自动控制原理课第三章2015稳定判据

1、2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析第三章第三章(12(12学时学时) )信息学院信息学院二二一五年十月一五年十月2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析3.5 3.5 自动控制系统的代数稳定判据自动控制系统的代数稳定判据 1 1、稳定的基本概念、稳定的基本概念 定义：定义：如果线性定常系统受到扰动的作用，偏离如果线性定常系统受到扰动的作用，偏离了原来的平衡状态，而当扰动消失后，系统又能够了原来的平衡状态，而当扰动消失后，系统又能够逐渐恢复到原来的平衡状态（或达到新的平衡状逐渐恢复到原来的平衡状态（或达到新的平衡状态），则称该系统是稳定的。否则，称该系统是不态），则称该系统

2、是稳定的。否则，称该系统是不稳定的。稳定的。注意注意：稳定性是系统的一种固有特性，这种特性只稳定性是系统的一种固有特性，这种特性只 取决于系统的结构和参数，与外作用无关取决于系统的结构和参数，与外作用无关。2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析稳定与不稳定系统的示例 AAf图图a 摆运动示意图摆运动示意图（稳定系统）稳定系统）图图b 不稳定系统不稳定系统图图c 小范围稳定系统小范围稳定系统dfc物理意义上的稳定概念物理意义上的稳定概念2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析 设线性定常系统在初始条件为零时，输设线性定常系统在初始条件为零时，输入一个入一个理想单位脉冲理想单位脉

3、冲 ，这相当于系统在这相当于系统在零平衡状态下，受到一个扰动信号的作用，零平衡状态下，受到一个扰动信号的作用，如果当如果当t t趋于趋于时时，系统的输出响应系统的输出响应xc(t)收收敛敛到原来的零平衡状态，即到原来的零平衡状态，即该系统就是稳定的。该系统就是稳定的。lim( )0ctx t)(t数学意义上的稳定概念数学意义上的稳定概念2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析j0j0j0j0j0012345600.10.20.30.40.50.60.70.80.91Impulse ResponseTime (sec)Amplitude00.511.522.502468101214Imp

4、ulse ResponseTime (sec)Amplitude0510152025303540-1.5-1-0.500.511.5Impulse ResponseTime (sec)Amplitude02468101214161820-8-6-4-2024681012Impulse ResponseTime (sec)Amplitude051015202530-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.2Impulse ResponseTime (sec)Amplitude11( )sin()ikkqrttcikdkkikx teA et 五种运动状态（脉冲输入时）五种运

5、动状态（脉冲输入时）2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析 系统特征方程的根（即系统闭环传递函数的极系统特征方程的根（即系统闭环传递函数的极点）全部负实数或具有负实部的共轭复数，也就点）全部负实数或具有负实部的共轭复数，也就是所有的闭环特征根是所有的闭环特征根 分布在分布在S S平面虚轴的左侧平面虚轴的左侧 （不包括虚轴），即（不包括虚轴），即eR 0jpjp2 2、稳定的充分必要条件、稳定的充分必要条件2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析3. 3. 劳斯稳定判据劳斯稳定判据(Rouths stability criterion) 由以上讨论可知：判稳先求根。但是，对高由

6、以上讨论可知：判稳先求根。但是，对高阶系统，在求根时将会遇到较大的困难。人们希阶系统，在求根时将会遇到较大的困难。人们希望寻求一种不需要求根而能判别系统稳定性的望寻求一种不需要求根而能判别系统稳定性的。而劳斯判据就是其中的一种。而劳斯判据就是其中的一种。代数判据代数判据2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析（1 1）列）列劳斯表劳斯表1011000nnnna sa sasaa，02461135721234312342121101nnnnsaaaasaaaasbbbbsccccseesfsg劳斯表：劳斯表：1311211aacbbb-=3151121bbaabc3120111aaaaa

7、b5140121aaaaab特征方程式：特征方程式：原始数据原始数据计算数据计算数据2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析 系统特征方程的全部根都在系统特征方程的全部根都在S S左半平面（左半平面（系系统稳定统稳定）的充分必要条件是劳斯表的第）的充分必要条件是劳斯表的第1 1列系列系数全部是数全部是正正数。方程在右半平面根的个数等于数。方程在右半平面根的个数等于劳斯表中第劳斯表中第1 1列各元改变符号的次数。列各元改变符号的次数。（2 2）劳斯判据）劳斯判据( (三种情况）三种情况）：注意：注意：a00劳斯判据给出了系统特征根分布的情况，而并劳斯判据给出了系统特征根分布的情况，而并不

