第八讲：无穷数列的极限教师

1、第八讲：无穷数列的极限【知识结构】举一些无穷数列：1数列极限的定义：一般地，当项数n无限增大时，如果无穷数列an的项an无限趋近于一个常数A（即ana无限趋近于0），那么就说A是数列an的极限，或叫做数列an收敛于A记作lima.A,读作“当n趋向于无穷大时，an的极限等于A”。n由于“an无限趋近于A”与“|anA|无限趋近于零”的意义相同，所以limanAn可表示为|imanA0。n理解：（1）只有无穷数列才有极限，有些无穷数列有极限（收敛数列），有些无穷数列没有极限（称为发散数列）；1 1（2）“无限趋近”不能等同于“越来越近”，如an,nN*当n无限增大时，一无限nn1接近于0（与1也

2、越来越近）。n2、几个重要极限：观察下列数列是否存在极限？（在直角坐标系中观察）11111JJJJJJ1234n当n无限增大时，an1无限趋近于0；（1）lim-0nnn3,3,3,3,.当n无限增大时,an3无限趋近于3；（2）limCnC（C是常数）1nnn1-n,亠，nan(),an0.99,an,an0的极限都是0；an1.01无极限;22(3)limqn0(nq1)；(当q0时，qn就不是等比数列了，而是常数列）【典型例题】1000-2nn例1、判断下列数列an是否有极限，如果有极限，写出数列an的极限:(1)an(1)n；an3(3)n；(3)an2n;(4)an310000；(5

3、)an=(1)n12nan5,1n1001,n101n1答案：(无；(2)血3(-)nn33;(3)无;nimE(5)limn2n0；(6)liman0(数列的极限与数列的前有限项的值无关，因为n是无限增加)例2、命题：单调递减的无穷数列不存在极限；常数列的极限是这个常数本身；摇摆的无穷数列不存在极限以上命题正确的是()A.0B.1C.2答案：B.由极限的定义仅有是正确的.的反例是kD.31、这是无穷单调递减数列，它的n极限是零；的反例是an(1)n2n它是摇摆的无穷数列，它的极限是零因为an00|=2n0|=可以任意小。故选Bo2n例3、(1)如果lim(2a1)nn解:anQlimnim4

4、n23n12n54n2nim2n120，则实数a的范围是12a111a0。(2)如果lim(2a1)n存在，则实数a的范围是12a111a0n例4、判断an也有没有极限，并说明理由。2n1分析：为了直观理解，可以用计算器把n的值取的很大，并无限增加来猜测该数列的极限。【知识结构】0。3、数列极限的运算性质:如果limannA,|imbnnB那么，(1)lim(anbn)nAB；(2)lim(anbn)nAB；【典型例题】例5、判断下列命题的真假(1)已知无穷数列anbn存在极限，则无穷数列On、bn必存在极限。a(2)已知liman0，limbn0且bn0,nN*，则无穷数列极限不存在。nnb

5、n(3)已知无穷数列an和bn都不存在极限，则无穷数列anbn必不存在极限。(1)求lim空n3nlim2lim-nnnlim3lim-n332 lim(2)nimnn5-3 lim(3)nnn(2)求limn2n213n22n=limn2n223n2n求limnlimnlim1n1_2n3nn2-2n23.2nn23nlimn1lim(24)nnlim(3-)nn_33nn23n2n(12n)2n23nlimn2n冷。错解：lim213n23n23nn23nnnlim19lim29lim-nn3nnn3nnn23n000.00;2nn23nlimn2nn23n分析两种解法的对错；强调极限的运算法则中是“有限个数列的和、差、积、商”，书P43第2题是正确的，就是因为100