第2章信号的采样与重建

1、1第第2 2章章 信号的采样与重建信号的采样与重建 第第1 1章中我们讨论了离散时间信号，然而工程和现实章中我们讨论了离散时间信号，然而工程和现实生活中大部分信号为模拟信号。生活中大部分信号为模拟信号。如何对模拟信号进行数字如何对模拟信号进行数字处理？处理？本章主要讨论模拟信号的采样与重建，并引出采样本章主要讨论模拟信号的采样与重建，并引出采样定理、奈奎斯特采样频率的概念；对用到的模拟低通滤波定理、奈奎斯特采样频率的概念；对用到的模拟低通滤波器的特性指标进行了分析；并介绍了欠采样和采样率转换器的特性指标进行了分析；并介绍了欠采样和采样率转换技术。技术。2.1 2.1 数字信号处理系统的模拟接口

2、数字信号处理系统的模拟接口 数字信号处理数字信号处理：用数字序列表示信号，通过数字计算：用数字序列表示信号，通过数字计算机去处理这些序列。机去处理这些序列。 要对自然方式产生的模拟信号进行数字处理，则可按要对自然方式产生的模拟信号进行数字处理，则可按照以下方法进行。照以下方法进行。模拟信号数模拟信号数字化（字化（A/D)A/D)数字信号数字信号处理处理处理后的数字信号处理后的数字信号模拟化（模拟化（D/AD/A）具体过程如图具体过程如图2.12.1所示。所示。2图2.1 数字信号处理系统的框图A / D变换器通用或专用计算机采样保持器D/ A变换器平 滑滤 波器模拟信号模 拟信号连续时间信号连

3、续时间信号数 字信号抗混叠滤波器 模拟信号的采样与保持。模拟信号的采样与保持。所谓所谓采样采样是从模拟信号中是从模拟信号中“抽取抽取”信号的离散样值，最常用的采样方法是等间隔采信号的离散样值，最常用的采样方法是等间隔采样，即每隔一个固定的时间样，即每隔一个固定的时间T采一个信号样值，采一个信号样值，T称为采称为采样周期样周期。采样保持器按照设定的采样周期对信号进行采样，。采样保持器按照设定的采样周期对信号进行采样，并将采样得到的瞬时幅值并将采样得到的瞬时幅值保持保持至下一采样时刻。至下一采样时刻。理想采样理想采样保持器输出的是一阶梯状的波形，阶梯前沿的幅值与此刻保持器输出的是一阶梯状的波形，阶

4、梯前沿的幅值与此刻的模拟信号保持一致，阶梯的宽度就是采样周期的模拟信号保持一致，阶梯的宽度就是采样周期T见图见图2.2。采样保持器输出的是连续时间信号。但实际应用中采样保采样保持器输出的是连续时间信号。但实际应用中采样保持器总存在一定的偏差。持器总存在一定的偏差。3 A/D A/D转换转换-量化：量化：用二进制数码对应的电平替代采样电用二进制数码对应的电平替代采样电平值，图平值，图2.22.2中的小圆点处的幅度称为中的小圆点处的幅度称为量化电平。量化电平。 A/D A/D转换转换-数字化（编码）：数字化（编码）：将量化后的电平用将量化后的电平用二进制二进制数码数码表示。表示。 模拟信号的数字化

5、工程上通常用模拟信号的数字化工程上通常用A/DA/D转换器转换器来实现。来实现。 由由于于A/DA/D转换器采用有限的二进制位，所以表示的信号幅度也转换器采用有限的二进制位，所以表示的信号幅度也是有限的，若用是有限的，若用b b位二进制数码位二进制数码表示，则只能表示表示，则只能表示2 2b b个电平个电平（量化电平量化电平），所以），所以量化电平和模拟信号相比存在一定的误量化电平和模拟信号相比存在一定的误差，差，误差的大小和误差的大小和A/DA/D转换器的位数有关。转换器的位数有关。 A/D A/D转换器将采转换器将采样保持器的输出信号转换成数字信号，样保持器的输出信号转换成数字信号，A/D

6、A/D转换器的转换时转换器的转换时间应小于采样周期间应小于采样周期T T。A/DA/D转换后的信号是一串数字，不但在转换后的信号是一串数字，不但在时间上进行了离散化，在幅度上也进行了量化，这种信号称时间上进行了离散化，在幅度上也进行了量化，这种信号称为为数字信号数字信号。4模拟信号数字化模拟信号数字化: :采样、量化、编码。采样、量化、编码。图2.2 模拟信号的数字化数字信号数字信号数码量化电平模拟信号模拟信号采样保持信号采样保持信号量化电平量化电平0.380.380.630.630.810.810.890.890. 900. 900.870.870.750.750.610.610.360.3

