云南昆明2015届高三10月摸底调研数学文试题版含解析

1、云南省昆明一中2015届高三(上)摸底数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.设集合A=xCZ|x2v4,B=x|x>1,则AfB=()A.0,1B.-1,0C.-1,0,1D.0,1,2考点：交集及其运算.专题：集合.分析：先求出x2V4的解集，再求出集合A,由交集的运算求出ACB.解答：解：由x2<4得，2vx<2,则集合A=xZ|x2<4=-1,0,1,又B=x|x>-1,则AfB=0,1,故选：A.点评：本题考查了交集及其运算，注意元素的取值范围，属于基础题.-3+i2 .在复平面内，复数广对应的点的坐标为

2、()4丁XA.(1,1)B,(-1,1)C.(1,T)D.(-1,T)考点：复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义.专题：计算题.分析：利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的哥运算性质，化简复数z为-1+i,由此可得它对应的点的坐标.解答：解：.复数七二一3+1=>27=.5+5：1=_1+故它对应的点的坐z2+i(2+i)(2-i)5标为(1,-1),故选B.点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的哥运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题.1-3 .函数y=的最小正周期是(AB.兀C.2TtD.4%2考点：三角函数的周期性及其求法.专题：

3、三角函数的图像与性质.分析：原式可以化简为y=tanx,故由正切函数的图象和性质可知最小正周期是兀.2a1-cos2s1(cosx-sinx),，一解答:解:y=:=；=一.=tanx.sin2x2sinxcosx2sinxcosx故由正切函数的图象和性质可知最小正周期是兀故选：B.点评：本题主要考察三角函数的周期性及其求法，属于基础题.224.双曲线C:=1（a>0,b>0）的一条渐近线与直线x-2y+1=0垂直，则双曲线a2b2C的离心率为（）A.亚B.V3C.2D.正2考点：双曲线的简单性质.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：分析：由题意可判断出直线X-2y+1=0与渐

4、近线y=2x垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得出.解答：解：.双曲线/=1的渐近线方程为y=苴x.212aab日又直线x+2y-1=0可化为y=lx+l,可得斜率为1.22222,双曲线一二二1的一条渐近线与直线x+2y-1=0垂直，2ab工包二一1,得到旦2.2 aa双曲的离心率e二二=J+（k）=Vl+4=/53 Va故选：D.点评：熟练掌握双曲线的渐近线、相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式是解题的关键.5.下列函数中，既是偶函数又在（0,+8）上单调递增的函数是（）2A.y=|x+1|B.y=JC.y=2|x|D.y=log2|x|考点：函数奇

5、偶性的判断；函数单调性的判断与证明.专题：函数的性质及应用.分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系解答：解：A.函数y=|x+1|为非奇非偶函数，不满足条件.B.函数的定义域为0,+8）,为非奇非偶函数，不满足条件.C.函数为偶函数，当x>0时，y=2|x|=y=2x,为减函数，不满足条件.D.y=log2|x|是偶函数又在（0,+°°）上单调递增，满足条件.故选：D点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的性质.1-y+l>06.设x,y满足约束条件，式+y-1>0,贝（Jz=2x3y的最小值是（B. -6C. -5D. -3考点

6、：简单线性规划.分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可.解答：解：由z=2x-3y得y=2戈33作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC):,过点C时，直线y=?K截距最大,3333平移直线y=2戈-2,由图象可知当直线33此时z最小，由产3,解得y3,即C(3,x-yl=O(y=4代入目标函数z=2x-3y,得z=2X3-3>4=612=-6.，目标函数z=2x-3y的最小值是-6.点评：本题主要考查线性规划的基本应用,用数形结合是解决问题的基本方法.故选：B.利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利7 .已知关于x的方程sinx+Jcosx-

7、a=0有实数解，则实数a的取值范围是()A.-2,2B.(-2,2)C.-1,1D.-1-V3,1+V由考点：两角和与差的正弦函数.专题：计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质.分析：关于x的方程sinx+Jcosxa=0有解，即a=sinx+，cosx=2sin(x+)有解，结合3正弦函数的值域可得a的范围.解答：解：关于x的方程sinx+J5cosxa=0有解，即a=sinx+3cosx=2sin(x+-)有解，3由于x为实数，则2sin(x+)q-2,2,3故有-2Q磴,故选A.点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、正弦函数的值域，属于中档题.8 .在必BC中，点D为BC的中点，

