材料力学第6章

1、第六章第六章 应力状态理论和强度理论应力状态理论和强度理论6.1 一点应力状态的概念一点应力状态的概念6.2 二向应力状态分析的解析法二向应力状态分析的解析法6.3 二向应力状态分析的图解法二向应力状态分析的图解法6.4 三向应力状态三向应力状态6.5 广义虎克定律广义虎克定律 体积应变体积应变6.6 三向应力状态的弹性变形比能三向应力状态的弹性变形比能6.7 四个常用的强度理论四个常用的强度理论6.1 一点应力状态的概念一点应力状态的概念一、一点的应力状态1、一点的应力状态 所谓一点的应力状态，就是受力构件内的 通过任一点各个不同方位截面上的应力情况。 研究一点的应力状态称为应力分析。其目的

2、是为了判断受力构件在什么地方、什么方向最危险，为分析构件的强度提供基础。2、原始单元体 主单元体 为了研究一点的应力状态，首先是围绕该点取出一个无穷小的正六面体，称为单元体。 从受力构件内一点处取出的单元体，若各个面上的应力均为已知，则该单元体称为原始单元体。2.两个相互平行侧面上的应力情况是相同的3.代表该点三个相互垂直方向上的应力情况1.单元体各侧面上的应力分布是均匀的。单元体的特点如图a所示的单元体其左右面的应力已知为 ，没有剪应力，其余面上应力均为零，所以它是通过点A的原始单元体.AppaxsxsAxsxsA(a)(a)a=00oa=xPAs=A2xsmaxta=452xs在图b中绕点

3、A的的单元体也是原始单元体。AeMAA(b)ta=45maxs =tmins =-ta=0a=00oa=一般来说，原始单元体上各面上有三个应力:一个是正应力，其他两个是剪应力。在该点处以不同方位截取的诸单元体中，一定可以找到一个在各面上只有正应力，而没有剪应力的单元体，这样的单元体称为主单元体。主单元体各面上的正应力称为主应力，而主应力所在的面成为主平面。也可以这样定义：剪应力等于零的面称为主平面主平面，主平面上的正应力称为主应力主应力。二、应力状态分类 一点处的主单元体的六个面上，有三对主应力，常用 表示，并以其代数值的大小按 的顺序排列。 按照不等于零的主应力数目，把应力状态分为三类。1s

4、ss23、1sss23s1s3s21.单向应力状态 受力构件一点处只有一个主应力不为零的应力状态.二向应力状态 受力构件一点处有两个主应力不为零的应力状态 .三向应力状态 受力构件一点处有三个主应力不为零的应力状态 。三、复杂应力状态实例 1.二向应力状态实例 研究锅炉或其他圆筒形容器的应力状态( ) 20Dt mnmnl(a)nn(b)Dtt（1）轴向应力 的计算 作用在两端筒底的总压力均为 ，则 mnABCDssssmnl(a)psnn(b)Dtt24DPp=s24DPp=4PpDDtts=（2）纵截面上圆周应力的计算在筒壁纵向截面上的圆周应力为，其合力为，作用在圆筒壁内微面积 上的压力为

5、在y方向的投影为sNtls=2DdAld=mnABCDssssmnl(a)sslmnnmppyttDNNd2DdPpdApld=sin2Dpld则y方向的总压力0sinPdplD =mnABCDssssmnl(a)sslmnnmppyttDNNd由平衡条件 得单元体上的主应力为2NP=2pDts=123024pDpDttsss=2、三向应力状态在滚珠轴承中滚珠和外圈接触点处的应力状态就是三向应力状态。s1s3s2(a)(b)p图6-46.2 二向应力状态分析的解析法二向应力状态分析的解析法正应力用一个角标，如 表示法线和x轴一致的面上的正应力。剪应力用两个角标表示，如的第一个角标表示此应力所在

