10-1级数37018ppt课件

1、第十章第十章 级数级数 主要内容无穷级数是研究函数的一个重要主要内容无穷级数是研究函数的一个重要的工具，它包括常数项级数和函数项级数的工具，它包括常数项级数和函数项级数两部分两部分.本章先讨论常数项级数，而后在函本章先讨论常数项级数，而后在函数项级数中将重点介绍幂级数和数项级数中将重点介绍幂级数和Fourier傅立叶级数傅立叶级数. 关键词关键词 级数级数(series)； 收敛收敛(convergence)； 发散发散 (divergence)；幂级数；幂级数(power series)； Fourier级数级数 (Fourier series)10.1 常数项级数的概念和性质常数项级数的概

2、念和性质 10.2 正项级数的审敛法正项级数的审敛法10.3 交错级数交错级数 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 10.4 幂级数幂级数10.5 函数展成幂级数函数展成幂级数10.7 Fourier 级数级数10.1 常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质 10.1.1 收敛与发散的概念收敛与发散的概念 设有无穷常数项数列设有无穷常数项数列 nu，即，即,1u,2u,3u,nu把该数列的各项依次加起来，即把该数列的各项依次加起来，即 1u2u3unu(10.1)或简写为或简写为 ,1nnu称为常数项级数，简称为级数称为常数项级数，简称为级数. 其中其中 ,1u,2u,3u,nu都称为

3、级数的项都称为级数的项. 称为级数的第称为级数的第n项或一般项项或一般项. nu设级数设级数(10.1)的前的前n项和项和为为，即，即nuuus21的部分和数列的部分和数列 1nnu 有极限有极限s,s,即即 则称该级数收敛，并且称则称该级数收敛，并且称s s是这个级数的和，是这个级数的和，niinnuuuus121.ns称为级数的部分和称为级数的部分和, ,部分和构成的数列记成部分和构成的数列记成 .nsns)(1nnu定义定义10.1 若级数若级数 ns,limssnn若部分和数列若部分和数列 没有极限，称级数没有极限，称级数 1nnu发散发散. 1nnu当级数当级数 收敛于收敛于s时，可

4、用时，可用sn作为作为s的近似值的近似值.其其差差 1iinnnussr称为级数的余项称为级数的余项. 例例1 讨论几何级数也称等比级数）讨论几何级数也称等比级数） .1211nnnaqaqaqaaq的收敛性是收敛或者发散），这的收敛性是收敛或者发散），这里里, 0aq为公比为公比. 解解 1q时，时，qqaaqaqaqasnnn1)1 (.121 1 0limqqqnn由于由于1qqasnn1lim，此时级数收敛于，此时级数收敛于.1qa时，时，1qnnslim，此时级数发散，此时级数发散. 时，时，nnnsnaslim ,，此时级数发散，此时级数发散. 1q时，时， 1q时，级数为时，级数

5、为.aaaa为奇数）为偶数）nansn.(.(0sn无极限，级数发散。无极限，级数发散。1q时，时，级数收敛于级数收敛于;1qa1q时，级数发散。时，级数发散。综上，综上，例例2 证明级证明级数数 231311181851521nn收敛，并求其和收敛，并求其和. 解解 )23(131nnun)231131(31nn ns 231311181851521nn)231131()11181()8151()5121(31nn)23121(31n.61)23121(31limlimnsnnn。级数收敛，其和为。级数收敛，其和为 .61例例3 证明调和级证明调和级数数是发散的是发散的. 证明证明 是数列是

6、数列nnn131211111该级数的每项为正数，部分和数列该级数的每项为正数，部分和数列 增加的，前增加的，前 m2项的和项的和ns严格单调严格单调)81716151()4131(2112ms)221221121(1111mmmm21m.2limmsm2msns的子列，的子列， 调和级数发散调和级数发散. ns发散发散.从而从而例例4 证明证明证明证明 19 . 0. 10900. 0009. 009. 09 . 09 . 0nnn)101(91这是几何级数，公比这是几何级数，公比 101q109a，首项 利用例利用例1的结论知该级数收敛于的结论知该级数收敛于 11011109，即 . 19

7、. 0.10.1.2 收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质性质性质1 若级数若级数 1nnu收敛于和收敛于和s, 则级数则级数 1nnku且和为且和为ksk为常数）为常数）. 也收敛，也收敛，证明证明 记记 1nnu 1nnku 和和的部分和分别为的部分和分别为 ns,n nnks 与与那那么么lim,nnss limlimnnnnksks 于是级数于是级数 1nnku因因那那么么也收敛，也收敛，且和为且和为ks.级数的每一项同乘以或除以一个非零常数后得到级数的每一项同乘以或除以一个非零常数后得到的新的级数，与原来级数有相同的收敛性的新的级数，与原来级数有相同的收敛性. . 性质性质2 2 若

