华东师大数学分析标准答案

1、第四章函数的连续性1 1 / / 5 5第一节连续性概念1 1 按定义证明下列函数在其定义域内连续：1(1 1)f (x)；( 2 2)f(X)二X。X1证：(1 1)f (X)的定义域为X1 1f (x) - f(x。)=-xx可见f(x)在x连续，由X的任意性知：f (x)在其定义域内连续。(2)(2)f(x)=x的定义域为(：),对任何的X0(-二，二)，由于-X0，从而对任给正数取6=3，当xx0时,2 2指出函数的间断点及类型:-:：:x：-7(6)f(x)X，X为有理数；(7 7)-X, X 为无理数f(X)ix,-7x辽1(x T)sin,x11：x :D=(-：,0) (0,：

2、)，当x,XoD时，有1 1X X0XX。卜帆|由三角不等式可得：X兰X0 -X x故当x - X)Xo时，有110,则6 x0，当xD且x-x0时,f(X)-f(X0)|X-X-x0故f (x)在X0连续，由X。 的任意性知,f (x)在(：-x0(1)f(x)f (x)二(3)f(x)=cosx；(4)f(x)=sgnx;(5 5)f (x)二sgn(cosx);解:类间断点。2第四章函数的连续性2 2 / / 5 51(1)f (x)在x=0间断，由于Hm.(x)不存在，故x = 0是f(x)的第3 3 / / 5 5csin x(2 2)f(x)在x=0间断，由于lim f(x)=li

3、m,.=1,x屮十0十xsin xlim f (x) = lim1故x = 0是f (x)的跳跃间断点。一X_p-_.x(3)f (x)在x=n二间断，(n二0,二1,二2,)由于故x=n二是f (x)的可去间断点(n =0, _1,_2，)。兀故x =2k二_ (k =0,_1 ,_2，)是f (x)的跳跃间断点。2(6)f (x)在x0的点间断且若x0= 0，贝U lim f (x)不存在，故x = 0是f (x)的第二类间断点。(7)f (x)在x =-7及x =1间断，且lim f(x) = -7，lim f (x)不存在，故x =-7是 十_7_1 .lim f (x) = lim

4、(x-1)sin0，lim f(x)=1，x 1x 1x1x：1 -故X =1是f (x)的跳跃间断点。解：(1 1)当X = -2时，f (x)没有定义,l ix_nmf(x)二limcos0使当xx06 时， 有f (x),(1 1)2有连续性定义知：对任给正数呂，存在正数62，当x-x0|c62有|f (x)- f(X0)|三(2 2)M先取&=mind，则当x x| 0 xcos-=0，于是xxcos1, x = 0 x是f (x)的延拓，且在F(x) =10,x = 0(一3 3, , :):)上连续。4 4 若f在x0点连续，则2是否也在x0连续？又若f或f2在I上连续，那

5、么f在6 6 / / 5 5勻f(x)f(x。)(f (x)| +|f (X0)|)故f2在XQ点连续。(2 2)逆命题不成立。例如设-1, X 为有理数2f(x)= “十口町 ，则f,f2均为常数，故是连续函数，1, X 为无理数但f (x)在(-*,：)任一点都不连续。5 5设当x=0时，f(x)二g(x)，而f(O) = g(O)，试证f与g这两个函数中至多有一个在x =0连续。证明：(反证)假设f (x)与g(x)均在x=0连续，则limf(x) = f(0),lim g(x) = g(0), 又因x 0时，f (x)三g(x)，于是lim f (x) = lim g (x),从而f(

6、0)=g(0)这与f(0)=g(0)相矛盾。故f与g这两个函数中至多有一个在x = 0连续。6 6证明：设f为区间I上的单调函数，且x0 I为f的间断点，则x0必是f的第一类间 断点。证：不妨设f为区间I上的递增函数，于是当X I，且X :：X。时，f(X)：f(x), 从而由函数极限的单调有界定理可知：f(X0-0)存在，且f(X。一0)= =lim _f (x)三f (X0)同理可证f(Xo0)存在，且f (x00)= =lim f(x)一f (x0)因此，X0是f的第一类间断点。7 7设函数f只有可去间断点，定义g(xlimf (y)，证明g为连续函数。证：设f的定义域为区间I，则g(x

7、)在I上处处有定义(因f只有可去间断点，从而极限处处存在)，任取x0T，下证g (x)在x0连续。由于g(x0) = lim f (y)WX0且g(xlymf (y)(x引),从而对任给正数&，存在正数&，当0 T yX。 时有g(x)f (y)：g(x)227 7 / / 5 5任取U0(X0)，则必存在U(x, ) U0(X0)。于是当yU(x,)时，由不等式性8 8/5/5质知g(x。)：vg(x)=曲f (y) wg(xo) +：2T2因此当x U0(xo,j时，有g(x) -g(xo)；：“，故g(x)在x处连续。& &设f为R上的单调函数，定义g(x

8、)二f(xO)，证明函数g在R上每点都连续。证：由于f为(：，=)上的单调函数，故f只有第一类间断点，故右极限处处存在。于是g(x)处处有定义，任取x0 (-：,：)，下证g在x0右连续。由于g(x0 f (x00)=lim f (y)且g(x)=lim f (y)，( -：: x：)从而对任给正数yoyT十存在正数，当0：y f:、时，有g(xo)f (y)：g(xo)2 2任取x UO(Xo，、J，则必存在U0(x, ) U .O(Xo,、J。于是当y三Uo(x,)时，上不等式成立。由极限不等式性质知g(Xo) 兰g(x) = lim(y)兰g(Xo)2y2因此当xU4(Xo,5)时，有g(x)g(Xo)丈名，故g(x)在xo处右连续。9 9.举出定义在o,1上符合下列要求的函数:1 1 1(1)在一，-和一三点连续的函数;2 341 1 1(2)只在一,一和一三点连续的函数；2 341(3)只在(n =1,2/ )上间断的函数;n(4)仅在x = o右连续，其它点均不