6、面的法线和x轴一致 ，第二个角标表示此应力方向和y轴平行。方向规定：正应力拉为正，剪应力以顺时针为正。xytxs一、任意斜截面上的应力 yxxsxsysysxytxytyxtyxtyxysxsxytyxtabcdafenaanaeafysyxtxytxstasatfeasindAadA(a)(b)(c)(d)cosdAa根据此截出的三棱体的平衡，写出沿法线n和切线t方向的力平衡方程式，为(cos)sin(cos)cos(sin)cos(sin)sin0 xyxyxydAdAdAdAdAastaasaataasaa-=(cos )cos(cos )sin(sin)cos(sin)sin0 xyx

7、yyxdAdAdAdAdAattaasaasaataa-=aanaeafysyxtxytxstasatfeasindAadA(c)(d)cosdAa在上面两式中以 代替并简化后得22cossin2sincoscos2sin222xyxyxyxyxyassasataassssata=-=-sin2cos22xyxyasstata-=xytyxt这就是平行于z轴的任意截面上的应力公式。二、主应力 主平面 考虑任意斜截面上正应力的极值。将式对取导数，得当时，有 asa( sin2 )(2cos2 )2xyxyddasssataa-=-00ddaa asa=00sin2cos202xyxyssata-

8、=22cossin2sincoscos2sin222xyxyxyxyxyassasataassssata=-=-可得满足上式的有两个值，和 。从上式可求出，代入式 可得最大和最小正应力 0a090oa 00sin2cos2aa、max22min()22xyxyxysssssts-=02tan2xyxytass= -22cossin2sincoscos2sin222xyxyxyxyxyassasataassssata=-=-xoaminsmaxs三、最大剪应力及所在平面用同样方法可以确定单元体最大剪应力和最小剪应力及所在平面的方位角，将对求导并令其等于零，此时，即 由此得 1aa1aa=111(

9、)cos22sin20 xyxyddaa atssataa=-=sin2cos22xyxyasstata-=1tan22xyxyssat-= 满足上式的也有两个值，即这说明最大剪应力和最小剪应力的作用面是相互垂直的。用上式解出，代入式可得最大剪应力和最小剪应力为 1190oaa、1a11sin2cos2aa、max22min()2xyxytsstt-=1tan22xyxyssat-=sin2cos22xyxyasstata-=比较可知即 （e）最大、最小剪应力所在截面和主平面面成45。1045oaa=00090、aa110tan2cot2tan(290 )oaaa= -=02tan2xyxyt

10、ass= -1tan22xyxyssat-=例例1 构件中某点的原始单元体及其应力如图所示，试求主应力及主单元体位置，最大最小剪应力及其所在的截面的倾角。解:由图知 （1）设主平面的倾角为，则100 xMPas=20yMPas=40 xyMPat=0a02tan2xyxytass= -(a)xa100MPa40MPa20MP0245oa= -02225oa= -022.5oa= -0112.5oa= -或(b)22.50a2 40110020= -= -(a)xa100MPa40MPa20MP(b)a116.6 MP22.5a3.4MP以上结果表明，从x轴量起，由（顺时针方向）所确定的主平面上

11、的主应力为，而由所确定的主平面上的主应力为，得最大，最小正应力如下：故主应力为022.5oa= -maxs0112.5oa= -minsmax22min1002010020()4022116.66056.63.4MPass-=1116.6MPas=23.4MPas=30s=（2） 最大剪应力所在面的倾角为最大，最小剪应力为相对应的正应力为(a)(c)xxa100MPa40MPa20MP22.5a60MPa56.6MP104522.54522.5ooooaa= -=max22min10020()4056.62MPatt-= 116.63.4602MPas=例例2 如图，一处于横力弯曲下的梁，其截

