高考数学一轮复习讲练测(浙江版)：专题8.7立体几何中的向量方法(Ⅰ)—证明平行与垂直(测)(解析版)

1、2017年岛考数学讲练测【浙江版】【测】第茁节第八章立体几何立体几何中的冋重方法I证明平行与垂直班级姓名学号得分、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的)1.平面a经过三点A1,0,1),巳1,1,2),C(2,-1,0)，则下列向量中与平面a的法向量不垂直的是()A.2，B.(6,2,2)C.(4,2,2)D.(1,1,4)【答案】D【解析】设平面歹的法向量为耳则忑nlAC,耳丄矗所有与鸟:或N云平行的向量或可用孟与二线性表示的向量都与戸垂直，故选D,2.如图所示，在正方体ABCDABCD中，棱长为a,MN分别为AB和AC上的点，AM=AN=

2、则MN与平面BBCC的位置关系是()A.相交B.平行C.垂直D.不能确定【答案】B【解析】分别以CB、CD、CC所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.二cDi=g昂，二页*c=o,jjy丄eg.3，1丁CDX是平面宓的法向量且胪匚平面空O.灿平面BEC.C,ffff3.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z)，若AB丄BC,Bl(x1,y,3)，且BP平面ABC则实数x,y,z分别为（）33154015A,4B.,一47，7，7，7，4040c,2,4D.4,7，一15【答案】Bff【解析】AB丄BCff.ABBC=0，即3+52z=0，得z=4,ffff又BPL平面A

3、BC.BP!ABBPLBC(x_1)5y6=03(x-1)y-12=0，解得40x=一715y74.如图，正方形ABCD与矩形ACEf所在平面互相垂直，AB2,AF=1,M在EF上,且AM/平面BDE则M点的坐标为A.(1，1,1)B.C.D.【答案】C【解析】设恥与少相空于。点，连接由M平面BDE,且此平面ACEF,平面ACEFf平面BDE=OEj：rAVilFO,又。是正方形辺Q对角线交点，二彷线段刖的中点.在空间坐标系中，(0,0,1),巩晶远.l严、由中怎坐标公式，知点丽的坐标I眾1!.5.如图，在长方体ABCDABCD中，AB=2,AA=AD=2羽,P为CD的中点,M为BC的中点则A

4、M与PM的位置关系为()A.平行B.异面C.垂直D.以上都不对【答案】C【解析】以D点为原点，分别以DADCDD所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,依题意，可得，QO,0,0),P(0,1,3),C(0,2,0),A(22,0,0),M2,2,0).PM=(2,2,0)-(0,1,3)=(2,1,-3),AM=(2,2,0)-(22,0,0)=(2,2,0),PM-AM=(2,1,3)(2,2,0)=0,即PMLAM-AMLPMya6B0)ujJ?L.BDC()长为1,则儿d,Mdao),.4(14DC.1a24二a?4A.a21订f3J3/眇yMBA.EF至多与A

5、D,AC之一垂直C.EF与BD相交D.EF与BD异面【答案】B从_而EFH他2瓯LgF1AC.故选出AE-AF的值为则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量两两夹角为60f1f1AE=2(a+b),AF=2c,Ae-AF=1(a+b)-；c如图，正方体ABCA1B1CD中，E,F分别在AidAC上，且AiE=|AD,AF=AC则（）EFAD,EFAC7.已知空间四边形ABCD勺每条边和对角线的长都等于a，点E,F分别是BCAD的中点，则【答案】【解析】如图，设AB=a,AC=b,AD=c,1=_(a-4c+b-c)12=4a.【解析】以1戸点为坐标原点，以.丽，饥迦所在直线分别为町巧轴

6、建立空间直角坐标系，设正方休棱1、011月(1*1*Q打IX(Q*Of1J、12a2122=迹60+ac0S60)AD则过点P(n,an)和8.已知等差数列的前n项和为Sn，且S2=10,S5=55,Q(n2,an2)(nN)的直线的一个方向向量的坐标能够是(14A.(，)33【答案】A(2,4)C.(1)D.(-1,-1)【解析】试题吩祈：直线的斜车二.S.-55.5-55.-11.?+2和a,a：=马+6亠令=孑口斗=5510=45:二a4=15:;.d=a4-a=4所以它的一个方向向量可以为a=(1=k)=(1:4)i科=(一匸一与它共线：故选二二、填空题(本大题共7小题，共36分).9

