弹塑性力学-应力

1、弹塑性力学绪 论研究对象 弹性体： 变形可完全恢复， 几何上 杆状构件（一维）、 板壳结构（二维） 块体结构（三维）。 荷载： 包括机械外力、温度、电磁力等各种物理因素。研究内容 研究弹性体在外部荷载作用下其内部所产生的内力和变形 研究方法 材料质点 从宏观尺度上看它无限小； 但微观尺度上看它无限大，它包含大量稀疏分布的分子、原子； 材料质点的力学行为是这些大量分子、原子力学行为的统计平均。 （1）材料质点的平衡， 未知应力数总是超出微分方程数，弹性力学问题总是超静定的 （2）材料质点之间的变形必须是协调的， （3）应满足应力与变形关系的方程， 取决于材料性质，故称为物理方程，或称为本构方程。

2、基本理论 建立弹性力学的基本方程 从静力学、变形协调和材料的物理关系等三个方面着手。 弹性力学问题就归结为在给定的边界条件下求解这些基本方程。求解方法 （1）解析求解 （2）数值求解法： 差分方法、有限元方法和加权残数法等。弹性力学的基本体系弹性力学基本假定连续性完全弹性线弹性、小变形均匀性各向同性SACPnFxyz应力矢量SFs0limT(n) = 定义坐标分量 T(n) = Txex+Ty ey +Tzez ex，ey和ez表示坐标轴的单位基矢量， Tx、Ty 和Tz是应力矢量沿坐标轴分量。法线方向和切线方向分量 沿法线方向的应力分量称为正应力， 沿切线方向的应力分量称为剪应力。性质：同一

3、点的T(n)与所取截面的法线方向n有关， 所有这些不同截面上的应力矢量构成该点的应力状态 只有三个面上的应力矢量是独立的；外法线为n微面上的应力矢量为： T(n)= T(n) 应力张量xyzyyzyxzyzxxyxzyzyxxzxzzyzyxxyxz 微六面体 三个坐标面上的应力矢量 T(ex)xex+xyey+xzez T(ey)yxex+yey+yzez T(ez)zxex+zyey+zez以上9个分量，构成应力张量在笛卡儿坐标系下的分量zzyzxyzyyxxzxyx 张量表示 用1、2、3取代下标x、y、z，应力正、负号规定 正面上的应力若指向坐标轴正方向为正，否则为负； 负面的应力若指

4、向坐标轴负方向为正，否则为负。333231232221131211 ij张量求和约定哑指标：重复出现两次的指标，累加求和 U iVi=U1V1 +U2V2+U3V3 ii =11 +22+33 自由指标：不重复出现的指标，例如， Aijxi=Bj 其中i是哑指标，而j是自由指标，可以取1，2，3， T(ei)ik ek332211XVXVXVXVkkChauchy公式（斜面应力公式） 已知三个互相垂直面上的应力矢量，求任意一斜面上的应力矢量， 由四面体平衡条件导出。 nT(-e )T(-e )T(-e )T(n)exyeCzxze yxyz由微四面体的平衡条件得： T(n)dS+T(ex)ld

5、S+ T( ey)mdS+ T( ez)ndS +Xdh dS /3=0 T( n)T(ex)l+T(ey)m+T(ez)n将斜面应力矢量T( n)沿坐标轴方向分解 T( n)Txex+Tyey+Tzez 斜截面公式 Txxl+yxm+zxn Tyxyl+ym+zyn Tzxzl+yzm+zn张量表示 Tj = niij 求斜截面的各种应力（1）正应力 n=T(n) n = Txl + Tym + Tzn nxl2+ym2+zn2+2xylm+2yzmn+2zxnl ijninj（2) 剪应力确定力边界条件222)(zyxTTTnT22)(nnnT例题504030401 ij求在3212121

6、21eeen面上的法向正应力和切向剪应力 3132121111nnnT)4(210211212221230213210213232221212nnnT2252521021)4(213332321313nnnT 解22272252212321)2221(21332211nTnTnTN24827212332221NTTTSdzzzzdzzzyzydzzzxzxdyyyydyyyxyxxyzxyxyzxzzxzyyzyxdyyyzyzdxxxzxzdxxxyxydxxxx平衡微分方程在x=0的面上，应力是x、xy、 xz 在x=dx面上的应力 由x方向的平衡dxxdxxdxxxzxzxyxyxx、d

