2022年高考数学大复习小题课时练31 直线的倾斜角和斜率 解析版

1、课时31直线的顿斜角和斜率(基础题)一、单选题1.(上海市七宝中学(理)若直线/的一个法向量” = (3,1),则直线/的一个方向向量和倾斜角分别为(A. (1,3), arctan(3)B. (1,-3), arctan(3)C. (1,3), arctan(3)D. (1,-3), arctan【答案】B(分析先根据直线的法向量，求出直线的一个方向向量，由此求出直线的斜率，进而求得直线/的倾斜角.【详解】解：.直线/的一个法向量为元= (3,1),直线/的一个方向向量为(1,-3),设直线/的倾斜角为%则有taim =, = _3,乂04a乃，倒”一arctan(3), 故选：B 【点睛】

2、本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，宜 线的法向量和方向向量的定义，属看基础题.2. (2018上海高三一模)直线/的法向量是万= 3,。)，若而0,则直线/的倾斜角为,b、-abA. arctan()B.arctan()C.n + arctan D.n + arctan abba【答案】B 【分析】设a为直线的倾斜角，则根据法向量可得方向向量为，故斜率为gtana = -£,由"0知-二0，因此可用反三角函数表示倾斜角. b【详解】直线的方向向量为(-4。)，所以其斜率为4 = -：. b设其倾斜角为a ,则tan a = -

3、 .b乂ab。、所以-£0,故且。= arctan(-£),故选 B.arctan x e【点睛】用反三函数表示角时，要注意反三角函数值角的范围；如arcsinxe. arccosA G().也要注意所要表小的用的范围，如本题中也线的方向向心若为他。川必0 ,因倾斜角的范围为O，P），故直线的倾斜角为1+ arctan£.3. （2020上海高三专题练习）直线ar + by + c = 0（a<0,<0）的倾斜角是（）.aaA. -arc tanB. n4-arc tan bh一.（'冗a1 b）2b【答案】C【分析】计算直线斜率为 = -&#

4、163;<0，得到倾斜角. b【详解】线ar + by + c = 0（a<0,b<0）,则后=_£<0,故倾斜角为%+ arc tan （一1）.故选：C.【点睛】本题考查了求直线倾斜角，反二角函数，属于简单题.二、填空题4. （2017上海市七宝中学高三开学考试）已知直线4：>/Ir-y + 2 = O, /2：3x+6y-5 = 0,则直线4与4的夹角是.【答案】y【分析】将直线方程化为斜截式方程，进而求得倾斜角，再求解夹角即可.【详解】解：将直线方程化为斜截式方程得：y = x/Ir + 2,/2：y = -6x +苧=0,所以直线4的倾斜角为（

5、，直线的倾斜角为与，所以宜线八2的夹角是？故答案为：y5. （2020上海静安）若直线乙和直线4的倾斜角分别为320和152则4与4的夹角为.【答案】60【分析】直接利用角的运算的应用求出结果.【详解】直线/i和h的倾斜角分别为32。和152%所以直线/i和的夹角为180。- （152。-32。）=60°.故答案为：60°.【点暗】本题考杳的知识要点：立线的倾斜角及夹角的定义，主要考杳学生的运算能力和转换能力，属于 基础题型.6. （上海徐汇高三模拟预测（文）若2 =（3,2）是直线/的一个方向向量，贝IJ/的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.2【答案】arcta

6、n 【分析】由方向向量求斜率，再求倾斜角.【详解】团2 = （3,2）是宜线/的一个方向向量，所以其斜率为女=：，倾斜角为arctang.2 故答案为：arctan-.【点睛】本题考查直线的倾斜角，考查方向向量与斜率的关系.直线的斜率为左，则其一个方向向量为（1,%）.7. （2020上海闵行高三二模）若直线6+与+ 1 = 0的方向向量为（1/），则此直线的倾斜角为.【答案】T4【分析】利用直线的方向向量算出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角.【详解】解：团直线以+分+ 1 = 0的方向向量为（1,1）,国直线的斜率为1,团直线的倾斜角为N.4JT故答案为：-4【点睛】本题主要考查了直线的方向

