第五章控制系统计算机辅助分析

1、第五章控制系统计算机辅助分析第五章-控制系统计算机辅助分析.5.1 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析q对于连续时间系统，如果闭环极点全部在S平面的左半平面，则系统是稳定的。q对于离散时间系统，如果系统全部闭环极点都位于Z右半s平面既无零点又无极点，且不含有纯延迟环节的系统称为最小相位系统。一、系统稳定及最小相位系统判据特征方程根的求取1、对n阶线性定常系统，其特征方程是一个n次的代数方程。特征方程的根即为系统闭环极点。Matlab提供了求取特征方程根的函数： Vroots（P） P为特征多项式的系数向量，返回值V为特征根构成的系数向量。附例1若n阶微分方程如下：或闭环系统传递函数为：则

2、其特征方程为：2、对于n维状态方程描述的系统矩阵A为nn阶方阵，那么系统的特征多项式为：Maltab提供了求取矩阵特征多项式的函数 Pploy（A）P为n+1维行向量，各分量为矩阵特征多项式按降幂排列的各项系数。然后再借助Vroots（P）函数即可判定系统的稳定性。3、直接求取矩阵的特征值，Maltab提供了求取矩阵特征值的函数 D=eig(A) V,D=eig(A)D为对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。V是由与特征值对应的特征向量构成的矩阵利用传递函数零极点判断系统稳定性 函数tf2zp可用来化传递函数模型为零极点增益模型 函数pzmap三用来绘制闭环系统的零极点分布图。调用格式如

3、下： pzmap(num,den) 绘制零极点图 p,z=pzmap(num,den)求取系统零极点图，但不绘制图形附例2：已知某系统的模型如右所示：要求判断系统的稳定性及系统是否为最小相位系统。附例2：A=1 2 -1 2;2 6 3 0;4 7 -8 -5;7 2 1 6;B=-1 0 0 1;C=-2 5 6 1;D=7;P=poly(A); %求特征多项式V=roots(P) %求特征根可知系统不稳定，也不是最小相位系统系统模型如下所示，判断系统的稳定性，以及系统是否为最小相位系统。11221171494528110142841163)(2345623ssssssssssG附例3 附例

4、3 num=3 16 41 28;den=1 14 110 528 1494 2117 112;pzmap(num,den)p,z=pzmap(num,den) %验证零极点可知：系统稳定而且是最小相位系统利用李雅普诺夫第二法判别系统稳定性l 线性定常连续系统 当A为非奇异矩阵，系统有唯一平衡状态 Xe0。 李雅普诺夫第二法指出：如果对任意给定的正定对称矩阵Q都存在一个正定的实对称矩阵正定的实对称矩阵P满足下面的方程： ATP+PA=-Q那么系统的平常状态Xe0是渐进稳定的。并且V(s)=xTPx就是系统的李亚普诺夫函数，通常取Q为单位阵。李雅普诺夫方程的求解函数 Plyap（A，Q）， 通常

5、正定实对称阵Q取单位阵。例题例题 已知系统状态方程为：确定系统的平衡在状态，判断平衡状态的稳定性。5.2 控制系统的时域分析控制系统的时域分析时域分析的一般方法时域分析的一般方法首先求取控制系统在典型输入信号典型输入信号作用下的时间响应时间响应，然后以时间响应为依据直接分析系统的稳定和动态性能稳定和动态性能。MATLAB提供了求取系统在典型输入信号作用下时间响应的函数，如下所示。l 离散系统时域分析函数离散系统时域分析函数: dstep ( )：求取离散系统的单位阶跃响应。 dimpulse ( )：求取离散系统的单位脉冲响应。 dinitial ( )：求取离散系统的任意 dlsim ( )

6、：求取离散系统的任意输入响应。l连续系统时域分析函数：连续系统时域分析函数：step ( )：求取连续系统的单位阶跃响应。impulse ( )：求取连续系统的单位脉冲响应。initial ( )：求连续系统的零输入响应。lsim ( )：求取连续系统的任意输入响应。 最大超调量 ：瞬态过程输出响应的最大值超过稳态值的百分比。 延迟时间 ：输出响应第一次到达稳态值的50%所需时间。 峰值时间 ：输出响应第一次达到峰值所需时间。 上升时间 ：第一次达到稳态值时间，或由稳态值的10%上升到90%所需时间。 调节时间 ：当输出响应与稳态值之间误差达到规定的允许值的5%或2%，且以后不再超出此值所需的

