九年级数学复习专题动态几何问题

1、中考数学专题动态几何问题第一部分真题精讲【例1】如图，在梯形ABC。中,AD/BC , AD = 3 , DC = 5 , BC = 10，梯形的高为4 .动 点M从3点出发沿线段3c以每秒2个单位长度的速度向终点。运动；动点N同时从。点出发沿线段8以每秒1个单位长度的速度向终点。运动.设运动的时间为/（秒）.（1）当出45时，求，的值；（2 ）试探究：/为何值时，&WNC为等腰三角形.【思路分析1本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同 学看到可能就会无从下手。但是解决初点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析 动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目

2、来说，都有一个由动转静的瞬间，就 本题而言，M , N是在动，意味着BM,MC以及DN.NC都是变化的。但是我们发现，和 这些动态的条件密切相关的条件DQBC长度都是给定的而且动态条件之间也是有关系的。 所以当题中设定MN/AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程, 自然得出结果。【解析】解：（1）由题意知，当M、N运动到/秒时，如图，过D作DEAB交BC于E点,则 四边形是平行四边形.：AB/DE , ABMN .：.DE/ MN ,（根据第一讲我们说梯形辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形,将动态问题转化成平行时候的静态问题）MC _ NC正一而（这个比例关系就是将静

3、态与动态联系起来的关键）匕解得竺.10-3 517【思路分析2第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是 MN=NC即可，于是就漏掉了 MN = MQMC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题 当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以 后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解【解析】（2）分三种情况讨论：当仞V = NC时，如图#N/_L3c交于/，则有MC = 2FC即.（利用等腰三角形 底边高也是底边中线的性质）1/sinZC = = , CD 53.cosZC =, 5A10-2/ = 2x,5解得/=专.s当必V

4、 = MC时，如图，过M作于H.1 = 2(10 - 2/)x2 56017当MC = CV时，贝（J10-2f = f .10t =3综上所述，当，=三、或9时，为等腰三角形.例2在dABC中，zACB=45 .点D (与点B、C不重合)为射线BC上一动点，连接 AD ,以AD为一且在AD的右侧彳乍的开乡ADEF .(1)如果AB=AC .如图,且点D在线段BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位置 关系，并证明你的结论.(2 )如果AB/AC ,如图，且点D在线段BC上运动.(1)中结论是否成立，为什么？ (3 )若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P ,设AC=4五

5、， BC = 3 , CD= x ,求线段CP的长.(用含x的式子表示)【思路分析1本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给 出那个“静止点，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。 由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递, 就可以得解。【解析】：(1)结论：CF与BD位置关系是垂直；证明如下:vAB=AC , zACB=45 , .-.zABC=45 .由正方形 ADEF 彳导 AD=AF , -zDAF=zBAC =90 ,.nDAB=nFAC , ./DAB2FAC , .zACF=zABD .-.

6、zBCF=zACB+zACF= 90 .即 CFBD .【思路分析2这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑 一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后 一样求解。(2)CF_LBD.中结论成立.理由是：过点A作AGAC交BC于点G , ,-.AC=AG可证:SAD学CAF .-.zACF=zAGD=45zBCF=zACB+zACF= 90 . 即 CFBD【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运初时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4X。分类讨论之后利用相似三角形的比

7、例关系即可求出CR(3)过点A作AQ_LBC交CB的延长线于点Q,点D在线段BC上运动时,. zBCA=45 ,可求出 AQ= CQ=4 .DQ=4-x ,易证aAQD-aDCP , .,0 = , DQ AQ 4-x 42：.CP = - + x .4点D在线段BC延长线上运动时，. nBCA=45。，可求出 AQ= CQ=4，.二 DQ=4+x .过 A作 AG_LAC交 CB 延长线于点 G ,则 AAGO三 AACF . CF_i_BD ,.-.AQD-DCP , /. = ,D() AQ4 + x 42： .CP = + x .4【例31已知如图，在梯形ABC。中，AD BC, AD

8、 = 2, 8C = 4,点M是AO的中点,A78c是等边三角形.(1)求证：梯形A8CO是等腰梯形；(2 )动点P、。分别在线段6c和上运动，且NMPQ = 60。保持不变.设 PC = x, = 求y与x的函数关系式；(3 )在(2 )中，当)，取最小值时，判断PQC的形状，并说明理由.mA /木D60【思路分析1本题有一点综合题的意味,但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考京 几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例 1 一样是双动点问题，所以就需要研究在RQ运动过程中什么东西是不变的。题目给定/ MPQ=60。,这个度数的意义在哪里？其实就是将

