多边形及其内角和

1、多边形多边形及其内角和及其内角和2本节目标观察观察观察观察观察观察观察观察观察观察三角形的定义：三角形的定义：多边形的定义多边形的定义五边形五边形六边形六边形七边形七边形3n1212内角：内角：多边形相邻两边组成的角外角：多边形的边与它的邻边的延长线 组成的角对角线：链接多边形不相邻的两个顶点的线段多边形的相关概念多边形的相关概念13内角内角对角线对角线可表示为：五边形可表示为：五边形ABCDE或五边形或五边形AEDCBABCDE外角外角1多边形的相关概念多边形的相关概念顶点顶点边边14总结总结1.多边形的对角线多边形的对角线n边形边形三角形三角形四边形四边形五边形五边形六边形六边形探究探究n

2、边形边形三角形三角形四边形四边形五边形五边形六边形六边形2 23)3)n(nn(n总结总结219回忆长方形、正方形的内角和等于回忆长方形、正方形的内角和等于_._.360创设情境，导入新知思考任意一个四边形的内角和是否也等于思考任意一个四边形的内角和是否也等于360 呢？呢？20动手操作，探究新知探究你能利用三角形内角和定理证明你的结论探究你能利用三角形内角和定理证明你的结论吗？吗？证明：连接AC， BAD +B +BCD +D =（BAC +BCA +B） + （DAC +DCA +D），= 180 + 180 = 360 ABCD21动手操作，探究新知探究你能利用三角形内角和定理证明你的结

3、论探究你能利用三角形内角和定理证明你的结论 吗？吗？从四边形的一个顶点出发，可以作_条对角线，它们将四边形分为个三角形，四边形的内角和等于180_=122360ABCD22ABCDE动手操作，探究新知探究类比前面的过程，你能探索五边形的内角和探究类比前面的过程，你能探索五边形的内角和 吗？六边形呢？吗？六边形呢？如图，从五边形的一个顶点出发，可以作条对角线，它们将五边形分为_个三角形，五边形的内角和等于 180=23354023动手操作，探究新知如图，从六边形的一个顶点出发，可以作_条 对角线，它们将六边形分为_个三角形，六边形的 内角和等于180_=_344720CABDEF24从n 边形的

4、一个顶点出发，可以作（n -3）条对角线，它们将n 边形分为（n -2）个三角形，这（n -2）个三角形的内角和就是n 边形的内角和，所以，n 边形的内角和等于（n -2）180归纳总结，获得新知思考你能从四边形、五边形、六边形的内角和的 研究过程获得启发，发现多边形的内角和与边数的关系 吗？能证明你发现的结论吗？25n 边形六边形五边形四边形三角形多边形内角和分割出三角形的个数从多边形的一个顶点引出的对角线条数图形边数归纳总结，梳理新知03 -3 =4 -3 =5 -3 =6 -3 =n -3 1233 -2 = 14 -2 = 25 -2 = 3 6 -2 = 4 n -2 （ n -2

5、）180180360 54072026例1：求八边形的内角和的度数。 解：（n2）180（82）180 1080答：八边形的内角和为1080。 例2：一个正多边形的一个内角为150，你知道它是几边形吗？ 解：设这个多边形为n边形，根据题意得：（n2）18010n n12答：这个多边形是12边形。27另解：由于多边形外角和等于360 而这个正多边形的每个外角都等于 18015030， 所以这个正多边形的边数等于 3603012。28 例例3 已知两个多边形的内角和为已知两个多边形的内角和为1440，且两，且两多边形的边数之比为多边形的边数之比为13，求它们的边数分别，求它们的边数分别是多少？是多

6、少？解解:设它们的边数分别是设它们的边数分别是x,y.由题意得：由题意得： （x-2）180+（ y -2）180=1440 x : y=1 : 3 解之得解之得 x =3 y =9 答：它们的边数分别是答：它们的边数分别是3和和9。29 牛刀小试牛刀小试：（1 1）八边形的内角和等于）八边形的内角和等于 。（2 2）已知一个多边形的内角和等于）已知一个多边形的内角和等于23402340， 它的边数是它的边数是 。（3 3）小明在计算多边形的内角和时求得的）小明在计算多边形的内角和时求得的 度数是度数是10001000，他的答案正确吗？为，他的答案正确吗？为 什么？什么？ 10801530（4

7、 4）已知四边形）已知四边形4 4个内角的度数比是个内角的度数比是1 12 23 34 4， 那么这个四边形中最大角的度数是那么这个四边形中最大角的度数是 。（5 5）一个五边形的三个内角是直角，另两个内）一个五边形的三个内角是直角，另两个内角都是角都是n n，则，则n=n= 。（6 6）六角螺母的面是六边形，它的内角都相等，）六角螺母的面是六边形，它的内角都相等，则这个六边形的每个内角是则这个六边形的每个内角是 。 （7 7）在四边形）在四边形ABCDABCD中，中，A A与与C C互补，那么互补，那么B B与与D D有什么关系呢？为什么？有什么关系呢？为什么？题问

8、题1我们知道，三角形的内角和是我们知道，三角形的内角和是180，三，三 角形的外角和是角形的外角和是360得出三角形的外角和是得出三角形的外角和是360有多种方法如图，你能说说怎样由外角与相邻内角有多种方法如图，你能说说怎样由外角与相邻内角 互补的关系得出这个结论吗？互补的关系得出这个结论吗？探索四边形、五边形、六边形的外角和探索四边形、五边形、六边形的外角和BCDEF12333探索四边形、五边形、六边形的外角和探索四边形、五边形、六边形的外角和由由 1 + +BAE = =180，2 + +CBF = =180， 3 + +ACD = =180， 得得 1 + +2 + +3 + +BAE

