第四章-部分相干理论

1、 1. 1.研究部分相干的意义研究部分相干的意义 a.a.相干光与非相干光是两种理论状态下的光相干光与非相干光是两种理论状态下的光源描述。源描述。 b.b.时间相干性、空间相干性是极限判断依据。时间相干性、空间相干性是极限判断依据。 c.c.部分相干光是实际光源的特征描述。部分相干光是实际光源的特征描述。 d.d.以以能见度能见度（或（或对比度对比度）来作为描述部分相）来作为描述部分相干光的质量。干光的质量。 2. 2.多色光场的解析信号表示多色光场的解析信号表示 a.a.单色信号的复表示。单色信号的复表示。 对单色信号对单色信号 : : 关于时间的傅里叶变换：关于时间的傅里叶变换： 由：由：

2、有：有：)( )exp()()(o ov vj jA At tu uF FU U 比较可知：比较可知：u ur r(t)(t)变到复信号变到复信号u(t)u(t)在频域可理解为：在频域可理解为： )cos()( t tA At tu uo or r2)exp()exp()(exp)(t tj jj jA At tj jA At tu uo oo o22 复数表示为复数表示为: :)(exp)(exp)( t tj jt tj jA At tu uo oo or r2221)()exp()()exp(21)()(oorrjjAtuFU去掉实信号的负频成分加倍实信号的正频成分去掉实信号的负频成分加

3、倍实信号的正频成分（单边谱）（单边谱） 2. 2.多色光场的解析信号表示多色光场的解析信号表示 b.b.多色信号的复表示。多色信号的复表示。 对于多色信号对于多色信号 如存在傅里叶频谱如存在傅里叶频谱: : 称为实函数称为实函数 的的解析信号解析信号。 的频谱为：的频谱为：有：有：)(t tu ur r)exp()()(d dt tj jU Ut tu ur r 022定义多色信号的复数表示为定义多色信号的复数表示为: :)(r rU U)(t tu u)(t tu ur r)(U U 00002)()()(r rr rU UU UU U)()sgn()(r rU UU U 1 2. 2.多色

4、光场的解析信号表示多色光场的解析信号表示 b.b.多色信号的复表示。多色信号的复表示。 )()()()()()()()sgn()()()sgn()()()exp()()sgn()(t tu ut tj jt tu ut tu ut tj jt tu uU UF FF Ft tu uU UF FU UF FU UF Fd dt tj jU Ut tu ur rr rr rr rr rr rr rr rr r 12111111 2. 2.多色光场的解析信号表示多色光场的解析信号表示 b.b.多色信号的复表示。多色信号的复表示。 )()()()(t tu ut tj jt tu ut tu ur r

5、r r 1求解卷积：求解卷积： )()(lim)()()()(d du ut td du ut td du ut td du ut tt tu ut tr rt tr rt tr rr rr r 111111110)(d dt tu ur r 1柯西积分主值柯西积分主值 2. 2.多色光场的解析信号表示多色光场的解析信号表示 b.b.多色信号的复表示。多色信号的复表示。 我们称：我们称： )()(lim)(d du ut td du ut td du ut tr rt tr rt tr r 111110)()()(t tj ju ut tu ut tu ui ir r 为为希尔伯特希尔伯特(

6、(Hilbert)Hilbert)变换变换。用。用 算子表示算子表示 当定义：当定义： 比较可得：比较可得：)()()()(t tu ut tt tu ut tu ur rr ri i 1)()sgn()(r ri iU Uj jU U 2. 2.多色光场的解析信号表示多色光场的解析信号表示 b.b.多色信号的复表示。多色信号的复表示。 结论：结论： )()()(t tj ju ut tu ut tu ui ir r 则所求的解析信号为：则所求的解析信号为： 给定一个实信号给定一个实信号 ，对它实行希尔伯，对它实行希尔伯特变换而得出：特变换而得出： )()sgn()(r ri iU Uj jU