7、60.240.240.140.145 为了便于进一步讨论连续时间信号的采样与重建的基本条为了便于进一步讨论连续时间信号的采样与重建的基本条件，对图件，对图2.12.1进行一定的简化，见图进行一定的简化，见图2.4.2.4.理想采样器理想采样器通用或专用通用或专用计算机计算机理想内插器理想内插器xa(t)x(n)y(n)ya(t)图图2.4 2.4 图图2.12.1的简化表示的简化表示 数字数字/ /模拟转换与平滑滤波。模拟转换与平滑滤波。工程上用工程上用D/AD/A转换器转换器实现从实现从数字信号到模拟信号的转换。数字信号到模拟信号的转换。 D/AD/A转换器的输出信号类似与转换器的输出信号类

8、似与采样保持信号，是一阶梯状的连续时间信号。采样保持信号，是一阶梯状的连续时间信号。D/AD/A转换器每转换器每得到一个数字就建立一个新的量化电平，并通过零阶保持在得到一个数字就建立一个新的量化电平，并通过零阶保持在T T时间段内保持此电平直至下一个数字到达时间段内保持此电平直至下一个数字到达，如此不断重复，如此不断重复，形成一个阶梯状的连续时间信号。形成一个阶梯状的连续时间信号。该信号与原模拟信号的频该信号与原模拟信号的频谱并不相同谱并不相同，只有通过，只有通过平滑滤波器平滑滤波器滤除高频分量，才能得到滤除高频分量，才能得到平滑的模拟信号。如图平滑的模拟信号。如图2.32.3所示。所示。6数

9、字信号转化成模拟信号数字信号数字信号数码量化电平D/A输出信号模拟信号模拟信号图2.3数字信号转换为模拟信号数字信号转换为模拟信号：D/AD/A转换、平滑滤波转换、平滑滤波72.2 2.2 模拟信号的采样与重建模拟信号的采样与重建 对于信号的采样与重建我们首先关心的是模拟信号经对于信号的采样与重建我们首先关心的是模拟信号经采样后是否能保持原有的信息；其次，由数字信号恢复模采样后是否能保持原有的信息；其次，由数字信号恢复模拟信号应该具备哪些条件？拟信号应该具备哪些条件？ 要清楚这些问题我们先来讨论要清楚这些问题我们先来讨论采样的过程采样的过程。对于等间隔。对于等间隔采样，设其采样周期为采样，设其

10、采样周期为T T，则其采样频率为，则其采样频率为fs=1/T,对应的角对应的角频率为频率为2 /2ssTf 。采样可以用图采样可以用图2.5(2.5(a) )所示的电子开关来实现。所示的电子开关来实现。( )pxt)(txaT12图图2.5(2.5(a) ) 电子开关示意图电子开关示意图开关每隔开关每隔T秒短暂地闭合一次，若秒短暂地闭合一次，若闭合时间为闭合时间为 秒，则采样器的输秒，则采样器的输出是一串重复周期为出是一串重复周期为T，宽度为，宽度为 的脉冲，脉冲的幅度是这段时间的脉冲，脉冲的幅度是这段时间内信号的幅度，这种取样称为内信号的幅度，这种取样称为脉脉冲取样或自然取样。冲取样或自然取

11、样。8这一采样过程可看作是一个脉冲调幅过程这一采样过程可看作是一个脉冲调幅过程，脉冲载波是一串，脉冲载波是一串周期为周期为T、宽度为、宽度为的矩形脉冲，以的矩形脉冲，以p(t)表示表示, ,见图见图2.5(2.5(b););调制信调制信号是输入的连续信号号是输入的连续信号xa(t), ,则采样输出为则采样输出为 ： ( )( ) ( )aaxtxt p t)(txa ( )ax t)(tp图图2.5(c) 2.5(c) 数学模型数学模型T)(tpt图图2.5(b) 2.5(b) 调制脉冲调制脉冲 一般一般很小很小, 越小，采样输出脉冲的幅度越接近输入信号在越小，采样输出脉冲的幅度越接近输入信号

12、在离散时间点上的瞬时值（采样信号图形如图离散时间点上的瞬时值（采样信号图形如图2.6(a)所示）。所示）。此过程可用图此过程可用图2.5(c)所示的数学模型表示。所示的数学模型表示。9 ( )( )( )aax tx t M t()( ) ()()aannx nTxnTnTttt 若开关闭合时间若开关闭合时间0时，时，p(t)则可认为是周期性的冲激函数则可认为是周期性的冲激函数，我们用，我们用M(t)表示这个周期冲激函数表示这个周期冲激函数, ,见图见图2.5(d)2.5(d)。nnTttM)()(t)(tM0图图2.5(d) M(t) 这种采样这种采样可看作是对周期冲激函数的调幅过程，称之可

