二次求导在解题中的妙用

1、二次求导在解题中的妙用sinx典例右函数f(x)=,0<xi<X2<兀设a=f(xi),b=f(X2),试比较a,b的大小.x思路点拨此题可联想到研究函数£优)=S口2在(0兀的单调性.函数图象虽然可以直观地反映出x两个变量之间的变化规律，但大多数复合的函数作图困难较大.导数的建立拓展了应用图象解题的空间.导数这个强有力的工具对函数单调性的研究提供了简单、程序化的方法，具有很强的可操作性.当f(x)>0时，函数f(x)单调递增；当f(x)<0时，函数f(x)单调递减.方法演示宿rh、sinx/口足,、xcosxsinx解：由f(x)=,得f(x)=2,x

2、x设g(x)=xcosxsinx,贝Ug(x)=xsinx+cosxcosx=xsinx.0<x<Tt,.g'(x)<0,即函数g(x)在(0,兀止是减函数.g(x)<g(0)=0,因此f(x)<0,故函数f(x)在(0,兀是减函数，当0<xi<x2<兀,有f(xi)>f(x2),即a>b.解题师说从本题解答来看，为了得到f(x)的单调性，须判断f(x)的符号，而f'(x)=xcosx7sinxx的分母为正，只需判断分子xcosx-sinx的符号，但很难直接判断，故可通过二次求导，判断出一次导函数的符号，并最终解决问题

3、.应用体验1,已知函数f(x)满足f(x)=f(1)e、Tf(0)x+；x2,求f(x)的解析式及单调区间.解：因为f(x)=f(1)ex1f(0)x+；x2,所以f(x)=f(1)ex1f(0)+x.令x=1,得f(0)=1.、一1c所以f(x)=f(1)ex1一x+&x2,所以f(0)=f(1)eT=1,解得f(1)=e.所以f(x)=exx+；x2.设g(x)=f(x)=ex1+x,则g(x)=ex+1>0,所以y=g(x)在R上单调递增.因为f(0)=0,所以f(x)>0=f(0)?x>0,f(x)<0=f(0)?x<0.所以f(x)的解析式为f(

4、x)=exx+$2,且单调递增区间为(0,+8),单调递减区间为(8,0).f利用二次求导求函数的极值或参数的范围>¥(理)已知函数f(x)=ln(ax+1)+x3x2ax.2(1)若x=3为y=f(x)的极值点，求头数a的值；(2)若y=f(x)在1,+oo)上为增函数，求实数a的取值范围；(3)若a=1时，方程f(1x)(1*)3=§有实根，求实数b的取值范围.x.方法演示a2解：(1)f(x)=+3x2xa.ax+1一a44所以:;+-a=0,解得a=0.；a+132332当a=0时，f(x)=x(3x2),从而x=;为y=f(x)的极值点.3(2)因为f(x)

5、在1,+8)上为增函数，所以f(x)=a+3x2-2x-aax+1x3ax?+(32ax(a2+21.1一,»、=-'"0在1,+8)上恒成立.ax+1当a=0时，f'(x)=x(3x2),此时f(x)在1,+8)上为增函数恒成立，故a=0符合题意；当aw0时，由ax+1>0对x>1恒成立，知a>0.所以3ax2+(32a)x(a2+2)>0对xC1,+8)恒成立.令g(x)=3ax2+(3-2a)x-(a2+2),其对称轴为x=1因为a>0,所以1$<1,32a32a3所以g(x)在1,+8)上为增函数，所以只需g(1)

6、R0即可，即一a2+a+1封0,解得0<aw"25.综上，实数a的取值范围为0n芈.(3)由已知得，x>0,b=x(lnx+x-x2)=xlnx+x2x3.令g(x)=xlnx+x2x3,则g(x)=Inx+1+2x3x2.2一'16x2x1令h(x)=g(x),则h(x)=，+26x=-xx当0Vx<1465时,h(x)>0,函数h(x)=g(x)在0中7；递增;，函数h(x)=g又g'(1)=0,存在xo,1,；使得g(x0)=0.当0Vx<xo时，g(x)<0,.函数g(x)在(0,x°)上递减;当x0<x&l

7、t;1时，g(x)>0,.函数g(x)在(x°,1)上递增；当x>1时，g(x)<0,.函数g(x)在(1,十0°)上递减.1、4/又当x一十00时，g(x)一OO.又g(x)=xlnx+x2x3=x(lnx+xx2)<x(lnx+1一一当x-0时，lnx+4<0,则g(x)<0,且g(1)=0,，b的取值范围为(一8,0.解题师说本题从题目形式来看，是极其常规的一道导数考题，第(3)问要求参数b的范围问题，实际上是求g(x)=x(lnx+xx2)极值问题，问题是g(x)=lnx+1+2x3x2=0这个方程求解不易，这时我们可以尝试对h(