8、级数若级数 1nnu 1nnv 与与都收敛，其和分别记为都收敛，其和分别记为 A与与B，则级数，则级数 1()nnnuv 也收敛，且和为也收敛，且和为A AB. B. 证明证明 记级数记级数 1,nnu 1,nnv 1()nnnuv 的部分和分别的部分和分别 记为记为,nns ,nc和和,nnncs 那那么么lim,nnsA lim,nnB 由于由于于是于是lim.nncAB 级数级数1()nnnuv 收敛，和为收敛，和为A AB.B.即即 111().nnnnnnnuvuv 性质性质2 2说明：说明：收敛级数可以逐项相加或减）；收敛级数可以逐项相加或减）；一个收敛级数与一个发散级数相加或减得

9、到的一个收敛级数与一个发散级数相加或减得到的新的级数一定发散新的级数一定发散. . 性质性质3 3 在级数中，去掉有限项，加上有限项或者在级数中，去掉有限项，加上有限项或者改变有限项，都不会改变级数的收敛性改变有限项，都不会改变级数的收敛性. . 性质性质4 4 若级数若级数 1nnu 收敛，则对该级数的项坚持收敛，则对该级数的项坚持原来的顺序任意添加括号后得到的新级数仍收敛，原来的顺序任意添加括号后得到的新级数仍收敛，并且和不变并且和不变. .证明证明 记级数记级数 1nnu 的部分和为的部分和为,ns不失一般性，假设不失一般性，假设按以下方式添加括号得到新的级数为：按以下方式添加括号得到新

10、的级数为：11121212()()nnnnuuuuuu 1112()kkknnnuuu 设加括号后的级数的部分和为设加括号后的级数的部分和为 ,kA,kknAs 那那么么kAns即即是是的一个子数列的一个子数列. . 由于由于 kA收敛，收敛， 则其子列则其子列 ns收敛，收敛，limlim.knknAs 且且即加括号后的新级数收敛，且和不变即加括号后的新级数收敛，且和不变. . 性质性质4 4说明：收敛级数可以随意加括号，且加括号说明：收敛级数可以随意加括号，且加括号的级数仍收敛于原来级数的和；但是带括号的级数的级数仍收敛于原来级数的和；但是带括号的级数收敛，却不能断定去括号后的级数也收敛收

11、敛，却不能断定去括号后的级数也收敛. . 性质性质4 4的逆否命题是正确的：若加括号所成的级数的逆否命题是正确的：若加括号所成的级数发散，则原来的级数必发散发散，则原来的级数必发散. . （1-11-1）+ +（1-11-1）+ +（1-11-1）+ + 收敛于零收敛于零1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+ 是发散的是发散的. .收敛，收敛，那那么么lim0.nnu 证明证明性质性质5 5级数收敛的必要条件）级数收敛的必要条件）若级数若级数1nnu 1nnu 的部分和为的部分和为,ns记记且且lim.nnss 当当2n 时，时，1,nnnuss 1limlim()nnnnnuss

12、1limlimnnnnss 0.ss 注意：该性质的逆命题是不成立的，即级数一般注意：该性质的逆命题是不成立的，即级数一般项项的极限为零，并不意味着级数收敛项项的极限为零，并不意味着级数收敛. . 例如调和级数例如调和级数 11,nn 1limlim0.nnnun 11nn 发散。发散。但但性质性质5 5的逆否命题成立，即的逆否命题成立，即 lim0nnu 时，时，级数级数 1nnu 发散。发散。例例5 5 知知 1,nnus 111()2.nnnuusu 证明证明证明证明 设级数设级数 1nnu 的部分和为的部分和为,ns11()nnnuu 的部分和为的部分和为 ,n 112nnnsuu 那

13、那么么1nnus 由由知，知，lim,nnss 1lim0.nnu 于是于是111limlim(2)2nnnnnsuusu 111()2.nnnuusu 即即例例6 6 求级数求级数 解解 设设的部分和为的部分和为于是于是11(1)(2)nn nn 的和。的和。1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn 11(1)nn n ,ns那那么么111111 22 3(1)1nsn nn 1limlim(1)11nnnsn 设设11(1)(2)nnn 的部分和为的部分和为,nt那那么么111.(1)(2)4nn nn 那那么么所以原级数的部分和所以原级数的部分和于是于是11111,2

14、33 4(1)(2)22ntnnn111limlim()222nnntn 由于原级数可写成由于原级数可写成 11(1)(2)nn nn 1111112(1)2(1)(2)nnn nnn 11,22nnnst 1111 11limlimlim12222 24nnnnnnst 因而因而注注 关于收敛级数和发散级数之间的运算：关于收敛级数和发散级数之间的运算： 两个发散级数之间的加或减法运算所得到两个发散级数之间的加或减法运算所得到的新级数的收敛性不确定的新级数的收敛性不确定. . 收敛级数收敛级数+ +收敛级数收敛级数得到的新级数仍旧收敛；得到的新级数仍旧收敛； 收敛级数收敛级数- -收敛级数收敛级数得到的新级数仍旧收敛；得到的新级数仍旧收敛； 收敛级数收敛级数+ +发散级数发散级数得到的新级数必发散；得到的新级数必发散； 收敛级数收敛级数- -发散级数发散级数得到的新级数必发散；得到的新级数必发散；练习一练习一 判断下列级数的敛散性：判断下列级数的敛散性：解解 考虑加括号后的级数考虑加括号后的级数)()()(1411411311