7、时间。1.典型输入信号及动态性能指标控制系统典型输入信号有阶跃函数、斜坡函数及脉冲函数。而对于稳定的系统，通常用描述系统的阶跃响应特征的一些参数来品价其性能的好坏。控制系统动态性能指标有：2.控制系统稳态性能指标通常用来描述控制系统稳态性能的指标是稳态误差。稳态误差指稳定的系统在扰动作用下，经过过渡过程后进入稳态时的误差。即：典型输入信号作用下系统稳态误差 表中0型、1型、2型系统是根据系统开环传递函数Gk（s）中所含积分环节的个数定义的。Kp为系统的静态位置误差系数，Kv为系统的静态速度误差系数、Ka为系统的静态加速度误差系数，分别定义为：常用时域分析函数的使用方法的使用方法 1. step

8、函数函数求取连续系统的单位阶跃响应函数step( )使用格式如下： step(sys) %求取系统sys的单位阶跃响应曲线。step(sys, Tf) %求取系统sys从0时刻起到Tf时刻止的单位阶跃响应曲线。step(sys，T) %求取系统sys的单位阶跃响应曲线仿真，T为选定的仿真时间向量。此外，此外，stepstep函数还可以使用带返回参数的调用格式，具体如下：函数还可以使用带返回参数的调用格式，具体如下：Y,T=step(sys) %不绘制系统阶跃响应曲线，返回T为系统自动化生成的时间向量，Y为对应T时刻的系统阶跃响应输出值向量。Y= step(sys,T) %T为指定的时间向量，Y

9、为在T时刻系统的返回值。 附例4: 已知某单位负反馈系统开环传递函数为 试求其单位阶跃响应解：命令如下：GO=tf(1 1 ,conv(1 0,1 1 2);sys=feedback(GO,1);step(sys)2. impulse函数函数用来求取连续系统的单位脉冲响应的函数impulse ( )使用格式如下： impulse(sys) %求取系统sys的单位脉冲响应曲线。 impulse(sys, Tf) %求取系统sys从0时刻起到Tf时刻止的单位脉冲响应曲线。 impulse(sys，T) %求取系统sys的单位脉冲响应曲线，T为选定的仿真时间向量。附例5：已知某单位负反馈系统开环传递

10、函数为： 试求其单位脉冲响应 解：命令如下：GO=tf(1 1 ,conv(1 0,1 1 2);sys=feedback(GO,1);impulsel(sys)此外，此外，impulse函数也可以使用带返回参数的调用格式，具函数也可以使用带返回参数的调用格式，具体如下：体如下： Y,T=impulse(sys) %不绘制系统脉冲响应曲线，返回值T为系统自动化生成的时间向量，Y是对应T时刻的系统单位脉冲输出响应的值所组成的行向量。 Y= impulse(sys,T) %T为指定的时间向量，Y为在T时刻系统脉冲响应的值所组成的行向量。3. initial函数函数initial三函数可用来求取连续

11、系统零输入的响应。调用格式：三函数可用来求取连续系统零输入的响应。调用格式：initial(sys,X0) %求取系统求取系统sys在初始状态在初始状态X0下的零输入响应。下的零输入响应。initial(sys,X0) %求取系统求取系统sys在初始状态在初始状态X0下的零输入响应。下的零输入响应。initial(sys,X0,Tfinal) %求取系统求取系统sys在初始状态在初始状态X0下的零输入响应，下的零输入响应，Tfinal为仿真终止时刻。为仿真终止时刻。initial(sys,X0,T) %T为一时间向量，按指定的仿真时间为一时间向量，按指定的仿真时间T求取系统求取系统sys在初始

12、状态在初始状态X0下的零输入响应。下的零输入响应。 Y,T,X = initial(sys,X0) %求取系统的零输入响应值，范围参数求取系统的零输入响应值，范围参数Y为系为系统输出，统输出，T为仿真时间向量，为仿真时间向量，X为对应时间为对应时间T的状态变量矩阵。的状态变量矩阵。附例6：已知某系统状态方程为： 试求其单位脉冲响应 解：命令如下：A=0 1 1; 0 0 1;-1 -2 -3;B=1; 0 ;1;C=1 0 0;D=0;sys=ss(A,B,C,D)x0=0;0.1;0.5;initial(sys,x0)lsim函数可用来求取连续系统任意输入的响应。调用格式：lsim（sys，

