复变函数与积分变换第五章11

1、Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform第五章第五章 留数及其应用留数及其应用5.1 5.1 孤立奇点孤立奇点5.2 5.2 留数留数5.3 5.3 留数在定积分计算上的应用留数在定积分计算上的应用Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform 5.1 5.1 孤立奇点孤立奇点 函数不解析的点称为奇点.如果函数 f (z)虽在z0不解析, 但在z0的某一个去心邻域0|z-

2、z0|d内处处解析, 则z0称为f (z)的孤立奇点.11e0.zzz例如函数和都以为孤立奇点函数的奇点并非都是孤立的. 例如 z=0 是函数 1( )sin 1f zz的非孤立奇点。换句话说, 在 z=0 的不论怎样小的去心邻域内总有 f (z)的奇点存在. Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform 将函数 f (z)在其孤立奇点z0的去心邻域0|z-z0|d内展开成洛朗级数. 根据展开式中所含负幂项的不同情况对孤立奇点分类如下：1. 可去奇点 如果在洛朗级数中不含z-z0的负

3、幂项, 则称孤立奇点z0为 f (z)的可去奇点. f f( (z z)=)=c c0 0+ +c c1 1( (z z- -z z0 0)+.+)+.+c cn n( (z z- -z z0 0) )n n +.,0|+.,0|z z- -z z0 0|d d 则在圆域|z-z0|d内恒有f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.,从而 f (z)在z0点也解析.故z0称为可去奇点.00000lim( ),lim( )zzzzf zcf zcf z显然可补充定义Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis a

4、nd Integral Transform3524sin00sin11111()13!5!3!5!sin.01,sin0.zzzzzzzzzzzzzzzzzz 例如 是的可去奇点。因为函数在的去心邻域内的洛朗级数中不含负幂项如果定义在 的值为则在点便为解析的了Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform2. 2. 极点极点 如果在洛朗级数中只有有限多个如果在洛朗级数中只有有限多个z z- -z z0 0的负幂项的负幂项, , 且其中关于且其中关于( (z z- -z z0 0) )-

5、1-1的最高幂为的最高幂为 ( (z z- -z z0 0) )- -m m, , 即即f f( (z z)=)=c c- -m m( (z z- -z z0 0) )- -m m +.+.+c c-2-2( (z z- -z z0 0) )-2-2+ +c c-1-1( (z z- -z z0 0) )-1-1+ +c c0 0+ + c c1 1( (z z- -z z0 0)+.()+.(m m 1, 1, c c- -m m 0),0),则称孤立奇点则称孤立奇点z z0 0为函数为函数 f f ( (z z) )的的m m阶极点阶极点. . 上式也可写成上式也可写成: :01( )(

6、)*( -)mf zg zz z， （ ） 其中其中 g g ( (z z) = ) = c c- -m m+ + c c- -m m+1+1( (z z- -z z0 0) + ) + c c- -m m+2+2( (z z- -z z0 0) )2 2 +., +., 在在 | |z z- -z z0 0|d d 内是解析的函数内是解析的函数, , 且且 g g ( (z z0 0) ) 0 . 0 . 反过来反过来, , 当任何一个函数当任何一个函数 f f ( (z z) ) 能表示为能表示为( (* *) )的形式的形式, , 且且g g ( (z z0 0) ) 0 0 时时, ,

7、 则则z z0 0是是 f f ( (z z) )的的m m阶极点阶极点. .Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform如果如果z z0 0为为 f f( (z z) )的极点的极点, , 由由( (* *) )式知式知0lim( ).zzf z 232,( ),(1)(1)1,.zf zzzzzi 例如 对有理分式函数是它的三阶极点是它的一阶极点310zezz思考：是的几阶极点？(展洛朗级数判)0( )zf zm为的 阶极点0lim( )().zzf z ， 不存在但为01( )

8、( )( -)mf zg zz zComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform3. 本性奇点 如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为 f (z)的本性奇点.1112( )0.1112!znzf zezezzzn 例如以为它的本性奇点 因为有无穷多负幂项。0( )zf z为的本性奇点0lim( )().zzf z不存在 也不为0limz1z例如e 不存在且不为 .Complex Analysis and Integral TransformComplex Ana

9、lysis and Integral Transform综上所述:000000( )lim( );( )lim( );( )lim( ).zzzzzzzf zf zzf zf zzf zf z 如果 为的可去奇点存在且有限如果 为的极点如果 为的本性奇点不存在且不为我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型. .Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform4.函数的零点与极点的关系 例如当f(z)=z(z-1)3时,z=0与z