9、静态的那个等边三角形与动态条件联系了 起来.因为最终求两条线段的关系，所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系,怎么 证相似三角形呢？当然是利用角度咯.于是就有了思路.【解析】(1)证明：/W8C是等边三角形:,MB = MC, ZMBC = ZMCB = 60何是AO中点:.AM=MDAD / BCZAMB = NMBC = 60, ZDMC = /MCB = 60 /. /AMB 9/DMCAB = DC.梯形A8C。骨蝴形.(2 )解：在等边中，MB = MC = BC = 4, ZMBC = ZMCB = 60,NMPQ = 60(这个角度传递非常重要,大家要仔细揣丁. /BMP

10、+ NBPM = /BPM + ZQPC = 120摩):.NBMP = NQPC:.4BMP s MQPPC _CQPC = x, MQ = y :.BP = 4-x, QC = 4-y匕.y=lv2_x+44 4-%4(设元以后得出比例关系轻松化成二次函数的样子)【思路分析2第三问的条件又回归了当初点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很 轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了 “给定PC= 2 ,求PQC 形状”的问题了。由已知的BC=4 ,自然看出P是中点，于是问题轻松求解。(3)解：PQC为直角三角形-y = l(x-2)2+3当y取最小值时，x = PC =

11、2:.P 是 BC 的中点，MP BC,而 ZMPQ = 60,:.ZCPQ = 30,ZPQC = 90以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某 边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问期去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研 究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不 是一样呢噬下来我们看另外两道题.【例4】已知正方形ABC。中，石为对角线8。上一点，过E点作EF上BD交BC于F ,连 接DF , G为。中点，连接EG,CG .(1 )直接写出线段EG与CG的数量关系；(2 )将图1中MEF饶B点逆时针旋转45。

12、，如图2所示，取DF中点G，连接EG, CG ,. 你在(1)中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.(3 )将图1中绕3点旋转任意角度，如图3所示,再连接相应的线段，问(1 )中 的结论是否仍然成立？(不要求证明)【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45。到旋转任意角 度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线 自然相等。第二问将cBEF旋转45。之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心 条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三 角形就成为了分析的关罹所在。连接AG之后抛

13、开其他条件单看G点所在的四边形ADFE , 我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点 做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。(1 ) CG = EG(2)(1)中结论没有发生变化，即CG = EG.证明：连接AG ,过G点作MV_LAZ)于M ,与律的延长线交于N点.在AZMG与ADCG中，： AD = CD&DG = /CDG,DG = DG ,：.ADAGDCG .AG = CG.在ADMG与MVG中,IZDGM = /FGN, FG = DG, /MDG = NNFG ,:,SDMG冬江NG.:,MG = NG在矩形AEW中，AM = EN

14、在 RfMMG 与 RfENG 中 t. AM=EN,MG = NG ,S.AMGENG .AG = EG.：.EG = CG【思路分析2第三间纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果-BEF任意旋转, 哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在2BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G 点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF 这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角

15、形，就需要证明三角 形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。(3)(1)中的结论仍然成立.【例5】已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE 交射线DC于点F ,将SBE沿直线AE翻折，点B落在点B处.BF（1）当区=1 时，CF=cm,CE(2)当竺=2时，求sin/DAB的值； CEBF(3 )当=x时(点C与点E不重合)，请写出aABE翻折后与正方形ABCD公共 CE部分的面积y与x的关系式，(只要写出结论，不要解题过程)【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。 这一题是卷的压轴题，第一问给出比例为1

16、,第二问比例为2 .第三问比例任意，所以也是 一道很明显的从一般到特殊的递迸式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了 变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也 意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是, 本题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要大 家分类讨论，不要遗漏。【解析】(1) CF=6 cm ;(延长之后一眼看出，EAZY)(2 )如图1 ,当点E在BC上时，延长AB交DC于点M ,RF 4 R:ABIICF ABE-aFCE，,二 =.CE FCBE=2 ,

17、CF=3.CE/ ABllCF f /.zBAE=zF .图1又nBAE=nB AE f nB AE=zF . /. MA=MF .设 MA=MF=kf 贝U MC=k-3 , DM=9-k .在RtMDM中，由勾股定理得：1 q5解是这类题型中比较重要的方法）k2=(9-k)2+62,解得 k=MA=. z. DM = j .(设元求 22sinzDABf =如图2，当点E在BC延长线上时，延长AD交B E于点N ,同可彳导NA=NE.设 NA=NE=m ,贝U B N = 12-m .在RhAB N中，由勾股定理，得15Qm2=(12-m)2+62,解得 m=AN=- . B N =-.

18、22sinzDAB =BN _3布一片(3)当点E在BC上时，y=-;x + 1(所求s B* E的面积即为MBE的面积，再由相似表示出边长)当点E在BC延长线上时，y=心 .【总结】通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形 动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出，所以难度不言而喻，但是希望考 生拿到题以后不要掠，因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些 不变的量。只要条分缕析，一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决，就很轻松 了.为更好的帮助考生笔者总结这种问题的一般思路如下：第一、仔细读题，分析给定条件中刃陛量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要 分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们 和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的 关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。第三.做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢 分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式, 如本讲例5当中的比例关系意味着两