[理学]131 函数极限概念、性质ppt课件

1、9.23课堂回顾数列数列: : 研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限: :极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质: :有界性唯一性，保号性，有界性唯一性，保号性， 包序性，夹逼性包序性，夹逼性求数列的极限求数列的极限: : 极限运算法则极限运算法则e)11 (limnnn1.3.1 函数极限的概念函数极限的概念第三节第三节 函数的极限函数的极限.xxxsin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限 xxysin ;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .xXx的过程的过

2、程表示表示 . 0sin)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx 通过上面的观察通过上面的观察:问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.:. 1 定义定义定定义义X .Axf,Xx,X, )(00恒恒有有时时使使当当 Axflimx)(定义定义1 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 (不论它多么小不论它多么小),总存在着正数总存在着正数 ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式 的一的一切切 , 所对应的函数值所对应的函数值 都满足不等式都满足不等式,那么常数那么常数 就叫函数就叫函数 当当 时的极限时的极限,记作记作 XXx

3、x)(xf Axf)(A)(xfx)()()( xAxfAxflimx当当或或:x.情形情形 02.Axf,X|x|,X, )(00恒恒有有时时使使当当:x.情形情形01Axfx )(lim.A)x(f,Xx,X, 恒有恒有时时使当使当00Axflimx )(2.另两种情形另两种情形: Axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且xxysin 3.几何解释几何解释: X X.2,)(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 AyxfyXxXxAAxflimx )(例例1. 01lim xx证明证明证证

4、xx101 , , 0 ,1 X取取时恒有时恒有则当则当Xx ,01 x. 01lim xx故故例例2 2 试证：试证： 0证：证： xxx21lim222222|2 ) 2 |( 2|1 ) 1 | ( |1|1 |01| xxxxxxxxxxx时当时当) 2 )( . 2 2 , 21 ( X可可直直接接取取则则有有若若先先限限定定. . 2 , 2max )( , 0 2 | |2 2证毕可取对任给定的又XXxx二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于

5、确确定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf x0 x 0 x 0 x ,0邻域邻域的去心的去心点点 x.xx程度程度接近接近体现体现0 .xxxx的的过过程程表表示示00 0 :. 1 定义定义定义定义 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有时时使当使当定义定义2 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 (不论它多么小不论它多么小),总存在正数总存在正数 ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式 的一切的一切 ,对应的函数值对应的函数值 都满足不等式都满足不等式,那么常数那么常数 就叫函数就叫函数 当当 时的极限时的极限,记作记作 00 xxx)(xf Axf)(A

6、)(xf0 xx )()()(lim00 xxAxfAxfxx 当当或或2.几何解释几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf2.为任意给定的正数，仅与 有关.,就就有有无无穷穷多多个个后后找找到到一一个个显显然然 证证例例3.lim00 xxxx 证明证明,)(0 xxAxf , 0 任给任给, 取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成立

7、成立 .lim00 xxxx 例例4. 424lim22 xxx证明证明证证424)(2 xxAxf, 0 任给任给, 只只要要取取,00时时当当 xx函数在点函数在点x=2处没有定义处没有定义.2 x,)( Axf要使要使,4242 xx就有就有224lim4.2xxx例例5.11lim2020 xxxx 证证20211)(xxAxf , 0 任给任给,2120 x 取取,00时时当当 xx20220211xxxx ,)( Axf要使要使,11202 xx就有就有,1212002000 xxxxxxxx .21200 xxx 只只要要20211lim:0 xxxx证明几点注意： 1 定义中的

8、 相当于数列极限中的 ，它仅与 有关，但不是唯一确定。 2 定义中只考虑在 空心邻域内有定义的情形，一般不考虑函数在 有无定义。 3 以上的定义可以用邻域的形式简单给出。 N 0 x0 x3.单侧极限单侧极限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近; 00 xx记作记作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近; 00 xx记作记作yox1xy 112 xy左极限左极限 .)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当右极限右极限.)(, 0, 000 Axfx

9、xx恒有恒有时时使当使当000 :000 xxxxxxxxx注注意意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作例例5 5 ).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设yox1xy 112 xy解解两个单侧极限为两个单侧极限为是函数的分段点是函数的分段点,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定理定理.lim

10、0不存在不存在验证验证xxxyx11 o00limlimxxxxxx左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例6证证0lim( 1)1x 00limlimxxxxxx0lim11x函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系(海涅定理海涅定理) .)(lim ,lim,)(,)(lim)()(0000000AxfxxxxxxAxfxxfnnnnnnxxUU则有且若数列任意含于内有定义，在定理定理注：注： 本定理有如下几点注释：本定理有如下几点注释： 1 本定理建立了函数极限与数列极限的关系，将本定理建立了函数极限与数列极限的关系，将 函数极限的存在性转化

11、为数列极限的存在性。函数极限的存在性转化为数列极限的存在性。 2 本定理通常用来证明函数极限的不存在性。本定理通常用来证明函数极限的不存在性。证证 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有时时使当使当Axfxx )(lim0.0, 0, 00 xxNnNn恒有恒有时时使当使当对上述对上述,)( Axfn从而有从而有.)(limAxfnx 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又xy1sin 例例7.1sinlim0不存在不存在证明证明xx证证 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 nxnnnsinlim1sinl

12、im 而而, 1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx, 0 第二节第二节 函数极限的性质函数极限的性质六种极限 );(limxfx);(limxfx);(limxfx );(lim0 xfxx);(lim0 xfxx );(lim0 xfxx 一一 函数极限的性质函数极限的性质 2.局部局部有界性有界性1.唯一性唯一性定理定理 若若)(limxf存在存在,则极限唯一则极限唯一. )0)(0)(, 0),0(0,)(lim0 xfxfxAAAxfxx或时当则或且若定理定理 3.局部局部保号性保号性4.局部局部保

13、保不等不等性性)(lim)(lim),()()()(lim)(lim000000Uxgxfxgxfxxgxfxxxxxxxx则内有都存在，且在某邻域与设定理定理 00()U x5.夹逼准则夹逼准则 本定理既给出了判别函数极限存在的方法；又提供了一个计算函数极限的方法。.)(lim )( )()( );(,)(lim)(lim00000AxhxgxhxfxUAxgxfxxxxxx则内有且在某设6、极限运算法则、极限运算法则 . 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim00000 BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxfxxxxxxxx

14、xx其中其中则则设设二、求极限方法举例二、求极限方法举例 例例8 8 .531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 小结小结: : 则有则有设设,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则有则有且且设设, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(

15、lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0则商的法则不能应用则商的法则不能应用若若 xQ解解)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例9 9 .3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx解解例例1010 .321lim221 xxxx求求.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x.1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无

16、穷小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)例例1111 .147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再求极限再求极限分出无穷小分出无穷小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 小结小结: : 为非负整数时有为非负整数时有和和当当nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当小结小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(见下表见下表)过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n xxxNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf