材料力学第7章应力和应变分析强度理论

1、第七章第七章 应力和应变分析应力和应变分析 强度理论强度理论7.1 7.1 应力状态概述应力状态概述7.27.2 二向和三向应力状态的实例二向和三向应力状态的实例7.37.3 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法7.4 7.4 二向应力状态分析二向应力状态分析图解图解法法7.57.5 三向应力状态三向应力状态7.87.8 广义胡克定律广义胡克定律7.9 7.9 复杂应力状态的应变能密复杂应力状态的应变能密度度 7.10 7.10 强度理论概述强度理论概述7.11 7.11 四种常用强度理论四种常用强度理论7.1 应力状态概述应力状态概述l 为什么塑性材料拉伸时会出现滑移线？为什么塑性材

2、料拉伸时会出现滑移线？l 为什么脆性材料扭转时沿为什么脆性材料扭转时沿4545螺旋面断开？螺旋面断开？7.1 应力状态概述应力状态概述20coscos p2sin2sin0 p7.1 应力状态概述应力状态概述2sin2cos7.1 应力状态概述应力状态概述 重 要 结 论 7.1 应力状态概述应力状态概述 受力杆件同一截面内不同点的应力一般是不同的受力杆件同一截面内不同点的应力一般是不同的；而通过同一点的截面可以有不同的方位，截面上的；而通过同一点的截面可以有不同的方位，截面上的应力又随着截面的方位而变化。应力又随着截面的方位而变化。7.1 应力状态概述应力状态概述 通过轴向拉伸杆件同一点通过

3、轴向拉伸杆件同一点m的不同（方向）截的不同（方向）截面上具有不同的应力。面上具有不同的应力。 因此，当说到应力时，必须指明因此，当说到应力时，必须指明“哪个面上哪一哪个面上哪一点点”的应力以及的应力以及“过哪一点的哪个截面上过哪一点的哪个截面上”的应力。的应力。7.1 应力状态概述应力状态概述PPAAA图图 7.1(a)(c)(b) 在受拉杆件内，围绕在受拉杆件内，围绕A点截取一个点截取一个单元体单元体，并放大为图，并放大为图7.1(b)，其平面图为，其平面图为(c)。单元体单元体的左右两侧面是杆件横截面的一部分，的左右两侧面是杆件横截面的一部分，面上的应力均为面上的应力均为=F/A。单元体上

4、、下、前、后四个面都是平行。单元体上、下、前、后四个面都是平行于轴线的纵向面，面上都没有应力。于轴线的纵向面，面上都没有应力。7.1 应力状态概述应力状态概述 A (d) 如果按图如果按图(d)(d)所示的方位截取单所示的方位截取单元体，四个侧面成为斜截面，则在元体，四个侧面成为斜截面，则在四个面上，不仅有正应力，而且还四个面上，不仅有正应力，而且还有切应力。有切应力。 “应力状态应力状态”又称为又称为“一点处的一点处的应力状态应力状态”，是指过一点的不同方，是指过一点的不同方位截面上的应力的集合。位截面上的应力的集合。7.1 应力状态概述应力状态概述 A (d)单元体的特征单元体的特征a).

5、 单元体的三个方向上的尺寸均单元体的三个方向上的尺寸均为无穷小，在它的每个面上，应力为无穷小，在它的每个面上，应力都是均匀的；都是均匀的；b). 任意一对平行面上的应力相等。任意一对平行面上的应力相等。这样的单元体的应力状态可以代表一点的应力状态。这样的单元体的应力状态可以代表一点的应力状态。7.1 应力状态概述应力状态概述 A (d) “应力状态分析应力状态分析”简称简称“应力分应力分析析”，是用平衡方程分析过一点的，是用平衡方程分析过一点的不同方位截面上应力的相互关系，不同方位截面上应力的相互关系，确定这些应力中的极大值和极小值确定这些应力中的极大值和极小值以及它们的作用面。以及它们的作用

6、面。7.1 应力状态概述应力状态概述 A (d) 从一点处以不同方位截取的诸单元体从一点处以不同方位截取的诸单元体中，有一个特殊的单元体，在这个单元体中，有一个特殊的单元体，在这个单元体侧面上只有正应力而无剪应力。这样的单侧面上只有正应力而无剪应力。这样的单元体称为该点处的元体称为该点处的 主单元体主单元体。主单元体。主单元体的侧面称为的侧面称为主平面主平面，主平面上的正应力称，主平面上的正应力称为为主应力主应力。 一般来说，通过受力构件的任意点皆可找到三个一般来说，通过受力构件的任意点皆可找到三个相互垂直的主平面，因而每一点都有三个主应力。相互垂直的主平面，因而每一点都有三个主应力。7.1

7、应力状态概述应力状态概述单向应力状态单向应力状态：只有一个主应力不为零。只有一个主应力不为零。二向应力状态二向应力状态：有两个主应力不为零。有两个主应力不为零。三三向应力状态向应力状态：主单元体上三个应力均主单元体上三个应力均不为零。不为零。简单应力简单应力状态状态复杂应力复杂应力状态状态7.2 二向和三向应力状态的实例二向和三向应力状态的实例以图以图7.27.2所示的圆筒形容器作为二向应力状态的实例。所示的圆筒形容器作为二向应力状态的实例。当这类圆筒的壁厚当这类圆筒的壁厚远小于它的直径远小于它的直径D时时(如如, 2 3。7.2 二向和三向应力状态的实例二向和三向应力状态的实例pF图图 7.