13、u，T）%u为输入，T为对应时间向量。如果系统用状态方程描述的，可采用如下调用格式：lsim（sys，u，T，X0）%X0为状态方程描述的系统初始状态。4. lsim函数函数Y = lsim(sys, u, t) %返回值Y是在输入u作用下，系统t时间的输出值向量。并且不绘制图形。Y, t, x = lsim(sys, u, t, x0) %返回值Y是在初始状态x0和输入u作用下，系统t时间的输出值向量，x是对应的状态矩阵。并且不绘制图形。此外，lsim函数也可以使用带返回参数的调用格式：对于离散系统的调用格式与step、impulse类似，可以通过“help+函数名”命令来察看函数命令的帮助

14、信息。解：求解命令如下：wn=6;kesi=0.4;num=wn2;den=1 2*kesi*wn wn2;sys=tf(num,den);t=0:0.02:5;step(sys,t);%绘制闭环系统的阶跃响应曲线title(二阶系统单位阶跃响应)xlabel(t/s)ylabel(阶跃响应)grid【附例7】已知某系统闭环传递函数为： 试求系统单位阶跃响应曲线。【附例8】在同一坐标系下，绘制二阶系统、具有零点的二阶系统和三阶系统的单位阶跃响应曲线，对比分析它们的性能。系统的闭环传递函数分别为：解：求解的MATLAB命令如下：num1=3;den1=conv(1,0.8+1.6*j,1,0.8

15、-1.6*j); %系统1的分母多项式num2=conv(num1,0.5,1);den2=den1; %系统2具有零点的二阶系统分母多项式num3=num1;den3=conv(den1,0.5,1);%系统3的三阶系统的分母多项式sys1=tf(num1,den1);sys2=tf(num2,den2);sys3=tf(num3,den3);step(sys1,k) %系统1的阶跃响应为黑色实线hold onstep(sys2,b:) %系统2的阶跃响应为蓝色点连线step(sys3,r-) %系统2的阶跃响应为蓝色虚线legend(二阶系统,具有零点的二阶系统,三阶系统) %添加图例ti

16、tle(不同系统阶跃输入响应)xlabel(时间/秒)ylabel(幅值)grid例题： 例题：仿真时间仿真时间t的选择：的选择：q对于典型二阶系统根据其响应时间的估算公式 可以确定。q对于高阶系统往往其响应时间很难估计，一般采用试探的方法，把t选大一些，看看响应曲线的结果，最后再确定其合适的仿真时间。q一般来说，先不指定仿真时间，由MATLAB自己确定，然后根据结果，最后确定合适的仿真时间。q在指定仿真时间时，步长的不同会影响到输出曲线的光滑程度，一般不易取太大。习题第三节第三节 控制系统的频域分析控制系统的频域分析u频率特性是指系统在正弦信号作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性。频率

17、特性函数与传递函数有直接的关系，记为：一、频域分析的一般方法常用的频域分析法常用的频域分析法 极坐标频率特性曲线极坐标频率特性曲线 对数频率特性曲线对数频率特性曲线 幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线简称幅相曲线，MATLAB提供了绘制这几种曲线的函数，分别是 nyquist和bode、nichols。奈奎斯特稳定判据 Nyquist曲线是根据系统开环频率特性在复平面上绘出的幅相轨迹，根据开环的Nyquist曲线，可以判断闭环系统的稳定性。 系统稳定的充要条件为：Nyquist曲线按逆时针包围临界点(-1,j0)的圈数R ，等于开环传递函数位于s右半平面的极点数P，否则闭环系统不稳定，闭环正实部

18、特征根个数Z=P-R。若刚好过临界点，则系统临界稳定。注意:此处频率设定从负无穷到正无穷.开环频域性能指标 幅值裕度是在相角为-180度处使开环增益为1的增益量，如在-180度相频处的开环增益为g，则幅值裕度为1/g；若用分贝值表示幅值裕度，则等于：-20*log10(g)。 相角裕度是当开环增益为1时，相应的相角与180度角的和。二、奈奎斯特图（极坐标图）二、奈奎斯特图（极坐标图）u对于频率特性函数G(jw)，给出w从负无穷到正无穷的一系列数值，分别求出Im(G(jw)和Re(G(jw)。以Re(G(jw) 为横坐标， Im(G(jw) 为纵坐标绘制成为极坐标频率特性图。nyquist三三