7、 U )(t tu ur r)(t tu ui i在线性平移不变系统中：在线性平移不变系统中： )()()()(t tu ut tt tu ut tu ur rr ri i 1 2. 2.多色光场的解析信号表示多色光场的解析信号表示 例题例题1 1：求：求 ( (t)t)的的希尔伯特变换及其信号解析式。希尔伯特变换及其信号解析式。 又：又： t tt tt tt tt tu ur r)()()()(11 则所求的解析信号为：则所求的解析信号为： 其希尔伯特变换为：其希尔伯特变换为： )()(t tt tu ur r t tj jt tt tj ju ut tu ut tu ui ir r)()

8、()()( )()(t tu ut tu ur ri i 解：解： 2. 2.多色光场的解析信号表示多色光场的解析信号表示 例题例题2 2：求：求cos2cos2o ot t的的希尔伯特变换及其信号解希尔伯特变换及其信号解析式。析式。 又：又： )( )( cos)(o oo oo or rt tF FU U 212其频谱为：其频谱为： t tt tu uo or rcos)(2 )()sgn()(r ri iU Uj jU U 解：解： 00021021)()(o oo oj jj j)()()sgn(o oo oj j 21 2. 2.多色光场的解析信号表示多色光场的解析信号表示 例题例题

9、2 2：求：求cos2cos2o ot t的的希尔伯特变换及其信号解希尔伯特变换及其信号解析式。析式。 t tj jF FU UF Ft tu uo oo oo oi ii isin)( )( )()(2211 则所求的解析信号为：则所求的解析信号为： 其原函数为：其原函数为： t tj jt tt tj ju ut tu ut tu uo oo oi ir rsincos)()()(22 3. 3.互相干函数互相干函数 a.a.互相干函数的定义：互相干函数的定义： K K1 1,K,K2 2称为传播因子，分别与称为传播因子，分别与r r1 1,r,r2 2),(),(),(222111t t

10、t tp pu uK Kt tt tp pu uK Kt tQ Qu u 设针孔设针孔P P1 1,P,P2 2到观察屏到观察屏上上Q Q点的距离分别为点的距离分别为r r1 1,r,r2 2，t t时刻时刻P P1 1,P,P2 2点点的光振动用解析信号的光振动用解析信号u(pu(p1 1,t),u(p,t),u(p2 2,t),t)表示，表示，则则t t时刻在时刻在Q Q点的光场点的光场为：为：C Cr rt tC Cr rt t2211 ;成反比。成反比。 由惠更斯由惠更斯- -菲涅耳原理可知，菲涅耳原理可知， K K1 1,K,K2 2为为纯纯虚数虚数。 3. 3.互相干函数互相干函数

11、 a.a.互相干函数的定义：互相干函数的定义： ),(*),(),(*),()(t tQ Qu ut tQ Qu udtdtt tQ Qu ut tQ Qu uT TQ QI IT TT T21由于探测器的响应时由于探测器的响应时间长的多，只能探测间长的多，只能探测到光强的平均值，用到光强的平均值，用运算符运算符表示平均运表示平均运算算子，即：算算子，即：),(),(),(222111t tt tp pu uK Kt tt tp pu uK Kt tQ Qu u 3. 3.互相干函数互相干函数 a.a.互相干函数的定义：互相干函数的定义： ),(*),(),(*),(),(*),(),(*),

12、()(112221221121222222111121t tt tp pu ut tt tp pu uK KK Kt tt tp pu ut tt tp pu uK KK Kt tt tp pu ut tt tp pu uK Kt tt tp pu ut tt tp pu uK KQ QI I假定光场是平稳的，其统计性质不随时间改变，假定光场是平稳的，其统计性质不随时间改变，只与只与 = =t t2 2-t-t1 1有关有关 ： ),(*),(),(*),(),(*),(),(*),()(t tp pu ut tp pu uK KK Kt tp pu ut tp pu uK KK Kt tp