8、x)=g'(x)再一次求导并解决问题.所以当导数值等于0这个方程求解有困难，考虑用二次求导尝试不失为一种妙法.(文)已知函数f(x)=exxlnx,g(x)=extx2+x,tR,其中e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程；(2)若g(x)>f(x)对任意的xC(0,+8)恒成立，求t的取值范围.方法演示解：(1)由f(x)=exxlnx,知f(x)=elnx1,则f(1)=e-1,而f(1)=e,则所求切线方程为y-e=(e-1)(x-1),即y=(e1)x+1.(2).f(x)=exxlnx,g(x)=extx2+x,tCR,g(x)&g

9、t;f(x)对任意的xC(0,十°°)恒成立等价于extx2+xex+xlnx>0对任意的xe(0,+8)恒成立，ex+xex+xlnx即t<2对任意的xC(0,+8)恒成立.x令F(x)=ex+xex+xlnx则F(x)=xex+ex2exxlnx+e上lnx),xxx则G(x)=ex-2(xeYe11xx令G(x)=ex+e组一lnx,xefx1+exV>0对任意的x(0,+8)恒成立.x二.G(x)=ex+e组lnx在(0,+00)上单调递增，且G(1)=0,x当xC(0,1)时，G(x)V0,当xC(1,+8)时，G(x)>0,即当xC(0,

10、1)时，F(x)<0,当xC(1,+oo)时，F(x)>0,F(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，F(x)>F(1)=1,tw1,即t的取值范围是(一8,1,解题师说本题从题目形式来看，是极其常规的一道导数考题，第(2)问要求参数t的范围问题，ex+xex+xlnx_1x2ex头际上是求F(x)=2极值问题，问题是F'(x)=Fe+elnx这个万程xxx求解不易，这时我们可以尝试对G(x)=F(x)再一次求导并解决问题.所以当导数值等于0这个方程求解有困难，考虑用二次求导尝试不失为一种妙法.应用体验2.设kCR,函数f(x)=ex(1+x+kx2)

11、(x>0).(1)若k=1,求函数f(x)的导函数f(x)的极小值；(2)若对任意的t>0,存在s>0,使得当xC(0,s)时，都有f(x)<tx2,求实数k的取值范围.解：(1)当k=1时，函数f(x)=ex(1+x+x2),则f(x)的导数f(x)=ex-(1+2x),令g(x)=f(x),则g(x)=ex-2,当0<x<ln2时，g'(x)<0;当x>ln2时，g(x)>0,从而f'(x)在(0,In2)上递减，在(ln25十)上递增.故导数f(x)的极小值为f(ln2)=1-2ln2.(2)对任意的t>0,记函

12、数F(x)=f(x)tx2=ex1+x+(k+t)x2,x>0,根据题意，存在s>0,使得当xC(0,s)时，F(x)<0.易得F(x)的导数F(x)=ex-1+2(k+t)x,令h(x)=F(x),则h(x)=ex-2(k+t).若h(x)>0,注意到h(x)在(0,s)上递增，故当xC(0,s)时，h(x)>h(0)>0,于是F(x)在(0,s)上递增，则当xC(0,s)时，F(x)>F(0)=0,从而F(x)在(0,s)上递增.故当xC(0,s)时，F(x)>F(0)=0,与已知矛盾；若h'(x)<0,因为h'(x)在

13、(0,s)上连续且递增，故存在s>0,使得当xC(0,s),h'(x)<0,从而F(x)在(0,s)上递减，于是当xC(0,s)时，F(x)<F(0)=0,因此F(x)在(0,s)上递减.故当xC(0,s)时，F(x)<F(0)=0,满足已知条件.综上所述，对任意的t>0,都有h(x)<0,1所以12(k+t)<0,即k>1-t,故实数k的取值范围为gt,十°0；1rmi利用二次求导证明不等式3典例证明当x>0时，sinx>x寺方法演示3证明：令f(x)=sinxx+,62贝Uf(x)=cosx-1+)所以f&quo

14、t;(x)=sinx+x.易知当x>0时,sinx<x,所以在(0,+°°)上f(x)>0,所以f'(x)在(0,+8)上单调递增.又f(0)=0,所以在(0,+00)有f(x)>f(0)=0,所以f(x)在(0,+8)上单调递增.3 x故当x>0时，f(x)=sinx-x+->f(0)=0.3所以sinx>x-会仪>0).解题师说本题是应用导数证明不等式.证明的关键在于构造适当的函数，然后在相应区间上用二次求导的方法判定导数的符号，得到导函数的单调性，再利用单调性证明不等式.应用体验3.(2018西安八校联考)已知函

15、数f(x)=mex-lnx-1.(1)当m=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；(2)当m>1时，证明：f(x)>1.1解：(1)当m=0时，f(x)=lnx1,则f(x)=，x所以f(1)=-1,f(1)=-1.所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-(-1)=-(x-1),即x+y=0.(2)证明：当m>1时，f(x)=mexlnx1>exInx1.要证f(x)>1,只需证exInx2>0.设g(x)=exInx2,则g(x)=ex1.x设h(x)=ex1,则h(x)=ex+12>0.xx,1.所以函数h(x)=