8、4(a)(b)(c)例例 7.2 圆球形容圆球形容器的壁厚为器的壁厚为，内，内径为径为D，内压为，内压为p。试求容器壁内。试求容器壁内的应力。的应力。7.2 二向和三向应力状态的实例二向和三向应力状态的实例pF图图 7.4(a)(b)(c)解：容器被包含直径的解：容器被包含直径的平面分成两个半球，其平面分成两个半球，其一如图一如图7.4b7.4b所示。半球所示。半球上内压力的合力上内压力的合力F F为：为：2DFp4NFD NFF0容器截面上的内力为：容器截面上的内力为：由平衡方程由平衡方程:pD47.2 二向和三向应力状态的实例二向和三向应力状态的实例pF图图 7.4(a)(b)(c) 由容

9、器的对称性可由容器的对称性可知，包含直径的任意截知，包含直径的任意截面上皆无切应力，且正面上皆无切应力，且正应力都等于应力都等于，与，与相比相比，内壁半径方向上的内，内壁半径方向上的内压力可省略，于是三个压力可省略，于是三个主应力分别是：主应力分别是：123,0二向应力状态二向应力状态 7.3 7.3 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法问题的提出问题的提出 在图在图7.2a 7.2a 中，薄壁圆筒筒壁上单元体中，薄壁圆筒筒壁上单元体ABCD各面各面皆为主平面，应力皆为主应力。但在其他情况下就不皆为主平面，应力皆为主应力。但在其他情况下就不一定如此，如圆轴扭转时，横截面上除圆心外，任一

10、一定如此，如圆轴扭转时，横截面上除圆心外，任一点皆有切应力，可见，对于这些点，横截面不是它们点皆有切应力，可见，对于这些点，横截面不是它们的主平面。横力弯曲也是这样。的主平面。横力弯曲也是这样。问题问题二向应力状态下，已知通过一点二向应力状态下，已知通过一点的某些截面上的应力后，如何确定通过的某些截面上的应力后，如何确定通过这一点的其他截面上的应力，从而确定这一点的其他截面上的应力，从而确定主应力的主平面主应力的主平面？ 7.3 7.3 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法(a)有有关关规规定定正应力以拉应力为正，压应正应力以拉应力为正，压应力为负；切应力对单元体内力为负；切应力对单元

11、体内任意点的矩为顺时针转向时任意点的矩为顺时针转向时，规定为正，反之为负。，规定为正，反之为负。 7.3 7.3 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法(c)(d)(b)求斜截面上应力求斜截面上应力 以截面以截面ef将单元体分成两部分，并将单元体分成两部分，并研究研究aef部分的平衡。把作用于部分的平衡。把作用于aef部分部分上的力投影于上的力投影于ef面的外法线面的外法线n和切线和切线t 的的方向，分别列出平衡方程：方向，分别列出平衡方程： 0 nF0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy 0 tF0cos)sin(sin)si

12、n(sin)cos(cos)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy 7.3 7.3 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法利用三角函数公式利用三角函数公式)2cos1(21cos2 )2cos1(21sin2 2sincossin2 并注意到并注意到 化简得：化简得：xyyx 2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyx 7.3 7.3 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法确定正应力和切应力的极值及它们所在平面的位置确定正应力和切应力的极值及它们所在平面的位置2sin2cos)(21)(21xyyxyx确定正应力极值及其所在平面确定正应力极值及其

13、所在平面2cos22sin)(xyyxdd设设0 0 时，上式值为零，即时，上式值为零，即02cos22sin)(00 xyyx0 02 2c co os s2 2s si in n2 22 2) )( (2 20 00 0 x xy y0 0y yx x即即0 0 时，切应力为零时，切应力为零 7.3 7.3 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法yxxy 22tan0 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，其由上式可以确定出两个相互垂直的平面，其中一个为最大正应力所在的平面，另一个是最小中一个为最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在平面。正应力所在平面。求得最求得最大和最大和最小