7、向量，以及直线的倾斜角，是基础题.8. （2019上海市大同中学）直线（feR）的倾斜角是.（用反三角表示）y = l-2f【答案】乃-arctan2【分析】将直线的参数方程整理为直线的一般方程，进而得到倾斜角【详解】由题，可得y = 1 2（xl） = -2x+3,设倾斜角为atana = -2,： a e0,万）.".a = arctan2【点睛】本题考查直线的参数方程与般方程的转化,考查反三角函数求角9. （2020上海高三专题练习）若元=（-2,1）是直线/的一个法向量，则/的倾斜角的大小为 （结果 用反三角函数值表示）【答案】arctan 2【分析】根据巨线的法向量求出直线

8、的一个方向向3,从而得到直线的斜率，根据k = tana,即可求解直线 的倾斜角。【详解】山7 = （-2,1）是直线I的一个法向量，所以可知直线/的一个方向向量为（1,2）,直线/的倾斜角为a,可得& = tana = 2,所以直线的倾斜角为a = arc tan 2.故答案为：arctan 2。【点睛】本题上要考查了直线的方向向量，以及直线的斜率与倾斜角的应用，其中解答中根据直线的方向 向量求得宜线的斜率是解答的关键，着重考杳了计算能力，属于基础题。10. （2018上海市向明中学高三开学考试）一条直线经过点M（Y,3）,其倾斜角是直线x-2y + 8 = 0的倾 斜角的两倍，则此

9、直线方程为.【答案】4x-3y+25 = 0【分析】先记直线x-2y + 8 = 0的倾斜角为。，则tan"；,根据题意求出所求直线的斜率，再由直线过点M（T,3）,根据直线的点斜式方程，即可得出结果.【详解】设宜线x-2y + 8 = 0的倾斜角为。，则tanH = ；,因此，所求直线的斜率为左又该直线过点M（Y,3）,所以所求直线方程为：y-3 = ：（x+4）,即4x-3y + 25 = 0.故答案为4x-3y + 25 = 0【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记直线的点斜式方程，以及二倍角的正切公式即可，属于常考题 型.11. （2020上海静安）若直线/的一个法向量为A

10、= （2,1）,则若直线/的斜率&=.【答案】-2【分析】根据题意，分析可得直线/的方向向量为（1, k）,进而分析可得用.无= 2+k=0,解可得k的值, 即可得答案.【详解】根据题意，设直线/的斜率为k,则其方向向量为而=(1, k),若直线/的一个法向量为万=<2, 1),则有所方= 2+k=0,解可得k=-2；故答案为：-2.【点睛】本题考查直线的斜率以及直线的法向量，注意直线方向向量的定义，属于基础题.12. (2020上海市南洋模范中学高三期中)已知直线/的一个法向量是d= (1,-6)，则此直线的倾斜角的大小为【答案】O【分析】设直线的方向向量为而=(力)，直线的倾

11、斜角为a.利用嬴=0,即可得出.【详解】解：设直线的方向向量为记= (a,6),宜.线的倾斜角为a .则 m*n = a - -73b = 0 .h 43 t 一 = = tan ct,a 37t6故答案为：7. o【点睛】本题考查r直线的方向向量与法向量、向量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础题.13. (2016上海市川沙中学高三开学考试)已知等差数列。"中，%=3, a=9,则过点P(,a,),C(n+2OO8,an+2flO8)(为正整数)的直线的倾斜角为.【答案】arctan 6【分析】根据等差数列的性质和斜率公式可求出直线的斜率，即可根据Jl = tana,求出

