微积分正项级数及其审敛法绝对收敛与条件收敛学习教案

1、会计学1微积分正项级数及其审敛法绝对微积分正项级数及其审敛法绝对(judu)收收敛与条件收敛敛与条件收敛第一页，共45页。nns )(,)2(1 nsunnn则则发散发散设正项级数设正项级数,nnvu .1发散发散 nnv定理(dngl)证毕.比较(bjio)审敛法的不便:须有参考(cnko)级数. )(n第2页/共45页第二页，共45页。解,1时时当当 p,11nnp .级数发散级数发散 P,1时时当当 p,1111 nnpnnppxdxdxnnpppnns131211 nnppxdxxdx1211第3页/共45页第三页，共45页。 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界

2、即即ns.级数收敛级数收敛则则 P 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1ppP重要参考级数(j sh): 几何级数(j sh), P-级数(j sh), 调和级数(j sh).第4页/共45页第四页，共45页。例例 2 2 证明级数证明级数 1)1(1nnn是发散的是发散的.证明(zhngmng),11)1(1 nnn,111 nn发散发散而级数而级数.)1(11 nnn发散发散级数级数 比较审敛法是一基本方法，但应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要求的不等式，而这种不等式常常不易建立，为此介绍在应用上更为(n wi)方便的极限形式的比较审敛法。第5页/共45页第五页，共4

3、5页。4.比较(bjio)审敛法的极限形式:设1nnu与1nnv都是正项级数, 如果则(1) 当时, 二级数有相同的敛散性; (2) 当时，若收敛, 则收敛; (3) 当时, 若1nnv发散, 则1nnu发散;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu第6页/共45页第六页，共45页。证明(zhngmng),lim)1(lvunnn 由由,N ,时时当当Nn 232lvulnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比较(bjio)审敛法即可得证.,232lll 推论推论： 设正项级数1nnu和1nnv的一般项均为时的无穷小, 且则二级数有相同的敛散性.nnvu 和和 n,nnv

4、u第7页/共45页第七页，共45页。解)1(nnnn3131, 时时故原级数(j sh)发散.)2(,11sin,nnn时时 ,311收敛收敛又又 nn故原级数(j sh)收敛.,11发散发散又又 nn第8页/共45页第八页，共45页。202)1ln(lim11ln1limxxxnnnnxn 故原级数(j sh)收敛.,112收敛收敛又又 nn,21)1(2lim2111lim00 xxxxxxx第9页/共45页第九页，共45页。5 5. .比值审敛法比值审敛法( (达朗贝尔达朗贝尔 D DAlembertAlembert 判别法判别法) )： 设设 1nnu是是正正项项级级数数, ,如如果果

5、)(lim1 数数或或nnnuu则则1 时时级级数数收收敛敛; ;1 时时级级数数发发散散; ; 1 时时失失效效. .证明(zhngmng),1)1(时时当当 )1 ,( r取取一一数数,N 则则,时时当当Nn ,1ruunn 有有第10页/共45页第十页，共45页。,1)2(时时当当 ,NmmNuru ,1NNruu ,212NNNurruu ,1 mNmur收敛收敛而级数而级数,11收敛收敛 NnnmmNuu原级数(j sh)收敛,时时当当Nn , 111nnnnuuuu 即即.0lim nnu原级数(j sh)发散,N 则则第11页/共45页第十一页，共45页。比值(bzh)审敛法的优

6、点:不必找参考(cnko)级数. 两点注意(zh y):1 1. .当当1 时时比比值值审审敛敛法法失失效效; ;,11发散发散级数级数例例 nn,112收敛收敛级数级数 nn)1( 第12页/共45页第十二页，共45页。,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收敛收敛级数级数 nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不存在不存在nnnnnauu 2 2. .条条件件是是充充分分的的, ,而而非非必必要要. .第13页/共45页第十三页，共45页。例例 4 4 判判别别下下列列级级数数的的收收敛敛性性

7、:(1) 1!1nn; (2) 110!nnn; (3) 12)12(1nnn.解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收敛收敛故级数故级数 nn第14页/共45页第十四页，共45页。),( n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1发散发散故级数故级数 nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值审敛法失效(sh xio), 改用比较审敛法,12)12(12nnn ,112收敛收敛级数级数 nn.)12(211收敛收敛故级数故级数 nnn第15页/共45页第十五页，共45页。例5 126sin3nn