8、能给出具体的特征根的值。不能给出具体的特征根的值。2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析例例3-4 3-4 系统的特征方程为系统的特征方程为解：列劳斯表解：列劳斯表07146435223456ssssss65432102367541 424537275551 81 171 1 571 81 5 8 91 1 57sssssss劳斯表第一列的系数变号两次，系统不稳定，劳斯表第一列的系数变号两次，系统不稳定，有有2右半面的根右半面的根。2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析例例3-5 3-5 系统的特征方程如下系统的特征方程如下, ,试用劳斯判据判断系统的稳定性。试用劳斯判据判

9、断系统的稳定性。处理方法处理方法：可以用一个小的正数：可以用一个小的正数 代替它，而继续计算其余代替它，而继续计算其余 各元，再用劳斯判据。各元，再用劳斯判据。0122234ssss432101112201221sssss解：列劳斯表解：列劳斯表第一列元素变号两次，系统不稳定，有两个根具有正实部第一列元素变号两次，系统不稳定，有两个根具有正实部。系统闭环极点：系统闭环极点：-1.8832 -1.8832 0.2071 + 0.9783i 0.2071 + 0.9783i 0.2071 - 0.9783i 0.2071 - 0.9783i -0.5310 -0.5310 2022年5月1日第三章

10、 自动控制系统的时域分析例例3-6 3-6 系统的特征方程如下系统的特征方程如下, , 判断系统的稳定性。判断系统的稳定性。解：列劳斯表解：列劳斯表第第1 1列各元中的上面和下面的系数符号列各元中的上面和下面的系数符号不变，故有一对虚轴上的根。临界稳定不变，故有一对虚轴上的根。临界稳定将特征方程式分解，有将特征方程式分解，有解得根为解得根为 02223sss222110123ssss2(1)20ss2,132, 1pjp2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析：利用全：利用全 0 0 行的上一行各元构造一个行的上一行各元构造一个辅辅助方程助方程，以辅助方程的导函数的系数代替劳斯表，以辅

11、助方程的导函数的系数代替劳斯表中的这个全中的这个全 0 0 行，然后继续计算下去。这些大小行，然后继续计算下去。这些大小相等而关于原点对称的根可以通过求解这个辅助相等而关于原点对称的根可以通过求解这个辅助方程得出。方程得出。 这表明方程有一些大小相等且这表明方程有一些大小相等且对称于原点对称于原点的根。的根。 例如例如 显然，系统是显然，系统是的。的。, , ppjpj 2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析解：列劳斯表解：列劳斯表0161620128223456ssssss654318201621216021216000ssss42( )68p sss用为零行的上一行构造用为零行的

12、上一行构造辅助方程辅助方程：例例3-7 3-7 系统的特征方程如下系统的特征方程如下, ,试用劳斯判据判断系统试用劳斯判据判断系统 的稳定性。的稳定性。2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析用导函数的系数代替行为零元继续算下去，得劳斯表用导函数的系数代替行为零元继续算下去，得劳斯表 ssdssdp1243654321018201621216016838428431sssssss结论：结论：劳斯表第劳斯表第1 1列元素没变号，可列元素没变号，可确定在确定在S S右半平面没有特征根。但由右半平面没有特征根。但由于有为零行，表示在虚轴上有根。系于有为零行，表示在虚轴上有根。系统临界稳定状态

13、。统临界稳定状态。 对辅助方程求导得：导函数为对辅助方程求导得：导函数为系统极点系统极点： 0.0000 + 2.0000i 0.0000 - 2.0000i -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i 0.0000 + 1.4142i 0.0000 - 1.4142i2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析辅助方程式为：辅助方程式为：由之求得特征方程式虚根为由之求得特征方程式虚根为 42( )68 0p sss 1,23,42 ,2pjpj 4222( )68240p sssss2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析4. 4. 胡尔维茨判据胡尔维