13、看作是对周期冲激函数的调幅过程，称之为为冲激采样或理想采样冲激采样或理想采样。则采样后的输出信号则采样后的输出信号为为理想采样的时间波形图见图理想采样的时间波形图见图2.6(b)所示。所示。10t)(txa0t)(txa0t)(tp0t)( txa0t)(tM0t)( txa0(a)脉冲采样脉冲采样(b)理想采样理想采样0图图2.6 采样信号图形采样信号图形 ( )( ) ( )aaxtxt p t ( )( )( )aax tx t M t11采样信号的频谱采样信号的频谱)()()()(jXtxjXtxaaaa对于理想采样采样信号与连续时间信号有如下关系，对于理想采样采样信号与连续时间信号有

14、如下关系，)()()(tMtxtxaa对上式两边同时进行傅里叶变换得：对上式两边同时进行傅里叶变换得：dtetMtxjXtjaa)()()(其中：其中：M(t)是周期为是周期为Ts的周期脉冲信号，因此，可将其展的周期脉冲信号，因此，可将其展开成傅里叶级数：开成傅里叶级数：mmtjmmseanTttM)()(12sssfT22221( )sssTjmtmTsMt edtTa22221(1( )1)ssssssTjmtTnsTjmtTsstnT edtTt eTdtT其中：mtjmsmtjmmsseTeatM1)(dtetMtxjXtjaa)()()( ()()11( )( )asssjmtjmt

15、j taamjMsXmsx teedtx t edtTT 13)(1)(smasamjXTjX 所以，理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓所以，理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓, ,重复周期为重复周期为 s s( (采样频率采样频率) )，即，即采样信号的频谱是以采样信号的频谱是以 s为周期为周期的连续信号。的连续信号。图图2.7 2.7 频谱周期延拓频谱周期延拓sm21若若xa(t)是实带限信是实带限信号，且：号，且： 则采样信号的频谱如则采样信号的频谱如图图2.7所示。所示。)( jXa0s2s3sm1)(jXa0s2s3sm1/Ts1()()2SaasXjXjT 14sm

16、21若若xa(t)是实带限信号，但是实带限信号，但 则采样信号的频谱如图则采样信号的频谱如图2.82.8所示，此时频谱产生了所示，此时频谱产生了混叠。混叠。)(jXa0s2s3s图图2.8 2.8 频谱混叠频谱混叠 通常，将采样频率的一半通常，将采样频率的一半 称为称为折叠频率折叠频率，当信号，当信号的最高频率的最高频率(m)低于折叠频率时低于折叠频率时，采样信号的频谱不发生混叠采样信号的频谱不发生混叠，因此可将采样信号通过低通滤波器滤出基带频谱，恢复出原因此可将采样信号通过低通滤波器滤出基带频谱，恢复出原信号；而当信号的最高频率大于折叠频率时，信号；而当信号的最高频率大于折叠频率时，信号就被

17、反折回信号就被反折回来，造成频谱的混叠，来，造成频谱的混叠，一般就不可能无失真地滤出基带频谱。一般就不可能无失真地滤出基带频谱。/2s)( jXa0s2s3sm115 工程上为了防止频谱的混叠，在采样之前要加一工程上为了防止频谱的混叠，在采样之前要加一抗混叠滤波器抗混叠滤波器使得信号的最高频率小于采样频率的一使得信号的最高频率小于采样频率的一半。教材半。教材p51p51表表2.12.1列出了一些典型信号的上限频率和列出了一些典型信号的上限频率和采样频率。采样频率。 一般将能够恢复出原始信号的最低采样频率（一般将能够恢复出原始信号的最低采样频率（ ），称为，称为奈奎斯特奈奎斯特(Nyquist)

18、(Nyquist)采样频率。采样频率。2m 下面我们讨论从离散信号中下面我们讨论从离散信号中恢复出连续时间信恢复出连续时间信号号的相关问题。的相关问题。16如果理想采样满足奈奎斯特定理，即信号最高频率谱不超如果理想采样满足奈奎斯特定理，即信号最高频率谱不超过折叠频率过折叠频率: 则理想采样的频谱就不会产生混叠，因此有则理想采样的频谱就不会产生混叠，因此有 将采样信号通过一个理想低通滤波器（将采样信号通过一个理想低通滤波器（特性如图特性如图2.9(a)2.9(a)所所示滤波器的示滤波器的带宽等于带宽等于 c c),),则可恢复出原连续时间信号。则可恢复出原连续时间信号。()2()02ssaasT

19、 XjXj 1()()aasmsXjXjjmT 1()()2saasXjXjT 理想低通滤波器理想低通滤波器()aXj()Y j()H j17若低通滤波器的频率响应为若低通滤波器的频率响应为:则采样信号通过滤波器后所得输出信号为：则采样信号通过滤波器后所得输出信号为：图图2.9(a) 低通滤波器的系统特性低通滤波器的系统特性()0cscTH j mcsm 当：当：)(jXa0s2s3smc1/TSTS0 c H(j )Ts- c()()()aY jXjH j 1()()()()()0aSacsacXjTXjTY jXjH j 18实际上，理想低通滤波器是不可能实现的，但在满足一定实际上，理想低

