部，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，CD=CB那么Rt△ADC≌ACDBA．SSS B.ASA C.SAS D.HL3．下列说法正确的个数有（）.①有一角和一边对应相等的的两个三角形全等；②有两边对应相等的两个直角三角形全等；③有两边和一角对应相等的两个直角三角形全等；④有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等.A．1个 B.2个 C.3个 D.4个4．过等腰△ABC的顶点A作底边的垂线，就得到两个全等三角形，其理由是.┐ABMC┐ABMC☆7.如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（）ACACDBAABCDEFAEDBCAEDBC能力提高题1.如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．2.如图，在ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且DE=DF，试说明AB=AC.3.如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。4.如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．第7讲角平分线的判定与性质【知识点与方法梳理】角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线的判定定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。作已知角的平分线的方法：已知：∠ＡＯＢ(如图)求作：∠ＡＯＢ的角平分线OC.作法：1.以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。2.分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C。3.作射线OC，射线OC即为所求。【经典例题】例1．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，求证：CF=EBAACDEBF例2.已知：如图，AD、BE是△ABC的两条角平分线，AD、BE相交于O点求证：O在∠C的平分线上例3.如图AB∥CD，∠B＝90°，E是BC的中点。DE平分∠ADC，求证：AE平分∠DAB。【经典练习】1如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证∠BAO＝∠CAO2.如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连结DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论。FFEDCBAOP3.如图，在CD上求作一点P，使它到OA，OB的距离相等（写出作法）。OODCBA4.要将如图中的∠MON平分，小梅设计了如下方案：在射线OM，ON上分别取OA＝OB，过A作DA⊥OM于A，交ON于D，过B作EB⊥ON于B交OM于E，AD，EB交于点C，过O，C作射线OC即为MON的平分线，试说明这样做的理由.5.如图△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE、DF分别垂直AB、AC，垂足为E、F，求证：EB=FCAEBDCF6.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AEBDCF【巩固练习】基础训练题1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是（）A.m+nB.mnC.D.2.如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB′，那么该条件不可以是（）A、BB′⊥ACB、BC=B′CC、∠ACB=∠ACB′D、∠ABC=∠AB′C3、如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=∠OFE。其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图，在ΔABC中，,分别是AB、AC上的点，EF=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD⊥BC于D，PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,已知PD=4cm则ΔPEF的周长是___________cm.5.如图（7）：AC⊥BC，BM平分∠ABC且交AC于点M，N是AB的中点且BN=BC。求证：（1）MN平分∠AMB，（2）∠A=∠CBM。6.如图：在△ABC中，∠B，∠C相邻的外角的平分线交于点D。求证：点D在∠A的平分线上。7.如图8、AB＝CD，△PCD的面积等于△PAB的面积，求证：OP平分∠BOD。8.如图9、在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE交于点O，求证：AE+CD＝AC。能力提高题1.已知：如图，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC+CD。2.已知，如图2，∠1＝∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB+BC＝2BD，求证：∠BAP+∠BCP＝180°。3、如图，已知∠CAD=∠CDA，AC=BD，E在BC上，DE=EC，求证：AD平分∠BAEABDEC(提示:延长AE到P,使得EP=AE,连接CP,证三角形ABD与PAC全等)4.如图，已知AB∥CD，O是∠ACD，∠CAB的平分线的交点，且OE⊥AC于E点，OE=12，求AB与CD之间的距离ABEOCD第8讲全等三角形章节复习复习纲要：三角形全等的判定一三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．推理模式：在△ABC与△DEF中∵∴△ABC≌△DEF(SSS)三角形全等的判定二有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)推理模式：在△ABC与△DEF中∵∴△ABC≌△DEF(SAS)三角形全等的判定三两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．推理模式：在△ABC与△DEF中∵∴△ABC≌△DEF(ASA)三角形全等的判定四两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．推理模式：在△ABC与△DEF中∵∴△ABC≌△DEF(AAS)三角形全等的判定五斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等．（ＨＬ）推理模式：在Rt△ABC与Rt△DEF中∵∴△ABC≌△DEF(HL)特别注意：全等三角形的判定中没有边边角定理，即不存在SSA定理反例如图：在△ABC与△DEF中，AB=DE,AC=DF,,显然这两个三角形不全等。角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。推理模式：∵于,于∴角平分线的判定定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。推理模式：∵于,于,∴点在的平分线上（或）典例分析例1.已知：如图，∠ABC=∠DEF，AB=DE，要说明ΔABC≌ΔDEF(1)若以“SAS”为依据，还要添加的条件为(2)若以“ASA”为依据，还要添加的条件为(3)若以“AAS”为依据，还要添加的条件为例2.（贵州铜仁9分）如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE=CF，BE=DF．求证：△ADE≌△CBF．例3.如图，C为线段AB上一点，△ACM和△CBN都是等边三角形，连接AN交MC于E,连接BM交NC于F.