13、pu ut tp pu uK Kt tp pu ut tp pu uK KQ QI I1221212122221121 3. 3.互相干函数互相干函数 a.a.互相干函数的定义：互相干函数的定义： 引入参数引入参数)(),(),(),(22211211使：使： ),(*),()(),(*),()(),(*),()(),(*),()(t tp pu ut tp pu ut tp pu ut tp pu ut tp pu ut tp pu ut tp pu ut tp pu u2222122121121111)(*)(1221 分析可知：分析可知：定义定义)(12为光场的为光场的互相干函数互相干函

14、数。定义定义),(11为光场的为光场的自相干函数。自相干函数。)(22 3. 3.互相干函数互相干函数 a.a.互相干函数的定义：互相干函数的定义：当：当：021即tt有：有：22211100I II I )(;)()(Re)()()(*)()()()(122121121221212K KK KQ QI IQ QI IK KK KQ QI IQ QI IQ QI I 所以所以Q Q点的光强可表示为：点的光强可表示为：此时：此时：22221211I IK KQ QI II IK KQ QI I )()( 3. 3.互相干函数互相干函数 b.b.复相干度的定义：复相干度的定义： 在许多情况下，用归

15、一化的互相在许多情况下，用归一化的互相干函数来处理问题，以便于比较干函数来处理问题，以便于比较)(12用用 来表征：来表征： 21122211121200I II I)()()()()( 分析可知：分析可知：定义定义为光场的为光场的复相干度。复相干度。此时：此时：1012 )(用用 来表征：来表征： )(12 3. 3.互相干函数互相干函数 c.c.复相干度与干涉条纹的可见度的关系复相干度与干涉条纹的可见度的关系 因为干涉条纹的可见度是针对正弦型条纹而言的，因为干涉条纹的可见度是针对正弦型条纹而言的，为此可从窄带光为此可从窄带光 较小来分析，设窄带光的平均较小来分析，设窄带光的平均频率为频率为

16、 ，则在观察屛上的互相干函数和复相干，则在观察屛上的互相干函数和复相干度分别表示为：度分别表示为：)(exp)()()(exp)()(12121212121222a aj ja aj j 则：则：令：令：)(cos)( )()()()()(2212122121 a aQ QI IQ QI IQ QI IQ QI IQ QI I)(2212rr )(cos)( )()()()()( 121221212a aQ QI IQ QI IQ QI IQ QI IQ QI I 3. 3.互相干函数互相干函数 c.c.复相干度与干涉条纹的可见度的关系复相干度与干涉条纹的可见度的关系 由可见度定义有由可见度定

17、义有 ：时时这就是为什么说部分相干理论是从这就是为什么说部分相干理论是从可见度可见度表述其质量的原因表述其质量的原因 代入可见度公式，得：代入可见度公式，得：当：当： M Mi in nM Ma ax xM Mi in nM Ma ax xI II II II IV V )( )()()()()(1221212Q QI IQ QI IQ QI IQ QI IQ QI IM Ma ax x )( )()()()()(1221212Q QI IQ QI IQ QI IQ QI IQ QI IM Mi in n )()()()()(1221212Q QI IQ QI IQ QI IQ QI IV V

18、 )()(Q QI IQ QI I21 )(12 V V 3. 3.互相干函数互相干函数 d.d.互相干函数的谱表示互相干函数的谱表示 为了保证进行傅里叶变换定义截尾函数为了保证进行傅里叶变换定义截尾函数u uT T(p(p1 1,t),t)是与是与 相应的解析信号相应的解析信号TtTttputpuT0),(),(11) ,() ,(112p pU Up pU Ur rT TT T 0112)exp() ,(),(d dt tj jp pU Ut tp pu uT TT T),(t tp pu uT T1),(t tp pu ur rT T1 0222)exp() ,(),(d dt tj j

19、p pU Ut tp pu uT TT T) ,() ,(222p pU Up pU Ur rT TT T 同理：同理： 3. 3.互相干函数互相干函数 d.d.互相干函数的谱表示互相干函数的谱表示 所以：所以：定义：定义：为光场的为光场的互谱密度互谱密度 ),(*),()(t tp pu ut tp pu u2112),(*),(21lim21dttputpuTTTT2exp) ,( )(2exp),(21lim02*01dtjpUdtjpUdtTTTT)2exp() (2exp) ,(),(21lim002*1ddjtjpUpUdtTTTT )2exp( ) ,(),(21lim)(002