8、若AB=加，AC=3,贝UBC?AD=（）A.1B.2C.3D.4考点：平面向量数量积的运算；余弦定理.专题：平面向量及应用.分析：利用三角形中线的性质将说和前分别用靛，寂;表示，然后进行向量的模的运算即可.解答：解：因为在/ABC中，点D为BC的中点，所以'.：，：1-口，因为AB=，AC=3,所以BC?AD=/（AC+AB）（AC-AB）4（AC-AB）x32-（TF）勺=2；www故选B.点评：本题考查了向量的三角形法则的运用以及向量的乘法的计算，运用了向量的平方与其模的平方相等使问题得到解决.9.执行如图的程序框图，如果输入的x,y,N的值分别为1,2,3,则输出的S=（A.2

9、7B.81C.99D.577考点：程序框图.专题：算法和程序框图.分析：执行程序框图，写出每次循环得到的x,y,S,k的值，当k=3时满足条件k小，输出S的值为27.解答：解：执行程序框图，有x=1,y=2,N=3,k=1x=5,y=4,S=9,k=2;不满足条件k小，有x=13,y=14,S=27,k=3;满足条件k小，输出S的值为27.故选：A.点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题.10,若函数f(x)=ax2-lnx在(0,1上存在唯一零点，则实数a的取值范围是()A.0,2eB.0,_XC.C、(-巴1D.(一巴02e考点：函数零点的判定定理.专题：函数的性质及应用.分析：由

10、f(x)=ax2-lnx=0,得ax2=inx,作出函数g(x)=ax2和m(x)=lnx的图象，即可得到结论.解答：解：由f(x)=ax2-lnx=0,得ax2=inx,设g(x)=ax2和m(x)=lnx,若a=0,则g(x)和m(x)只有一个交点，满足条件，若a>0,当xC(0,1,g(x)>0,m(x)硝，此时两个函数没有交点，若av0,作出函数g(x)=ax2和m(x)=lnx的图象，此时g(x)和m(x)只有一个交点，满足条件，综上a4，故选：D点评：本题主要考查函数零点的判断和应用，根据函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的图象问题是解决本题的关键.11.设抛物线C

11、:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点，以F为圆心且经过点A的圆与L交于B,D两点，若/ABD=90°,|AF|=2,则p=()A.1B.V3C.2D.遥考点：抛物线的简单性质.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：设准线与x轴交于E,由题意，|AF|=|BF|=|AB|=2,ZABF为等边三角形，求出|EF|=2,即可得出结论.解答：解：设准线与x轴交于E,由题意，|AF|=|BF|=|AB|=2,ABF为等边三角形.zFBD=30°,.|EF|=2,即p=2,故选：C.点评：本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，比较基础.12 .

12、如图，网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体体积的最小值等于（）A.36B.匹C,18D,名考点：由三视图求面积、体积.专题：计算题；空间位置关系与距离.分析：由三视图知：几何体体积的最小时，几何体是四棱锥与正方体的组合体，且正方体的棱长为3,四棱锥的底面为正方形，边长为3,高为3,即可求出几何体体积的最小值.解答：解：由三视图知：几何体体积的最小时，几何体是四棱锥与正方体的组合体，且正方体的棱长为3,四棱锥的底面为正方形，边长为3,高为3.几何体的体积的最小值V=3>3+-i乂3乂3乂3=18.故选：C.点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三

13、视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键.二、填空题：本大题4小题，每小题5分13 .现有3本不同的语文书，2本不同的数学书，若从这5本书中一次任取2本，则取出的书都是语文书的概率为三.10考点：古典概型及其概率计算公式.专题：计算题；概率与统计.分析：确定从这5本书中一次任取2本，共有基本事件C2=10个，取出的书都是语文书，基U本事件有3个，即可得出结论.解答：解：现有3本不同的语文书，2本不同的数学书，若从这5本书中一次任取2本，共有基本事件d=1。个，取出的书都是语文书，基本事件有3个，.取出的书都是语文书的概率为二.10故答案为：三.10点评：本题考查等可能事件的概率计算，涉及