10、=1是它的一阶与三阶零点. 根据这个定义, 我们可以得到以下结论:设f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m阶零点的充要条件是: f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,.,m-1),f (m)(z0)0 . 不恒等于零的解析函数f(z)如能表示成 其中 在z0解析且 , m为某一正整数, 则z0称为f(z)的m阶零点.0mf zzzz（ ）（）（ ）z（ ）0z（ ） 0Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform 因为, 若 f (z)在z0解析, 就必能在z0的邻域展开为泰

11、勒级数: f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cm(z-z0)m+，易证 z0是 f (z)的m阶零点的充要条件是前m项系数 c0=c1=.=cm-1=0, cm0, 等价于 f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,.,m-1), f (m)(z0)0 。 例如 z=1是f (z)=z31的零点, 由于 f (1) = 3z2|z=1=3 0, 从而知z=1是f (z)的一阶零点. 0mf zzzz（ ）（）（ ）Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform000001|()|

12、,|,211|( )()|()|,|( )|()|.22zzzzzzzz必存在当时 有由此得 所以 在z0的去心邻域内不为零, 即不恒为零的解析函数的零点是孤立的.0mf zzzz（ ）（）（ ） 由于 中的 在z0解析, 且 故 必在z0连续, 所以给定0mf zzzz（ ）（）（ ）z（ ）0z（ ） 0z（ ）Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform该定理为判断函数的极点提供了更为简单的判别方法.001( )( )zf zmzmf z定理： 是的 阶极点是的 阶零点1284

13、推论 及推论 见教材PComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform! 211)(11mzzzzfmn01zn为阶极点.)0(12keikzz的一阶零点为2( )(0).zk if zk为的一阶极点( )(0)1nzzf zne例2求的极点。Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例例3 3为解析点；0:0zm为可去奇点；0:1zm)!1(! 21)(:112mzmzzz

14、zzfmmmm)!1(!11! 21111mzmzzmm01zm为阶极点。mzzezf1)(对对 讨论函数讨论函数 在在 处的性态。处的性态。mZ0z Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform5.2 5.2 留数留数1.1. 留数的定义留数的定义 如果函数如果函数f f( (z z) )在在z z0 0的邻域的邻域D D内解析内解析, ,那么根据柯西积分定理那么根据柯西积分定理( )0.Cf z dz ( )Cf z dz 但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的

15、某个去心邻域 0|z-z0|R 内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分 未必再等于零.(先回顾P40例3.1.1)Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform.2d)(1iczzfC两端沿C逐项积分:1010010nnf zcz zcz zcc z z（）（）（）（）00 | |nnc z zzR+（）， 1LaurentC即是积分过程中唯一残留下来的系数,为此1( )2Cf z dzi 定义定义 0000()( ),0 |,zzf zCzzz 设是的孤立奇点为去心邻域内任一条围

16、绕 的正向简单闭曲线 则称积分Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformDz1z2z3znC1C2C3CnC定理一 设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1, z2, .,zn 外处处解析. C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 则1( )d2Res ( ),.nkkCf zzif z z0001()R es(),1R es(),()2Cfzzfzzfzzfz d zci为在的 留 数 ， 记 作， 即2.留数定理留数定理Complex Analysis and Inte

17、gral TransformComplex Analysis and Integral Transform证明证明 把C内的孤立奇点zk(k=1,2,.,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来, 则根据复合闭路定理有12( )d( )( )( ).nCCCCf zzf z dzf z dzf z dz121( )dRes ( ),Res ( ),Res ( ),2nCf zzf z zf z zf z zi1( )d2Res ( ),.nkkCf zzif zz即注意检查定理中的条件要满足。例如211lnzdzz求积分不能应用留数定理。Complex Analysis and Integr

18、al TransformComplex Analysis and Integral Transform 求函数在孤立奇点z0处的留数就是求它在去心邻域内所展洛朗级数中(z-z0)-1 项的系数 c-1 即可. 但如果知道奇点的类型, 对求留数会更有利. 如果z0是f (z)的可去奇点, 则Resf(z),z0=0 . 如果z0 是本性奇点, 则只好将其展开成洛朗级数. 如果z0 是极点, 则有如下规则:Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform3. (3. (极点极点) )留数的计

19、算规则留数的计算规则000Res ( ),lim() ( )zzf z zzzf z010011Res ( ),lim()( )(1)!mmmzzdf z zzzf zmdz规则规则2 2 如果如果z z0 0为为f f(z)(z)的的m m阶极点阶极点, , 则则事实上事实上, , 由于由于f f( (z z)=)=c c- -m m( (z z- -z z0 0) )- -m m+.+.+c c-2-2( (z z- -z z0 0) )-2-2+ +c c-1-1( (z z- -z z0 0) )-1-1+ +c c0 0+ +c c1 1( (z z- -z z0 0)+.,)+.,