14、正应小正应力分别力分别为：为：2xyxy2maxxy222xyxy2minxy22 7.3 7.3 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法- -实例实例1 1试求：试求：1 1） 斜面上的应力；斜面上的应力； 2 2）主应力、主平面；）主应力、主平面； 3 3）绘出主应力单元体。）绘出主应力单元体。实例实例：单元体的应力状态如图所示。单元体的应力状态如图所示。 y x xy 。30MPa，60 xMPa,30 xy,MPa40y已知已知 7.3 7.3 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法- -实例实例1 1解：解：1 1） 斜面上的应力斜面上的应力2sin2cos22xyyxy

15、x)60sin(30)60cos(2406024060MPa02. 92cos2sin2xyyx)60cos(30)60sin(24060MPa3 .58y x xy 7.3 7.3 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法- -实例实例1 12xyxy2maxxy2268.3MPa2 2）主应力、主平面）主应力、主平面MPa3 .48, 0MPa,3 .68321y x xy 2xyxy2minxy2248.3MPa 7.3 7.3 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法- -实例实例1 1确定主平面的方位：确定主平面的方位：02tan2xyxy6 . 0406060015.55

16、.105905 .150y x xy 代入代入 表达式可知：表达式可知： 主应力主应力 方向方向：15 .150主应力主应力 方向方向：3 5 .1050 7.3 7.3 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法- -实例实例1 13 3）主应力单元体）主应力单元体：y x xy 5 .1513 7.3 7.3 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法- -实例实例2 2MeMeDCBA例例7.4: 分析圆轴扭转时的应力状态。分析圆轴扭转时的应力状态。 7.3 7.3 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法- -实例实例2 2MeMeDCBA解：解：1). 1). 单元体的应力状

17、态单元体的应力状态etMwxyxy0,圆轴扭转时，在横截面的边缘圆轴扭转时，在横截面的边缘处切应力最大，数值为：处切应力最大，数值为：在圆轴表层取出单元体在圆轴表层取出单元体ABCD，单元体各面上的应力为：，单元体各面上的应力为： ABCDxy 7.3 7.3 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法- -实例实例2 22). 2). 主应力大小及方向确定主应力大小及方向确定xy0 xy2tan2 oo045or135 2maxxyxy2xymin22 MeMeDCBA ABCDx45o-45o 3 3 1 1 1 1 3 31max23min,0, 7.3 7.3 二向应力状态分析二向应

18、力状态分析解析法解析法- -实例实例2 2 ABCDx45o-45oMeMeDCBA 3 3 1 1 1 1 3 33)3)圆圆轴扭转时，横截面为纯剪切应轴扭转时，横截面为纯剪切应 力状态，最大拉、压应力在与轴力状态，最大拉、压应力在与轴 线成线成4545o o斜截面上，它们数值相斜截面上，它们数值相 等，均等于横截面上的剪应力。等，均等于横截面上的剪应力。4)4)对于塑性材料对于塑性材料( (如低碳钢如低碳钢) )抗抗剪能力差，扭转破坏时，通常剪能力差，扭转破坏时，通常是横截面上的最大剪应力使圆是横截面上的最大剪应力使圆轴沿横截面剪断轴沿横截面剪断。5)5)对于脆性材料对于脆性材料( (如铸

19、铁、粉笔如铸铁、粉笔) )抗拉性能差，扭转破坏时，通抗拉性能差，扭转破坏时，通常沿与轴线成常沿与轴线成4545o o的螺旋面发生的螺旋面发生拉断。拉断。 7.3 7.3 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法工程应用工程应用 主应力迹线主应力迹线：在：在例例7.57.5中，求出横力弯曲梁截面上一中，求出横力弯曲梁截面上一点主应力的方向后，把其中一个主应力的方向延长与相点主应力的方向后，把其中一个主应力的方向延长与相邻横截面相交。求出交点的主应力方向，再将其延长与邻横截面相交。求出交点的主应力方向，再将其延长与下一个相邻横截面相交。依此类推，得到一条折线，其下一个相邻横截面相交。依此类推，

20、得到一条折线，其极限是一条曲线。在这样的曲线上，任一点的切线即代极限是一条曲线。在这样的曲线上，任一点的切线即代表该点主应力的方向，这种曲线称为主应力曲线。经过表该点主应力的方向，这种曲线称为主应力曲线。经过每一点有两条相互垂直的主应力迹线，一条是每一点有两条相互垂直的主应力迹线，一条是主拉应力主拉应力迹线迹线，另一条是，另一条是主压应力迹线主压应力迹线。 在钢筋混凝土梁中，钢筋的作用是抵抗拉伸，所以在钢筋混凝土梁中，钢筋的作用是抵抗拉伸，所以应使钢筋尽可能地沿主拉应力迹线的方向放置应使钢筋尽可能地沿主拉应力迹线的方向放置！7.4 7.4 二向应力状态分析二向应力状态分析图解图解法法1).1)