12、面mn上的弯矩为M，剪力为Q，可求得截面上一点A处的和分别为 试确定A点的主应力及主平面的方位，并讨论同一截面上其他点的应力状态。70MPas= -st 50MPat=alm(a)Amnst(b)解：A点处截取的单元体放大后如图c所示，由选定x的方向垂直向上。得0 xs=02tan2xyxytass= -x1s3s(c)a70MPxyta50MP27.50255oa=02235oa=027.5oa=0117.5oa=或70yMPas= -50 xyMPat= -2 ( 50)1.4290( 70) -= -=- -70MPas= -50MPat=从x轴量起，由（逆时针）所确定的主平面上的主应力

13、为 而由 所确定的主平面上的主应力为 ，可得最大，最小正应力如下：故主应力为， ， 027.5oa=maxs0117.5oa=minsmax22min260( 70)0( 70)()( 50)9622MPass - -= -=-126MPas=20MPas=396MPas= -xyt1s3sa70MPa50MP27.5例例3 图示简支梁为36a工字梁， , A点所在截面在集中力P的左侧，且无限接近P力作用的截面。试求：A点在指定斜截面上的应力；A点的主应力及主平面位置（用单元体表示）。140PkN=4lm= l/2P=140kNAl=4mhh/430解：A所处截面上弯矩、剪力：查型钢表后，A点

14、以下表面对中性轴静矩： l/2P=140kNAl=4mhh/43014MPL=2PQ =*663(13.6 1.58 17.2 1 7.42 12.7) 10464 10Sm-= =1140 4140.4kN m=140702kN=正应力、剪应力：MyIs=*QSIbt=*63464 10Sm-= l/2P=140kNAl=4mhh/430368140 109 1079.915760 10MPa- =3668270 10464 101020.615760 101 10MPa-= 则： 60a=79.979.9cos12020.6sin1202.1322MPaas=-=79.9sin12020.

15、6cos12024.32MPaat= = l/2P=140kNAl=4mhh/430主应力计算：22179.979.9()20.684.922MPas=22379.979.9()20.6522MPas=-= -02 20.620.51679.9tga= -= -01356a=- l/2P=140kNAl=4mhh/4306.3 二向应力状态分析的图解法二向应力状态分析的图解法一、应力圆及其做法1.应力圆方程由 22cossin2sincosxyxyassasataa=-sin2cos22xyxyasstata-=cos2sin222xyxyxyssssata-=-sin2cos22xyxyas

16、stata-=cos2sin222xyxyxyasssssata-=-上面两式分别平方后相加，得这种圆叫应力圆，或称莫尔(O.Mohr)圆 方程(a)称为应力圆方程。sin2cos22xyxyasstata-=cos2sin222xyxyxyasssssata-=-2222()()22xyxyxyaassssstt-=（a）2、应力圆的作法0aBCAD1B1A02axyt2sys1sxytD1G2Gostxsyxxytysxs1s2syxxytysxs3.证明此圆的圆心在轴上，而它的圆心C到坐标原点O的距离为 （b）半径为 （c）满足（a）式。1()22xyOCOAOBss=2222()2xy

17、xyCDCAADsst-=BCAD1B1A02axyt t2sys1sxyt tD1G2Gos stxs二、应力圆的应用. 用应力圆确定单元体任意斜截面上的正应力和剪应力在上例 图a中，设由x轴 到任意斜截面法线n的夹角 为反时针的角.yxxytnaatasys(a)xsyxnaxaxytatasys(a)BCAD1B1A02axyt2sys1sxytD1G2GostxsFE2a所以点E的坐标为:1()22xyCAOAOBss-=-=2222()2xyxyCECDCAADsst-= 0cos(22 )OFOCCEaa=00cos2cos2sin2sin2OCCECEaaaa=-cos2sin2

18、OCCAADaa=-cos2sin222xyxyxyssssata-=-1()22xyOCOAOBss=(b)oBCAFDE1G1A1BD2Gs2sysxs1s2a02axytyxtt其结果与按公式计算结果完全相同。0sin(22 )EFCEaa=00sin2cos2cos2sin2CDCDaaaa=cos2sin2ADCAaa=sin2cos22xyxyssata-=-(b)oBCAFDE1G1A1BD2Gs2sysxs1s2a02axytyxtt2、用应力圆确定主应力大小及主平面方位 应力圆上 两点的横坐标为最大值和最小值，而纵坐标皆等于零，因此这两点的横坐标代表主平面上的主应力，即11A