14、茨判据1011000nnnna sa sasaa，系统的特征方程式的标准形式：系统的特征方程式的标准形式：构造胡尔维茨行列式构造胡尔维茨行列式D D nnnaaaaaaaaaaaaaD2120314205310000000000002022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析 12113211/,/,/nnbDD cDDgDD111,b cg. 0 , 0, 0 , 0 , 03142053132031211DDaaaaaaaaDaaaaDaDn胡尔维茨稳定判据胡尔维茨稳定判据：特征方程式的全部根都在左半复特征方程式的全部根都在左半复平面的充分必要条件是上述行列式平面的充分必要条件是上述行

15、列式D的各阶主子式均的各阶主子式均大于大于0 0，即，即 与劳斯表中第与劳斯表中第1 1列的系数比较，存在如下关系：列的系数比较，存在如下关系： 若若 均为正，则均为正，则D1 1，D2 2，Dn自然也都为自然也都为正，反之亦然。可见劳斯稳定判据和胡尔维茨稳定判正，反之亦然。可见劳斯稳定判据和胡尔维茨稳定判据实质是一致的。据实质是一致的。2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析胡尔维茨稳定判据的特点：胡尔维茨稳定判据的特点： 1 1、不必计算可直接写出、不必计算可直接写出D阵阵、只能给出系统稳定与否的信息，而不能给出、只能给出系统稳定与否的信息，而不能给出系统特征根分布情况。系统特征根

16、分布情况。、当当n n 较大时，胡尔维茨判据计算量急剧增加，较大时，胡尔维茨判据计算量急剧增加，所以它通常只用于所以它通常只用于 的系统。的系统。6n 2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析系统的特征方程式：系统的特征方程式：上式根全部具有负实部的必要条件为上式根全部具有负实部的必要条件为其根全部具有负实部的充分条件为其根全部具有负实部的充分条件为 19761976年中国学者聂义勇进一步证明，可将此充分条年中国学者聂义勇进一步证明，可将此充分条件放宽为件放宽为 此判据被称为谢绪恺判据。此判据被称为谢绪恺判据。谢绪恺判据完全避免了除法，且节省了计算量。谢绪恺判据完全避免了除法，且节省了

17、计算量。 101103nnnna sa sasan，112(1, 2,2)iiiia aa ain1121(1, 2,2)3iiiia aa ain1120.465(1, 2,2)iiiia aaain. . 谢绪恺判据谢绪恺判据2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析. . 参数对稳定性的影响参数对稳定性的影响 应用代数稳定判椐可以用来判定系统是否应用代数稳定判椐可以用来判定系统是否稳定，还可以方便地用于分析系统参数变化对稳定，还可以方便地用于分析系统参数变化对系统稳定性的影响，从而给出使系统稳定的参系统稳定性的影响，从而给出使系统稳定的参数范围。数范围。2022年5月1日第三章 自

18、动控制系统的时域分析例例3-8 3-8 系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为。式中，式中，Kk为系统的开环放大系数。试求使得系为系统的开环放大系数。试求使得系统闭环稳定时统闭环稳定时 Kk 的取值范围的取值范围 。 123111KBKKWsTsT sT sK解：系统特征方程为解：系统特征方程为 321 2 31 21 32 312310KTTT sTTTTTT sTTT sK 2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析列劳斯表，整理得系统稳定的充要条件是：列劳斯表，整理得系统稳定的充要条件是： 20312312133221TTTTTTTTTTTTKk1238KTTTK若选择， 则使系

19、统稳定的临界值为 。2312,10KTTTTK如果取， 则使系统稳定的临界值为24.2。结论：将各时间常数的数值错开，可以允许较大的结论：将各时间常数的数值错开，可以允许较大的 开环放大系数。开环放大系数。错开原则错开原则2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析 1,15KK sWss ssK例、单位反馈系统开环传函为 试确定使闭环系统稳定时 的取值范围。2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析7. 7. 相对稳定性和稳定裕量相对稳定性和稳定裕量代数稳定判据只能给出代数稳定判据只能给出绝对稳定性绝对稳定性稳定还是不稳定稳定还是不稳定实际的系统希望知道距离稳定边界有多少余量实际的

