数学导数概念学习教案

1、会计学1数学数学(shxu)导数概念导数概念第一页，共32页。如图如图, 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线(qxin)C在点在点M处的切线处的切线. T0 xxoxy)(xfy CNM000,0.(,),( , ),MNNMTM xyN x yMN设设割割线线的的斜斜率率为为一一.问题问题(wnt)的提的提出出1. 变速直线运动物变速直线运动物体体(wt)的瞬时速的瞬时速度问题度问题2. 2.切线问题切线问题 割线割线的极的极 限位置限位置切线位置切线位置00000000( )()tan,( )()tanlim.xxyyf

2、 xf xxxxxNM xxMTf xf xkxx 切切线线的的斜斜率率为为第1页/共32页第二页，共32页。,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 记为记为处的导数处的导数在点在点数数并称这个极限为函并称这个极限为函处可导处可导在点在点则称函数则称函数时的极限存在时的极限存在之比当之比当与与如果如果得增量得增量取取相应地函数相应地函数时时仍在该邻域内仍在该邻域内点点处取得增量处取得增量在在当自变量当自变量有定义有定义的某个邻域内的某个邻域内在点在点设函数设函数定义定义(dngy)第2页/共32页第三页，共32页。0

3、0000000000000( )()()()limlim()()( )()limlim.xxxxxxxxhxxdydf xyfxdxdxf xxf xyxxf xhf xf xf xhxx = =第3页/共32页第四页，共32页。2.右导数右导数:单侧导数单侧导数(do sh)1.左导数左导数(do sh):;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函数函数)(xf在点在点0 x处可导处可导左导数左导数)(0 xf 和右导数和右导数)(0 xf 都存在且相等都存

4、在且相等. 第4页/共32页第五页，共32页。00000,( )( ).,( ),.()( )lim()( )( )lim.:()( )()xhxxxIf xf xdyy fxydxf xxf xyxf xhf xfxfxfxf xh 对对于于任任一一都都对对应应着着的的一一个个确确定定的的导导数数值值. .这这个个函函数数叫叫做做原原来来函函数数导导函函的的记记或或或或数数即即注注意意作作第5页/共32页第六页，共32页。例例1.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数解解0044sin()sin(sin )limsin2limcos()cos .22(sin )

5、cos .2(sin )cos.2hhxxxhxxhhhxxhxxxx 即即第6页/共32页第七页，共32页。例例2(1)( )(0,1),xf xaaa求求函函数数的的导导数数解解hahxhxxhhxhxxxxxxaaahaaheaaaaaaehe0ln00()lim1limln,()ln, ().1lim 即即第7页/共32页第八页，共32页。(2)log(0,1).ayx aa 求求函函数数的的导导数数hxhhhahxxhxxhhxxxexxxhxxa000ln()ln(ln )lim11limlimln(1)111ln,(log).lln()n1 第8页/共32页第九页，共32页。01

6、100(3)( )(),(),()lim,()()(1/)1lii0l m.m,hhhh xxhhxf xxxhxxhxxxxxh 求求幂幂函函数数的的导导数数即即R RR RR R解解第9页/共32页第十页，共32页。例例3.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy xyo0000(0)(0),(0)(0)limlim1,(0)(0)li:( )0?mlim1.(0)(0),( )0.hhhhhfhfhhfhfhhhfhfhhhffyf xxQf xx xx 即即函函数数在在处处的的在在点点不不导导可可导导性性可可第10页/共32页第十一页，共32页。oxy)(xfy

7、 T0 xM1.几何几何(j h)意义意义)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线切线(qixin)方程为方程为法线方程法线方程为为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 第11页/共32页第十二页，共32页。 由导数的几何意义由导数的几何意义, 如果如果(rgu)函数函数 y=f(x) 是单调增加的，那么函数的图象是单调增加的，那么函数的图象曲线曲线 y=f(x) 就是单调上升的，又如果就是单调上升的，又如果(rgu)函数函数 y=f(x) 是可导的，那么曲线是可导的，那

