二面角的求法

1、二面角的求法作者:日期:二面角的几种求法1.引言在高中空间几何的问题中，如何去求解两个平面的二面角的问题对很多同学来说十分棘手。许多同学一遇到这种问题就比较头疼，特别是针对那些所给已知条件比较少的问题。例如：在求二面角的问题中，许多都是没有给出直观的二面角的平面角，这就要求同学们会作辅助线，同时，一些问题中还需要很高的计算能力。在历年的高考题中，很多都出现了求二面角的题目，如2010年的安徽卷（第18题）、2010年的浙江卷（第20题）、2010年的陕西卷（第18题）、2009年的山东卷（第18题）、2009年的安徽卷（第18题）等等。这就说明，二面角问题在高考中是一个热门的考点。因此，研究求

2、解二面角问题的方法，有很大的研究价值。2 .二面角及二面角的平面角的概念先来叙述一下中学教材中二面角的概念以及二面角的平面角的概念。（引）2 .1二面角的概念从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。3 .2二面角的平面角的概念如图1所示,在二面角l的棱l上任意取一点O,以点O为垂足,在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角图 13.求解二面角问题的几个难点在求解空间几何问题的时候，经常会遇到求二面角的问题，求此类问题的难点具体体现在以下三个方面：3.1需要添加辅助线从二面角的定义来

3、看，二面角的条件要求比较高，要求两条射线分别在两个半平面内且都垂直于这两个半平面的交线， 在一般的空间图形中很难直接发现满足这样条件的角0在这样的情况下只有借助添加辅助线等方法来解决问题，而添加辅助线是一个很难掌握的技巧。同时新添加的辅助线的长度以及它们与其余各条直线、各个平面所成的角度，还需要经过进一步计算才能够得到。这无形中给二面角的求解过程带来了很多困难。3.2线面关系隐藏的深在有些问题中，没有直接给出直线所成的角度，只给出了空间图形中的部分线段长度。这类问题，不仅要求答题者有很好的空间想象能力，还要求他们能根据长度求角度。3.3计算量巨大一般是根据长度求角度，这就会用到余弦公式，余弦公

4、式是一个计算量十分大的公式。有些问题还可以用空间坐标系的向量间的角度来解决，同样也需要做很多很复杂的计算。4.二面角问题的求解方法对不同的求二面角的问题，可以用不同的方法来解决。总体上来讲，可以分为四种方法，分别是：概念法、空间变换法、空间向量法、另类方法。4.1概念法顾名思义，概念法指的是利用概念直接解答问题。例1:如图2所示，在四面体ABCD中，ACAB1,CDBD2,AD3。求而角ABCD的大小。分析：四面体ABCD的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长度求角度的问题。解：设线段BC的中点是E,接AE和DE是平面ABC和平面DBC的交线。同样,例2也是用概念法直接解决问题的。例2

5、:如图3所示，ABCD是正方形，PB平面ABCD,PBABAPDC的大小。由于ADCD,PAPC,所以三角形PAD三角形PCD。即AE根据已知的条件ACAB1,CDBD2,可以知道AEBC且DEBC。又BC根据定义，可以得出：AED即为二面角ABCD的平面角。可以求出AE,DE向，并且AD23。根据余弦定理知:AE2DE2AD2cosAED2AEDE,32(/3)2327即二面角ABCD的大小为7arccos。4PD。由于CEPD,所以AEC即为所求的二面角的大小。分析：过点C作辅助线CA垂直于DE,作CB垂直于平面于点B。4.2.1补角法通过计算可以得到：PCPD1,在三角形PCD中可以计算

6、得到CE二6。由此可以得到：AE3CE（，又AC由余弦定理:cosAECAECEAC2AEAC223_223即：AEC4.2空间变换法空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法。卜面用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。例3:如图4所示，现有平面和平面，它们的交线是直线DE,点F在平面内,直接求解二面角FDEC的大小是有些困难的，那么可以先求解二面角CDEB。因为二面角FDEC与二面角CDEB是互补的关系，现在先求出而角CDEB后，二面角FDEC的大小就很容易计算了。图 4点C在平面内。4.2.2三垂线法由于CADE,CB平面。那么根据三垂线定理可以得知：CA在

7、平面内的射影AB垂直于两平面的交线DE。即ACDE且ABDE,根据定义可知,二面角CDEB的大小即为CAB的大小。那么二面角FDEC的大小可以用补角法得到。4.2.3 切平面法切面法的基本思想是做一个垂面，它垂直于两个平面的交线，在所得的图形中就可以很容易观察与计算二面角。如图4所示，可以作平面CAB垂直于两个平面的交线DE,平面CAB与平面的交线是AC,平面CAB与平面的交线是AB,根据二面角的定义知CAB即为所求二面角的补角，根据补角法，可以求出二面角FDEC的大小。下面用例4来详细讲解一下切平面法。例4:在图5中，PA平面ABC,ABC90o。 其中PAAB1,PBBC&。E是P