14、排列、组合的应用，比较基础.14 .甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话.事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是甲考点：进行简单的合情推理.专题：探究型；推理和证明.分析：利用反证法，即可得出结论.解答：解：假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；故答案为：甲.点评：本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础.15 .已知直三棱柱ABC-AlBlCl中，AAi=6,AB=4,BC=2,ZABC=6

15、0°,若该三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为52兀.考点：球的体积和表面积.专题：计算题；空间位置关系与距离.分析：由余弦定理可得AC,利用正弦定理求出ABC的外接圆的半径，利用勾股定理求出球O的半径，即可求出球O的表面积.解答：解：.AB=4,BC=2,ZABC=60°,.由余弦定理可得ac=16+4-2X4X2X1=2V3,设9BC的外接圆的半径为r,则2r=4,sin60°.r=2,-AAi=6,.,球o的半径R=d诟=、/!豆，球O的表面积为4兀13=52兀.故答案为：527t.点评：本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是

16、关键.16.已知在必BC中，C=,AB=6,则ZABC面积的最大值是_96考点：三角形的面积公式.专题：计算题；解三角形.分析：利用余弦定理，整理后可得a2+b"ab=36再利用基本不等式求出ab的最大值，然后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，即可求出三角形ABC面积的最大值.解答：解：由题意，由余弦定理可得36=a2+b2-2abco芸，.a2+b2-ab=36a2+b2或ab,.ab曷6.S=-absin4,23ABC面积的最大值是9M.故答案为：9、行.点评：本题考查余弦定理，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.三、简答题17. (12分)

17、已知各项为正数的等比数列an中，a2=2,a3?a5=64.(D求数列an的通项公式；(n)设bn=log2an,求数列bn的前n项和Tn.考点：数列的求和.专题：等差数列与等比数列.7遥二2分析：(I)由已知得4.2q，由此能求出等比数列an的通项公式.a】qa1q=64(n)由bn=log2an=n-1,能求出数列bn的前n项和Tn.解答：解：(D设等比数列an的首项为a1,公比为q,%"二2由已知得,24，己Iqaiq=64又,石门。，解得a1=1,q=2,.等比数列an的通项公式为an=2n1.(n)-bn=log2an=n-1,.Tn=0+1+2+3+(n1)(n-1)=2

18、点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用.18. (12分)四棱锥P-ABCD中底面ABCD是菱形，PA=PC,AC与BD交于点O.(1)求证：PB1AC;(2)若平面PAC呼面ABCD,ZABC=60°,PB=AB=2,求点O到平面PBC的距离.考点：点、线、面间的距离计算.专题：空间位置关系与距离.分析：(1)首先利用四棱锥P-ABCD中底面ABCD是菱形，PA=PC,AC与BD交于点O,得到：OP必C,ACdBD进一步彳#到：ACJfF面PBD,PB?平面PBD,所以：PB1AC(2)利用(1)的部分

19、结论：平面PACFF面ABCD,OP呼面ABCD,进一步求得：OP=J5AC=2«AO=CO=V3,利用VP-OBC=VO-PBC,求得：。到平面PBC的距离.解答：（1）证明：连结OP,因为四棱锥P-ABCD中底面ABCD是菱形，PA=PC,AC与BD交于点O所以：OP1AC,ACJBDACJfF面PBDPB?平面PBD所以：PB1AC（2）解：平面PAC呼面ABCD,OPJ面ABCD.zABC=60°,PB=AB=2.OP=二AC=27AO=CO=不.,进一步得到ZPBC为等边三角形所以：VpOBC=VOPBC设点O到平面PBC的距离为h点评：本题考查的知识要点：线线垂