19、B、(b)oBCAFDE1G1A1BD2Gs2sysxs1s2a02axytyxttmax11OAOCCAOCCDs=221()22xyxyxyssssts-=min11OBOCCBOCCDs=-=-222()22xyxyxyssssts-=-=3、用应力圆确定最大最小剪应力及所在平面做垂直半径，显然其分别等于最大和最小剪应力而22max1()2xyxyCGCDsstt-=(b)oBCAFDE1G1A1BD2Gs2sysxs1s2a02axytyxtt22min1()2xyxyCGCDsstt-= -= -maxmintt、max12min2tsst-= 因为的绝对值都等于应力圆的半径，故又可

20、写成例例4 在图示的单元体中，已知、，试用应力圆求主应力，并确定主平面位置。解：80 xMPas=40yMPas= -60 xyMPat= -60yxMPat= yx0a1s3sC1B1AD 02aD1s3s020 4060a80MP比例尺(a)(b)a60MPa40MPa80MPost按所用比例尺量出： 11105OAMPas=3165OBMPas= -20s=10245oDCAa=022.5oa=C1Bo1AD 02aDst1s3s(b)例例5 用应力圆求图所示单元体在斜截面de上的正应力及剪应力。解：选适当的比例尺010515a20MPa40MPyedxasat60120cBEtosas

21、(a)(b)at可以量出 30MPaas= -010515a20MPa40MPyedxasat60120tocBEsas(a)(b)at17.4MPaat= -例例6:在通过一点的两个平面上，应力如图所示，单位为兆帕。试求主应力的数值及主平面位置，并用单元体的草图表示出来。150459525 325 3联立求解，得到105cos210sin2104522xyxyxssssst-=- =75sin150cos15025 32xyxsstt-= =105sin210cos21025 32xyxsstt-=70,xyMPass=50 xMPat= -150459525 325 375105则： 则2

22、2170707070()( 50)10022MPas-= -=22270707070()( 50)2022MPas-=- -=30,s=045a=150459525 325 3022xxytgtass-= -yx0a1s2s 6.4 6.4 三向应力状态三向应力状态 bdac1s2s3s3s(b)1B1A1Cost1s3s2sD1Gmaxt2s1s3s(a)abcd 在 平面内代表任一斜截面的应力的点或位于应力圆上，或位于由三个应力圆所围成 的阴影区域内。Os tst 可见，三向应力状态下，最大和最小正应力分别为最大和最小主应力，即 （6-10） （6-11） 而最大剪应力则为 （6-12）

23、并位于与 构成45的截面内。max1ss=min3ss=13max2sst-=13ss、01BD1A1C1Gst1s3s2smaxt例例7 某点处于三向应力状态，其单元体如图。求其主应力和最大剪应力。解：对图示处于三向应力状态下的单元体，已知一个主平面及该面上的主应力（60MPa）另外两个主应力可按与二向应力状态相似的方法求得。a20MPAs=a60CMPs=a40MPt=AtBC(a)a40MPt=a20MP(b)t1s2s3ss(60,0)Co(c)在 坐标系中取A(-20,40)、B(0,-40)以AB为直径作应力圆应力圆与轴的两个交点即为单元体的另两个主应力，分别等于31MPa和-51