20、通滤波器是不可能实现的，但在满足一定精度的情况下，总可用一个可实现网络去逼近。精度的情况下，总可用一个可实现网络去逼近。下面下面从时域讨论从时域讨论采样信号采样信号 通过理想低通滤波器通过理想低通滤波器 H(j )的响应过程。的响应过程。)(txa221( )()22ssj tj tsTh tH jededtTtTttsssin22sin采样信号经理想低通后的输出采样信号经理想低通后的输出(如图如图2.9(b)所示）为所示）为: h(t)()()()aY jXjH j H(j )(jXa图图2.9(b) 2.9(b) 信号信号恢复的原理图恢复的原理图 ( )ax t( )( ) *( )ay

21、txth t理想低通理想低通H(j )的冲激响应为的冲激响应为 19( ) ()(ananxnT h tnTxh tnT d ( ) ()( ) ()( )naaaxh tdxnhtTtdx 即： 这里，这里， 如下式所示，称为如下式所示，称为内插函数内插函数,其特点是：在其特点是：在采样点采样点nTs上，函数值为上，函数值为1，其余采样点上，值为零（见图，其余采样点上，值为零（见图2.102.10）。）。()h tnT内插公式表明：内插公式表明：连续函数连续函数 可以由它的采样值可以由它的采样值 来来表示，它等于表示，它等于 乘上对应的内插函数的总和乘上对应的内插函数的总和，如图，如图2.1

22、02.10所示。所示。)(txa)(nTxa)(nTxa( )( )( )* ( )aax ty tx th tsin()()()tnTTh tnTtnTT20图图2.10 2.10 采样内插恢复采样内插恢复 在每一个采样点上，由于只有该采样值对应的内插函数在每一个采样点上，由于只有该采样值对应的内插函数为为1 1，其他采样点处的内插函数值为零，所以保证了各采样点，其他采样点处的内插函数值为零，所以保证了各采样点上信号值不变，而采样之间的信号则由各采样值内插函数的上信号值不变，而采样之间的信号则由各采样值内插函数的波形延伸迭加而成。波形延伸迭加而成。 内插公式的意义内插公式的意义: : 证明了

23、证明了只要满足采样频率高于信号最高频谱的只要满足采样频率高于信号最高频谱的两倍两倍，整，整个连续信号就可以用它的采样值完全代表，而不损失任何信个连续信号就可以用它的采样值完全代表，而不损失任何信息息奈奎斯特定律。奈奎斯特定律。21( )6cos(60)3sin(300)2cos(340)4cos(500)10sin(660)av tttttt 例例2.12.1 对一个模拟信号对一个模拟信号 进行等间隔采样，采样频率进行等间隔采样，采样频率为为200Hz200Hz，得到离散时间信号，得到离散时间信号 。 由频率为由频率为30Hz,150Hz,170Hz,250Hz,330Hz30Hz,150Hz

24、,170Hz,250Hz,330Hz的的5 5个正弦信号的加权和构成个正弦信号的加权和构成, , 分析采样后信号的混叠效应。分析采样后信号的混叠效应。 ( )av t( )v n( )av t200H ,/,sssfzTf 解：因为所以， 所以采样后的离散时间信号为( )6cos(0.3)3sin(1.5)2cos(1.7)4cos(2.5) 10sin3.3)6cos(0.3)3sin(20.5 ) 2cos(20.3 ) 4cos(20.5 ) 10sin(40.7 ) 6cos(0.3)3sin(0.5)2cos(0.3)4cos(0.5) 10sin(v nnnnnnnnnnnnnnn

25、0.7)8cos(0.3)5cos(0.50.6435) 10sin(0.7)nnnn22( )8cos(0.3)5cos(0.50.6435) 10sin(0.7)v nnnn( )aw t 由此可见，该采样信号只包含三个频率成分，产生了频由此可见，该采样信号只包含三个频率成分，产生了频谱混叠谱混叠( (由于采样频率由于采样频率200Hz200Hz小于信号包含的频率小于信号包含的频率150Hz,170Hz,250Hz,330Hz150Hz,170Hz,250Hz,330Hz的两倍，因此采样中这些频率均的两倍，因此采样中这些频率均会产生折叠）；与频率为会产生折叠）；与频率为30Hz,50Hz,

26、70Hz30Hz,50Hz,70Hz的三个连续时间正的三个连续时间正弦信号的加权和构成模拟信号弦信号的加权和构成模拟信号 按按200Hz200Hz的采样频率进行的采样频率进行等间隔采样产生的离散时间信号具有相同的形式。等间隔采样产生的离散时间信号具有相同的形式。( )8cos(60)5cos(1000.6435) 10sin(140)aw tttt232.32.3* * 采样与重建中的模拟低通滤波器指标特性采样与重建中的模拟低通滤波器指标特性2.3.1 2.3.1 滤波器的幅频特性滤波器的幅频特性 一般说来，一般说来，理想理想滤波器可分为四种，滤波器的幅频特性是滤波器可分为四种，滤波器的幅频特

27、性是分段函数，如图分段函数，如图2.11(a)2.11(a)(d)(d)所示；所示；()LPHj01(a)cc()HPHj01(b)cc()BPHj01(c)1c2c2c1c()BSHj01(d)1c2c1c2c图图2.11 四种类型的理想模拟滤波器四种类型的理想模拟滤波器24图图 2.12(e) 低通滤波器的幅频特性低通滤波器的幅频特性10通带过渡带阻带cr211()H j但实际的滤波器其幅频特性并不是锐截止的通带和阻带但实际的滤波器其幅频特性并不是锐截止的通带和阻带两个范围两个范围，两者之间有一个过渡带，两者之间有一个过渡带，如图如图2.12(e)2.12(e)所示；在所示；在通带内幅度响

28、应以误差通带内幅度响应以误差 逼近于逼近于1 1，在阻带内幅度响应以误，在阻带内幅度响应以误差差 逼近于逼近于0.0.12121()1()crH jH j 其中其中c、r分别称为通带通带边界频率和边界频率和阻带边界频率阻带边界频率, ,rcrc 并且为过渡带。25在具体技术指标中通常用通带波动通带波动和最小阻带衰减最小阻带衰减t来表示：1max1min2max220lg(1)20()120lg20lg()11120lg20lg)lg(crH jH jHtjA 通带内max()1H j阻带内2max()H j262.3.2 2.3.2 抗混叠滤波器的指标特性抗混叠滤波器的指标特性 根据采样定理，

29、若模拟信号根据采样定理，若模拟信号xa(t)是实带限信号，并且最是实带限信号，并且最高频率分量高频率分量c不超过不超过s/2，用，用s的采样频率采样后的信号的采样频率采样后的信号x(n)可以不失真的重建原有的连续信号。如果上述条件得不可以不失真的重建原有的连续信号。如果上述条件得不到满足，在采样过程中就会产生混叠，模拟信号到满足，在采样过程中就会产生混叠，模拟信号xa(t)就不能就不能被重建。对于这种情况，在实际应用中就在采样之前加一抗被重建。对于这种情况，在实际应用中就在采样之前加一抗混叠滤波器首先对模拟信号进行滤波。混叠滤波器首先对模拟信号进行滤波。理想模拟抗混叠滤波器应当满足：理想模拟抗

30、混叠滤波器应当满足：1/2()0/2ssH j 这是一个理想低通滤波器，实际应用中是无法实现这是一个理想低通滤波器，实际应用中是无法实现的。通常是设计一低通滤波器逼近这个理想滤波器，在的。通常是设计一低通滤波器逼近这个理想滤波器，在1/2.13ccs 时逼近 ，而在和之间设一过渡带，见图2(a)。2701()H j/2sc01()H j/2scsc (a)(b)图图2.13 2.13 抗混叠滤波器的指标分配抗混叠滤波器的指标分配(a)(a)过渡带无混叠过渡带无混叠(b)(b)过渡带增加一倍过渡带增加一倍/2cs由图可见，越接近，则过渡带越窄，对抗混叠滤波器的要求越高。/2.13-scsscsc

31、scs 在一些场合只希望频率范围内的损耗尽量小，而不介意在至之间产生的混叠失真。这时就可以放宽滤波器的指标，将过度带扩大一倍，将阻带边界设在-处，见图2 (b)。显然/2到处的频率分量将混叠进入到/2处，产生失真。28 无论是那种模拟抗混叠滤波器方案，其过渡带宽均无论是那种模拟抗混叠滤波器方案，其过渡带宽均与采样频率直接相关。采样频率越低，与采样频率直接相关。采样频率越低，/2,sc越接近则过渡带越窄，对抗混叠滤波器的要求越高。 为了降低对模拟抗混叠滤波器的指标要求，便于设为了降低对模拟抗混叠滤波器的指标要求，便于设计和实现抗混叠滤波器，可以采取的方法之一是提高采计和实现抗混叠滤波器，可以采取

32、的方法之一是提高采样频率。由图样频率。由图2.142.14可见，采样频率提高后抗混叠滤波器可见，采样频率提高后抗混叠滤波器的过渡带加宽。的过渡带加宽。ccss()aXj0()sHj抗混叠滤波器()aXjccss0()sHj抗混叠滤波器图图2.14 不同采样率情况下的抗混叠滤波器带宽变化情况不同采样率情况下的抗混叠滤波器带宽变化情况29 一个过渡带比较平稳的模拟滤波器用较少的元器件一个过渡带比较平稳的模拟滤波器用较少的元器件即可实现，即可实现，通常设计时选择采样频率远大于信号最高频通常设计时选择采样频率远大于信号最高频率的两倍率的两倍。当然，采样频率选得越高，。当然，采样频率选得越高，A/DA/

