合肥一中2019-2020学年第二学期高一期中考试数学试卷(含答案)

1、合肥一中2019-2020学年第二学期高一期中考试数学试卷（含答案）、选择题（每小题5分，共60分）1.已知等差数列an满足a1=1, an 1 an =3,则a11等于A. 40B. 31C. 21D.152.在 ABC 中,若/ A=60°, / B = 45则 AC=(A. 4也B.C. 33.已知向量b满足1a|b|,且a与b的夹角为6 ,则（2 b） （2a b）B.C24 .已知向量(1,2), b(2,3)c (4,5),若(ab） c,则实数B.C.2D. 25 . AABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若AABC的面积为a2+b2-c215则角C=

2、（冗A.2冗冗B.3C.4UUU UUU UUU冗D.66 .已治bcs点共线，数冽附=（OCa110A（n an）OB,则a5等于A. 16B. 10C. 6D.7 .中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题a-百七十八里关次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。，初行健步不为难， 其意思为：有一个人走了 378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天所走的路程为前一天的一半，走了 6天到达目的地，请问第二天走了（）A. 192 里B. 96 里C. 48 里D. 24 里uuuUULT8.在矩形ABCD中,AB = 4, AD.若点M , N分别是CD, BC的中点

3、,iUUUU UUUU 则 AM MNA. 4B. 3C. 2D. 19.在4ABC中，a=x, b=2, B=45 ,若这样的ABC有两个，则实数x的取值范 围是（）A. （2, +2 B. （0, 2） C. （2, 272） D.电,2）10.在等比数歹【an中，a3,ai5是方程x2 + 6x+ 2=0的根，则典的值为（）a9、A.2+722B. -V2C.72 D. -72 或平11.在/ABC 中，a, b, c分别为角 A, B, C 的对边，且 cos2B+cosB+cos(A-C)=1,则（）A. a, b, c成等差数列C. a, c, b成等差数列B. a, b, c成等

4、比数列D. a, c, b成等比数列12.数列?中,?= 2,且anan 1nan an 12(n2），则数列而需前2019（' ?""项和为（）40364039 2019* 2020、填空题（每小题5分，共20分）C.4037201920191010113 .已知等比数列a。的首项为1,若4a1, 2a2 , a3成等差数列，则数列2 an的前3项和为.14 .已知向量a,2，向量b 5,5，且a与b的夹角为锐角，则 的取值范围是4csin C ,15 . ABC的内角A , B , C的对边分别为a , b , c ,已知asin A bsin Bcos A4,

5、则sin Bsin Cr r16 .已知a , b是两个单位向量，与a , b共面的向量c满c2 （a b） c a b 0 ,则c的最大值为 .三、解答题(共70分)17 .在 ABC中，三个内角A, B, C所对的边为a, b, c,若4ABC的面积为a cos B b cos A 2 cos C ab6c2禽,，且，求：(I)角 C ;(II) ABC的周长.18 .已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn.若a1 b1 3, a4 b2 , S4 T2 12.(I)求数列an与bn的通项公式；(II)求数列an bn的前n项和Q .19 .已知数列an的首项是2,

6、且an 2an 1 2n(n 2n N)Sn是其前n项和a，(I)求证：数列是等差数列；(II)求 Sn.20 .已知向量？ ？辆足|?" v3, |?匕1,设？有？?勺夹角为9, (I)若对任意实数X,不等式|?Ax?> |?仔？机成立,求cose的值；，一 ,一(,一，I->，*、(II)根据(I)中？?! ？?勺夹角8值，求？为？+2?夹角的余弦.21 .如图，平面四边形ABCD的对角线的交点位于四边形的内部，AB 1,BC 石，AC CD , AC CD ,(I)当 ABC =150° 时，求 AD长；(II)当 ABC变化时，求对角线BD的最大长度.s

7、incos. 2Z- sin()(提示：4 )22 .(本题12分)已知数列an的前n项和为Sn , 41 ,222sn(n 1) an n an 1 ,数列6的前n项和为Tn ,且满足 Tn 2bn an .(nN)(I)求数列an和bn的通项公式；(ID参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1 .已知等差数列an满足a1=1 , an 1 an =3,则a11等于（）A. 40B. 31C. 21D. 15【答案】B解：二,等差数列an满足 a1 = 1, an+2- 0）=6, . 83=6+1=7, a5=6+7=13, a7=6+13=19, a9=6+19=25, an=6+2