12、倾斜角.【详解】因为等差数列。“公差d= 4-4)= 6, nna - &20084,所以直线的斜率k = /二驱;” =-T- = d = 6,即直线的倾斜角为airtan6.(十 ZUUo I _ 77 ZUvo故答案为：arctan6.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，斜率公式的应用以及根据斜率求直线倾斜角，属于基础题.14. (2020上海市七宝中学)若宜线方程ar+y+c = 0的一个法向量为(百,-1),则此直线的倾斜角为【答案】y 【分析】根据题意首先求出直线的一个方向向量，然后再求出直线的斜率，根据直线的斜率与倾斜角的关 系即可求解.(详解设匕线的一个方向向量为a =

13、 (x,y)山直线方程ax +by +c = 0的一个法向量为(6, -1),所以 6x-y = 0,令 x = l,则 y = >A所以直线的个方向向量为(1,0)，% =乎=6，设直线的倾斜角为a , ill A = tana ,所以宜线的倾斜角为：a = y.故答案为：y【点睛】本题考查了宜线的法向量、方向向量、宜线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题.15. (2019上海市奉贤区奉城高级中学)若直线/的方程为xcosa-y + 3 = 0(ae/?),则其倾斜角的取值范 围是【答案】卜件,L 4j L 4 )【分析】由斜率与倾斜角的关系即可求得.【详解】解：vxcosa-y + 3

14、 = 0 ,即 y = xcosa + 3 ,宜线的斜率)= cosa ,即丘-15，设宜线的倾斜角为氏则 tan6wT,l,ji 3 4、即 6 £ 0, D -，乃，1 44)收答案为：心卜修。三、解答题16. (2020上海高三专题练习)过点40,2m),以1,济)的直线倾斜角为a ,求a的取值范围.【答案】O）U【分析】设直线的斜率为4,根据斜率公式求出2的范围，再根据倾斜角和斜率的关系得答案.【详解】解：设直线的斜率为上，则 = tan a = - = （m-I）2 -1 >-1,1-0八吟31团a g 0, 一 u 一冗、冗.L 2； L4 JTT【点睛】本题苔杳斜

15、率和倾斜角的关系，注意：直线斜率不存在，倾斜角a = 上；直线斜率。存在,是2实数，并且kNO时，a e O,yj； «<0时，aefpj.技能专题练J（能力题） 一、单选题1. （2017上海黄浦格致中学高三开学考试）在平面直角坐标系xoy中,直线以+ by + c =0（历>0）的倾斜角大小为 abaaA. arctan -B. arctan C. - arctan- D. 7r arctanbabb【答案】D【分析】根据直线方程求出斜率 = -g,利用反正切函数可表示出倾斜角. b【详解】因为直线以+加+c=0（a> 0）,所以斜率上=-告<0,即倾斜角

16、为钝角 b所以 a =乃一 arctan b故选D【点睛】本题主要考查了直线的斜率，倾斜角，反正切函数，属于中档题. 二、填空题27r2. （2020上海市大同中学）直线产x.cosa + l,ae 0,的倾斜角范围为.1u "一 arclan 一 2c 71【答案】。，:4【分析】由a的范围得直线的斜率的取值范围，从而可得倾斜角的范围. 241【详解】0aeO,国斜率A = cosac-5，1,记直线的倾斜角为。，JT11当 AwO,l时，6)e0,-,当-,0)时，6» g - arctan-，),422团直线的倾斜角范围是。,£ U 1- arc tan 1

17、,乃).4211故答案为：0,lUlvr-arctan；7). 42【点睛】本题考杳向线的斜率与倾斜角的关系，在由斜率求倾斜角的范围时，要注意对分类，分A 20和 %0两类.三、解答题3. (2020上海)一条光线从点45,3)射出后，被直线/:x + y-l = 0反射，入射光线与/的夹角为/，已知 tan4=2,求入射光线与反射光线所在直线方程.【分析】根据题意，设入射光线所在直线斜率为k,利用两直线的夹角公式得出tan夕= 2 = 合，求出斜 率k,设45,3)关于直线/的对称点A'(x,y),根据点关于直线对称的性质和中点坐标公式,即可求出W的坐 标，最后利用点斜式方程求出入射