8、C的中点，DEPC。 求二面角CBDE的大小。图 5解：由于E是PC的中点，且PBC是等腰三角形，那么BDPC又DEPC,可以推出：PC平面BDE。所以：PCBD。又PA平面ABC,则BDPA,所以BD平面PAC可以得出：平面PAC是平面CBD和平面EBD的公共切平面。由此，根据切平面法知CDE即为所求二面角的平面角由于於DECPA,那么:CE123CE1彳3CDCP2,DEPAr1CA33CA33111又：CEPC-VBP2BC27221。222在三角形CDE中根据余弦定理可知：那么CDE60o即求二面角CBDE的大小是60o4.2.4 补形法以上讲解了三垂线法、补角法和垂面法三种空间变换法

9、，以下通过一个单独的例子来讲解第四种方法一一补形法。BA平行于CD,AB的长度是CD的一半，且BAAD,BAPA,那cosCDECD2DE2CE22CDDE41,21一1_3_3_3232342333例5:在图6中，PA平面ABCD,四边形ABCD是个直角梯形，其中PA1,AD1,CD11,AB-0BADADC90。求平面PAD与平面PBC所成一面2角的大小。解：延长直线DA与BC,它们相交于点E,连接PE。由题意可知,图 6么BA平面PED,CD平面PED,AE1,PE720在三角形PED中，PDPE72,EDAEAD2。那么根据勾股定理可知DPE90,即DPPE。CD平面PED,DPPE,

10、且DP是CP在平面PED内的射影，根据三垂线定理知：CPPE0又DPPE,即CPD即为所求的二面角。在RtCDP中，CD1,PD短,PC有。那么cosCPD036即：CPDarccos3所以平面PAD与平面PBC所成二面角的大小是arccos03在有些问题中，所给的图形不是能够很好观测到二面角的平面角，可以通过补形的方法来观测二面角的平面角。在例5中，很好的运用了补形法和三垂线法来解决问题，这也告诉我们，可以在一个问题中使用多种方法来达到解决问题目的。4.3空间向量法4.4.1 二面角和两平面的夹角之间的关系两平面的夹角有两个，它们之间互补，取它们中角度较小的为1,那么1的取值范围是（0,一。

11、而二面角是指两个特定的半平面所组成的图形，二面角2的取值范围是2（0,）。但是我们可以利用两个平面的夹角来求二面角,它们之间的关系具体如下：如果02,21。（1）2如果一2,21。（2）2因此，在用空间向量法求解二面角的时候，必须先判断二面角的大小是锐角还是钝角，然后由以上发现的规律来求解。当然，前提是先求出两平面的夹角。4.3.2 平面法向量的求法两平面间的夹角一般根据两平面的法向量来求。如果平面方程已知，平面的法向量可以直接给出，如果平面方程未知，法向量可以根据平面内的三个点的坐标求出来。如图7所示：例6:如图7所示在平面内，已知三点X(xi,yi,Zi),Y(X2,y2,Z2),Z(x3

12、,y3,z3)0卜面求解平面的一个法向量解法求平面的法向量的大小，可以用该平面内的两个向量的矢性积来求，即:可以求出:解法二:将点X,Y,Z的坐标分别代入方程可以解出系数A,B,C,Do在此特别强调一下，三个点带入方程后得到的应该是一个四元三次方程，可能无解,如果有解，那么一定有无数多个解。可以通过解方程，将A,B,C全部用D表示,这样就可以得到一个形如2DX5Dy4DZD0的方程，可以将新得到的方程两边同时除以D(D一定不等于0,否则A=BCD0,方程无意义)，那么就可以得到平面的方程2X5y4Zi0X2X,y2yX3Xi,y3yi,Z3Z3V2yiZ2V3yiZ34Z3Z2Z3ZiX2Xi

13、Z3X3XiX2X3XiV2XiV3yiyi设平面的方程为AXByCZD0得到了平面的一般方程，即得平面的法向量坐标nA,B,Co解法三：在图7中，由所给的信息，可以求出向量、T 的大小。设平面的一个法向量nx,y,zo若 Tai,h,q,xZa2,dc。由n-0,n/0可以得到：aixbiyCiZ0a2xb2yC2Z0可以求解出x,y,z的关系。此方程一定有无数多个解，可以将x,y用z表示。如2z,4z,z,由此可知向量#2,4,1是平面的一个法向量。4.3.3 两平面夹角的公式两平面相交时，定义它们之间的夹角为它们法向量的夹角为d,N，其中*A,Bi,Ci,i1,2。于是：IIW周IAA2