20、系统希望知道距离稳定边界有多少余量相对稳定性或稳定裕量的问题。相对稳定性或稳定裕量的问题。 2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析利用代数稳定判据，以利用代数稳定判据，以 代入系统特征代入系统特征方程式，写出方程式，写出z z 的多项的多项式，然后用代数判据判式，然后用代数判据判定定z z 的多项式的根是否的多项式的根是否都在新的虚轴的左侧。都在新的虚轴的左侧。1 zs方法：方法：SZ2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析068523sss653465810123ssss例例3-9 3-9 系统特征方程式为系统特征方程式为 可以看出，第一列中各项符号没有改变，所以可以看出，

21、第一列中各项符号没有改变，所以没有根在没有根在S S平面的右侧，系统是平面的右侧，系统是稳定稳定的。的。劳斯表为劳斯表为2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析111 zs06) 1(8) 1(5) 1(23zzz新的特征方程为新的特征方程为列出劳斯表列出劳斯表 02223zzz321011220()2zzzz由于第一列元素符号相同，表明在右半由于第一列元素符号相同，表明在右半平面没有根，但由于平面没有根，但由于 z z1 1 行的系数为零，行的系数为零，故有一对虚轴上的根。这说明，新系统故有一对虚轴上的根。这说明，新系统临界稳定，即原系统刚好有临界稳定，即原系统刚好有 的稳的稳定裕量

22、。定裕量。 11检查上述系统是否有检查上述系统是否有 裕量。裕量。将将 代入原特征方程式，得代入原特征方程式，得2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析3.6 3.6 稳稳 态态 误误 差差 什么是稳态误差？什么是稳态误差？lim ( )lim( )( )ssccttee txtx t期 稳态误差是描述系统稳态误差是描述系统稳态性能稳态性能的性能指标。的性能指标。对于稳定的系统，暂态响应随时间的推移而衰减，对于稳定的系统，暂态响应随时间的推移而衰减，若时间趋于无穷时，系统的输出量不等于输入量若时间趋于无穷时，系统的输出量不等于输入量或输入量确定的函数，则系统存在稳态误差。稳或输入量确定

23、的函数，则系统存在稳态误差。稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。 给定稳态误差给定稳态误差( (由给定输入引起的稳态误差由给定输入引起的稳态误差) ) 扰动稳态误差扰动稳态误差( (由扰动输入引起的稳态误差由扰动输入引起的稳态误差) )2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析（1）：输出跟踪输入、对扰动具有抗干扰能力。：输出跟踪输入、对扰动具有抗干扰能力。（2 2）：系统是稳定的。：系统是稳定的。 随动系统要求系统输出量以一定的精度随动系统要求系统输出量以一定的精度跟随跟随输入量的变化，输入量的变化，因而用因而用给定稳态误差给定稳态误

24、差来衡量系统的稳态性能。系统的来衡量系统的稳态性能。系统的。 恒值系统需要分析输出量在扰动作用下所受到的影响，因而恒值系统需要分析输出量在扰动作用下所受到的影响，因而用用扰动稳态误差扰动稳态误差来衡量系统的稳态性能。系统的来衡量系统的稳态性能。系统的抗干扰能力抗干扰能力。2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析扰动误差的拉氏变换：扰动误差的拉氏变换： ( )( )( )ceXsW sN s扰动误差的传递函数：扰动误差的传递函数： )()()(1)()()()(212sWsWsWsWsNsXsWfce扰动误差即为扰动产生的输出！扰动误差即为扰动产生的输出！1. 1. 扰动稳态误差扰动稳态

25、误差 c0 0 rxtN txt：， 给给定定不不变变但但扰扰动动变变时时输输出出的的扰扰动动误误变变化化量量 即即扰扰差差定定。义义动动误误差差为为-12022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析 020lim( )lim( )( )lim( )1( )ssctcssKeex ts X sW ssN sW s 根据终值定理，扰动作用下的稳态误差为：根据终值定理，扰动作用下的稳态误差为：2212( )( )( )( )( )( )( )1( )( )( )1( )cefKW sW sN sXsW sN sN sW s W s WsWs可见扰动误差与可见扰动误差与 有关。有关。( )( )e

26、W sN s和结论结论：扰动误差即为扰动产生的输出！：扰动误差即为扰动产生的输出！2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析当给定量当给定量 时，时，以扰动量为输入量的系以扰动量为输入量的系统结构图如下图所示统结构图如下图所示 ：0)(sUr速度调节器速度调节器试分析扰动作用下，系统的稳态误差。试分析扰动作用下，系统的稳态误差。例例3-10 3-10 速度负反馈系统速度负反馈系统2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析在负载电流作用下转速误差的拉氏变换为在负载电流作用下转速误差的拉氏变换为 (1)( )( )( )(1)(1)aseezzmsKRT sCn sWsIsIsT sT

27、 sK式中：式中： 系统开环放大系数。系统开环放大系数。 1KcsfeKK K KC当负载为阶跃函数时，当负载为阶跃函数时， ，则转速的稳态误差为，则转速的稳态误差为 zzIssI1)(0(1)lim( )lim(1)(1)(11)aszezatsmsKeKRT sICI Rn tT sT sKCssK由于系统在负载扰动下存在稳态误差，所以称为由于系统在负载扰动下存在稳态误差，所以称为有差系统有差系统。 2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析则速度误差的拉氏变换为则速度误差的拉氏变换为 将上述调速系统中的将上述调速系统中的比例调节器换成积分调比例调节器换成积分调节器，构成下图所示系节

28、器，构成下图所示系统。统。 (1)( )( )(1)(1)sazemss T sRn sIsCT sTKefsCKKK 式中式中: :1 cKs0(1)lim( )lim0 (1)(1)1saztsesms T sRn tIC s T sT sKss结论：在开环传递函数中，串联积分环节，可以结论：在开环传递函数中，串联积分环节，可以 消除阶跃扰动的稳定误差。消除阶跃扰动的稳定误差。 无差系无差系统统2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析2. 2. 给定稳定误差和误差系数给定稳定误差和误差系数 从输入端定义从输入端定义 ( )( )( )( )( )( )1( )1rfrfcrKE s

29、XsXsXsWs XsXsWs 这个误差是可量测的，容易计算。这个误差是可量测的，容易计算。但是这个误差并不一定反映输出量但是这个误差并不一定反映输出量的实际值与期望值之间的偏差。的实际值与期望值之间的偏差。（1）误差的两种定义误差的两种定义2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析这种误差定义物理意义清楚，但这种误差定义物理意义清楚，但在实际系统中有时无法测量在实际系统中有时无法测量( (主要主要指理想输出指理想输出) ) ，且不易计算。，且不易计算。因因此只具有数学意义。此只具有数学意义。 对于对于单位反馈系统单位反馈系统，两种误差定，两种误差定义是义是相同相同的。的。 ( )E s

30、( )( )( )ccE sXsXs期从输出端定义从输出端定义非单位反馈非单位反馈系统两种定义误差之间的关系系统两种定义误差之间的关系( )( )( )fE sE sWs请同学回去推导该结论！请同学回去推导该结论！2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析结论：系统稳态误差由开环传函和输入决定。结论：系统稳态误差由开环传函和输入决定。误差计算公式：误差计算公式： 1( )( )1rKE sXsWs（2 2）给定误差的计算）给定误差的计算2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析式中：式中： N N开环传递函数中串联的积分环节的开环传递函数中串联的积分环节的 阶次，或称系统的阶次，或

31、称系统的无差阶数无差阶数。 11 (1)( ) (1)mKiiKn NNjjKTsWssT sWW0 0S=0时， WW0 0必为N N = 0= 0， 0 0型系统；型系统；N N = 1= 1，型系统；型系统；N N = 2 = 2 ，型系统。型系统。注意注意：N N 越高越高，系统的稳，系统的稳定性定性 愈差愈差。一般采用的是。一般采用的是0 0型、型、型和型和型系统。型系统。开环传递函数可以表示为时间常数（尾）形式开环传递函数可以表示为时间常数（尾）形式: :2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析（3 3）典型输入情况下系统的给定稳态误差分析）典型输入情况下系统的给定稳态误差

32、分析 11 ( )rrxttXss稳态误差为稳态误差为 000( )1lim( )limlim1( )1( )rsssssKKsXsesE sWsWs位置误差系数位置误差系数1( )( )1ssppeeK 0lim( )pKsKWs 单位阶跃函数输入单位阶跃函数输入2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析101(1)lim(1)mkiipknsjjKTsKKT s11( )11ppkeKK 0 0型系统，型系统，N N = 0= 0，则位置稳态误差系数则位置稳态误差系数 0 0型系统的位置稳态误差为型系统的位置稳态误差为 型以上系统，型以上系统，101(1)lim(1)mKiipn N

