中考专题训练阿氏圆

1、在前而的“胡不归”问题中，我们见识了你PA+P自最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题.所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值(不为1)的点的集合叫做圆.如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB二k(kR)，则满足条件的所有的点P构成的图形为圆以下给出两种证明法一：构造角分线先复习两个上理线AD交BC(1)角平分线定理：如图，在ZiABC中，AD是ZBAC的捻平分线，贝UAB:AC=DB:DC.证明：利用等积法S肿二BD二ABxDExAB即AB:AC二DB:DCSgCD,SgACxDFAC

2、(2)外角平分线泄理：如图，在AABC中，外角CAE的角平分的延长线于点D,则AB:AC=DB:DC.证明：在BA延长线上取点E使得AE二AC,连接BD.则公ACDAAAED(SAS),CD=ED且AD平分ZBDE,贝IjDB:DE=AB:AE.即AB:AC=DB:DC?接下来开始证明：如图，PA:PB二k,作ZAPB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理MA:MB=PA:PB=k,故M点为泄点，即ZAPB的角平分线交AB于泄点；c.作ZAPB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线立理，NA:NB=PA:PB=k,故N点为泄点，即ZAPB外角平分线交直线AB于定点；又ZMPN=90，左边

3、对左角，故P点轨迹是以MN为直径的圆.中考专题训练阿氏圆模型阿氏圆邙可波罗尼斯圆）：DA已知平而上两主点A.B,则所有满足=k4Hl）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古PB希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.在初中的题目中往往利用逆向思维构造“斜A”型相似（也叫“母子型相似”）+两点间线段最短，解决悄杀数阿乙创的最值问题.DA观察下面的图形，当P在00上运动时，用PA、PB的长在不断的发生变化，但二的比值却始终保PB持不变.解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构型方法例？已知ZACB（2）求AAP+BFP勺最小值为那么如何应用“阿氏圆”的性质解答带系数的两条线段和的最小

4、值呢？我们来看一道基本题目二90,CB=4,CA=60C半径为2,P为圆上一动点.（1）求AP+-BP的最小值为2C.阿氏圆基本解法：构造相似阿氏圆一般解题步骤：AP+kBP第一步：连接动点和圆心C(将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接)，即连接CP.CB:CP第二步：计算这两条线段长度的比西?CM第三步：在CB(即定边)上取点M,使得一二kCP第四步：连接AM,与圆C交点即为点P：第五步：计算AM的长度,即为AP+kBP的最小值.实战演练:21?AABC中，ZACB=9OC,AC=4,BC=3,点D为AABC内一动点，且满足CD=2,贝UAD+ABD的最小值为.2.已知点A(4,0)

5、,B(4,4)，点P在半径为2的OO上运动，则AAP+BP的最小值是3?已知点A(-3,0),B(0,3),C(1,0),若点P为。C上一动点，且OC与y轴相切.(1)求-AP+BP的最小值；(2)求公ABPifil积的最小值.4P是AAOB外部的第一彖限内4?在平而直角坐标系中，A(2,0),B(0,2),C(4,0),D(3,2),一动点，且ZBPA=135，贝U2PD+PC的最小值是5?已知00半径为仁AC、BD为切线，AC=1,BD二2,P为弧AB上一动点,C.D巩固练习：1?如图，在ZABC中，ZB=90AB=CB=2以点B为圆心作0B与AC相切，点P为圆B上任一动点则小尹C的最小值

6、是2.如图，菱形ABCD的边长为2,ZABC=600A与BC相切于点E,在。A上任取一点P,求P8+-P/)的最小值.3?(1)如图仁已知正方形ABCD的边长为4,OB的半径为2,点P是0B上的一个动点，则PD+JPC的2最小值；(2)如图2,已知正方形ABCD的边长为9,0B的半径为6,点P是OB的一个动点，那么PD+APC的C.最小值为:(3)如图3,已知菱形ABCD的边长为4,ZB=60,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点，那么PD+PC的最小值为24?如图抛物线y=ax2+(a+3)x+3(aA0)x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0m4),过点

7、E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM，AB于点M.(1)求a的值和直线AB的函数表达式；设ZPMN的周长为Ci.AAEN的周长为C若求m的值;C5如图2,在条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE,旋转角为a(0aa90),连接EA、EB,求EA+AEB7的最小值.C.C.问题提出：如图1,在RBABC中,ZZCB=90,CB=4,CA=6,C半径为2,P为圆上一动点，连结AP.BP,求AP+1/2BP的最小值。尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2,连接CP,在CB上取点D,使CD=1,则有CD/CZCP/CB=72,XTZPCBZBCP,:.AP

8、CD八ABCP.:.PD/BP/2,PDQ/2BP?AP+1/2BPMP+PD.请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+1/2BP勺最小彳1为一？自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下1/3AP+BP勺最小值为一？(3)拓展延伸：已知扇形COD中,ZCOD=90,0C=6,0/4=3,08=5，点P是CD上一点,求2PA+PB的最小值。C.反过来还原:如图，点A,B在00上#0A=0B=12且0A_L0B点C是0A的中点，点D在0B上且OD=10，动点P在。0上，则PC+1/2PD的最小值是多少？如下图所示，在0A延长线上取点E,使得AE二0A连接OP,PEe因为0C/0P=1/2=0P

9、/0E从而OCPs/OPE(SAS)从而，PC/EP=1/2,即PE=2PC那么，PE+PE2PC+PD二2(PC+1/2PD)那么只要求出PE+PD最小值，再除以2即可得到所求问题的解。很显然，当P点落在DE连线与圆0的交点P上时，PE+PD取得最小值。此时，PE+PD二DE二J(ODa2+OEa2)=V(10A2+24A2)那么，PC+1/2PD的最小值即为26/2=13o二26如图已知正方形4BCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点，求PD+1/2PC的最小值和PC-1/2PC的最大值；如图2,已知正方形ABCD勺边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点，那么PD+2/3PC的最小