14、BiB2CiC2C0SI相向.A2Bi2Ci21B2C；4. 3.4 两平面的夹角转化成二面角利用上述方法，先求出两平面的法向量，再求两平面的夹角,最后可以根据(1)、(2)求出二面角的大小。例7:如图8所示， 四边形ABCD是一个矩形， 点E和点F分别在边AD和边AB上,其中AEAFED4,FB6。现在以直线EF为折痕，将三角形AEF折起，得到三角形AEF,同时使得平面AEF与底面ABCD垂直。求二面角AFBC的大小。A(0,0,0),A(2,2,2扬，C(10,8,0),F(4,0,0),献(2,2,2两,由于AEAF,所以kJ又平面AEF与底面ABCD垂直。即二面角AFBC的大小为arc

15、cos34.4另类方法是线段EF16,0,0)o即H(0,0,2后是底面ABCD的一个法向量。(x,y,z)是平面AFB的一个法向量。那么U0,那么:2x2y6x2.2z002,z/，即n0,2,5/2)。的中点，连接AH。可以得到:所以:平面ABCD。x0,ycos3比较常用的另类方法是四面体体积法、角度法和面积摄影法。4. 4.1 四面体体积法例8:如图9所示，在空间四面体ABCD中，四面体的所有棱长都是1,ABDC的大小。AE即为所求二面角。（也可以推导出当四面体不是正四面体时AEO同样是所求的二面可以求出：sin22,即：arcsin22033当四面体ABCD不是正四面体时也可以用这种

16、方法求解，只需要知道体积、两个面的面积、公共边的长度就可以解出二面角的大小了。求二面角AOo由于四面体ABCD是一个正四面体，AEO连接直线EO,AEO,sin正四面体ABCD的棱长是1,可以求出正四面体ABCD的体积是121一一一VABCDAO|SBCD3AOSAESBCD(|BD|AE|)3BD2sinSBCDSABD3BD根据已知条件可知：VABCD2，BD1,SABD12SJSBCD4BD于点E,分析:4.4.2 角度法例9:如图10所示,以点A为顶点的三条射线分别是AB、AC、AD,其中AB、AD的夹角是1,AB、AC的夹角是2,AC、AD的夹角是3。现在要求二面角CABD的大小。根

17、据已知条件可以得到：BDABtan1,AD胞-cos1BCABtan2,AC-LABcos2又CD|2AC2|AD22|ACADcos3的|ABAB将AD|J、AC带入得到：cos1cos22AB2tan1tan分析：现在设CBAB,并且DBAB（由于AB、AC、AD的长度没有给出，这样的假设是合理可行的）,那么CBD即为所求二面角的大小。2CD21AB(cos12cos22cos3cos1cos-)图 10在三角形BCD中,2222I2112cos3ABtan1ABtan2AB(22)cos1cos2cos1cos2cosCBD|BC|2|BD2BC2CDBD21212cos3(tani-)

18、(tan2)cos1cos2cos1cos22tan1tan22cos3/311cos1cos22tan1tan2cos3cos1cos2cos1cos2cos3cos1cos2即：CBDarccoscos1cos2通过这种方法，可以在没有任何长度条件的情况下求解出二面角的大小，因此，该方法是一个比较特殊实用的方法。4.4.3 面积射影法例10:如图11所示，在空间直角坐标系OXYZ中，点A、B、C分别在X、丫、Z轴上，现在要求二面角OABC的大小。图 11分析：作CDAB并且CD与AB相交于点D。连接OD。根据三垂线定理可知：ODAB。即：CDO即为所求二面角。1在CAB中，SCAB/DAB。1在OAB中，SOAB-ODAB。并且OD|CD|cosoOAB是CAB在平面XOY内的射影。由以上的条件可以得到用另外一种简便语言表示就是Sb角形arccosS寸影三角形5.小结首先要指出的是给出的3种另类方法，如果给出的问题条件特殊，可以用四面体体积法、角度法或者面积射影法来解决，使用3种另类方法无疑是最简单的方法，直接套用公式即可解出结果。如果遇到的问题不能用另类方法解决，则尽量运用概念法和几何法来解决，因为这两种方法的计算量小，不容易出错。但是很多问题所给的条件不够的，很多图形都只给出了部分条件，其他条件需要推导计算出来，因此，要灵活运用概念法、三垂线法、割补