8、5=31.BC = 32,则 AC=（）2 .在AABC 中，若/A=60°, / B = 45°A. 4mB. 2小C乖【答案】解析：选BB由正弦定理得:黑=晶即藕,亮5，。所以AC金2= 2 3.3.已知向量a,ai 1 , lb艮且a与b的夹角为石，则(a b) (2a b)A. 1【答案】B.【解析】4.已知向量A. 1【答案】【解析】2a(1,2),因为又(a b)故选C.5. AABC的内角则角C=(【解析】且 S»AABCc,b 2a2b ( 2,3)(1,2), b2 ,2 3所以(a+523 =0因为b2(4,5),若(aC.22,3),b) c

9、 0,解得2.A, B, C的对边分别为冗B.3a2+ b2 c2 = 2abcos C,2+b2c24，2abcos C 1 ,所以 Szabc=4=2absin C,所以,一万又 CC (0, nt)故 C = juuu uuub)c,1.故选A.2则实数D. 2a, b, c,若AABC的面积为冗C.4冗D.6tan C= 1.uuu6.已治BCS点共线，紫冽月=(OCa110A(n an)OBA. 16B. 10C. 6D. 8a2+b2-c2,则a5等于7 .中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请

10、公仔细算相还。”其意思为：有一个人 走了 378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天所走的路程为前一天的一半，走了 6天到达目的地，请问第二天走了（）A. 192 里B. 96 里C. 48 里D. 24 里【答案】B uuuuuu8 .在矩形ABCD中，AB = 4, AD 2 .若点M , N分别是CD , BC的中点,uuuu uuuu则 AM MN ()A. 4B. 3C. 2D. 1【解析】方法一、由题意作出图形，如图所示:1 uur1 uur1 uuur-BC-DC-AD2221 uuu AB.2uuuu uuuu. AM MNuuur 1 uuurAD -AB21 uuur

11、1 uuu-AD -AB 22uun uuur uuur uur 1 uur AM AD DM AD AB , 2uuuu uuur uuuu 1 uuu 1 uur MN CN CM CB CD 2214-162.1 uuur 2 1 uuu 2-|AD|2 - |AB|224故选：C.方法二、建立平面直角坐标系9 .在4ABC中，a=x, b=2, B=45 ,若这样的4ABC有两个，则实数x的取值范 围是（）A.（2,+2B.（0,2）C.（2,2/2）D.（血，2）【答案】C10 .在等比数列an中，a3, ai5是方程x2 + 6x+ 2=0的根，则 匿产的值为（）A.B.一取 C取

12、 D- -V2或出【答案】B【解析】设等比数列an的公比为q,因为a3, ai5是方程x2+6x+2 = 0的根,a2a16所以 a3 ai5=a9 = 2, a3+ai5= 6,所以 a3<0, ai5<0,则 a9=一我，所以二 二a9a9= a9 = 2,故选 B.a911 .在/ABC 中，a, b, c分别为角 A, B, C 的对边，且 cos2B+cosB+cos（A-C）=i,则（）A. a,b,c成等差数列B.a,b,c成等比数列C. a,c,b成等差数列D.a,c,b成等比数列【答案】BI2.数列?）中，？= 2,且 an an inan an ii2（n 2兀

13、则数列寸前20i9项和为（20i9)B 4039 , 2020C.4037201920191010【答案】D?【解析】：？?+ ?-i = ?；?；7+ 2 (?2),2 an an 1 n ,整理得：(？?- 1)2 - (?-i - 1)2 = ? (?- 1)2 - (?- 1)2 =?+(? 1) + ? ? + 2,又？= 2,. (?-1)2?？+i）2，可得:121？i )2 = ?e = 2弓i?+i) ,则数列（Vd或前2019项和为：2（1 - 2+2- 3+ ? +嘉-六）=2(12020 )20191010【名师点睛】本题主要考查了数列递推关系、累加求和”方法、裂项求和

