【新教材精品教案】7.1.2复数的几何意义教学设计(2)-人教A版高中数学必修第二册

1、【新教材】7.1.2复数的几何意义教学设计（人教A版）教材分析复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初 步的、完整的认知，也为进一步学习数学打下基础.通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充 的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.教学目标与核心素养课程目标：1 .理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系：2 .掌握实轴、虚轴、模等概念；3 .掌握用向量的模来表示复数的模的方法.数学学科素养L数学抽象：复平而及复数的几何意义的理解；4 .逻辑推理：根据平面

2、与向量的关系推出复数与向量的一一对应及复数模公式；5 .数学运算：根据复数与复平面的点一一对应求参数和求复数的模；4.数学建模：根据复数的代数形式，数形结合，多方位了解复数的几何意义，提高学生学习数学的兴趣.教学重难点重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量. 难点：根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.课前准备教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。教学过程一、情景导入提问：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入

3、新课阅读课本70-72页，思考并完成以下问题1、复平而是如何定义的，复数的模如何求出？2、复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题 三、新知探究1.复平而纪平面2.复数的几何意义(1)复数2=。+历3, b£R)>复平而内的点zs，b).(2)复数z=a+ZnS，6WR)« 一一对应 > 平面向量OZ .规律总结实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0.0),它所 确定的复数是z=0+0i=0,表示的

4、是实数.3.复数的模(1)定义:向量OZ的模厂叫做复数z=a+6i(a, 6CR)的模.(2)记法：复数2 =。+历的模记为忸或W +历|.(3)公式：z = a+Z?i| =r=f72+Z>20>0, rR).四、典例分析、举一反三题型一复数与复平面内的对应关系nr-a - 6例1求实数。分别取何值时，复数2=-+(22-15)1(£11)对应的点2满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内.(2)在复平面内的x轴上方.【答案】(l)v 3.(2)>5 或 4V 3.a2-a6【解析】(1)点Z在复平面的第二象限内，则1+ 3 解得v 3. 疗一2。-15>0

5、,标一2a15>0,(2)点Z在、轴上方，则 一,八即(+3)(-5)>0,解得。>5或V 3.1。+ 3壬0,解题技巧(利用复数与点的对应的解题步骤)(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标.(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复 数的实部与虚部满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.跟踪训练一1、实数x取什么值时，复平面内表示复数2=炉+X-6+(小一2x-15)i的点Z：(1)位于第三象限：(2)位于直线、一y3=0上【答案】(1)-3今<2. (2)x

6、=-2.【解析】因为戈是实数，所以2+、一6,炉一公一15也是实数.x2+x6<Q,当实数x满足|一2xT5<。，即7X2时点Z位于第三象限.(2)当实数x满足y+.丫-6)一廿一2x-15)3=0,即3x+6=0,=-2时，点Z位于直线一)-3=0上. 题型二复数与平面向量的对应关系> > 例2已知平而直角坐标系中。是原点，向量。乂，。8对应的复数分别为231, - 3+21,那么向量A4对 应的复数是()A. -5 + 51B. 5-5i C. 5+5i D. -5 一 5i【答案】B. > 【解析】 向量。I,。5对应的复数分别为2 31, -3+21,根据

7、复数的几何意义，可得向量。4=(2, 一 3), OB =(-3,2).由向量减法的坐标运算可得向量A4 =。4一。3=(2 + 3, 32) = (5, - 5),根据复数与复平而内 的点一一对应，可得向量BA对应的复数是5-51.解题技巧：(复数与平面向量对应关系的解题技巧)(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平而向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向 量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、 复平而内的点、向量之间的转化.跟踪训练二1

8、、在复平面内，工B, C三点对应的复数分别为l,2+i, -1+21.(1)求向量.18, AC, 8C对应的复数；<2)若CZ)为平行四边形，求。对应的复数.【答案】(1)AB , AC ,对应的复数分别为l+i, - 2 + 2i, - 3+1.(2)。对应的复数为-2+1.【解析】(1)设。为坐标原点，由复数的几何意义知： > . OA =(1,0), OB =(2,1), OC=( -1,2),所以方=。8 CU =(口)， , > >AC = OC- OA =(-2,2), BC = OC- OB =(-3,1),所以. 18, AC, 5c对应的复数分别为l

9、+i, -24-21, -3+1.(2)因/MBCD为平行四边形，所以= 8。=(-3,1), OD = OA + 诟=(L0)+(-3,1)=(-2,1).所以 D 对应的复数为-2+1.题型三复数模的计算与应用例3设复数 =4 + 3i,马=4-3匚 （1）在复平面内画出复数&,Z2对应的点和向量;（2）求复数&,Z2的模,并比较它们的模的大小.【答案】图见解析，&，益对应的点分别为Z1,Z?,对应的向量分别为°4 , OZ2 （2）=5,也| = 5 |巾同 【解析】（1）如佟I.复数4,马对应的r功Z|Z，对应的向量分别为西，病.1 一5（2） | =

10、14 + 3/1= a/42 + 32 = 5. |2| =14-3/1= 742 + （-3）2 = 5 .所以同= |z1.例4设zeC,在复平面内z对应的点为Z,那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？（1） I z 1= 1 ： （2） 1 <1 z 1< 2.【答案】（1）以原点。为圆心，以1为半径的圆.（2）以原点。为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界.【解析】（1）由建1=1得，向量无的模等于1,所以满足条件IzJl的点Z的集合是以原点。为圆心, 以1为半径的圆.（2）不等式1<121<2”化为不等式加2, lkl>L不等式I

11、 Z 1< 2的解集是圆I Z1= 2的内部所有的点组成的集合，不等式I Z 1> 1的解集是圆I Z1= 1外部所有的点组成的集合,这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是涡足釜件l<lzlv2的点Z的集合.容易看出，所求 的集合是以原点。为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界（如图）. 解题技巧（与复数的模相关的解题技巧）(1)复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小.根据复数模的计算公式|。+历尸产后可把复数模的问题转化为实数问题解决.(3)根据复数模的定义匕|=| 0Z9可把复数模的问题转化为向量模(即两点的距离)的问题解决.跟踪训练三1、已知复数z = a + /i(a£R)在复平而内对应的点位于第二象限，且匕| = 2,则复数2等于()B. l+>/3iD. -2+31A. -1+小c. 一i+，5i或 i+，5i【答案】A.|'/+3=4, 【解析】由题意得八IE解得。=-1.故2= - 1+小1.五、课堂小结让学生总结本fj课所学主要知识及解题技巧六、板书设计7.1.2