18、光线与反射光线所在直线方程.【详解】解：由题可知，l：x + y- = 0,斜率为T,设入射光线所在宜线斜率为左，则反射光线为:， k 女+11又因为tan/ = 2=-=攵=二或3. '一 k3设4(5,3)关于直线I的对称点A'(x, y),则Ax, y)在反射光线上，所以A4'的中点坐标为(等，等)且在直线/：x+y-i=o上，而A4'U,所以出京=1,则5+1 3+y 22、.丫一5-1 = 0=>x = -2y = -4,即 4(-2,-4),当女=；时，入射光线所在直线方程为：y-3 = g(x-5),即x-3y + 4 = 0,反射光线所在直

19、线方程为：y + 4 = 3(x + 2),即3x-y + 2 = O；当 = 3时,入射光线所在直线方程为y-3 = 3(x-5),即3x-y-12 = 0,反射光线所在直线方程为y + 4 = g(x + 2),即x-3y-10 = 0.【点睛】本题考查光线反射问题，求直线关于直线对称的直线的方程，涉及两直线的夹角公式，直线的斜 率，中点坐标公式和点斜式方程的应用，考查运算能力.4. (2020上海)从点42,1)出发的一束光线依次经过直线4：y = ±5x + 3和/2：y = (2-6)-(x-1)反射后回到点A.设乙和4上反射点分别为P和Q,求直线P。的方程.【答案】3x+

20、y3 = O【分析】根据题意,可得出直线4和4斜率，设直2,1)关于4对称点B(x,y),根据点关于直线对称的性质和 中点坐标公式，即可求出8的坐标，同理求出C的坐标，结合条件可知8, C. P，。四点同在一条直线上,最后利用两点式方程求出直线PQ的方程.【详解】解：由题可知，/血的斜率分别知心乎设42,1)关于4对称点B(x, y),则A8 _L乙,所以A8的中点坐标为，且在4上,x+22同理得42,1)关于12对称点cl +9山丁从点42,1)出发的一束光线依次经过直线4和反射后回到点A .则B, C, P,。四点同在一条直线上，, 3亚则号气.即力+y-3 =。，3 + - I - 55

21、55所以，直线PQ方程为3x+y-3 = O.【点睛】本题考查根据光线的反射求宜线的方程，涉及点关于宜线对称，直线的斜率，中点坐标公式和两点式方程的应用，考查运算能力.维核心素养练J（真题/新题）一、单选题1. （2022上海）已知平面直角坐标系中不垂直于k轴的直线/,则"/的斜率等于女"是"/的倾斜角等于arclan的（）A.充要条件B,充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又不必要条件【答案】C【分析】由反正切函数的值域以及充分必要条件的判定可得出正确选项.【详解】当kN。时，由直线/的斜率为女，可得出直线/的倾斜角为arctanh当<0时，由直线

22、/的斜率为火,可得出直线/的倾斜角为乃+ arctanA反之，若直线/的倾斜角为arclank ,则直线/的斜率为tan（arctan左）=左.因此，"/的斜率等于是"/的倾斜角等于arctan及"的必要非充分条件.故选C.【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系，考查了反正切函数的应用，同时也考查了必要不充分条件的 判断，在判断时要熟悉直线倾斜角的取值范围以及反正切函数的值域，考查推理能力，属于中等题.二、填空题2. （2021长宁上海市延安中学高三月考）直线x+y-l=0的倾斜角是.3 71【答案】: 4【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角【详解】解：由已知y = -x+i,则直线斜率=I,又倾斜角的范围为0,P）.3兀故直线x+ y 1 =。的倾斜角是；.43冗故答案为：r.43. （2021上海高三模拟预测）求直线x = -2与直线&x-y + l=0的夹角为.【答案】7O【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角.1T【详解