33、sjjKTsKT s Ns1( )01ppeK 2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析 单位斜坡函数输入单位斜坡函数输入 1ssveK 21 ( )rrxttXss 200011( )limlimlim1( )( )ssvsssKKseesE ssWssWs 速度误差系数。速度误差系数。 0lim( )vKsKsWs 1100011(1)limlimlim(1)mkiikvkn NNsssNjjKTsKKsWsssT s2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析各型系统在斜坡输入时的稳态误差为各型系统在斜坡输入时的稳态误差为100, 0, ( )111, , ( )12, ,

34、( )0vvvvKvvKvvvNKeKNKKeKKNKeK 型系统，型系统，型系统，1ssveK10limkvNsKKs2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析 单位抛物线函数输入单位抛物线函数输入 2311 ( )2rrxttXss320011( )limlim1( )(1)ssassKKaseeWsss WsK 加速度误差系数。加速度误差系数。 20lim( )aKsKs Ws 221001120021(1)limlim(1)(1)limlim(1)mkiiakn NssNjjmkiikn NNssNjjKTsKs WsssT sKTsKssT s2022年5月1日第三章 自动控制

35、系统的时域分析 单位抛物线函数输入单位抛物线函数输入 由此得各型系统在抛物线输入时的稳态误差为由此得各型系统在抛物线输入时的稳态误差为100, 0, ( )11, 0, ( )112, ,( )aaaaaaakaakNKeKNKeKNKKeKK 型系统，型系统，型系统， 加速度误差系数。加速度误差系数。 20lim( )aKsKs Ws20limkaNsKKs2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析 误差系数与稳态误差之间的关系误差系数与稳态误差之间的关系 1(t)t系统系统 0型型00 型型00 型型00 rXt212tpKvKaK pe ve aeKKKKKK11KK1KK1KK2

36、022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析05101520253000.20.40.60.811.21.41.61.8Step ResponseTime (sec)Amplitude11W (s) =s+121W (s) =s(s+1)step(feedback(tf(1,conv(1 0,1 1),1)step(feedback(tf(1,1 1),1)322s+1W (s) =s (s+1)step(feedback(tf(2 1,conv(1 0 0,1 1),1)随着系统积分环节个数的增加，虽然系统的随着系统积分环节个数的增加，虽然系统的稳态误差减小了但超调变大，稳定性变差稳态误差

37、减小了但超调变大，稳定性变差2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析为使系统具有较小的稳态误差，必须根据不同的为使系统具有较小的稳态误差，必须根据不同的输入选择不同类型的系统，且输入选择不同类型的系统，且选取较大的选取较大的 值值。但考虑稳定性问题，一般选择但考虑稳定性问题，一般选择II型或型或II型以下系统，型以下系统，且且 也要满足稳定性要求。也要满足稳定性要求。KKKK前面的计算方法只能根据终值定理求得稳态误差值。前面的计算方法只能根据终值定理求得稳态误差值。 2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析（3 3）动态误差系数）动态误差系数误差传递函数为误差传递函数为 111

38、(1)( )1( )( )1( )(1)(1)n NNjjen NmNrKjkijisT sE sW sXsWssT sKTs将分子和分母中幂次相同各项合并得将分子和分母中幂次相同各项合并得nnnnrsssssssXsE22102210)()(本节方法本节方法：即可求出稳态值又可了解系统进入稳态后：即可求出稳态值又可了解系统进入稳态后 误差随时间变化的规律误差随时间变化的规律 。 e t11(1)( )(1)mKiiKn NNjjKTsWssT s2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析用用长除法长除法，可把上式写为如下的，可把上式写为如下的s s的升幂级数的升幂级数 误差的拉氏变换为

39、误差的拉氏变换为 2210111)()(skskksXsEr)(1)(1)(1)(2210sXskssXksXksErrr式中：式中：k0 动态位置误差系数；动态位置误差系数； k1动态速度误差系数；动态速度误差系数； k2动态加速度误差系数。动态加速度误差系数。 2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析、由终值定理求稳态误差值：、由终值定理求稳态误差值： 取极限求稳态误差值：取极限求稳态误差值： )()(lim)(lim2312000sXksksksssEerssss )(1)(1)(1)(1lim)(lim3210txktxktxktxkterrrrtt 112012012111(