8、nn 解由于nnnuu1lim 不存在，比值审敛法失效， 而nnnnn36sin32 对 13nnn由比值(bzh)审敛法得 13nnn收敛故由比较(bjio)审敛法知 126sin3nnnn 收敛(shulin)第16页/共45页第十六页，共45页。例6 1!nnnnna)0( a解!)1()!1(limlim111nannnauunnnnnnnn ,)11(limeanann 故 ,1,)1(时时即即时时当当 ea级数(j sh)收敛级数(j sh)发散,1,)2(时时即即时时当当 ea,1,)3(时时即即时时当当 ea比值(bzh)审敛法失效第17页/共45页第十七页，共45页。enn

9、)11(1)11(1 nnnneuu故级数(j sh)发散6 6. .根值审敛法根值审敛法 ( (柯西判别法柯西判别法) )： 设设 1nnu是是正正项项级级数数, ,如如果果 nnnulim )( 为为数数或或 , , 则则1 时级数收敛时级数收敛; ; 1 时时级级数数发发散散; ; 1 时时失失效效. . 由nnuu 10lim nnu第18页/共45页第十八页，共45页。证明(zhngmng)1)1( 取)1 ,( r由 nnnulim知,时时，使当，使当NnN runn )(Nnrunn 由 1Nnnr收敛及比较审敛法得 1Nnnu收敛 1nnu收敛第19页/共45页第十九页，共45

10、页。1)2( 由 nnnulim知时时，使当，使当NnN 1 nnu1 nu故nu不趋于 0 1nnu发散1)3( 不能判定(pndng)如 12111nnnn与与都有1lim nnnu但 121nn收敛 11nn发散第20页/共45页第二十页，共45页。)0( 71 ananpn例例解ananaupnnnpnnnnn )(limlimlim 故 ,1,1)1(时时即即时时当当 a级数(j sh)收敛,1,1)2(时时即即时时当当 a级数(j sh)发散,1,1)3(时时即即时时当当 a根值审敛法失效(sh xio)但此时级数为 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,111ppnPnp

11、第21页/共45页第二十一页，共45页。1.定义: 正、负项交错的级数(j sh)称为交错级数(j sh). nnnnnnuu 111)1()1(或或2 2. .莱布尼茨定理莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件: : ( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, , 则级数收敛则级数收敛, ,且其和且其和1us , ,其余项其余项 nr的绝对值的绝对值 1 nnur. . )0( nu其中其中第22页/共45页第二十二页，共45页。证明(zhngmng)nnnnuuuuuus212223212)()( 又又)()()(21243212nn

12、nuuuuuus 1u , 01 nnuu.lim12ussnn , 0lim12 nnu,2是单调增加的是单调增加的数列数列ns,2是有界的是有界的数列数列ns第23页/共45页第二十三页，共45页。)(limlim12212 nnnnnuss, s .,1uss 且且级数收敛于和级数收敛于和),(21 nnnuur余项余项,21 nnnuur满足收敛的两个(lin )条件,.1 nnur定理(dngl)证毕.第24页/共45页第二十四页，共45页。解2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x,1单单调调递递减减故故函函数数 xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原级

13、数(j sh)收敛.证明(zhngmng) un 单调减的方法:01 nnuu11 nnuu？0)()( xfnfun考察考察？第25页/共45页第二十五页，共45页。定义: 正项和负项任意出现的级数(j sh)称为任意项级数(j sh).定理定理 若若 1nnu收敛收敛, ,则则 1nnu收敛收敛. .证明(zhngmng), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv显然显然,nnuv 且且,1收敛收敛 nnv),2(11 nnnnnuvu又又 1nnu收敛收敛.第26页/共45页第二十六页，共45页。上定理(dngl)的作用：任意(rny)项级数正项级数(j sh)定义定义:

14、:若若 1nnu收敛收敛, , 则称则称 1nnu为绝对收敛为绝对收敛; ;若若 1nnu发发散散, ,而而 1nnu收收敛敛, , 则则称称 1nnu为为条条件件收收敛敛. .第27页/共45页第二十七页，共45页。解,1sin22nnn ,112收敛收敛而而 nn,sin12 nnn收敛收敛故由定义知原级数绝对(judu)收敛. 将正项级数的比值审敛法和根值审敛法应用于判定任意项级数的敛散性可得到如下(rxi)定理：第28页/共45页第二十八页，共45页。定理(dngl)设有级数(j sh) 1nnu nnnuu1lim)|lim( nnnu或或 则1 1nnu绝对(judu)收敛1 1n

15、nu发散1 可能绝对收敛，可能条件收敛，也可能发散如,1)1(12 nnn,1)1(1 nnn 11)1(nn第29页/共45页第二十九页，共45页。注意(zh y)一般而言，由 发散，并不能推出 1|inu 1inu发散如 11)1(nnn 11in发散但 收敛 11)1(nnn若 发散是由比值审敛法或根值审敛法而审定 1|inu则 必定发散 1inu这是因为比值(bzh)法和根值法审定(shndng)级数发散的原因是通项不趋向于0由00|nnuu第30页/共45页第三十页，共45页。敛？敛？是条件收敛还是绝对收是条件收敛还是绝对收敛？如果收敛，敛？如果收敛，是否收是否收判断级数判断级数 1