19、函数的用法：函数的用法：nyqusit(sys)：绘制系统sys的奈奎斯特曲线。nyqusit(sys,w)：根据给定的频率向量来绘制系统的sys的奈奎斯特曲线。nyquist（sys, w1, w2）：根据给定的最小最大频率范围绘制系统sys的奈奎斯特曲线。最大最小频率满足0w1w2。nyquist三三 函数的用法函数的用法(续续)Re,Im = nyquist(sys,w) ：根据给定频率向量w来求取系统sys的极坐标频率特性值的实部和虚部，且不绘制奈奎斯特曲线。Re,Im,w = nyquist(sys) ：根据系统自动生成的求取系统sys的频率特性值。附例10:已知某开单位负反馈系统开

20、环传递函数为: 试根据nyquist曲线判断系统的稳定性.解: 命令如下;sys=zpk(-10,-1,-3,1)nyquist(sys)验证上述系统稳定性sys2=feedback(sys,1,-1)step(sys2)附例11:已知某单位负反馈系统开环传递函数为: 试根据nyquist曲线判断系统的稳定性.解:开环左半s平面极点数P=1Nyquist曲线求解命令如下;sys=zpk(-10,1,-3,1)nyquist(sys)验证上述系统稳定性Sys2=feedback(sys,1,-1)Step(sys2)附例1 2：一单位反馈系统，其开环传递函数试用奈氏判据判断系统的稳定性。解：左半

21、平面极点数P0，由命令sys=tf(10,1 1,outputdelay,0.5)nyquist(sys)知N不等于0，所以系统不稳定。验证上述系统稳定性num0,den0=pade(0.5,5);num1=10;den1=1,1;num=conv(num0,num1);den=conv(den0,den1);sys0=tf(num,den);sys1=feedback(sys0,1,-1);step(sys1)三、对数频率特性图（波特图）三、对数频率特性图（波特图）u包括对数幅频特性图和对数相频特性图。横坐标为频率lgw分度；单位rad/s,对数幅频特性图纵坐标以20lgA(w)线性分度,单

22、位是dB，对数相频特性图按相角线性分度，单位为度。对数频率稳定判据:设P为开环系统正实部的极点数,反馈控制系统稳定的充要条件是:(c)不等于(2k+1).相频特性曲线穿越(2k+1)线的次数N=N+-N-.满足: Z=P-2Nbode (sys)：绘制系统sys的波特图bode（sys, w1, w2）：根据给定的最小最大频率范围绘制系统sys的伯德图。0w1w2。bode(sys，w)：根据给定的频率向量w来绘制系统sys的伯德图。1、bode三 函数的用法：波特图（续）波特图（续） mag,pha,w=bode(sys) ：返回系统波特图相应的幅值mag、相角pha及角频率点w向量。相角以

23、度为单位，幅值可转换为分贝单位：MAGdb=20log10(mag)。 mag,pha= bode(sys) ：只是返回幅值与相角的向量，角频率向量由系统自动生成。 mag,pha= bode(sys, w)：根据给定的角频率向量w，返回幅值与相角的向量。2. margin函数的用法函数的用法 使用margin命令可方便求取幅值稳定裕度、相角稳定裕度、幅值穿越频率 wc ,相角穿越频率 wg ,具体使用格式如下：具体使用格式如下： margin（sys）：绘制系统sys的bode图，并显示幅值裕量、 相角裕量。margin(mag,phase)：绘制由mag和phase指定的bode图，并显示

24、显示幅值裕量、相角裕量。Gm,Pm,wcg,wcp=margin(sys)：返回系统的幅值裕度Gm，相角裕度Pm，相角穿越-180度频率wcg，幅值穿越0dB频率wcp(截止频率)。Gm,Pm,wcg,wcp=margin(mag,phase,w)注意：带输出变量引用时，margin函数不绘出Bode图曲线。其中幅值mag不是以dB为单位。margin函数的用法（续）函数的用法（续）附例13已知系统开环传递函数为:试绘制开环系统bode图,判别系统的稳定性.并求闭环系统的稳定裕度.解:开环系统bode图求解命令如下: sys=zpk(-10,1,-3,1); bode(sys)由图可知,从w=

25、0到正无穷,只有半次正穿越,故N=1/2,因此Z=P-2N=0,系统稳定.再求取闭环系统稳定裕度: sysb=feedback(sys,1,-1); margin(sysb)第第4节节 控制系统的根轨迹分析控制系统的根轨迹分析1、根轨迹：是指当开环系统某一参数某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在s平面上的轨迹。一般来说，这一参数选作开环系统的增益K，而在无零极点对消时，闭环系统特征方程的根就是闭环传递函数的极点。一、根轨迹分析方法的概念一、根轨迹分析方法的概念2、根轨迹增益、根轨迹增益当开环传递函数表示成零-极点形式时：根轨迹增益与系统开环放大系统的关系为：jnjimigpzKK1