20、直与线面垂直的转化，线面垂直的判定和性质，面面垂直的性质，利用几何体的体积相等等相关的运算问题.19. （12分）某校高一年级共有800名学生，其中男生480名，女生320名，在某次满分为100分的数学考试中，所有学生成绩在30分及30分以上，成绩在80分及80分以上”的学生视为优秀，现按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生，将他们的成绩按30,40）、40,50）、50,60）、60,70）、70,80）、80,90）、90,100）分成七组，得到的频率分布直方图如图所示：（D估计该年纪本次数学考试成绩的平均分（同一组中的数据用该区间中点值做代表）（n）请将下列2X2列联表补充完整，计算并

21、说明是否有95%的把握认为该校学生数学成绩优秀与性别有关数学成绩优秀数学成绩不优秀合计男生12女生合计100附:K2=n(ad-bc)&(a+b)(c+d)(a+c)Cb+d)n=a+b+c+d,2p(K>k0)5k02.0722.7063.841考点：独立性检验；频率分布直方图.专题：应用题；概率与统计.分析：(D利用同一组中的数据用该区间中点值做代表，即可估计该年纪本次数学考试成绩的平均分；(n)应抽取男生60人，女生40人，可得2X2列联表，由列联表中数据，代入公式，求出K2的值，进而与临界值比较，即可得出结论.解答：解：(D估计该年纪本次数学考试成绩

22、的平均分为0.04X35+0.12>45+0.2X55+0.28>65+0.18>75+0.12>85+0.06>95=65.4(分)；(n)应抽取男生60人，女生40人，可得2X2列联表2一用.407<3.841,数学成绩优秀数学成绩不优秀合计男生124860女生63440合方t18821002，一一二E"二：K=1SX82X40X6Q.没有95%的把握认为该校学生数学成绩优秀与性别有关点评：本题考查独立性检验的应用，考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识，本题解题的关键是正确运算出观测值，理解临界值对应的概率的意义，要想知道两个变量之间的有关

23、或无关的精确的可信程度，只有利用独立性检验的有关计算，才能做出判断，本题是一个基础题.2220. (12分)设椭圆C：9+9=1(a>b>0)的左焦点为F(-&,0),过F的直线交Cab于A,B两点，设点A关于y轴的对称点为A',且|FA|+|FA'|=4.(D求椭圆C的方程；(II)若点A在第一象限，当9FA'面积最大时，求|AB|的值.考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：（I）设F'是椭圆的右焦点,由椭圆的性质及其定义可得:|FA|+|FA'|=|FA|+|F'A|=2a=4

24、.再利用b2=a2c2即可得出.(II)设A(xi,yi)(xi>0,yi>0),ZAFA'面积S=l,oY卡2占叮y122=xiyi.由于1二！+士1禾I42用基本不等式的性质可得S<V2.当必FA'面积取得最大时,A（瓜1）,可得直线AB的方程为：尸土（升正），设B（X2,y2）,与椭圆的方程联立可得B,利用|AB|=2）J"%）2即可得出.解答：解：（I）设F'是椭圆的右焦点，由椭圆的性质和定义可得：|FA|+|FA'|=|FA|+|F'A|=2a=4.解得a=2,左焦点为F（-加，0）,c=V2,-b2=a2-c2=2

25、.2,.2椭圆C的方程为£+2=i.42(II)设A(xi,yi)(xi>0,yi>0),"FA'面积S=2x=xiyi.222=4«422近2、.S<V2.22当必FA'面积取得最大时，士！二3/，解得二6,yi=i.4221由F（-加，0）,A（近,1）,可得直线AB的方程为:广索S+后），化为x-2V2y+V2=0,可得Bx-272372=0",解得，=4'4二近耍1_jVc勾-5Y=-1%51AB|=：-2.18点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、基本不等式的性质、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查

26、了推理能力与计算能力，属于难题.21. (12分)已知函数f(x)=x3+(a+1)x2+ax-2,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线在x轴上的截距为-L.ii(D求实数a的值；(n)证明：当k<1时，曲线y=f(x)与y=(k-1)ex+2x-2有唯一公共点.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.专题：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用.分析：(D求出函数的导数，求出切线的斜率，求出切点，再由点斜式方程写出切线方程，令y=0,得到方程，解得a=2;(n)由题意要证：当k<1时，曲线y=f(x)与y=(k-1)ex+2x-2有唯一公共点，即要证x3+3x2+(1k)?