40、 )( )( )( )111rrrrrre tLE sLXssXss Xskkkxtxtxtkkk、由误差的时间函数求稳态误差值、由误差的时间函数求稳态误差值：2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析例例3-11 3-11 有一单位反馈系统，其开环传递函数为有一单位反馈系统，其开环传递函数为试计算输入量为试计算输入量为 和和 时系统的稳态误时系统的稳态误差及误差时间函数。差及误差时间函数。 2( )1KKmdmKWsT T sT s解：该系统为解：该系统为0 0型，误差传递函数为型，误差传递函数为 221( )1( )11mmderKKmmdT sT T sE sWsXsWsKT sT

41、 T s展开成展开成s 的升幂级数（的升幂级数（长除法长除法），得），得 222111(1)(1)(1)KmKm dmeKKKdKK TK T TTWsssKKKTK( )1( )rx tt( )rx tt2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析22221 1(1)1 1 1 + +11 0 + 1KmKKKmmdmmdmmdKKKmKK TsKKKT sT T sT sT T sT sT T sKKK T sK2222 +1+ 1(1) 0 mdKKKmKmKKT T K sKK T sK T sKK2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析故动态误差系数为故动态误差系数为 当

42、给定量为阶跃函数时当给定量为阶跃函数时 稳态误差为稳态误差为 23012(1)(1)1,(1)KKKKmKmdKmKKkKkkK TK T TKT 1( )1( ),( )rrx ttXss 20000120111111lim( )limlim1ssesssKesE ssW sssskkkkK稳态误差的时间函数为稳态误差的时间函数为 0121111( )( )( )( )1( )1rrrke tx tx tx ttkkkK2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析 给定量为单位斜坡函数时给定量为单位斜坡函数时 稳态误差的时间函数为稳态误差的时间函数为 21( ), rrx tt Xss0

43、11lim ( )lim()sstttee tkk 012011111( )( )( )( )rrrte tx tx tx tkkkkk稳态误差值为稳态误差值为2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析例例3-12 3-12 一单位反馈系统的开环传递函数为一单位反馈系统的开环传递函数为 试求输入量为试求输入量为 时，系统的稳态时，系统的稳态误差时间函数和稳态误差。误差时间函数和稳态误差。 解解 系统给定误差的传递函数为系统给定误差的传递函数为 )51 ()1 (10)(2ssssWK221021)(tgtggtxr 2323231512001( )10 105105eKssWssssWs

44、sss0123, 10, 5/2kkkk 得：用叠加用叠加原理原理2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析已知给定输入量为已知给定输入量为221021)(tgtggtxr 2312( )( )( )105errrE sWs Xss Xss Xs0123,10,5/2kkkk 122( ),( ),( )0rrrx tgg tx tgx t 12( )( )( )105ssrrete tx tx t 212( )( )( )10510ssrrgete tx tx t：误误差差的的时时间间函函数数22 lim ( )lim1010ssttggee t：稳稳态态误误差差为为2022年5月1日

45、第三章 自动控制系统的时域分析小结小结系统的稳态误差只有对稳定的系统才有意义系统的稳态误差只有对稳定的系统才有意义系统的稳态误差与系统的结构和参数以及输入系统的稳态误差与系统的结构和参数以及输入信号的特征，大小及作用点有关信号的特征，大小及作用点有关开环放大倍数以及输入信号的幅值只能影响稳开环放大倍数以及输入信号的幅值只能影响稳态误差的大小，而不能决定稳态误差的存在与态误差的大小，而不能决定稳态误差的存在与否否系统扰动引起的稳态误差，可用扰动引起的输系统扰动引起的稳态误差，可用扰动引起的输出来求出来求2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析（3 3）减小稳态误差的方法）减小稳态误差的方