21、.图解法的理论依据图解法的理论依据 二向应力状态下，法线倾角为二向应力状态下，法线倾角为的斜面上应力计算公式：的斜面上应力计算公式：2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyx消去参数消去参数并整理并整理22xyxy22xy227.4 7.4 二向应力状态分析二向应力状态分析图解法图解法2).2).应力圆的绘制应力圆的绘制 确定坐标及比例尺；确定坐标及比例尺； 取取x面，定出面，定出D( )点；取点；取y面，定出面，定出D( )点；点； xyx, yxy, 连连DD交交 轴于轴于C点，以点，以C为圆心，为圆心， DD为直径作圆。为直径作圆。 O C220A1B1

22、 22( , , ) )E EG1G2 D( y, yx)BAD( x, xy) x x xy yx xy yx y yxyn 7.4 7.4 二向应力状态分析二向应力状态分析图解法图解法3). 3). 几种对应关系几种对应关系点面对应关系点面对应关系：应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的应力应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的应力；角度对应关系：角度对应关系：应力圆上半径转过应力圆上半径转过2 ，单元体上坐标轴转过，单元体上坐标轴转过 ; ;旋向对应关系：旋向对应关系：应力圆上半径的旋向与单元体坐标轴旋向相同。应力圆上半径的旋向与单元体坐标轴旋向相同。O C220A1B1 22( , , )

23、 )E EG1G2 D( y, yx)BAD( x, xy) x x xy yx xy yx y yxyn 7.4 7.4 二向应力状态分析二向应力状态分析图解法图解法 求外法线与求外法线与x轴夹角为轴夹角为 斜截面上的应力，只要以斜截面上的应力，只要以D为起点，为起点，按按 转动方向同向转过转动方向同向转过2 到到E点，点，E点坐标即为所求应力值点坐标即为所求应力值;用应力圆确定主平面、主应力用应力圆确定主平面、主应力：由主平面上剪应力由主平面上剪应力 =0，确定，确定D转转过的角度；过的角度；D转至转至 轴正向轴正向A1点代点代表表 max所在主平面，其转过角度所在主平面，其转过角度为为2

24、 20 ，转至，转至 轴负向轴负向B1点代表点代表 min所在主平面；所在主平面；确定极值剪应力及其作用面确定极值剪应力及其作用面：应力圆上纵轴坐标最大的应力圆上纵轴坐标最大的G1点为点为 max，纵轴坐标最小的，纵轴坐标最小的G2点为点为 minmin，作用面确定方法同主应力。作用面确定方法同主应力。4). 4). 应力圆的应用应力圆的应用O C220A1B1 22( , , ) )E EG1G2 D( y, yx)BAD( x, xy)7.4 7.4 二向应力状态分析二向应力状态分析图解法图解法- -实例实例403020单位：单位：MPax 实例实例 用应力圆法用应力圆法求：求：1) 1)

25、 a=30=30o o斜截面上的应力；斜截面上的应力；2) 2) 主应力及其方位；主应力及其方位； 3) 3) 极值剪应力。极值剪应力。7.4 7.4 二向应力状态分析二向应力状态分析图解法图解法- -实例实例 O D(30,-20)D(-40,20)C60o(29.8,20.3)35.3-45.329.8o40.3-40.3403020单位：单位：MPax MPa3 .20MPa8 .29oo3030 ，MPa3 .450MPa3 .35321 ，oo*019 .142/8 .29x 轴夹角：轴夹角：与与maxmin40.3MPa 解：解：1)1)a=30o斜截面上的应力斜截面上的应力: :

26、2) 2) 主应力及其方位主应力及其方位: :3) 3) 极值剪应力极值剪应力: :7.4 7.4 二向应力状态分析二向应力状态分析图解法图解法- -实例实例30800.2030600.60.4-40-40 实例：实例：已知已知 求此单元体在求此单元体在 30和和 -40两斜截面上的应力。两斜截面上的应力。，MPaMPayx2 . 01，MPaMPayxxy2 . 02 . 07.4 7.4 二向应力状态分析二向应力状态分析图解法图解法- -实例实例实例实例：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁件受扭转时的破坏现象。件受扭转时的破坏现象。解：解：1取单元体

27、取单元体ABCD，其中，其中 ， ，这是纯剪切应力状态。，这是纯剪切应力状态。,0yxxytTW7.4 7.4 二向应力状态分析二向应力状态分析图解法图解法- -实例实例2作应力圆作应力圆 主应力为主应力为 ，并可，并可确定主平面的法线。确定主平面的法线。31,7.4 7.4 二向应力状态分析二向应力状态分析图解法图解法- -实例实例3分析分析 纯剪切应力状态的两个主应力绝对值相等，纯剪切应力状态的两个主应力绝对值相等，但一个为拉应力，另一个为压应力。由于铸铁抗拉但一个为拉应力，另一个为压应力。由于铸铁抗拉强度较低，圆截面铸铁构件扭转时构件将沿倾角为强度较低，圆截面铸铁构件扭转时构件将沿倾角为