7、xdzdxdzdyydydzdydzdxxyxyxyxxxx0Xdxdydzdxdydxdydzzzxzxzx0Xzyxzxyxx由y、z方向的平衡力矩平衡：绕z轴 (xydydz)dx(yxdxdz)dy=0 xyyx 绕x和y方向的形心轴取矩 yz=zy xz= zx0Yzyxzyyxy 0Zzyxzyzxz静力学边界条件nXAxyzxl+yxm+zxnXxyl+ym+zynYxzl+yzm+znZ例1-2 如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为，试写出边界条 件。 解：在x=0上，l= 1，m =0， (x )x=0 (1) +(yx)x=00 = y (xy)x=0 (1) +(y)

8、x=00 = 0 (x)x=0= y (xy)x=0 在斜边上 l= cos，m = sin x cos yx sin = 0 xycos y sin = 01yxyX0Y应力分量的坐标变换 ye zeexeyezl1m1n1l2m2n2l3m3n3 xe 面（斜截面）的应力矢量在旧坐标下的分量 Txxl1+yxm1+zxn1 Tyxyl1+ym1+zyn1 Tzxzl1+yzm1+zn1 xe 新旧坐标的夹角111111212121222lnnmmlnmlzxyzxyzyxxx)(xxeeT Txl1+Tym1+Tzn1zxyxx (l1 m1 n1) Tzzyzxyzyyxxzxyx 33

9、3222111n m ln m ln m l T zyzxzzyyxyzxyxx 主应力在主平面上在主平面上 T( n) n 或 Tx l Ty m Tz n (x)l+yxm+zxn0 xy l+(y)m+zyn0 xzl+yzm+(z)n0 l2 + m2 + n2 = 1 非零解条件0zzyzxyzyyxxzxyx - -特征方程 3I12+ I2I3=0不变量 I1=x+y+z=kk I2=xy+xz+yz( ) = ( ijij) 主应力性质 （1）主平面相互垂直 （2）极值性222zxyzxy2121Izzyzxyzyyxxzxyx I3最大剪应力在法线为n的斜截面上，应力矢量为

10、T( n)T(e1)l+T(e2)m+T(e3)nl1e1 + m2e2 + n3e3 nx1T(n)132nx2x3e1e3e 2n斜截面上的正应力 n = T( n)n=l21+ m22 + n23应力矢量的模为 = (l1)2+( m2)2+( n3)2斜截面上的剪应力是 = (l1)2+( m2)2+( n3)2(l21+ m22 + n23)2 l2m2(12)2+ m2n2 (23)2 + n2l2(31)2 当斜截面方向l、m、n变化时，剪应力n随之变化。 求上式的极值可得最大剪应力2n2T约束条件 l2+m2+n2=1条件极值 无条件极值 F= ( l2+m2+n2 1) 为引

11、进拉格朗日乘子 2n0lF 0mF 0nF0F2n1112121232222n2322121221222n2212121231222n231 lmnn0000100002 00003 000最大剪应力 规定123 所在平面 与2平行而与1和3的角度分别为450 231max312321Mohr应力图每个截面上有正应力和剪应力，建立平面坐标系 截面上的应力对应坐标系的一个点截面上的正应力和剪应力 (l1)2+( m2)2+( n3)2截面上的正应力 n = T( n)n=l21+ m22 + n23 l2+m2+n2=1以上三个式子联立求解 222Tnn0)()(31213222nnnl0)()

12、(12321322nnnm0)()(23132122nnnn2322322)2()2(nn2132132)2()2(nn2212212)2()2(nn 应力张量分解xyz000 xyzzyzxyxyzxyxzz0 x0y 静水压力状态偏应力状态定义平均应力 0 = (x +y +z) 31两种应力状态用张量表示ij = sij + 0ij 其中ij是Kronecker符号，定义为 ij = 1，当ij ij = 0，当ij，00000000 00ij 000zzyzxyzyyxxzxyxij - -s关于静水压力状态 任意一个面都是主平面 主应力值均相等 在应力圆上是一个点 静水压力张量是各向同性张量xyz000偏应力张量sij的主值 s3+J2 s+J3=0 J1 =skk = sx+sy+sz=0 J2 =sijsij= (xy)2+(yz)2+(xz)2+6( )222zxyzxy0003zzyzxyzyyxxzxyxij - -sJ3cos3221Js 3cos3222Js cos3223Js3233233cosJJ61与应力张量主值关系 s1 = 10 s2 = 20 s3 = 30 两者方向相同0213cos32J0223co