8、么曲线 y=f(x)每点的切线都是上倾的每点的切线都是上倾的,斜率都是大斜率都是大于等于零的。于等于零的。当然，如果已知曲线当然，如果已知曲线 y=f(x)每点的切线斜每点的切线斜率都是大于等于零的率都是大于等于零的,试问：可导函数试问：可导函数 y=f(x) 一定是单调增加的吗一定是单调增加的吗? !这一猜这一猜想想(cixing)将在后面予以证实。将在后面予以证实。第12页/共32页第十三页，共32页。hhf xa ba bfxf xa bf xhf xx xha bhf xa bf xhf xfxhf xhf xha bfx00( )( , ),.:( , )( )0.:( )( , )

9、,()( ),( , ),0,( )( , ),()( )lim( ),()( )lim0,( , )( )0. 设设函函数数在在内内处处处处可可导导 且且函函数数单单调调增增加加 证证明明 在在内内有有证证明明 在在内内单单调调增增加加极极限限保保又又函函数数在在内内处处处处可可导导存存在在由由知知在在内内有有号号性性推推论论第13页/共32页第十四页，共32页。f xa bfxa b:( )( , ),( )0.( , ). 由由不不难难推推得得设设函函数数在在内内处处处处可可导导极极限限且且有有则则 在在内内函函数数严严格格的的保保号号单单调调增增加加性性第14页/共32页第十五页，共3

10、2页。000012201222xx(x )ypxx( p)x ,yy(px )px 由由不不难难得得到到在在抛抛物物线线上上任任意意一一点点( () )处处的的切切线线斜斜率率为为由由此此我我们们可可以以得得到到抛抛物物线线的的一一个个重重要要的的性性质质。根根据据光光的的反反射射定定律律，入入射射角角（入入射射光光线线与与反反射射面面的的法法线线的的夹夹角角）等等于于反反射射角角（反反射射光光线线与与反反射射面面的的法法线线的的夹夹角角）。于于是是，任任意意一一束束从从抛抛物物线线的的焦焦点点处处出出发发的的光光线线，经经抛抛物物线线的的反反射射后后成成为为一一束束平平行行的的光光线线。第1

11、5页/共32页第十六页，共32页。第16页/共32页第十七页，共32页。由由于于光光路路是是可可逆逆的的，因因此此反反过过来来，若若有有一一束束与与抛抛物物线线的的对对称称轴轴平平行行的的光光线线射射入入抛抛物物线线，则则经经过过反反射射后后光光线线将将会会聚聚于于抛抛物物线线的的焦焦点点处处。这这就就是是探探照照灯灯、伞伞形形太太阳阳灶灶、抛抛物物面面天天线线等等运运用用上上述述抛抛物物线线的的性性质质的的实实际际例例子子。（实实际际上上，准准确确地地讲讲，上上述述旋旋转转抛抛物物面面应应该该是是的的光光学学性性质质）第17页/共32页第十八页，共32页。2.物理物理(wl)意义意义非均匀非

12、均匀(jnyn)变化量的瞬时变化变化量的瞬时变化率率.变速直线运动变速直线运动: :路程路程(lchng)(lchng)对时间的导数为对时间的导数为物体的瞬时速率：物体的瞬时速率：.lim)(0dtdststvt 交流电路交流电路: :电量对时间的导数为电流强度：电量对时间的导数为电流强度：.lim)(0dtdqtqtit 质地非均匀的质地非均匀的线线物体物体: :线物体从线物体从a到到x那一段的质量为那一段的质量为m(x), 那么质量那么质量m(x)对对 x 的导数为线物体的的导数为线物体的线密度线密度： ( )limlim.xxm xxm xmdmxxxdx 00Oabxx+x第18页/共

13、32页第十九页，共32页。0.( ),( )lim,()( )( ),( ).xyC xCyC xxCC xxC xC xxxxC x 经经济济学学上上把把一一个个函函数数的的导导数数称称为为该该函函数数的的边边际际值值如如某某工工厂厂生生产产一一种种产产品品的的成成本本函函数数 称称为为边边际际成成本本就就是是在在产产量量为为 的的时时候候每每多多生生产产一一个个单单位位的的产产品品时时平平均均所所需需成成本本近近似似于于所所以以经经济济学学上上常常用用边边际际值值快快速速估估计计或或预预测测相相关关经经济济量量3.导数导数(do sh)的的经济意义经济意义第19页/共32页第二十页，共32