28、45的螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。的螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。7.5 7.5 三向应力状态三向应力状态 从从7.27.2节知道节知道: :工程中还会遇到三向应力状态问工程中还会遇到三向应力状态问题，本节对三向应力状态作简单分析题，本节对三向应力状态作简单分析。 以三个主应力表示的单元体，由三个相互垂直以三个主应力表示的单元体，由三个相互垂直的平面分别作应力圆，将三个平面的应力圆绘在同的平面分别作应力圆，将三个平面的应力圆绘在同一平面上就是一平面上就是三向应力圆三向应力圆。 7.5 7.5 三向应力状态三向应力状态 在三向应力圆中，由在三向应力圆中，由 和和 所作的应力圆是最大应力圆。所作的应

29、力圆是最大应力圆。工程中最感兴趣的就是工程中最感兴趣的就是最大应力圆最大应力圆。 1 3 对应三个应力圆可找到三对主剪应力，它们分别是：对应三个应力圆可找到三对主剪应力，它们分别是： 2313121,22,31,3,222 7.5 7.5 三向应力状态三向应力状态 的作用平面与的作用平面与 的方向平行，与的方向平行，与 和和 作用平面作用平面夹角为夹角为 。 是最大剪应力，其值为：是最大剪应力，其值为： 1,3 2 1 3 45 1,3 其作用面在单元体中的位置如图示。其作用面在单元体中的位置如图示。 13max27.8 7.8 广义胡克定律广义胡克定律单向拉压单向拉压EorEE横向线应变 G

30、orG 纯剪切纯剪切7.8 7.8 广义胡克定律广义胡克定律EorE单向拉伸或压缩的应力单向拉伸或压缩的应力-应变关系应变关系xyzsxE此外，轴向的变形还将引起横向尺寸此外，轴向的变形还将引起横向尺寸的变化，横向应变可表示为的变化，横向应变可表示为7.8 7.8 广义胡克定律广义胡克定律纯剪切状态下的应力纯剪切状态下的应力-应变关系应变关系xyz x yGorG7.8 7.8 广义胡克定律广义胡克定律 x y z xy yx yz zy zx xz 九个应力分量有六个量是独立的，因为根据切应力九个应力分量有六个量是独立的，因为根据切应力互等定理，切应力独立三个。这种普遍情况可以看成是互等定理

31、，切应力独立三个。这种普遍情况可以看成是三组单向应力状态三组单向应力状态和和三组纯剪切三组纯剪切的组合。的组合。一般三向应力状态一般三向应力状态前提条件前提条件：1 1）各向同性材料；）各向同性材料；2 2）线弹性）线弹性小变形范围内线应变只与正应小变形范围内线应变只与正应力有关，而与切应力无关；切力有关，而与切应力无关；切应变只与切应力有关而与正应应变只与切应力有关而与正应力无关力无关。7.8 7.8 广义胡克定律广义胡克定律 x y z xy yx yz zy zx xzEorEEGorG 利用上述三式求出各应力分量各自单独作利用上述三式求出各应力分量各自单独作用时对应的应变，然后进行叠加

32、。用时对应的应变，然后进行叠加。例如，考虑例如，考虑x方向的线应变情况方向的线应变情况：()1yxzxxyzEEEE 7.8 7.8 广义胡克定律广义胡克定律()zyxxE1()zxyyE1()xyzzE1GxyxyGyzyzGzxzx利用应变叠加利用应变叠加的方法得到沿的方法得到沿x、y、z方向方向的线应变分别的线应变分别为为: :在在xy、yz、zx三三个平面内的切个平面内的切应变分别为：应变分别为：广义胡克定律广义胡克定律7.8 7.8 广义胡克定律广义胡克定律()32111E()31221E()21331E当单元体六当单元体六个面都是主个面都是主平面时，广平面时，广义胡克定律义胡克定律

33、化为化为: xy0yz0zx0 分别为分别为 x , y , z 方向的主应变，与主应方向的主应变，与主应力的方向一致。力的方向一致。321、7.8 7.8 广义胡克定律广义胡克定律体积变化与应力间的关系体积变化与应力间的关系()()()1123V111dxdydz变形前六面体体积：变形前六面体体积：Vdxdydz变形后的体积：变形后的体积：略去高阶微量项略去高阶微量项()1123V1dxdydz7.8 7.8 广义胡克定律广义胡克定律()321321121EVVV()()kEm3213321()213 Ek()3321m体积应变体积应变：体积弹性模量体积弹性模量( (体积胡克定律体积胡克定律