求证：①AN=MB，②CE=CF例4.如图，A、E、F、B四点共线，AC⊥CE、BD⊥DF、AE=BF、AC=BD，求证：△ACF≌△BDE.经典练习：1、下列条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′的是()A、AB=A′B′，∠A=∠A′，AC=A′C′B、AB=A′B′，∠A=∠A′，∠B=∠B′C、AB=A′B′，∠A=∠A′，∠C=∠C′D、∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′2．在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝44°15′，∠B＝67°12′，∠C′＝68°33′，∠A′＝44°15′，且AC＝A′C′，则这两个三角形（）A．一定不全等B．一定全等C．不一定全等D．以上都不对3．已知ΔABC中，AB=10，BC=15，CA=20，点O是ΔABC内角平分线的交点，(三角形三个内角的平分线交于一点)则ΔABO、ΔBCO、ΔCAO的面积比是()A．1:1:1B．1:2:3C．2:3:4D．3:4:54．如图，已知点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，则有()A．△ABD≌△AFDB．△AFE≌△ADCC．△AEF≌△DFCD．△ABC≌△ADE第5题图第4题图第3题图第5题图第4题图第3题图5．如图，AB>AC，点P为ΔABC的角平分线AD上一点，则下列说法正确的是（）A．AB–AC>PB–PCB．AB–AC<PB–PCC．AB–AC=PB–PCD．无法确定6．下列说法不正确的是（）A．有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等B．有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等C．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D．有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等7.在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是()A．1<AB<9B．3<AB<13C．5<AB<13D．9<AB<138、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过B作BE⊥AD于E，过E作EF∥AC交AB于F，则()A、AF=2BFB、AF=BFC、AF>BFD、AF<BFACDB9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BCACDB若BC=64，且BD：CD=9：7，则点D到AB边的距离为()A、18B、32C、28D、2410．（山东淄博）已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是()(A)两条边长分别为4，5，它们的夹角为β(B)两个角是β，它们的夹边为4(C)三条边长分别是4，5，5(D)两条边长是5，一个角是β图1211、如图10所示，有两个长度相同的滑梯(即BC=EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则△ABC≌△DEF，理由是______．图1212、如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是13.（山东临沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=cm．14．两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点.不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，点E为直角三角板的直角顶点，连结BE、EC。试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．AABCDE16.我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等?(1)阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等(证明略)．对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1Cl，∠C=∠Cl．求证：△ABC≌△A1B1C1．(请你将下列证明过程补充完整)证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1.则∠BDC=∠B1D1C1=900，∵BC=B1C1，∠C=∠C1，∴△BCD≌△B1C1D1，∴BD=B1D1．(2)归纳与叙述：由(1)可得到一个正确结论，请你写出这个结论．17.如图，PA、PC分别是外角与的平分线，并交于点P，PDBM于点D，PFBN于点F，求证：BP是的平分线。思考题1.已知：如图，在△ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，并交AB于点E，连结EG．（1）求证BG=CF；（2）试猜想BE+CF与EF的大小关系，并加以证明．2.如图，图（1）中等腰△ABC与等腰△DEC共点于C，且∠BCA＝∠ECD，连结BE，AD，若BC＝AC、EC＝DC．求证：BE＝AD；若将等腰△EDC绕点C旋转至图（2）（3）（4）情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么?（1）（1）（2）（3）（4） 第9讲全等三角形测试一.选择题(每小题3分,共30分)1、下列条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′的是()A、AB=A′B′，∠A=∠A′，AC=A′C′B、AB=A′B′，∠A=∠A′，∠B=∠B′C、AB=A′B′，∠A=∠A′，∠C=∠C′D、∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′2．在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝44°15′，∠B＝67°12′，∠C′＝68°33′，∠A′＝44°15′，且AC＝A′C′，则这两个三角形（）A．一定不全等B．一定全等C．不一定全等D．以上都不对3．已知ΔABC中，AB=10，BC=15，CA=20，点O是ΔABC内角平分线的交点，(三角形三个内角的平分线交于一点)则ΔABO、ΔBCO、ΔCAO的面积比是()A．1:1:1B．1:2:3C．2:3:4D．3:4:54．如图，已知点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，则有()A．△ABD≌△AFDB．△AFE≌△ADCC．△AEF≌△DFCD．△ABC≌△ADE第5题图第4题图第3题图第5题图第4题图第3题图5．如图，AB>AC，点P为ΔABC的角平分线AD上一点，则下列说法正确的是（）A．AB–AC>PB–PCB．AB–AC<PB–PCC．AB–AC=PB–PCD．无法确定6．下列说法不正确的是（）A．有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等B．有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等C．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D．有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等7、1．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是D，E，AD，CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是()