20、( (z z- -z z0 0) )m m f f( (z z)=)=c c- -m m+ +c c- -m m +1+1( (z z- -z z0 0)+.+)+.+c c-1-1( (z z- -z z0 0) )m m-1-1+ +c c0 0( (z z- -z z0 0) )m m+.,+.,规则规则1 1 如果如果z z0 0为为f f (z)(z)的一阶极点的一阶极点, , 则则Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform101001()( )(1)!(1)3 2()m

21、mmdzzf zmcc m mzzdz令令 z zz z0 0, ,右端的极限是右端的极限是( (m m-1)!-1)!c c-1-1, ,两端除以两端除以( (m m-1)!-1)!就是就是ResResf f( (z z),),z z0 0,即得即得规则规则2 2, ,当当 m m=1=1时就是时就是规则规则1 1。Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and In

22、tegral Transform由规则 1,000Res ( ),lim() ( )zzf z zzzf z,而 Q(z0)=0. 所以 0000000( )lim() ( )lim( )()zzzzP zP zzzf zQ zQ zQ zzz, 即得 规则规则3 3。Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例 1 计算积分21zCzedzz , C 为正向圆周|z|=2. Complex Analysis and Integral TransformComplex Analys

23、is and Integral Transform由规则1, 得211eeeRes ( ),1lim(1)lim112zzzzzzf zzzz1211eeeRes ( ), 1lim(1)lim.112zzzzzzf zzzz12eeed2 ()2 ch1122zCzziiz因此我们也可以用规则3来求留数:111eeeeRes ( ),1;Res ( ), 1.2222|zzzzzzf zf zzz比用规则比用规则1 1更简单更简单! !Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例

24、 2 计算积分41Czdzz , C 为正向圆周|z|=2. ),(Res),(Res 1),(Res 1),(Res2d14izfizfzfzfizzzC. 324( )11111,2 ()0.( )4414444CP zzzdziQ zzzz由规则3故Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例 3 计算积分2(1)zCedzz z , C 为正向圆周|z|=2. . 1) 1(lim) 1(lim0),(Res2020zezzezzfzzzz2211eRes ( ),1lim

25、(1)(2 1)!(1)zzdf zzdzz z211e(1)limlim0.zzzzdezdzzz3ed2 Res ( ),0Res ( ),12 (10)2 .(1)zCzif zf ziiz zComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例 4 13)1 (sinzzdzezz计算233033003sinsinRes,0lim(1)(1)sinlimlim(1)( 1)1zzzzzzzzzzeezzez i2解：1z 在内：z = 0为一阶极点。Complex Analysis

26、 and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform10),(Res11)(102101zfCzzzfnn例 5 计算积分101211Cdzzz, C 为正向圆周|z|=1/2. 阶极点为1010,)1 (1)(2101zzzzf解：01z在内： 原式=2 iComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform* *.在无穷远点的留数在无穷远点的留数1Res ( ),( )d2Cf zf zzi 111Re

27、s( ),( )d( )d22CCf zf zzf zzCii f f ( (z z) )在圆环域在圆环域 R R|z z| 内解析：内解析： 理解为圆环域内绕理解为圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线。的任何一条简单闭曲线。C nnnf zc zCzzfid)(21的值与C无关, 称其为f (z)在点的留数, 记作设函数f(z)在圆环域R|z|内解析,C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线, 则积分Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform这就是说,f(z)在点的留数等于它在点的去心

28、邻R|z|+内洛朗展开式中 z-1 的系数变号.Res ( ),f z注：当 为可去奇点时，不一定为零.( )Laurenf zz在1+内展开为级数：2211111111111zzzzzzzz1),( sRe1Czf1Res ( ),1f zC 1( ),1fzz例如为可去奇点。1( ),f zz再如为可去奇点,Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform111Res ( ),Res ( ),( )d( )d0.22nkkCCf zf zzf zzf zzii 定理二定理二 如果如果

29、f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点在扩充复平面内只有有限个孤立奇点, ,那么那么f(z)在所有各奇点在所有各奇点( (包括包括 点点) )的留数总和必等于零的留数总和必等于零. .证：除点外,设f(z)的有限个奇点为zk(k=1,2,.,n).且C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,.,n)包含在它内部的正向简单闭曲线, 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform规则规则 4 211Res ( ),Res,0f zfzz 事实上, 在

30、无穷远点的留数定义中, 取正向简单闭曲线 C为半径足够大的正向圆周: |z|=. 令1z, 并设 z=ei, =rei, 那么1,ddr ,于是有 1201Res ( ),( )21()2Ciif zf z dzifeie di Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform20220112111()2()iiiiiifdirerefd reirere 21| |1111|.2fdi 为正向 211Res,0fzz (由于 f(z)在|z|+内解析, 从而1f在10|内解析.) 所以规