16、ln)1(nnnn例9解,1ln1nnn ,11发散发散而而 nn,ln1ln)1(11发发散散 nnnnnnn),0(ln)( xxxxf设设),1(011)( xxxf则则,), 1()(上单增上单增在在xf,ln1单单减减即即xx 第31页/共45页第三十一页，共45页。,1ln1时时单单减减当当故故 nnnun所以此交错(jiocu)级数收敛，故原级数(j sh)是条件收敛, 0ln11limln1limlim nnnnnunnnnxxnnxnlnlimlnlim , 01lim xx.1 nnuu即即第32页/共45页第三十二页，共45页。正 项 级 数任意项级数审敛法1.2.4.充

17、要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;,则级数收敛则级数收敛若若SSn;, 0,则级数发散则级数发散当当 nun第33页/共45页第三十三页，共45页。解由由正正项项级级数数 1nnu收收敛敛，可可以以推推得得 12nnu收收敛敛,nnnuu2lim nnu lim, 0 由比较审敛法知 收敛. 12nnu反之(fnzh)不成立.例如(lr)： 121nn收敛, 11nn发散.思考题第34页/共45页第三十四页，共45页。1.求极限(jxin)nnnn 2!3lim 解考察(koch)正项级数 112 !3nnnnnnunnnnnnnnnn

18、uu32!2)!1(3limlim111 10)1(23lim nn由比值(bzh)法得 12 !3nnnn收敛由级数收敛的必要条件得02!3lim nnnn补充题第35页/共45页第三十五页，共45页。 11nnnnca 与与设设都收敛， 且,nnncba 2. 试证 1nnb收敛.证由 ,nnncba 知nnnnacab 0因 11nnnnca与与都收敛, 故正项级数 1)(nnnac收敛,再由比较(bjio)审敛法知正项级数 1)(nnnab收敛,而,)(nnnnaabb 即 1nnb可表为两个收敛级数之和, 11)(nnnnnaab与与故 1nnb收敛.第36页/共45页第三十六页，共

19、45页。3. 设 , 0, 0 nnba且,11nnnnbbaa 若 1nnb收敛(shulin),则 1nna也收敛(shulin).证由题设知1111bababannnn nnbbaa11 而 1nnb收敛(shulin),由比较法得 1nna收敛.Cauchy积分审敛法:设 0)( xfy且单调减少,)(nfun ,则 1nnu与 1)(dxxf同敛散.4. 第37页/共45页第三十七页，共45页。证由 f(x) 单调(dndio)减少知 11)()()1(nnnnunfdxxfnfu 111)()(nnndxxfdxxf故 1nnu与 1)(dxxf同敛散.5. 设 nu是单调增加且有

20、界的正数数列试证明 )1(11 nnnuu收敛.第38页/共45页第三十八页，共45页。证记,11 nnnuuv则011 nnnnuuuv且11uuuvnnn 而正项(zhn xin)级数 11)(nnnuu的部分(b fen)和 nknkknuuuuS1111)(又 nu单调(dndio)增加且有界,故由单调有界原理知 Aunn lim存在1limuASnn 即 11)(nnnuu收敛,进而 111)(1nnnuuu收敛,由比较法得 1nnv收敛.第39页/共45页第三十九页，共45页。设正数数列 na单调减少，级数 11)1(nnna发散考察nnna)11(1 的敛散性证 记,)11(nn

21、nau 由 na单调(dndio)减少,且0 na故由单调(dndio)有界原理知 Aann lim存在(cnzi),且0 A若, 0 A由Leibniz审敛法, 得交错级数 11)1(nnna收敛, 与题设矛盾0 Annnnnau 11limlim111 A由根值法知 nnna)11(1 收敛. 6. 第40页/共45页第四十页，共45页。一、一、 填空题填空题: :1 1、 p级数当级数当_时收敛时收敛, ,当当_时发散；时发散；2 2、若正项级数、若正项级数 1nnu的后项与前项之比值的根的后项与前项之比值的根 等于等于, , 则当则当_时级数收敛；时级数收敛；_时级数发散；时级数发散； _时级数可能收敛也可能发散时级数可能收敛也可能发散 . .二、二、 用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛性性: : 1 1、 22211313121211nn； 2 2、)0(111 aann . .练 习 题第41页/共45页第四十一页，共45页。三、三、 用比值审敛法判别下列级数的收敛性用比值审敛法判别下列级数的收敛性: : 1 1、 nnn 23233223213