14、页。2.:,.,( )()()( )2505,( )25010 .,10,1,25010 10150.30,1,250103050,L xxL xxxL xxxx 经经济济学学上上把把一一个个函函数数的的导导数数称称为为该该函函数数的的边边际际值值如如 边边际际成成本本 边边际际收收入入 边边际际利利润润例例如如 某某厂厂生生产产一一种种产产品品 每每天天的的总总利利润润万万元元与与产产量量吨吨 的的函函数数关关系系为为 其其边边际际利利润润为为那那么么这这表表明明 当当每每天天产产量量为为吨吨时时 再再多多生生产产 吨吨产产品品 总总利利润润约约增增加加万万元元而而当当每每天天产产量量为为吨

15、吨时时 再再多多生生产产 吨吨产产品品50.总总利利润润将将约约减减少少万万元元第20页/共32页第二十一页，共32页。定理定理(dngl) (dngl) 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数. .证证xxxf xxyyfxfxxxxyfxxxyfxxxf xx000000000( ),lim(),(),0(0),(),limlim()0( ). 设设函函数数在在点点可可导导函函数数在在点点连连续续第21页/共32页第二十二页，共32页。.,)()()(,)(. 1000函数在角点不可导函数在角点不可导的角点的角点为函数为函数则称点则称点若若连续连续函数函数xfxxfxfxf xy2x

16、y 0 xy 例如例如(lr),0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的角点的角点为为处不可导处不可导在在xfxx 注意注意: : 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立. .连续函数不存在连续函数不存在(cnzi)(cnzi)导数举导数举例例第22页/共32页第二十三页，共32页。31xyxy010000002.( ),()()limlim,( )()xxf xxf xxf xyxxf xx 设设函函数数在在点点连连续续 但但称称函函数数在在点点有有无无穷穷导导数数 不不可可导导例如例如(lr), 1)(3 xxf,( , )x 11 0 在在处处不不可可导导 但但是是曲曲线线在在处处却

17、却有有切切线线 一一条条铅铅直直的的切切线线。第23页/共32页第二十四页，共32页。1. 导数导数(do sh)的实质的实质: 增量比的增量比的极限极限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线切线(qixin)的斜的斜率率;4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由定义求导数.6. 判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.第24页/共32页第二十五页，

18、共32页。1.设设)(xf在在0 xx 处处可可导导， 即即)(0 xf 存存在在，则则 _)()(lim000 xxfxxfx , , _)()(lim000 xxfxxfx . . 练习题练习题2. 在下列各题中均假定在下列各题中均假定)(0 xf 存在，按照导数的定义观察存在，按照导数的定义观察下列极限，分析并指出下列极限，分析并指出 A表示什么？表示什么？ (1)Axxxfxfxx 00)()(lim0； (2)Ahhfh )(lim0，其中，其中)0(0)0(ff 且且存在；存在； (3)Ahhxfhxfh )()(lim000. 3. 证明：若证明：若)(xf为偶函数且为偶函数且)

19、0(f 存在，则存在，则0)0( f. 第25页/共32页第二十六页，共32页。4.4. 设函数设函数sin,( ),xxf xxx 21000问问: :)(xf在在0 x处处 是否是否(1)(1)连续； （连续； （2 2）可导； （）可导； （3 3）导数连续）导数连续 ? ? 5.5.设函数设函数 1,1,)(2xbaxxxxf, ,为了使函数为了使函数 )(xf在在1 x处连续且可导，处连续且可导，ba ,应取什么值应取什么值. . 第26页/共32页第二十七页，共32页。2111,1( ),1,( )1.( )1,lim( )(1)1,lim( )lim(),1( )1.( )1,xxxxxf xa baxb xf xxf xxf xff xaxbababfxf xxx 设设试试验验确确定定的的值值 使使得得函函数数在在处处可可导导解解 函函数数在在处处可可导导 首首先先要要连连续续又又当当 时时函函数数显显然然函函数数在在处处左左连连续续在在处处连连续续例例4第27页/共32页第二十八页，共32页。2