24、MPa。Os ta20MPAs=a60CMPs=a40MPt=AtBC(a)A(-20,40)(0,-40)Ba40MPt=a20MP(b)由于已知的主应力为60MPa，故按 得再作另外两个应力图，可见最大剪应力在最大直径的应力圆上，即123sss12360,31,51MPaMPaMPasss= -max55.5MPat=a20MPAs=a60CMPs=a40MPt=AtBC(a)a40MPt=a20MP(b)t1s3ss(60,0)Co(c)A(-20,40)(0,-40)B2smaxt 6.5广义虎克定律广义虎克定律 体积应变体积应变 一、广义虎克定律的一般形式线弹性范围内应力与应变的关系

25、是 或 （a）这就是虎克定律。轴向变形还将引起横向尺寸的变化，横向应变 可表示为 （b）剪切情况下，当剪应力不超过剪切比例极限时，剪应力和剪应变之间的关系服从剪切虎克定律，即 （c）Es=Es=Es= -= -GGtt=或 对于各向同性材料，在线弹性小变形前提下，一点处的线应变只于该点处的正应力有关，而与剪应力无关。同时该点的剪应变也仅与剪应力有关。 分别研究这两类关系。首先讨论x方向的线应变 与正应力 之间关系。如图所示由单独作用引起的x方向的线应变为由 单独作用而引起的x方向的线应变分别为yxzysxszsoxytxytxztxztyxtyztxxyzsss、xEs=xsyzss、yEs=

26、 -zEs= - 叠加以上三式 便得到共同作用下x方 向的线应变 （d）同理可以求出y，z方向的线应变，最终得到 （6-136-13）xyzsss、1()yxzxxxxxyzEEEEssss ss=-=-1()1()1()xxyzyyzxzzxyEEEs sss sss ss=-=-=-1()1()1()xxyzyyzxzzxyEEEs sss sss ss=-=-=-剪应力和剪应变之间的关系，服从剪切虎克定律xyxyyzyzzxzxGGGttt=成为广义虎克定律的一般形式。与（6-14）当单元体的各面均为主平面时，x、y、z方向分别与 方向一致，这时 ， ， 、 广义虎克定律化为123sss

27、、1xss=2yss=3zss=0 xyyzzxttt=1s2s3sabc1123223133121()1()1()EEEs sss sss ss=-=-=- 称为用主应力表示的广义虎克定律。123 二、平面情况的简化在平面应力状态下。将 代入式（6-13）和式（6-14）得到不为零的应变分量为 （6-16） 0zyzzxstt=11()xxyyyxzxyxyxyEEEGsssssst=-=-= -= 用应变来表示应力，则式（6-16）化为上式即为平面应力状态下的虎克定律。22()1()1xxyyyxxyxyEEGsst=-=-=11()xxyyyxzxyxyxyEEEGsssssst=-=-

28、= -=三、体积应变 如图所示的单元体，设变形前a、b、c个棱边 的长度为dx、dy、dz，则其体积为 123、 、0Vdxdydz=变形后dx、dy、dz的线应变分别为 ，则体积变为123(1)(1)(1)Vdxdydz= 展开上式且注意到小变形情况下，高阶微量可忽略不计，则得到变形后的体积 故单位体积的改变量即体积应变为 （6-17） 将（6-15）代入上式化简 （6-18）123(1)(1)(1)Vdxdydz=0123(1)VV=01230VVV-=12312()Esss- =引入符号 体积弹性模量 （6-19a）平均主应力 （6-19b）则（6-18）变为体积虎克定律 （6-20）3

29、(1 2 )EK=-1231()3mssss=mKs =6.6 三向应力状态的弹性变形比能三向应力状态的弹性变形比能一、弹性变形比能 单向拉伸或压缩时，根据变形能在数值上等于外力所做的功，且应力与应变成线形关系，得到计算变形比能的公式， （a） 三向应力状态下弹性体的变形能在数值上仍等于外力所做的功。在线弹性的情况下，每一主应力与其相应的主应变之间仍是线形关系。12us= 与每一个主应力相应的比能可按（a）式计算，三向应力状态下的比能是1 12233111222us s s =把代入上式 化简得1123223133121()1()1()EEEs sss sss ss=-=-=-32221212