33、D转换器的性能转换器的性能要求也越高，采样数据量增加，系统的运算速率也必须要求也越高，采样数据量增加，系统的运算速率也必须提高，本书的第七章将讨论解决这一问题的方案提高，本书的第七章将讨论解决这一问题的方案-过采过采样技术。样技术。2.3.3 2.3.3 平滑滤波器的指标特性平滑滤波器的指标特性 由前面的讨论可知，由前面的讨论可知，D/AD/A转换器包含一个零阶保持器，转换器包含一个零阶保持器，等效于图等效于图2.15(a)2.15(a)。D/AD/A转换器每得到一个数字就建立一个转换器每得到一个数字就建立一个新的电平，并通过零阶保持器在新的电平，并通过零阶保持器在T T时间段内保持此电平直时

34、间段内保持此电平直至下一个数字到达，如此不断重复，形成一个阶梯状的连至下一个数字到达，如此不断重复，形成一个阶梯状的连续时间信号。该信号的频谱是原模拟信号的频谱的周期延续时间信号。该信号的频谱是原模拟信号的频谱的周期延拓，只有通过平滑滤波器滤除镜像高频分量，才能得到平拓，只有通过平滑滤波器滤除镜像高频分量，才能得到平滑的模拟信号。如图滑的模拟信号。如图2.32.3所示。所示。平滑滤波器的指标要求直平滑滤波器的指标要求直接和零阶接和零阶保持其相关。保持其相关。30( )y n()zy t( )zh t(a)tT01( )zh t(b)图2.15 离散时间系统模型(a) 零阶保持器模型(b) 零阶

35、保持器的冲激响应 理想零阶保持器的冲激响应等效应一矩形脉冲，其宽理想零阶保持器的冲激响应等效应一矩形脉冲，其宽度为度为T T，高度为，高度为1 1，见图，见图2.15(b)2.15(b)。正如前面所讨论的，。正如前面所讨论的，D/AD/A输入的数字输入的数字y(n)的频谱是以采样角频率的频谱是以采样角频率ss为周期的，在一为周期的，在一个周期中是关于个周期中是关于s/2s/2对称的。通过对称的。通过D/AD/A转换后，我们只希转换后，我们只希望保留望保留-s/2s/2至至s/2s/2间的频率分量，滤除其他所有频率分间的频率分量，滤除其他所有频率分量。零阶保持器能否做到这一点呢？量。零阶保持器能

36、否做到这一点呢？31零阶保持器的频率响应为零阶保持器的频率响应为0sin(/2)()( )/2Tj tj tj tzzTHjh t edtedte ()zHj2/sk Tk 处， 具有按指数规律衰减的特性，并且在具有按指数规律衰减的特性，并且在()0,2.16zHj 见图所示。()zHj0ss2s2s图图2.16 零阶保持器的频率响应零阶保持器的频率响应/2s 尽管对于尽管对于 的频率分量，的频率分量， 有一定的衰减，有一定的衰减，但衰减远不能满足要求，但衰减远不能满足要求， 以上的频率分量仍需进一步以上的频率分量仍需进一步滤除。滤除。()zHj/2s4dB32()zHj0ss2s2s图2.1

37、6 零阶保持器的频率响应T4dB/2/2sin(/2)()0/2j TsseTH j 在实际应用中只需保留在实际应用中只需保留 ( )( )以下的频率分以下的频率分量，滤除量，滤除 以上的频率分量可加一模拟低通滤波器；注以上的频率分量可加一模拟低通滤波器；注意到意到 在在 处有处有4dB4dB的衰减，的衰减，平滑滤波器应当逼近平滑滤波器应当逼近c/2cs /2s()zHj/2s33 对于上述模拟滤波器实现起来有以下两点困难，对于上述模拟滤波器实现起来有以下两点困难，(1)(1)带带内为单调上升的模拟滤波器，内为单调上升的模拟滤波器，(2)(2)相位超前相位超前 的非因果滤波的非因果滤波器。对于

38、这种频响特性滤波器采用数字滤波器实现会更加方器。对于这种频响特性滤波器采用数字滤波器实现会更加方便，这一实现方法在学习数字滤波器时再讨论。便，这一实现方法在学习数字滤波器时再讨论。T1/2()0/2ccH j s 实际上只要选择的采样频率实际上只要选择的采样频率 远大于远大于2 2 ，平滑滤波器的，平滑滤波器的频响特性便可写成频响特性便可写成cc/2s 也就是说，也就是说， 远小于远小于 时，零阶保持器的频率响应时，零阶保持器的频率响应可近似地看作是平坦的，而相位超前半个采样周期的非因可近似地看作是平坦的，而相位超前半个采样周期的非因果的模拟系统是无法实现的。果的模拟系统是无法实现的。342.