7、.(4分)设平面a与向量a=(1,2，4)垂直，平面卩与向量b=(2,4,8)垂直,则平面a与卩位置关系是【答案】平行【解析】因为a=2b，所以a/b。因为平面:-与向量a垂直，所以平面:-与向量b也垂直。而平面1与向量b垂直，所以可得：/10.(4分)空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCDfADEF设MN分别是BDAE的中点，给出如下命题：ADLMNMN/平面CDEMNCEMNCE异面则所有的准确命题为11_歩11_歩?2(a+b)=2(ca),MN*AD=2(ca)-b=?(c-ba-b)=0,故ADLMNCEz=ca=2MN故MN/CE故MNT平面CDE故准确；准确时一定不准确.11

8、.（6分）如图所示，在直三棱柱ABC-ABC中，底面是/ABC为直角的等腰直角三角形,【答案】a或2aF在线段AA上，当AF=时，CF1平面BDF【解析】法一：由已知得&D丄平面cG又Gt平面犹;，：.BD_CF,故若疔丄平面电琏,则必有沁阳.10j=x+4s+(3a.siz：分别以典眈、册所在直线为工轴、丁轴、芒轴建立空间直角坐标系月-兀则贞0,0,6,刃a63勿，设F忑巧CF=(2a,2a,2a,0,站=(I22丿a,0,m3a),烛面BDF,，CFLbTR，盂FF=k?F=0,2可得2a+mm3a)=0,解得m=a或2a.12.（6分）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果A

9、B=（2,1,4）,AD=(4,2,0),Al(1,2,1).对于结论：APIABAPIADAF是平面ABCD勺法向量；AP/BD其中准确的序号是【答案】【解析】/AB-AP=0,AD-AP=0,ABLAP,AD丄AR则准确.又AB与AD不平行， AP是平面ABC啲法向量，则准确.因为聶AD-Ab=（2,3,4）,AP=（1,2,1）, 乱aP不平行，故错误.13.（4分）如图所示，已知空间四边形O-ABC其对角线为OBACMN分别为OABCffff的中点，点G在线段MN,且MG=2GN若0G=xOAFyO聊zOC贝Ux,y,z的值分别为.【答案】x=1,y=z=3.解析】丁0G=侧+-OA+

10、討口二卫卄彳iG.V-肋-0A+卫L7O.V也JJ也JJ12121111=-CH+-x-(0B+0&-X-OA-0B+0C又OG=xOA-yOB-zOC,ZJi0J根据空间问量的基本走理D14.（6分）【湖南省衡阳八中2019届高考一模】在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱AA丄底面ABC点D在棱BB上,且BD=1,若AD与平面AACC所成的角为a,则sina的值是（）【答案】丄一vl1【解析】如图，建立坐标系，易求点D（一厂，,1）,平面AACC的一个法向量是7=（1，0,0）,V3所以cosv,qi=卫,?24即sina=F15.（6分）如图，在直三棱柱ABC-A

11、BiC中，/ACB=90,AA=2,AC=BC=1，则异面直线AiB与AC所成角的余弦值是.【答案】6【解析】以C为坐标原点臼，偈比所在直线分别为甘扒了轴、玄轴建立空间直角坐标系A（lf0t2）,B（OrlfO）tA（lr0f0）,rt0,0,0）/则率=（-1丄AC-l0:Obcos=1J1+1+46三、解答题（本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本题满分14分）如图，在底面是矩形的四棱锥PABCDKP从底面ABCDE,F分别是PCPD的中点，PA=AB=1,BC=2.求证：BCEF/平面PAB平面PADL平面PDC【答案】见解析；（2）见解析.【解析】（

12、1）以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建空间直角坐标系，则机a0,0)J血0,0),C(l,2.0),Z?(0,2r0；jP0,1)、AF=(0r0f1),Ab=Q2r0/?C=.lr0rO.j;(1.0f01)丫击=-池；希屯即FFHAB,又肋匕平面pab9訊平面e岂:.Fil平面三迢(2)丁齐梵=0J)10,0)=0,立如图所示的XD-DC=(0,2,0)(1,0,0)=0,XpLDC；AD丄DC即APIDCADLDC又APnAD=代DCL平面PAD/DC?平面PDC平面PADL平面PDC17.（本小题满分15分）【2019高考江苏卷】如图，在直三棱柱