30、233112 ()2uEsss s ss ss s=-（6-21）（ b）二、体积改变比能和形状改变比能 若原始单元体上的三个主应力不相等，分别为 ，主应变为 ，体积应变为。变形比能u可认为由两部分组成： （1）因体积变化而储存的比能 ，称为体积改变比能。所谓体积变化是指单元体各棱边变形相等，变形后仍保持原形状，只是体积发生变化。123sss、和123 、和tu （2） 体积不变，只是单元体的形状发生改变而储存的比能 ，称为形状改变比能。因此 (c) 若在单元体上以平均应力 代替三个主应力作用，单位体积的改变与 作用时仍然相等，因而这种情况下的比能也就是体积改变比能，所以txuuu=1233m

31、ssss=123sss、 、xu11132222tmmmmmmmmus s s s = （d）由广义虎克定律代入（d）式 （e）11132222tmmmmmmmmus s s s =1(12 )()mmmmmEEssss-=-=221233(1 2 )3(1 2 )()223tmuEEssss-=212312()6Esss-=把代入（c）式求得化简后得形状变形比能为 （6-22）1232221223311()3xuEssss ss ss s=-2221223311()()() 6Essssss=-123222122233112312(212)()6xtuuuEEsss s ss ss ssss

32、=-=-32221212233112 ()2uEsss s ss ss s=-212312()6tuEsss-=例例8 一纯剪切应力状态下的单元体，材料为各向同性，试证明三个常数E、G、存在以下关系。 （6-23）2(1)EG=cabxyodt证证：设单元体各边长分别为dx、dy，厚度为t，则单元体左右两侧面的剪力均为tdy，单元体左右两侧面由于剪切发生相对错动，其错动量为dx ，此时储存的变形能dU，12dUtdydxt= （a）用单元体体积tdxdy去除上式，得单元体的变形能 图示的纯剪切单元体，其上主应力为cabxyodt451s3s12dUtdydxt=21122uGtt=（b）123

33、0stsst=-、（c）且主单元体也示于图中。将值代入式得 （d）有（b）、（d）相等，即 ，得 （e）即 2222211(2)2uEEtttt=22112GEtt=12uu=2(1)EG=123sss、32221212233112 ()2uEsss sss ss s=- 6.7 四个常用的强度理论四个常用的强度理论一、材料破坏的二种形式 1、屈服破坏（流动破坏） 低碳钢 2、断裂破坏 铸铁二、强度理论的概念 单向拉伸或压缩时的强度条件 其中许用应力是通过实验测得材料的极限应力后除以适当的安全系数而得。 而工程实际中，大多数受力构件的危险点处于复杂应力状态。 ss 认为材料在各种不同的应力状态

34、下导致某种类型破坏的原因是由于某种主要因素引起的。即无论是简单应力状态或是复杂应力状态，某种类型的破坏都是同一因素引起的。这样便可以利用简单应力状态的实验结果去建立复杂应力状态时的强度条件，这样的假设称为强度理论。三、常用的四个强度理论由于材料存在两种破坏形式，强度理论也分为两类：一类是解释材料脆性断裂的强度理论； 一类是解释材料塑性屈服破坏的强度理论。1.最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论（第一强度理论） 认为材料的破坏决定于最大拉应力，即认为无论是单向应力状态还是复杂应力状态，只要最大拉应力达到某种极限时，材料就发生断裂，这一极限值即该材料在轴向拉伸实验时测得的强度极限则 破坏条

35、件 强度条件 这一理论基本上能正确反映出某些的脆性材料的特性。可用于承受拉应力的某些脆性金属，例如铸铁。bs11(0 )bsss=1ss2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）最大伸长线应变理论（第二强度理论） 最大伸长线应变是引起断裂破坏的主要因素，无论是复杂应力状态或是简单应力状态，引起断裂破坏的因素都是最大伸长线应变。 在简单拉伸下，假定直到发生断裂材料的线应变的极限值 仍可用虎克定律计算，在复杂应力状态下，最大伸长线应变 达到 时材料就发生断裂破坏。由此发生断裂破坏的条件是 （b）101001bEs=由广义虎克定律有 代入（b）式得破坏条件 （c） 将除以安全系数得许用应力，于是按第二强