34、) )改写改写主应力的平均值主应力的平均值7.8 7.8 广义胡克定律广义胡克定律()()kEm3213321()213 Ek()3321m体积弹性模量体积弹性模量( (体积胡克定律体积胡克定律) )主应力的平均值主应力的平均值即即：任一点处的体积应变与该点任一点处的体积应变与该点处的三个主应力之和成正比。至处的三个主应力之和成正比。至于三个主应力之间的比例，对体于三个主应力之间的比例，对体积应变并无影响。积应变并无影响。7.8 7.8 广义胡克定律广义胡克定律实例实例 例例7.9 在一体积较大的钢块上有一直径为在一体积较大的钢块上有一直径为50.01mm的凹座，凹座内放置一直径为的凹座，凹座

35、内放置一直径为50mm的钢制圆柱，圆的钢制圆柱，圆柱受到柱受到F=300kN的轴向压力。假设钢块不变形，试求的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。取圆柱的主应力。取E=200GPa，=0.30。F7.8 7.8 广义胡克定律广义胡克定律实例实例Fppp3332F300 104153MPaA(50 10) 解：解：1) 1) 在柱体横截面上的压应力为：在柱体横截面上的压应力为：0002. 055001. 52 2) 2) 在轴向压缩下，圆柱将向横向膨在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹座与胀，当它胀到塞满凹座后，凹座与柱体之间将产生径向均匀压力柱体之间将产生径向均匀压力

36、p。柱。柱体横截面内任一点均为二向均匀应体横截面内任一点均为二向均匀应力状态，柱内任一点的径向与周向力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为应力均为- -p p，考虑到柱体与凹座之，考虑到柱体与凹座之间的间隙，可得应变间的间隙，可得应变2的值为：的值为： 7.8 7.8 广义胡克定律广义胡克定律实例实例Fppp123p8.43MPa153MPa ， 4) 4) 柱内各点的三个主应力为柱内各点的三个主应力为： 69153 10 0.3 0.0002 200 10p8.43M Pa1 0.363212p153 10p0.0002EEEEEE 3) 3) 由广义胡克定律：由广义胡克定律： 7.8 7.

37、8 广义胡克定律广义胡克定律实例实例 实例：实例：已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：分别为： 1=240 10-6， 2= 160 10-6，弹性模量，弹性模量E=210GPa，泊，泊松比为松比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变试求该点处的主应力及另一主应变。03 :自由面上解11229621210 10 (2400.3 160) 1044.3MPa10.3E 所以，该点处的平面应力状态所以，该点处的平面应力状态127.8 7.8 广义胡克定律广义胡克定律实例实例()669132103 .3410)3 .443

38、.22(102103 . 0E12344.3MPa;0;20.3MPa; 22129621210 10 ( 1600.3 240) 1020.3MPa1 0.3E 7.9 复杂应力状态的应变能密度复杂应力状态的应变能密度1) 1) 单向拉伸或压缩时，应变能密度计算公式：单向拉伸或压缩时，应变能密度计算公式：12( (a a) )2)三向应力状态下，弹性变形能等于外力所做的功，只决定于外力和变形的最终数值，与外力作用次序无关。线弹性范围内，三向应力状态下的应变能密度为：线弹性范围内，三向应力状态下的应变能密度为：()112233222123122331111222122E ( (7.24) )7

39、.9 复杂应力状态的应变能密度复杂应力状态的应变能密度3) 3) 三向应力状态下，单元体的变形一方面表现为体积三向应力状态下，单元体的变形一方面表现为体积的增加或减小，另一方面表现为形状的改变。的增加或减小，另一方面表现为形状的改变。应变能密度由两部分组成：体积改变能密度和畸变能密度。应变能密度由两部分组成：体积改变能密度和畸变能密度。mmVmmmmmm31112222 Vd()mmmmm12EEEE( (b b) )以以()3321m代替三个主应力，三个棱边变形相同代替三个主应力，三个棱边变形相同因此，体积改变能为：因此，体积改变能为：由广义胡克定律，由广义胡克定律，( (d d) )7.9

40、 复杂应力状态的应变能密度复杂应力状态的应变能密度()()22Vm1233 12122E6E( (e e) )()()()222d12233116E( (7.25) )()222123122331122E Vd( (b b) )( (7.24) )7.9 复杂应力状态的应变能密度复杂应力状态的应变能密度-实例实例例例7.10 用能量法证明三个弹性常数间的关系。用能量法证明三个弹性常数间的关系。2122G纯剪切时单元体的应变能密度为：纯剪切时单元体的应变能密度为：纯剪单元体应变能密度的主应力表示为：纯剪单元体应变能密度的主应力表示为：()222123123213122E ()(002)(0212

41、2E21E()12EGtxyA 1 37.10 强度理论概述强度理论概述单向应力状态单向应力状态 各种材料因强度不足引起的失效现象是不同的。各种材料因强度不足引起的失效现象是不同的。可见，在单向应力状态下，失效状态或强度条可见，在单向应力状态下，失效状态或强度条件都是以实验为基础的。件都是以实验为基础的。7.10 强度理论概述强度理论概述复杂应力状态复杂应力状态 实际构件危险点的应力状态往往不是单向的，而复实际构件危险点的应力状态往往不是单向的，而复杂应力状态下的实验要比单向拉伸或压缩困难得多。杂应力状态下的实验要比单向拉伸或压缩困难得多。 常用方法是把材料加工成薄壁圆筒（常用方法是把材料加工