13、ABGA1B1G中，D,E分别为AB,BC的中点，点F在侧棱B1B上，且BjDA,F,ACjA1B1.求证：（1）直线DE/平面A1C1F;(2)平面BiDE平面AiCiF.【答案】（1）详见解析（2）详见解析解析】证明:1）在直三棱柱ABC-佔q中,AC4C1在三角形ABC中，因为DE分另悦ABM的中点，所以宓理C于罡应4G又因为DEC平面C：F7Ap.-平面A-CF所以直线DE：平面比（V（2）在直三棱柱ABC-斗场匸1中,g-平面心世：因为且心二平面AAC；，所以见坷一酢】又因为日心_吗玉丘：，二平面耳辿討百二平面A丘岂=所以AG_平面ABBA因为BD平面ABBA，所以AC_B1D又因为

14、BD_AF,ACi平面ACiF,AF平面ACFaGAF所以BQ_平面ACiF因为直线BD平面BQE，所以平面BDE_平面AGF.18.（本小题满分15分）如图，四棱锥PABCDKPAL平面ABCDPB与底面所成的角为451底面ABCD直角梯形，/ABC=ZBAD=90,PA=BC=-AD=1.E求证：面PACL面PCD（2）在棱PD上是否存有一点E,使CE/面PAB若存有，请确定E点的位置;若不存有，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存有E点使CE/面PAB此时E为PD的中点.【解析】证明丫刊丄面二朋与面個加所成的甬为/口列=士易得CDAC由勾股定理逆定理得兀丄口史-丄CD、E址1AC?

15、S丄面円匚透平面尺込平面期C丄平面Fd.分别以血*虽廿为武轴、卩轴、+Zy轴建立空间直角坐标系.R0,0,1),qi,1,0),D(0,2,0)，设E(0,y,z),PE=(0,y,z-1),PD=(0,21)PE/PD,y(-1)2(z1)=0AD=(0,2,0)是平面PAB的法向量，又CE=(-1,y-1,z),CE/面PAB（1,y1,z）（0,2,0）=0,y=1.1将y=1代入，得z=2E是PD的中点，存有E点使CE/面PAB此时E为PD的中点.119.（本小题满分15分）在等腰梯形ABCD中,AD/BCAD=BC/ABC=60,N是BC2的中点，将梯形ABCD绕AB旋转90,得到梯

16、形ABCD（如图）.（1）求证：ACL平面ABC；求证：CN/平面ADD;求二面角A-CN-C的余弦值.【答案】见解析；（2）见解析；（3）-55【解析】证明T*孰八焜恥的中点又.讪验二四边形凡切是平彳亍四边形：又Z桃=60：朋=出=迪二四边形山d是菱形:厶J毎丄Z%尸炉,二厶WC9”、即ACLaB,又平面住册丄平面平面厂职门平面ABC=AB.AC1_平面馭/证明广,APltBC?AIYllBC,BCBC1-5；二平面如A平面GTT、又L、亡平面BCd、平面3.解：T/Q丄平面朋*ACf丄平面占芒如图建立空间直角坐标系,设AB=1，则政1,0,0),qo,3,0),C(0,0,3),心阳.说=

17、-za壬=0石)，设平面厂用的法向量为片仙划讥则P竺即五严”(n-CC=0i-工+辰=0取=-+则需二书?；=-1*=1忑I-、丄平面梱岛二平面L磁1_平面站又加丄册平面G扎旷|平面45=越丄平面严AN,nqAi岛与M交于点4则为站的中点，巩亍-片-.平面厂的法向量05=(-.0).亦一5一巫WT由團形可知二面甬为钝角,所以二面角ACN-C的余弦值为一5520.(本小题满分15分)如图，已知矩形ABCDPAL平面ABCDMNR分别是ABPCCD的中点.求证:直线AR/平面PMC直线MNL直线AB.证明证法1:(1)连接CMABCD矩形，R、M分别为ABCD的中点，MA綊CRAMC为平行四边形，CM/AR又AF?平面PMC：AR/平面PMC连接MRNR在矩形ABCDKABLADPA!平面ACPALAB,ABL平面PAD