16、g(x)=ex在(0,+00)上单倜递增.xq,且x°e1因为g11re-2<0,g(1)=e-1>0,所以函数g(x)=ex1在(0,+8)上有唯一零点x1因为g(xq)=0,所以exo=-,即lnx0=x°.xq当xC(0,xq)时，g(x)<0；当xC(xo,+8)时，g(x)>0,所以当x=x0时，g(x)取得极小值也是最小值g(xo).1故g(x)>g(xo)=exolnx02=+x°2>0.xq综上可知，当m>1时，f(x)>1.升级增分训练1.(理)对任意实数x,证明不等式1+xln(x+，1+x2&q

17、uot;小+x2.证明：设f(x)=1+xln(x+.1+x2)5+x2,xf(x)=ln(x+1+x2)+-x+1+x2r-2=ln(x+,1+x2)1+x设h(x)=f(x),1+则h(x)=x+1x1+x2,.J1+x2+x+x，1+x2(x+小+x21一=匚2>0,1+x所以f'(x)在(00,+8)上是增函数.由f(x)=0,即ln(x+x2)=0,得x=0.所以当x<0时，f(x)<0,则f(x)在(一8,0)上为减函数;当x>0时，f(x)>0,则f(x)在(0,+8)上为增函数.故f(x)在x=0处有极小值，所以f(x)>f(0)=0

18、,即1+xln(x+41+x2)x>y1+x2.(文)已知函数f(x)=(x+1)lnx-ax,当x°C(1,+°o)时,函数f(x)的图象在点(x。，f(x。)，、，1处的切线方程为y=1x-e.e(1)求a的值;(2)求证：函数f(x)在定义域内单调递增.解：(1)由题意，得f(x)=Inx+1+1a,x所以函数f(x)的图象在点(x°,f(x。)处的切线方程为y-f(x0)=f(x°)(xx0),xx0),即y-(x0+1)lnx0+ax0=lnx0+1+1-a即y=nx0+£+1ax+Inx()x()1,所以lnx0+-+1a&q

19、uot;,x0、x。lnx°+1=e.1x1令g(x)=x-lnx+1,则g(x)=1x.x.当xC(1,+8)时，g(x)>0,故当xC(1,+8)时，g(x)单调递增.又因为g(e)=e,所以x0=e,将x0=e代入lnx0+-1+1a=1,得a=2.x0e1(2)证明：由a=2,彳#f(x)=lnx+x-1(x>0).1令h(x)=lnx+:x，11x1则h(x)=x-x2=-x5-.当xC(0,1)时，h(x)<0;当xC(1,+8)时，h(x)>0,故当xC(0,1)时，h(x)单调递减；当xC(1,+8)时，h(x)单调递增，故h(x)>h(

20、1)=1.因此当xC(0,+8)时，f(x)=h(x)-1>0,当且仅当x=1时，f(x)=0.所以f(x)在定义域内单调递增.2 .已知函数f(x)=exax2bx1,其中a,bCR,e=2.71828为自然对数的底数.设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值.解：由f(x)=exax2bx1,得g(x)=f(x)=ex2axb.所以g(x)=ex2a因此,当xC0,1时，g(x)C12a,e-2a.当aw时，g(x)>0,所以g(x)在0,1上单调递增，因此g(x)在0,1上的最小值是g(0)=1b;当a奇时，g(x)<0,所以g(x)在0,

21、1上单调递减，因此g(x)在0,1上的最小值是g(1)=e2ab;,1e,当2<a<e时，令g(x)=0,得x=In2aC(0,1).当g(x)<0时，0Wx<ln2a;当g(x)>0时，ln2a<x<1,所以函数g(x)在区间0,ln2a)上单调递减，在区间(ln2a,1上单调递增，于是g(x)在0,1上的最小值是g(ln2a)=2a2aln2ab.综上所述，当aw；时，g(x)在0,1上的最小值是g(0)=1-b;当ave时，g(x)在0,1上的最小值是g(ln2a)=2a2aln2ab;当a>：时，g(x)在0,1上的最小值是g(1)=e2

22、a一b.3,已知函数F(x)=ex+sinx-ax,当x>0时，函数y=F(x)的图象恒在y=F(x)的图象上方，求实数a的取值范围.解：设(j)(x)=F(x)F(x)=exex+2sinx2ax.贝U/(x)=ex+ex+2cosx2a.设S(x)=4(x)=exex2sinx.S(x)=ex+ex2cosx>0在x>0时恒成立， 函数S(x)在0,+8)上单调递增，S(x)>S(0)=0在xC0,+8)时恒成立，因此函数/(x)在0,+8)上单调递增， 力(x)>(0)=4-2a在xC0,+8)时恒成立.当aW2时，-(x)>0,.Mx)在0,+8)单调递增,即Mx"M0)=0.故aW2时F(x)>F(x)恒成立.当a>2时，-(x)<0,又丁人(x)