39、42.4* * 连续时间带通信号的采样连续时间带通信号的采样 在在2.22.2节中，给出了用等间隔采样产生的离散时间信号节中，给出了用等间隔采样产生的离散时间信号表示模拟信号的基本条件，其条件是模拟信号的有效频率分表示模拟信号的基本条件，其条件是模拟信号的有效频率分量带限于直流和量带限于直流和ss之间，采样频率之间，采样频率 ，这样的模拟信，这样的模拟信号通常称为号通常称为低通信号低通信号。2sc 12 10 然而，在很多应用中，模拟信号的有效频率分量是带现然而，在很多应用中，模拟信号的有效频率分量是带现在一个更高的频率范围在一个更高的频率范围 ，其中，其中 。这样的信号被。这样的信号被称为称

40、为带通信号带通信号，通常有低通信号调制而成。为防止混叠，当，通常有低通信号调制而成。为防止混叠，当然可以用高于最高频率的然可以用高于最高频率的2倍的采样信号对这样的带通模拟信倍的采样信号对这样的带通模拟信号进行采样，即号进行采样，即 。22s 然而，这种情况下，由于模拟信号的频谱是带通的，大量然而，这种情况下，由于模拟信号的频谱是带通的，大量的频率分量是零，采样所获得的离散时间信号的频谱同样在很的频率分量是零，采样所获得的离散时间信号的频谱同样在很宽的频带上其频率分量为零。此外，一般情况下的宽的频带上其频率分量为零。此外，一般情况下的 和和 均较高，采样频率就更高，甚至无法实现。均较高，采样频

41、率就更高，甚至无法实现。1235 对于上述情况若降低采样频率，则采样后的带通信号对于上述情况若降低采样频率，则采样后的带通信号的频谱会混叠，但由于带通信号的大量频率分量为零，如的频谱会混叠，但由于带通信号的大量频率分量为零，如果仅仅与零频率分量的频带产生混叠，带通信号依然可以果仅仅与零频率分量的频带产生混叠，带通信号依然可以恢复重建。恢复重建。212M 2 令为这个带通信号的带宽，首先假设这个信号的最高频率分量是带宽的整数倍，即 222ssM 选择合适的采样频率来满足这个条件 s2这里的采样频率比奈奎斯特采样频率2要低，成为欠采样。3611()( ()( (2)aasammXjXjmXjmTT

42、 2()()21.17( )( )24aaaasXjXjTx tx tMM 显然，是以为周期进行周期延拓，并对频谱幅度乘以。条件是每个周期的频谱分量不重叠。图2给出了原始的模拟信号的频谱和采样和的信号的频谱，采样频率由为给出，其中。根据采样定理可得欠采样信号的频谱为根据采样定理可得欠采样信号的频谱为图图2.17 带通信号的欠采样带通信号的欠采样 M=41122 2s()aXj1T0(b) 欠采样信号的频谱欠采样信号的频谱()aXj1122 10(a)带通信号的频谱带通信号的频谱37 从图中可以看出，从图中可以看出， 经过一个理想的通带经过一个理想的通带为为 ，增益为，增益为T T的带通滤波器，

43、可恢复出的带通滤波器，可恢复出 。 ( )ax t12 ( )ax t 如果这个信号是低通信号调制而得，可以将如果这个信号是低通信号调制而得，可以将 经经过一个通带为过一个通带为 的低通滤波器恢复出调制信号的低通滤波器恢复出调制信号分量。这种方法常用于数字无线电接收机中。分量。这种方法常用于数字无线电接收机中。0 ( )ax t 如果如果 不是不是 的整数倍，可以人为地向左或向右的整数倍，可以人为地向左或向右扩展带宽，使得带通信号的最高频率是扩展带宽的整数倍。扩展带宽，使得带通信号的最高频率是扩展带宽的整数倍。例如，把带宽向左扩展，并假设带通信号的最低频率为例如，把带宽向左扩展，并假设带通信号

44、的最低频率为 ，选择选择 使其满足使其满足 是扩展带宽是扩展带宽 的整数倍。图的整数倍。图2.182.18所所示带宽向左扩展，并取示带宽向左扩展，并取 。在这种情况下，。在这种情况下， 的的采样信号的频谱采样信号的频谱 会在频段之间存在一定的间隙。同会在频段之间存在一定的间隙。同样通过一个适当的带通滤波器可以重建原模拟信号。样通过一个适当的带通滤波器可以重建原模拟信号。221 020 3M ( )ax t()aXj2038(a) 扩展带宽后带通信号的频谱(b) 采样信号的频谱()aXj1122 10001122 2s()aXj1T000图2.18 扩展带宽后按M=3采样392.5 2.5 离散