14、，考查 ,1a3成等差数列,则数列 an了推理能力、转化能力与计算能力，属于中档题. 二、填空题(每小题5分，共20分)13 .已知等比数列 an的首项为1,若4ai , 2a2 ,的前3项和为案】 解：等比数列a的首项为1, V4ai, 2吗a3成等差数列,2X 2a2=a3+4ai, 4a1q=a1 (q2+4),解得 q=2.an=2n 1, - =.则数列f的前3项和为.14 .已知向量a ,2 ,向量b 5,5，且a与b的夹角为锐角，则 的取值范 围是.【解析】由于5与b的夹角为锐角,a b 0,且a与b不共线同向，由a b 05入10 0,解得入2,当向量a与b共线时，得5入10,

15、得入2,因此的取值范围是入2且入2.4csin C ,15 . ABC的内角A , B , C的对边分别为a , b , c ,已知a sin A bsin B1sin Bcos A 一 ,则二4sin C答案6r . r r r r r16.已知a , b是两个单包向重，与a , b共面的向重c c (a b) c a b 0 ,r则c的最大值为.【解析】由,2- （ I十万）？ W + /一万=0 得：（P-H） ? （F-1）=0 ,即（一万）1 （不;石），设, =,.=, ' 1 =,则 =:, =,1,则点C在以AB为直径的圆O上运动，由图知：当DC,AB时，|DC|DC&

16、#39;, |设/ADC=,则 |DC|=|DO|+|AO|=sin 9 +cos 9,所以当廿=:时，|DC|取最大值V2 ,、解答题（共70分）17.在 ABC中，三个内角A, B, C所对的边为a, b, c,若4ABC的面积为a cos B b cos A 2 cos Cab6、 .c273,，且，求：(I)角 C ;(II) ABC的周长.17.解：(1)acosB+bcosA sinAcosB+sinBcosA sinCA+B)sinCsinCA+B)=1 ，即有 2cosc=1,可得 C=60 ;(2)若S"bc=2/,贝U"absinC=21/ ,即为 ab

17、=8,又a+b=6,由 c2=a2+b2 2abcosC=(a+b) 2 2ab ab=(a+b)2 3ab=62 3X 8=12,解得 c=2/3 ,故周长为 6+2 .18 .已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn.若ai bi3, a4 b2 , S4 T2 12 .(I)求数列an与bn的通项公式;(II)求数列anbn的前n项和Q .【答案】(I) an 2n 1,bn3n ； (H) n(n 2)设等差数列an的公差为d ,则a224 3d 6 3d 12 ,所以 d 2.【解析】(I)由阚"，a4b2,b2) a2 a312 ,则 S4 T2 (

18、a1 a2 a3 a4 ) (b1所以 工 3 2(n 1) 2n 1.设等比数列bn的公比为q,由题b2a49,即b2 bq 3q 9,所以q 3.所以bn3n；(11) anbn (2n 1) 3n,所以anbn的前n项和为(Aa2Lan)gb2Lbj2 ,4(3 2n 1)n 3(1 3n)/3(3n1)(3 5 L 2n 1) (3 3 L3 )n(n2).21 3219 .已知数列an的首项是2,且an 2an 1 2n(n 2n N ) Sn是其前n项和2(I)求证：数列是等差数列；(II)求 Sn.19 .【解答】解：(1)(2) sn=n?21,故 Tn=1X2+2X4+3&g

19、t;8+ - +n?2作差可得:2Tn=1 X4+2 X8+3 X16+n?2+1, Tn=2+4+8+2n- n?2nl+1=2n+1-2 - n?2n+1,故 Tn= (n1) ?2n+1+2.一 » 一一 , .20 .已知向量？ ？辆足|?" v3, |?匕1,设？有？?勺夹角为9, (I)若对任意实数x,不等式|?+x?户|?+?1成立,求cosB的值;，一1 一一 ，T，T T ，八一 /一、(II)根据(I)中？?!?勺夹角8值，求？石?+2?夹角的余弦. 解：(1)将不等式|?+x?> ?+?,两边平方化为一元二次不等式cos 0=f.f T* 1(2)，与白+2t1的夹角余弦值为.321 .如图，平面四边形ABCD的对角线的交点位于四边形的内部， AB 1,BC 33, AC CD , AC CD ,(I)当 ABC =150° 时，求 AD长；(II)当 ABC变化时，求对角线BD的最大长度.sincos./2- sin()(提示：4 )【答案】(1)(2) 1娓【解析】设/ABC= % /ACB= &则由余弦定理得,AC2=1+3-2x1 73 cos4-2点cos a；由正弦定理得AC sinABsin '则 sin Bsin4 2 3cos所以