31、则4 成立.定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法, 在很多情况下, 它比利用上一段中的方法更简便.Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例 64223415) 1()2(zdzzzz计算izzzizzfi20)1 ()21 (1Res201)1(Res222342，)(3 , 2 , 1 , 0(2)(64424三阶，二阶个极点：内有keizki解：Complex Analysis and Integral TransformComplex Analys

32、is and Integral Transform, C 为正向圆周:|z|=2. 解 41zz 在|z|=2 的外部除外无奇点,因此 44341221111)1(1zzzzzzzzfz 于是 42411d2 Res,2 Res,02 Res,0011Czzzif zifizzzz 4,2.1Czdz Czz例：计算积分为正向圆周：Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform0 ,1)1(Res),(Res2zzfzf211Res ( ),0( )Cff z dzz z-11=C2

33、iCzR为包含的任一正向简单闭曲线证明证明：201123211011221)1()(21)(zCzCCzCzzfdzzfiCzCCzCzCzfC12111Res ( ),0( )2CfCf z dzz ziComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform 留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。留数定理又是涉及闭路积分的，要应用于定积分，必须先将定积分变为闭路积分中的一部分。5.3 5.3 留数在定积分计算上的应用留数在定积分计算上的应用0ab1

34、l2l如图，对于实积分 ，变量x定义在闭区间a,b(线段 )，此区间应是回路 的一部分。实积分要变为闭路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含闭路的一个区域中,让实积分成为闭路积分的一部分：( )baf x dx1l21lll2)()()(lbaldzzfdxxfdzzfComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform 20i1.(cos ,sin )(cos ,sin )sincos,iRdRzedzie d形如，其中为和的有理函数，令则221111sin(ee),cos(ee).2

35、222iiiizziizz从而积分化为沿正向单位圆周的积分02011iiComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform其中f(z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上分母不为零, 根据留数定理有 其中zk(k=1,2,.,n)为单位圆|z|=1内的f(z)的孤立奇点.nkkzzzfizzf11|),(Res2d)(2220| | 1| | 111 d(cos ,sin )d,( )d22zzzzzRRf zzzizizComplex Analysis and Integral T

36、ransformComplex Analysis and Integral Transform例1 计算 的值.220cos2(01)1 2 cosIdppp02p解: 由于 , 被积函数的分母在 内不为零,因而积分是有意义的. 0 1p22221zcos2(ee),22iiz由于因此Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform224122| | 1| | 1| | 111( )22(1)()1 22zzzzzdzzIdzf z dzzzizizpz zppp221244222242

37、112122111122(1)(1)112()(1)zzzzizppzzizzpzpp zizzpzppzzizzppzComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform 在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在圆周|z|=1内,其中z=0为二阶极点,z=p为一阶极点.422022342222220d1Res ( ),0limd2(1)()()4(1)(1 2)1lim,2 ()2zzzf zzzizpz zpzpzpp zzzpzppi zpzpp zip 4422211Re

38、s ( ), lim (),2(1)()2(1)zpzpf zpzpizpz zpipp2422222112222(1)1pppIiipipppComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例2 计算 的值.0,011cos2dxIx解：令2 ,2;:0,:02x ddx x 21201111/121cos2212zzddz izdzIzzizz22111iIiComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Int

39、egral Transform例3022sin351d计算202sin35122d令122)3()3(2zidzizizziez令31izz 内只有一个二阶极点：被积函数在6452565223),(Res2iiizfi解：Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform 取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为中心, R为半径的在上半平面的半圆周. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.z1z2z3yCRRROx不失一般性, 设1111( ),2nnnm

40、mmza zaR zmnzb zb为一已约分式.2. 形如( )dR xx的积分 当被积函数 R(x)是 x 的有理函数, 而分母的次数至少比分子的次数高二次, 并且 R(x)在实轴上没有孤立奇点时, 积分是存在的. Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform( )d( )2Res ( ),RRkRCR xxR z dziR z z此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.2( )d|( )|d0RRRCCMMR zzR zsRRR 111111112|1|1|( )|1|1 |1

41、|1 |1(|)|nnm nmmnnm nmmm na za zR zzb zb za za zzb zb zMMzzz当足够大时Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform0( ),1( )d( )dRes ( ),.2kR xR xxR xxiR z z如果为偶函数( )d2Res ( ),.kR xxiR z z因此Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例 4d

42、xxxx1242计算在上半平面其中的四个一阶极点为214, 32, 12422222224,2321,2321:1)(0) 1)(1() 1(1zzizizzzzzfzzzzzzzz3343134312),(Res),(Res221iiiiizzfzzfiComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例 5 2101(1)ndxx 计算,1) 1(1)(12iznzzfn阶极点在上半平面只有一个21112(1)nIdxx解：1212111( 1) (1)(2)2Res ( ), !(2 )(1)(2)2(21)!22(2 )!nnnnnz indnnnif z iiin dzz ininnnnnnComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform也可写为(