9、+ +CBF + +ACD = =540 由由 1 + + 2 + + 3 = = 180，得得 BAE + +CBF + +ACD = = 540 - - 180 = = 360BCDEF12334问题问题2如图，你能仿照上面的方法求四边形的外如图，你能仿照上面的方法求四边形的外 角和吗？角和吗？探索四边形、五边形、六边形的外角和探索四边形、五边形、六边形的外角和BC123D4由由 BAD + +1 = =180， ABC + +2 = =180， BCD + +3 = =180， ADC + +4 = =180，得得BAD + + 1 + + ABC + +2 + +BCD + +3 +

10、+ADC + +4 = =1804由由BAD + +ABC + +BCD + +ADC = =1802，得得1 + +2 + +3 + +4 = =1804 - - 1802 = =36035探索四边形、五边形、六边形的外角和探索四边形、五边形、六边形的外角和问题问题3五边形的外角和等于多少度？六边形呢？五边形的外角和等于多少度？六边形呢？ 仿照上面的方法试一试仿照上面的方法试一试类比求三角形、四边形的外角和的方法求出五边类比求三角形、四边形的外角和的方法求出五边形的外角和是形的外角和是360，六边形的外角和是，六边形的外角和是360（解答（解答过程略）过程略）36探索探索n 边形的外角和边形

11、的外角和问题问题4 你能仿照上面的方法求你能仿照上面的方法求n 边形（边形（n 是不小是不小 于于3 的任意整数）的外角和吗？的任意整数）的外角和吗？因为因为n 边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，它们的和是它们的和是180，所以，所以n 边形内角和加外角和等于边形内角和加外角和等于 n 180，所以，所以， n 边形的外角和为：边形的外角和为： n 180- -（n - -2） 180= = 360 任意多边形的外角和等于任意多边形的外角和等于36037巩固多边形外角和公式巩固多边形外角和公式解：解：设这个多边形为设这个多边形为 n 边形，边形，根据题

12、意，可列方程根据题意，可列方程 （ n - -2）180= =3360 解得解得n = =8 答：答：它是八边形它是八边形例例1 一个多边形的内角和等于它的外角和的一个多边形的内角和等于它的外角和的3 倍，倍，它是几边形？它是几边形？38例例2 2：一个正多边形的每个内角比相邻外角大36求这个多边形的边数。 解：设一个外角为x， 则内角为（x36） 根据题意得： x+x+36180 x72 360725答：这个正多边形为正五边形。（1 1）一个多边形的每一个外角都是）一个多边形的每一个外角都是60600 0，这个多，这个多边形是几边形？它的内角和等于多少度边形是几边形？它的内角和等于多少度?

13、? (2) (2)有没有这样的多边形，它的内角和是外角和有没有这样的多边形，它的内角和是外角和的的3 3倍？倍？ （3 3）一个多边形的每一个外角都相等，且每）一个多边形的每一个外角都相等，且每一个内角都比外角大一个内角都比外角大90900 0，求这个多边形的边数，求这个多边形的边数和每个内角的度数。和每个内角的度数。 407、两个多边形的边数比是、两个多边形的边数比是1:2,两个多边形的两个多边形的内角和为内角和为1440度度,求这两个多边形的边数求这两个多边形的边数,6、一个多边形的每个内角都比相邻的外、一个多边形的每个内角都比相邻的外角角3倍多倍多20度度,求这个多边形的边数求这个多边形

14、的边数,5、四边形的四个内角的比是、四边形的四个内角的比是8:6:3:7,求它的四个内角求它的四个内角,4、一个多边形的内角和是外角和的、一个多边形的内角和是外角和的4倍倍,这是几边形这是几边形（1）（2）ABCDEFGH你能说出这两幅图形的异同点吗？你能说出这两幅图形的异同点吗？多边形的分类多边形的分类正多边形正多边形正三角形正三角形正方形正方形正五边形正五边形正六边形正六边形471.三角形三个内角的度数分别是（三角形三个内角的度数分别是（x+y)o, (x-y)o,xo,且且xy0,则该三角形有一个内角为则该三角形有一个内角为 （）（）A、30OB、45OC、60OD、90O2.一个正多边

15、形每一个内角都是一个正多边形每一个内角都是120o，这个多边形是，这个多边形是（）（） A、正四边形、正四边形 B、正五边形、正五边形C、正六边形、正六边形 D、正七边形、正七边形CC48一个多边形木板，截去一个三角形后（截线不一个多边形木板，截去一个三角形后（截线不经过顶点），得到新多边形内角和为经过顶点），得到新多边形内角和为21602160o o，则，则原多边形的边数为（原多边形的边数为（）A A、1313条条 B B、1414条条C C、1515条条D D、1616条条4.4. 下列说法中，错误的是（下列说法中，错误的是（ ） A A、一个三角形中至少有一个角不大于、一个三角形中至少有一个角不大于6060O O； B B、有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形；、有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形； C C、三角形的外角中必有两个角是钝角；、三角形的外角中必有两个角是钝角； D D、锐角三角形中两锐角的和必然小于、锐角三角形中两锐角的和必然小于6060O O；AD495.5.小明绕五边形各边走一圈，他共转了小明绕五边形各边走一圈，他共转了_ _ _度。度。6.6.下列正多边形下列正多边形（1 1）正三角形（正三角形（2 2）正方形（）正方形（3 3）正）正五边形（五边形（4 4）正六边形，其中用一种正多边形能）正六边形，其中