42、成薄壁圆筒（图图7.237.23），在），在内压内压p p作用下，筒壁为二向应力状态。如再配以轴向拉作用下，筒壁为二向应力状态。如再配以轴向拉力力F F，可使两个主应力之比等于各种预定的数值。，可使两个主应力之比等于各种预定的数值。FF7.10 强度理论概述强度理论概述 这种薄壁筒试验除作用内压强和轴力外，有时还在这种薄壁筒试验除作用内压强和轴力外，有时还在两端作用扭转力偶，以得到更普遍的受力情况。两端作用扭转力偶，以得到更普遍的受力情况。FF尽管如此，要完全再现实际中遇到的各种复杂尽管如此，要完全再现实际中遇到的各种复杂应力状态，并不容易。应力状态，并不容易。7.10 强度理论概述强度理论概

43、述 显然，由于技术上的困难和工作的繁重，这往往显然，由于技术上的困难和工作的繁重，这往往是难以实现的是难以实现的！况且，复杂应力状态中应力组合的方式和比值况且，复杂应力状态中应力组合的方式和比值，又有各种可能。，又有各种可能。如果像单向拉伸一样，完全靠实验来确定失效如果像单向拉伸一样，完全靠实验来确定失效应力，然后建立强度条件，则必须对各式各样的应应力，然后建立强度条件，则必须对各式各样的应力状态一一进行试验。力状态一一进行试验。7.10 强度理论概述强度理论概述 于是，人们根据大量的破坏现象，通过判断、推于是，人们根据大量的破坏现象，通过判断、推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引

44、理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围内与实际相符合，上升为理论定范围内与实际相符合，上升为理论强度理论强度理论。 利用强度理论，便可由简单应力状态的实验利用强度理论，便可由简单应力状态的实验结果，建立复杂应力状态的强度条件。结果，建立复杂应力状态的强度条件。 强度理论认为：材料之所以按某种方式（断裂强度理论认为：材料之所以按某种方式（断裂或屈服）失效，是应力、应变或应变能密度等因素或屈服）失效，是应力、应变或应变能密度等因素中某一因素引起的。也就是说，无论是简单或复杂中某一因素引起的。也

45、就是说，无论是简单或复杂应力状态，引起失效的原因是相同的，与应力状态应力状态，引起失效的原因是相同的，与应力状态无关！无关！7.10 强度理论概述强度理论概述 强度理论既然是推测强度失效原因的一些假说，强度理论既然是推测强度失效原因的一些假说，它是否正确，适用于什么情况，必须由实践来校验。它是否正确，适用于什么情况，必须由实践来校验。经常是适用于某种材料的强度理论，并不适用于经常是适用于某种材料的强度理论，并不适用于另一种材料；在某种条件下适用的理论，却又不适用另一种材料；在某种条件下适用的理论，却又不适用于另一种条件。于另一种条件。 后面要介绍的四种常用强度理论都是在常温、后面要介绍的四种常

46、用强度理论都是在常温、静载荷下，适用于均匀、连续、各向同性材料的强静载荷下，适用于均匀、连续、各向同性材料的强度理论。度理论。当然，强度理论远不止这几种。而且，现有的当然，强度理论远不止这几种。而且，现有的各种强度理论还不能说已经圆满地解决所有强度问各种强度理论还不能说已经圆满地解决所有强度问题。这方面仍然有待发展。题。这方面仍然有待发展。 7.11 7.11 四种常用强度理论四种常用强度理论 1) 1)脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、

47、扭，低温脆断等。如铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于关于屈服的强度理论：屈服的强度理论：最大切应力理论和畸变能密度理论最大切应力理论和畸变能密度理论 2) 2)塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭。面上，例如低碳钢拉、扭。关于关于断裂的强度理论：断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论最大拉应力理论和最大伸长线应变理论强度失效的主要形式有两种：强度失效的主要形式有两种：断裂断裂和和屈服屈服 7.11 7.11 四种常用强度理论四

48、种常用强度理论最大拉应力理论最大拉应力理论( (第一强度理论第一强度理论) )1) 1) 准则准则：最大拉应力是引起断裂的主要因素，无论最大拉应力是引起断裂的主要因素，无论是什么应力状态，只要最大拉应力达到与材料性质是什么应力状态，只要最大拉应力达到与材料性质有关的某一极限值，则材料发生断裂。有关的某一极限值，则材料发生断裂。2) 2) 破坏条件：破坏条件：最大拉应力的极限值可由单向应力状最大拉应力的极限值可由单向应力状态确定，当态确定，当 达到强度极限达到强度极限 时，发生断裂时，发生断裂b11b b1n3) 3) 强度条件强度条件： 7.11 7.11 四种常用强度理论四种常用强度理论 4