45、信号的采样与插值离散信号的采样与插值2.5.1 2.5.1 离散信号的采样离散信号的采样整数整数M M抽取（抽取（Decimation)Decimation) 离散时间信号的采样实际上是一抽取过程，它使得采离散时间信号的采样实际上是一抽取过程，它使得采样率降低。这里仅仅考虑样率降低。这里仅仅考虑x(n) 的的采样率降低整数采样率降低整数M M倍倍的抽的抽取过程，即取过程，即( )()y nx Mn 保留第保留第M M个样本点，而去除个样本点，而去除M M个样本点中的个样本点中的M-1M-1个样本点，个样本点，见图见图2.19.2.19.x(n)01 2 3 415 n120345y(m)n图2

46、.19 M=3的离散信号抽取40 设原有的离散信号设原有的离散信号x(n)的采样周期为的采样周期为T,T,经过经过M M倍抽取后倍抽取后y(n)的采样周期为的采样周期为T T，满足，满足111sssTMTMTTfffTMTM即：这时新的采样频率为 ( )DTFT ()22jssx nX ef T的是周期性的，即以为周期无限地重复。DTFT,()()jjY eX e那抽取之后的信号的即是什么样的？与之间有何关系？( )0, 2( )0( )( )( ),( )x nnMMx ny mx nx nnx n定义信号 其它也就是说，在采样瞬间但在其他的 上等于零。4112/01( )( )( )( )

47、,)Mjnl MklnkMex nx nMx nx nn 根据2.2节采样信号的表示方法，可以表示为 ( )()()y mx Mmx Mm因此， -112/2/0012/1/0( )Z( )()( )11( )( )1()mmk MmmkMMjkl Mk Mjlk Mmk Mk MkllkMjl MMly mY zy m zx Mm zx k zx kezx k ezMMX ezM 令的 变换为， ）42112/1/( 2)/00( )( )DTFT11 ()( )()()jjjMMjjl MMjlMz ez ellzzeY zy mY eY zX ezX eMM在单位圆上取值，即时，计算，即

48、可得到的2fT式中， 。是对信号x(n)抽取后DTFT的表达式，( )( )M1()()Mjjy nx nY eX eM 从序列的尺度变换的角度看，是的压缩（倍），则应是的扩展（倍），幅值为原来的。 /()0,11()()(),02.20,2.20 d ,jjjjMjX eX eMY eX eX eMMMM采样率降低倍后的信号频谱无混叠，见图(c)采样率降低倍数大于则会引起信号频谱混叠，见图如果信号满足 （则43()aXj0(a)图2.20 离散时间信号抽取前后的频谱特征()jX e0221T(b)1sfT341()jY e022(c)412T12sfT2342()jY e022(d)414T

49、6614sfT4344 类似于模拟信号的采样，为了防止混叠，在采样之前类似于模拟信号的采样，为了防止混叠，在采样之前必须采用抗混叠低通滤波器对信号必须采用抗混叠低通滤波器对信号x(n)进行滤波，滤波器进行滤波，滤波器的特性应当逼近的特性应当逼近1()0jMH eM()jH e 实际低通滤波器的频响特性表示为实际低通滤波器的频响特性表示为 ，其单位脉，其单位脉冲响应为冲响应为h(n),称为抽取滤波器。对滤波器输出以整数称为抽取滤波器。对滤波器输出以整数M M倍倍作抽取得到作抽取得到y(m),这一过程示于图2.21(a)，图中“ ” 表示整数M倍抽取，抽取滤波器的特性见图2.21(c),则可得图2

50、.21(d)的输出结果。对滤波器输出再作抽取将不产生混叠，见图2.21(e)。M45 h(n)Mx(n) w(n)ff抽取滤波器抽取滤波器抽取器抽取器y(m)/ffM(a)2()jX e0(b)2()jH e0M(c)图图2.21具有抽取滤波器的离散信号抽取过程及各部分信号的频谱具有抽取滤波器的离散信号抽取过程及各部分信号的频谱2()jY e0468(e)2()jW e0M(d)462.5.2 2.5.2 离散信号的插值离散信号的插值整数整数L L倍内插倍内插 对离散时间信号的最简单的插值方法是插零，首先讨论插零后信号频谱的变化。所谓插零，即对信号即对信号x(n)的两个采样点之的两个采样点之间插入间插入L-1个零个零。此时采样频率提高此时采样频率提高L倍倍，得到新的采样周期 ,即T1TTL ssfLf而新的采样频率为0( )L-1()0, 2 ,( )0 x nmxmLLy mL在的每对采样点之间用个零值插入，得到信号 其它1TTL470-00-( )Z( )( )()( )()mmnLmmnLy mmY zy m zxzx n zLX z 内插信号的 变换为 0,()()22jjjLzeY eX effT在单位圆上取值，即则得到 式中，。0( )-L, 4