20、*1ddjpUpUTTTT djpUpUTTTT)2exp( ),(),(21lim02*1) ,() ,(lim)(*211221p pU Up pU UT TG GT TT TT T )exp()()(d dj jG G 012122 3. 3.互相干函数互相干函数 d.d.互相干函数的谱表示互相干函数的谱表示 所以：所以：当对互谱密度和功率谱密度归一化处理：当对互谱密度和功率谱密度归一化处理：为光场的为光场的功率谱密度功率谱密度 ) ,() ,(lim)(*p pU Up pU UT TG GT TT TT T21 )exp()()(d dj jG G 02同理对自相干函数有：同理对自相

21、干函数有：定义定义)()()(;)()()()(00022111212G GG GG GG G ; )exp()()(d dj jG G 012122)exp()()( d dj jG G 0210 )(d dG G 4. 4.时间相干性与空间相干性时间相干性与空间相干性 a.a.时间相干概念时间相干概念 对于具有一定有效频谱宽度对于具有一定有效频谱宽度 的光源，只的光源，只有当时间间隔有当时间间隔 比比 小得多时，振幅才小得多时，振幅才大体上保持不变，可以近似用平均频率大体上保持不变，可以近似用平均频率 的单色波来定性分析。的单色波来定性分析。1一般情况下，定义一般情况下，定义 为相干时间，

22、为相干时间， 定义定义 为相干长度。为相干长度。 1 c cc cc cC CL L 4. 4.时间相干性与空间相干性时间相干性与空间相干性 b. b. 不同谱线轮廓的相干时间不同谱线轮廓的相干时间 1 1）高斯线型）高斯线型2 2）洛伦兹线型）洛伦兹线型3 3）矩形线型）矩形线型常见的谱线轮廓有：常见的谱线轮廓有： 4. 4.时间相干性与空间相干性时间相干性与空间相干性 b. b. 不同谱线轮廓的相干时间不同谱线轮廓的相干时间 （一般表达式）（一般表达式）)( d dc c 2)exp()()( d dj jG G 02曼德尔定义相干时间为：曼德尔定义相干时间为：高斯线型：高斯线型：洛伦兹线

23、型：洛伦兹线型：矩形线型：矩形线型：.ln16640122 c c.1318011 c c1 c c 4. 4.时间相干性与空间相干性时间相干性与空间相干性 c.c.傅里叶变换光谱术傅里叶变换光谱术 )(*)()( 02I II ID D如果光波的功率宽度已知，由麦克尔逊干涉如果光波的功率宽度已知，由麦克尔逊干涉仪观察到的干涉图的特征就可完全确定。仪观察到的干涉图的特征就可完全确定。)cos()()(d dG GI I 022)(*)()()( 02I II II ID D)cos()()(d dI IG G 022 4. 4.时间相干性与空间相干性时间相干性与空间相干性 c.c.傅里叶变换光

24、谱术傅里叶变换光谱术 利用干涉图和功率谱密度之间的这一关系，利用干涉图和功率谱密度之间的这一关系，通过测量干涉图来确定未知入射光的功率谱通过测量干涉图来确定未知入射光的功率谱谱度，这就是傅里叶变换光谱术的理论基础。谱度，这就是傅里叶变换光谱术的理论基础。 傅里叶变换光谱术的特点：傅里叶变换光谱术的特点： 1 1）光源能量的利用率高）光源能量的利用率高 2 2） 分辨率高分辨率高 3 3） 应用广泛。应用广泛。傅立叶变换红外光谱仪傅立叶变换红外光谱仪每一台傅立叶变换红外光谱仪，由以下几部分构成：一个光源、一个干涉仪每一台傅立叶变换红外光谱仪，由以下几部分构成：一个光源、一个干涉仪（分束器是它的一