36、度理论建立的强度条件是 （6-25） 适用于石料或混凝土等脆性材料受轴向压缩时，仅仅与少数脆性材料在某些情况下的破坏符合，并不能用它来描述脆性材料破坏的一般规律。11231()Es ss=-123()bs sss-=123() s sss-3.最大剪应力理论（第三强度理论）最大剪应力理论（第三强度理论） 认为最大剪应力 是引起材料塑性屈服破坏的主要因素。即不论是复杂应力状态或是单向应力状态只要单元体中的最大剪应力 达到材料在单向拉伸下发生塑性屈服破坏时的极限应力 ，材料就将发生塑性屈服破坏。在单向拉伸情况下，当横截面上的拉应力达到极限应力 时，与轴线成45的斜截面上相应的极限剪应力为 。max

37、tmaxt0tss02sst=因此材料发生塑性屈服破坏条件即 （d）在复杂应力状态下的最大剪应力为 代入（d）式得破坏条件 （6-26） 这是材料开始出现塑性屈服的条件，或称屈雷斯加（Tresca）屈服准则。0max2sstt=13max2sst-=13ssss-=将式 引入安全系数，得到按第三强度理论建立的强度条件为13ssss-=13 sss-max12ts （6-27）或 （6-27） 能较满意的解释塑性材料出现塑性屈服的现象。只适用于拉伸屈服极限和压缩屈服极限相同的材料。4.形状改变比能理论（第四强度理论）形状改变比能理论（第四强度理论） 认为：形状改变比能是引起屈服破坏的主要因素，不

38、论材料处于什么应力状态，只要形状改变比能达到单向拉伸屈服时的形状改变比能 ，材料便产生屈服破坏，因此屈服破坏条件为由（6-22）式0 xu0 xxuu=2221223311()()() 6xuEssssss=-021(2)6xsuEs= 代入化简可得 （6-28）此条件又称为密赛斯（Mises）屈服条件。其相应的强度条件为 （6-29） 2221223311()()() 2ssssssss-=2221223311()()() 2sssssss- 将四个强度理论的强度条件写成下列统一形式，即 （6-30） 式中 称为相当应力，它是由三个主应力按一定的形式组合而成。按照从第一强度理论到第四强度理论

39、的顺序，相当应力分别是 （6-31）xdss1121233132224122331()1()()() 2xdxdxdxdssss ssssssssssss=-=-=-xds* * * 强度计算的步骤：强度计算的步骤：1、外力分析：确定所需的外力值。2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。3、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点 并画出单元体，求主应力。4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当 应力，然后进行强度计算。* * * 强度理论的选用原则：依破坏形式而定。强度理论的选用原则：依破坏形式而定。1 1、脆性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理 论；当最大主应力小于等于零时,使用

40、第三或第 四理论。3 3、简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如扭转， 都用：2 2、塑性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理 论；其它应力状态时，使用第三或第四理论。 maxtt4 4、破坏形式还与温度、变形速度等有关！ 例例9 封闭薄壁压力圆筒，已知其最大内压力的压强为p，圆通内直径为D，厚度为t（tD），材料的许用应力为，试按照第四强度理论建立圆筒壁的强度条件。解：由第一节计算可知，筒壁内取出的主应力单元体的三个主应力为123240pDtpDtsssss=mnABCDssssmnl(a)代入第四强度条件式（6-31）中第四式得从而强度条件为 若容器p=1.5MPa,D=1m,=100MPa，则 可见此时容器满足强度条件。22241223311()()() 324xdpDtsssssss=-=3 4pDts31.5 13363.7 44 10 10pDMPats-=