A.1B.2C.3D.48.在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是()A．1<AB<9B．3<AB<13C．5<AB<13D．9<AB<13AACDB9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=64，且BD：CD=9：7，则点D到AB边的距离为()A、18B、32C、28D、2410．（山东淄博）已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是()(A)两条边长分别为4，5，它们的夹角为β(B)两个角是β，它们的夹边为4(C)三条边长分别是4，5，5(D)两条边长是5，一个角是β二、填空题(每小题3分,共24分)11.已知ΔABC≌ΔDEF，A与D，B与E分别是对应顶点，∠A=52°，∠B=67°，BC=15cm，则∠F=°，FE=cm12.已知：如图，∠ABC=∠DEF，AB=DE，要说明ΔABC≌ΔDEF(1)若以“SAS”为依据，还要添加的条件为(2)若以“ASA”为依据，还要添加的条件为(3)若以“AAS”为依据，还要添加的条件为13．已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有

对全等三角形．14．如图(左)，△ABC≌△ADE，则，AB=

，∠E=∠

．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC=

°．15.如图（右），把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，则∠AB′D=°16.（山东临沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=cm．17.（甘肃白银）如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是．（只需填一个即可）18.如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠a的度数为三.解答题19．（7分）两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点.不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？20．已知（8分）：如图AB=CD，BC=DA，求证：∠A=∠C21．（8分）已知：如图，A、E、F、B四点在一条直线上，AC⊥CE，BD⊥DF，AE=BF，AC=BD。求证：CF=DE22.（8分）如图，已知AB=AC，AD=AE，BE与CD相交于O，ΔABE与ΔACD全等吗？说明你的理由。23.（广东广州8分）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：BD=CE．24.（贵州铜仁9分）如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE=CF，BE=DF．求证：△ADE≌△CBF．25．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，点E为直角三角板的直角顶点，连结BE、EC。试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．AABCDE26（9分）．如图1，的边在直线上，，且；的边也在直线上，边与边重合，且．（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系；（2）将沿直线向左平移到图2的位置时，交于点，连结，．补全图形后，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将沿直线向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长线于点，连结，．你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．图3图2图3图2图1图1第10讲轴对称知识点梳理：1、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识⑴轴对称图形：如果_____个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够________，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫做____________。⑵轴对称：对于____个图形，如果沿着一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成________，这条直线就是对称轴。两个图形中的对应点叫做__________2、线段垂直平分线的性质定义：过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上.1、如图：直线CD⊥AB，垂足为E，2、如图，若PA=PB且AE=BE，P是CD上一点，则P在的垂直平分线上∴=3、如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任意一对对应点所连线段的垂直平分线4、画线段AB的垂直平分线的方法：5、画一个图形的轴对称图形的方法：①找出构成原图形的关键点②分别作出这些关键点关于对称轴的对应点③连接这些对应点就可以得到原图形的轴对称图形6、点关于轴对称的点的坐标为，点关于轴对称的点的坐标为【经典例题】例1、（牡丹江）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．例2、观察下图中各组图形，其中成轴对称的为___________（填序号）．例3、李芳同学球衣上的号码是253，当他把镜子放在号码的正前方时，镜子中的号码是（）（（A）（B）（C）（D）例4、如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是多少？例5、如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠A=70°，∠B=60°，∠C=50°，求∠ADB+∠BEC+∠CFA的度数例6、如图所示，∠ABC内有一点P，在BA、BC边上各取一点P1、P2，使△PP1P2的周长最小．例7、例题：已知△ABC，过点A作直线L．求作：△A′B′C′使它与△ABC关于L对称．作法：（1）作点C关于直线L的对称点C′；（2）作点B关于直线L的对称点B′；（3）点A在L上，故点A的对称点A′与A重合；（4）连结A′B′、B′C′、C′A′．则△A′B′C′就是所求作的三角形．例8.在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF．例9.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，5），B（-4，3），C（-1，1）．作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，请直接写出点B′关于x轴的对称点的坐标．经典练习：1．下列几何图形中，eq\o\ac(○,1)线段eq\o\ac(○,2)角eq\o\ac(○,3)直角三角形eq\o\ac(○,4)半圆，其中一定是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．图9-19中，轴对称图形的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．下列图形中不是轴对称图形的是（）A．有两个角相等的三角形；B．有一个角是45°的直角三角形．C．有两个角分别是50°和80°的三角形D．平行四边形．4．如图9－13所示，△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AC于E，BE＝5厘米，△BCE的周长是18厘米，则BC＝厘米．5．如图9－14，在△ABC中，∠C＝90°．BD平分∠ABC交AC于D，DE垂直平分AB，若DE＝1厘米，BD=2厘米，则AC＝厘米．6．如图，若P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1