27、ex=0在k<1时有唯一解.设g(x)=x3+3x2+(1k)?ex,讨论当x*3时，当xv-3时，求出导数，判断单调性，得到g(x)=x3+3x2+(1-k)?ex<x3+3x2+1-k,贝Uh(x)=h(k4)=(k4)3+3(k4)2+1-k,即h(k4)<0,即存在x=k4,使得g(x)<h(x)<0,故存在xoC(k4,3),有g(xo)=0,即可得证.解答：(I)解：函数f(x)=x3+(a+1)x2+ax2的导数f'(x)=3x2+2(a+1)x+a,即有f'(1)=3a+5,切线斜率为3a+5,f(1)=2a,切点为(1,2a),则

28、曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为：y-2a=(3a+5)(x-1).令y=0贝Ux="5由秆5=,解得a=2；3a+53a+511(n)证明：由题意要证：当k<1时，曲线y=f(x)与y=(k-1)ex+2x-2有唯一公共点，即要证x3+3x2+(1-k)?ex=0在kv1时有唯一解.设g(x)=x3+3x2+(1-k)?ex,由于1-k>0,贝Ug(x)>x3+3x2=x2(x+3),。当xA3时，g(x)>x2(x+3)可，则g(x)在xA3时无零点；期xv-3时，g'(x)=3x2+6x+(1-k)?ex>3x2+6x=3x

29、(x+2)>0,则g(x)在xv-3时单调递增.而g(-3)=(1-k)?e3>0,由于ex<e3,贝U(1k)?exv(1k)?e3,g(x)=x3+3x2+(1-k)?ex<x3+3x2+-;-<x3+3x2+1-k,Je设h(x)=x3+3x2+1k,由于k-1<0,取x=k-4<-3,贝Uh(x)=h(k4)=(k4)3+3(k4)2+1-k,即h(k4)=(k4)2(k4)+3+1-k=(k1)(k4)2-1<0,即存在x=k-4,使得g(x)<h(x)<0,故存在x°e(k-4,-3),有g(x0)=0,综上，当

30、k<1时，曲线y=f(x)与y=(k-1)ex+2x-2有唯一公共点.点评：本题考查导数的运用：求切线方程，判断函数的单调性，以及运用求最值，考查函数的性质和运用，以及构造导数，运用单调性求解的能力，考查运算能力，属于中档题.选彳4-1:几何证明选讲22. (10分)如图，CD是必BC中AB边上的高，以AD为直径的圆交AC于点巳一BD为直径的圆交BC于点F.(I)求证：E、D、F、C四点共圆；(II)若BD=5,CF=1,求四边形EDFC外接圆的半径.3A考点：与圆有关的比例线段.专题：选作题；几何证明.分析：(I)利用AD,BD是直径，可得/AED=zBFD=90°,再证明/

31、DEC+JDFC=180°,即可证明：E、D、FC四点共圆；(II)确定BD是四边形EDFC外接圆的切线，求出BD,同理求出CD,即可求四边形EDFC外接圆的半径.解答：(I)证明：连接ED,FD,.AD,BD是直径，zAED=ZBFD=90°,.zDEC=ZDFC=90°,/DEC+ZDFC=180°,.E、D、F、C四点共圆；(n)解：.5EC=90°,.CD是四边形EDFC外接圆的直径，.CD是ZABC中AB边上的高，BD是四边形EDFC外接圆的切线，.BD=BF?BC.BD=5,CF="3.BF=3,同理CD=3四边形EDFC外接圆的半径为.3点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查学生分析解决问题的能力，比较基础.选彳4-4:坐标系与参数方程23.（10分）已知曲线C的极坐标方程是p-2cos。-4sin9=0,以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程是1叼（t是参数).(1)将曲线(2)若直线的参数方程化为普通方程;E,求|EA|+|EB|.X=PCOSS即可得出；由直线Psin9l的参数方程尸(t是参数)，把t=2x代入c的极坐标方程化为直角坐标