25、部分）以及一个检测器。（分束器是它的一部分）以及一个检测器。到样品红外光源发出的光束干涉仪是红外光谱仪的心脏部件干涉仪是红外光谱仪的心脏部件在干涉仪的出口，两束有光程差的光发生干涉，然后在干涉仪的出口，两束有光程差的光发生干涉，然后到样品。到样品。干涉仪干涉仪动镜移动距离为动镜移动距离为n/2 n/2 ，即即光程光程差为差为n n 时时 动镜移动距离为动镜移动距离为n/4 n/4 ，即即光程光程差为差为n/2 n/2 时时 干涉仪干涉仪因为动镜以一定的速度（因为动镜以一定的速度（ ）移动，检测器上得到的信号是正弦波信号。）移动，检测器上得到的信号是正弦波信号。)/2cos(1)()( BI)(

26、I光束强度)(B在波数光源经过仪器调制后（分束器效率、检测器和放大器的响应）的强度波数/1光程差vt2v动镜移动速率(cm/sec)t时间(sec)得到的得到的ACAC组分组分I I（ ）：）：就是所谓的干涉图。就是所谓的干涉图。 4. 4.时间相干性与空间相干性时间相干性与空间相干性 d.d.空间相干性空间相干性 在零程差位置形成干涉条纹的能力反映了空在零程差位置形成干涉条纹的能力反映了空间相干效应。间相干效应。 称为空间互相干函数称为空间互相干函数 称为复空间相干度称为复空间相干度 ),(*),()(t tp pu ut tp pu u2112021122211121200000I II

27、I)()()()()( )(012)(012 5. 5.互相干的传播及相关定理互相干的传播及相关定理 a.a.窄带光场的衍射积分公式窄带光场的衍射积分公式 由惠更斯由惠更斯菲涅耳原理，对于部分相干光可菲涅耳原理，对于部分相干光可用解析信号来表述：用解析信号来表述： 进一步简化：进一步简化： d dS SK Kc cr rc cr rt tp pu ud dt td dt tQ Qu u)(),(),(2 d dS SK Kc cr rt tp pu ur rj jt tQ Qu u)(),(),( 1 5. 5.互相干的传播及相关定理互相干的传播及相关定理 b. b. 窄带光的互相干传播规律窄

28、带光的互相干传播规律 1)1)传播面传播面 上的互相干函数上的互相干函数 11111111d dS SK Kc cr rt tp pu ur rj jt tQ Qu u)(),(),( 2 ),(*),();,(t tQ Qu ut tQ Qu uQ QQ Q212122222211d dS SK Kc cr rt tp pu ur rj jt tQ Qu u)(),(*),(* 2121221121221111d dS Sd dS SK KK Kc cr rt tp pu uc cr rt tp pu ur rr rQ QQ Q)()(),(*),();,( 212211122111d dS

29、 Sd dS Sr rK Kr rK Kc cr rr rp pp p)()();,( 5. 5.互相干的传播及相关定理互相干的传播及相关定理 b. b. 窄带光的互相干传播规律窄带光的互相干传播规律 2)2)传播面传播面 上的互强度上的互强度 2);,(),(02121Q QQ QQ QQ QJ J 212211122111d dS Sd dS Sr rK Kr rK Kc cr rr rp pp p)()();,( 当当 时，时， 即称为即称为传播面传播面 上的互强度。上的互强度。用用 表示。表示。 0 );,(021Q QQ Q2),(21Q QQ QJ J 5. 5.互相干的传播及相关

30、定理互相干的传播及相关定理 b. b. 窄带光的互相干传播规律窄带光的互相干传播规律 3)3)传播面传播面 上的强度分布上的强度分布 2)exp(),();,(122112212r rr rj jp pp pJ Jc cr rr rQ QQ Q 212211122121211d dS Sd dS Sr rK Kr rK Kr rr rj jp pp pJ JQ QQ QJ J)()()(exp),(),( 当当 时：时：0 21Q QQ Q当当即：即：Q QQ QQ Q 212122111221211d dS Sd dS Sr rK Kr rK Kr rr rj jp pp pJ JQ QI I)