49、) 4) 应用情况应用情况：符合脆性材料的拉断试符合脆性材料的拉断试验，验，如铸铁单向拉伸时断裂发生于拉应如铸铁单向拉伸时断裂发生于拉应力最大的横截面上，脆性材料的扭转也力最大的横截面上，脆性材料的扭转也是沿拉应力最大的斜面发生断裂是沿拉应力最大的斜面发生断裂。但未。但未考虑其余主应力的影响且不能用于无拉考虑其余主应力的影响且不能用于无拉应力的应力状态，如单向、三向压缩等。应力的应力状态，如单向、三向压缩等。 7.11 7.11 四种常用强度理论四种常用强度理论最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论( (第二强度理论第二强度理论) )1) 准则准则：无论材料处于什么应力状态，发生脆性：无论材料处

50、于什么应力状态，发生脆性断裂的共同原因是单元体中的断裂的共同原因是单元体中的最大伸长线应变最大伸长线应变 1达到某个共同极限值达到某个共同极限值 u。3) 强度条件强度条件： )(321()b1123u1EE 2) 破坏条件破坏条件： 4) 应用情况应用情况：符合表面润滑石料的轴向压缩破坏等，符合表面润滑石料的轴向压缩破坏等，不符合大多数脆性材料的脆性破坏。不符合大多数脆性材料的脆性破坏。 7.11 7.11 四种常用强度理论四种常用强度理论max2s最大切应力理论最大切应力理论( (第三强度理论第三强度理论) )1) 准则准则：无论在什么样的应力状态下，材料发生屈服：无论在什么样的应力状态下

51、，材料发生屈服流动的原因都是单元体内的最大切应力流动的原因都是单元体内的最大切应力 max达到某一达到某一共同的极限值共同的极限值 u。 2) 屈服条件屈服条件： s31单向拉伸时，单向拉伸时，出现屈服。出现屈服。13()/2/2s 7.11 7.11 四种常用强度理论四种常用强度理论3) 强度条件强度条件： 314) 4) 应用情况应用情况：形式简单，符合实际，广泛应形式简单，符合实际，广泛应用，偏于安全。用，偏于安全。 7.11 7.11 四种常用强度理论四种常用强度理论s21(2)6dsE畸变能密度理论畸变能密度理论( (第四强度理论第四强度理论) )1) 准则准则：不论应力状态如何，材

52、料发生屈服的共：不论应力状态如何，材料发生屈服的共同原因是单元体中的畸变能密度同原因是单元体中的畸变能密度d达到某个共同达到某个共同的极限值。的极限值。2) 屈服条件屈服条件： 22132322212)()()(s单向拉伸下，屈服应力为：单向拉伸下，屈服应力为：相应畸变能密度由相应畸变能密度由(7.25)(7.25)式求出：式求出：任意应力状态下的畸变能密度：任意应力状态下的畸变能密度：()()()222d12231136E 7.11 7.11 四种常用强度理论四种常用强度理论3) 强度准则强度准则： )()()(212132322214) 应用情况应用情况：对塑性材料比最大切应力准则更对塑性

53、材料比最大切应力准则更符合实验结果。符合实验结果。 7.11 7.11 四种常用强度理论四种常用强度理论 rr称为相当应力 综合四种情况，可把四个强度理论得到的强度综合四种情况，可把四个强度理论得到的强度条件写成以下统一的形式：条件写成以下统一的形式：112131322241223311()()() 2rrrr 23（+） 7.11 7.11 四种常用强度理论四种常用强度理论实例实例1 1例例7.117.11 若例若例7.17.1中的中的Q235Q235钢锅炉的许用应钢锅炉的许用应力为力为160MPa160MPa，试校核其强度。，试校核其强度。解：解：在例在例7.17.1中已经求得锅炉圆筒任意

54、点的主应力为中已经求得锅炉圆筒任意点的主应力为：123150MPa,75MPa,0对对Q235Q235钢这类塑性材料，宜采用第四强度理论校核：钢这类塑性材料，宜采用第四强度理论校核：()()() 2221223312221()()() 21150MPa 75MPa75MPa 0MPa0MPa 150MPa2130MPa160MPa 7.11 7.11 四种常用强度理论四种常用强度理论实例实例1 1锅炉圆筒满足第四强度理论的强度条件锅炉圆筒满足第四强度理论的强度条件！也可以用第三强度理论进行校核：也可以用第三强度理论进行校核： 13150MPa 0MPa 150MPa160MPa满足第三强度理论的强度条件满足第三强度理论的强度条件！ 7.11 7.11 四种常用强度理论四种常用强度理论实例