46、法 1t系统系统 0型型00 型型00 型型00 rXt212tpKvKaK pe ve aeKKKKKK11KK1KK1KK2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析 增大系统的开环放大系数增大系统的开环放大系数 但但 值不能任意增大，否则系统不稳定。值不能任意增大，否则系统不稳定。 提高开环传递函数中的串联积分环节的阶次提高开环传递函数中的串联积分环节的阶次N N 但但N N 值一般不超过值一般不超过2 2。 采用采用补偿补偿的方法的方法 引入与扰动或给定量有关的补偿信号，来减小引入与扰动或给定量有关的补偿信号，来减小 误差。这种控制称为误差。这种控制称为复合控制或前馈控制复合控制或

47、前馈控制。 KKKK2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析)()(1)()()()()()(2121sWsWsWsWsWsXsXsWcrcB闭环传递函数为闭环传递函数为 复合控制系统结构图一：复合控制系统结构图一：2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析给定误差的拉氏变换为给定误差的拉氏变换为 2121( )( )( )( )( )1( )( )( )1( )( )crcBrrW s W sE sXsXsW sXsXsW s W s选择补偿校正装置为选择补偿校正装置为 )(1)(2sWsWc系统补偿后的误差系统补偿后的误差 0)(sE闭环传递函数为闭环传递函数为 1212(

48、)( )( )( )( )1( )1( )( )ccBrW sW s W sXsWsXsW s W s( )( )crXsXs：此此时时这种将误差完全补偿的作用称为这种将误差完全补偿的作用称为完全补偿完全补偿。按给定作用的按给定作用的不变性条件不变性条件输出量完全输出量完全再现输入量再现输入量2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析复合控制系统结构图二：复合控制系统结构图二：引入扰动的补偿引入扰动的补偿)()()(1)()()(1 )(2121sNsWsWsWsWsWsXcc系统的扰动误差就是给定量为零时系统的输出量系统的扰动误差就是给定量为零时系统的输出量 2022年5月1日第三章

49、自动控制系统的时域分析如果选取如果选取 则得到则得到 这种作用是这种作用是对外部扰动的完全补偿对外部扰动的完全补偿。 实际上实现完全补偿是很困难的，采取部分补偿实际上实现完全补偿是很困难的，采取部分补偿也可以取得显著的效果。也可以取得显著的效果。 )(1)(1sWsWc0)(sXc按扰动的不变按扰动的不变性条件性条件2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析例例3-13 3-13 一随动系统一随动系统 补偿前：补偿前：121( )(1)(1)KmK KWss T sT s1( )(1)(1)KBmKKWss TsT sK12KKK K2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析当当

50、时时11(1)(1)( )(1)(1)memKs T sT sW ss T sT sK121(1)(1)1( )(1)(1)mmKs T sT sE ss T sT sKs21)(ssXr速度稳态误差系数为速度稳态误差系数为 120lim( )vKKsKsWsK KK系统的稳态误差为系统的稳态误差为 011( )lim( )ssvsvKeesE sKK 系统的给定误差为系统的给定误差为有差有差系统系统2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析为了补偿系统的速度误差，引进了给定量的微分为了补偿系统的速度误差，引进了给定量的微分信号，如下图所示。信号，如下图所示。补偿校正装置补偿校正装置 的

51、传递函数为的传递函数为 )(sWcssWdc)(2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析加入补偿后系统的闭环传递函数为：加入补偿后系统的闭环传递函数为： 复合控制的给定误差传递函数为复合控制的给定误差传递函数为 2111()(1)( )1( )(1)(1)mmKdeBmKs TT sTTsKW sWss TsT sK 11( )( )(1)( )1( )(1)(1)cKKdBKmKW s WsKsWsWss TsT sK2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析误差的拉氏变换为误差的拉氏变换为 输入量为单位斜坡函数输入量为单位斜坡函数 ，系统的给定稳态误，系统的给定稳态误差为差为: : 2111( )( )()(1) ( )(1)(1)ermmKdrmKE sWs Xss TT sTTsKXss TsT sK01101( )lim( )()(1)1 lim(1)(1)ssvsmmKdKdsmKKeesE ss TT sTTKKs T sT sKK 21)(ssXr10.dssKeK选取，则2022年5月1日第三章 自动控制系统的时域分析加入补偿校正装置加入补偿校正装置 （也称为前馈控制）使（也称为前馈控制）使系统的速度稳态误差为零，此时其等效开环传递函系统的速度稳态误差为零，此时其等效开环传递函数为数为 注：注：加入前馈控制后