26、1Kg称为系统的根轨迹增益。3.根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能有了根轨迹图，可以立即分析系统的各种性能。以开环传递函数为 的单位负反馈系统根轨迹图为例进行说明，如下图所示。sys=tf(4,1 2 0)rlocus(sys)根轨迹数据测量根轨迹数据测量 稳定性分析：当开环增益从零变到无穷时，上图的根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面，因此系统对所有的K值都是稳定的。 稳态性能分析：由图可见，开环系统在坐标原点有一个极点，所以系统是典型系统，因而根轨迹上的K值的2倍就是静态速度误差系Kv。如果给定了系统的稳态误差要求，则由根轨迹图就可以确定闭环极点位置的容许范围。（参考表5-2，P174） 动态性

27、能分析：由图可见，当时，所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，其单位阶跃响应为非周期过程。当K时，闭环系统的两个实数极点重合，系统为临界阻尼系统。当时，闭环系统为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量随K值的增大而加大。二、根轨迹分析函数二、根轨迹分析函数 通常来说，绘制系统的根轨迹是很繁琐的事情，因此在教科书中介绍的是一种按照一定规则进行绘制的概略根轨迹。在MATLAB中，专门提供了绘制根轨迹的有关函数。pzmap：绘制线性系统的零极点图rlocus：求系统根轨迹。rlocfind：可得分离点及对应根轨迹增益。1、零极点图绘制、零极点图绘制pzmap三函数用法如

28、下：pzmap（sys） 绘制系统sys的零极点图,极点用表示，零点用o表示。 pzmap(p,z)：根据系统已知的零极点列向量或行向量直接在s复平面上绘制出对应的零极点位置.p,z=pzmap(sys)：返回系统sys的极点向量和零点向量，而不在屏幕上绘制出零极点图。附例15：已知系统开环传递函数Gk(s)Kg(s+2)/s*(s-2)试绘制系统零极点分布图num=1 2;den=conv(1 0,1 -2);sys=tf(num,den) ; pzmap(sys); 2、根轨迹图绘制、根轨迹图绘制函数函数rlocus三三 用法如下：用法如下：rlocus（sys）,自动绘制根轨迹图,根据迹

29、增益从零到无穷大变化rlocus(sys，k),由指定根据迹增益向量k绘制sys的根轨迹图r,k=rlocus(sys) ：不绘出系统的根轨迹图,返回根轨迹增益向量k及与其对应闭环极点r,它有行length(den)-1 ，length(k)列，每列对应某个k值时的所有闭环极点。 r=rlocus(sys,k) ：由指定的 根轨迹增益向量k计算闭环极点。函数函数rlocus三三 用法（续）用法（续）附例16：已知系统传递函数模型G(s)=(2s+4)/8*s3+3s2+s求其根轨迹：num=2 4;den=8 3 1 0;sys=tf(num,den)rlocus(sys)r,k=rlocus

30、(sys);disp(r的维数)size(r)例题5-13num=1 1;den=conv(1 -1 0,1 4 16); %利用多项式相乘生成卷积积分sys=tf(num,den);P,Z=pzmap(sys) %求取系统零极点rlocus(sys) %绘制根轨迹例题5-13（续）绘制部分根轨迹num=1 1;den=conv(1 -1 0,1 4 16); %利用多项式相乘生成卷积积分sys=tf(num,den);K0:0.5:80;自定义根轨迹增益rlocus(sys,K) %绘制部分根轨迹3、rlocfind三函数三函数rlocfind三 函数用法如下：k,p=rlocfind(sy

31、s)k,p=rlocfind(num,den)由鼠标点取根轨迹上某点，该函数返回对应的根轨迹增益及闭环极点。rlocfind(sys)例例5-13续续num=1 1;den=conv(1 -1 0,1 4 16); sys=tf(num,den);K=0:0.5:80;%自定义根轨迹增益rlocus(sys,K) %绘制部分根轨迹K,p=rlocfind(sys)例例5-13续执行结果续执行结果Select a point in the graphics windowselected_point =p =附例17：已知系统开环传递函数为：如果闭环系统单位阶跃响应的最大超调量不超过15，试确定系统开环增益的取值范围，并求在