2014年中考数学试卷分类汇编：锐角三角函数与特殊角(全国120份)

1、锐角三角函数与特殊角、选择题1. （ 2014?四川巴中，第 8 题 3 分）在 RtAABC 中，/ C=90 sinA= ，贝 U tanB 的值为（ ）13本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的A .聖B .卫1312C.12D.12 T考点： 锐角三角函数.分析: 根据题意作出直角ABC，然后根据 sinA=_L ,设一条直角边 BC 为 5x,斜边 AB13为 13x,根据勾股定理求出另一条直角边AC 的长度，然后根据三角函数的定义可求出 tan/B.解答：/ sinA= ,设 BC=5x, AB=13x，贝 U AC= _=12x,故 tan/ B=_u=:故选

2、D .BC 5点评：本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用.小正方形的边长均为1,点 A、B、3V1010考点：分析：D. I解答:锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理作 AC 丄 OB 于点 C,利用勾股定理求得 AC 和 AB 的长，根据正 弦的定义即可求解.解：作 AC 丄 OB 于点 C.贝 yACM,AB=7P=2 血,贝 U sin/ A0B=2LM.AB 2V5 10点评:考点：分析：解答：锐角三角函数的定义；勾股定理.首先运用勾股定理求出斜边的长度，再利用锐角三角函数的定义求解.解：在 Rt ABC 中，/ C=90

3、AC=4 , BC=3 ,二AB= .严弋 丁点评:AAC 4-cosA=,AB 5故选：D.本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边.5. （2014?广州，第 3 题 3 分）如图 1,在边长为 1 的小正方形组成的网格中，_-的三个顶点均在格点上，则 二二二（）.34（D）(A) ： (B)(C)【考点】正切的定义.,.5C 4【分析】：./- =-AB3【答案】D正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.23.（ 2014?四川凉山州，第 10 题，4 分）在 ABC 中，若 CosA- |+ （1- tanB） =0,则/ C 的度数是（）

4、A. 45B. 60C. 75|D. 105 考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三 角形内角和定理分析：根据非负数的性质可得出cosA 及 tanB 的值，继而可得出 A 和 B 的度数，根据三角形的内角和定理可得出/C 的度数.解答：解：由题意，得 cosA=, tanB=1,/A=60, /B=45,/C=180-ZA-ZB=180-60 -45 =75.故选：C.点评：此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理.4. （ 2014?甘肃兰州,第 5 题 4 分）

5、如图，在 Rt ABC 中，/ C=90 BC=3 , AC=4，那么 cosA的值等于（）6.（ 2014 浙江金华，第 6 题 4 分）如图，点 A （t, 3）在第一象限，OA与 x 轴所夹的锐角3为:,tan，则 t 的值是【】2A .1B . 1.5C. 2D. 3【答案】C .【解析】试题分析:Vi A 3）在第一家限，OA 与紅轴所表的锐角为 qtano33 r二 tan a = - = =t = 2. t 2故选 U 考点；1.点的坐标，2.锐角三角函数定义.3437.（ 2014?滨州，第 11 题 3 分）在 Rt ACB 中，/ C=90 AB=10 , sinA=，co

6、sA= , tanA=_ ,则 BC 的长为（）A . 6B . 7.5C. 8D. 12.5考点：解直角三角形分析：根据三角函数的定义来解决，由 sin A=卫，得到AB 533BC=AB=gXlg6.解答：解：/ C=90AB=10,/ si nA=二_厶AB5 BC=ABX=10X=6.55中，/ C=90 贝 U sinA， cosA=， tanA=.AB AB AC8. （2014?扬州，第 7 题，3 分）如图，已知/ AOB=60 点 P 在边 OA 上，OP=12，点 M ,（第 1 题图）考点：含 30 度角的直角三角形；等腰三角形的性质分析：过 P 作 PD 丄 OB,交

7、OB 于点 D,在直角三角形 POD 中，利用锐角三角函数定义求 出 OD 的长，再由 PM=PN，利用三线合一得到 D 为 MN 中点，根据 MN 求出 MD 的 长，由 OD - MD 即可求出 OM 的长.解答：解：过 P 作 PD 丄 OB，交 OB 于点 D，在 RtAOPD 中，cos60=，OP=12，0P 2 OD=6 ，/ PM = PN，PD 丄 MN，MN=2， MD=ND）MN=1 ，N 在边 OB 上，PM=PN，若 MN=2，贝 U OM =(点评：本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，注意：在 RtAACBB . 42 OM=OD - MD=6 - 1=5.故选

8、 C./I0 如一B点评： Ji此题考查了含 30 度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的 性质是解本题的关键.9.（ 2014?四川自贡，第 10 题 4 分）如图，在半径为 1 的OO 中，/ AOB=45 贝 si nC 的值为（）A.B.:二C.D .匹222考点：圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义专题：压轴题.分析：首先过点 A 作 AD 丄 OB 于点 D，由在 RtAAOD 中，/ AOB=45 ,可求得 AD 与 OD 的长，继而可得 BD 的长，然后由勾股定理求得 AB 的长，继而可求得 sinC 的值.解答：解：过点 A 作 AD 丄 OB 于点

9、D,在 RtAAOD 中，/ AOB=45 , OD=AD=OA?os45=X1=,22 BD=OB OD=1 2AB= hl= .：，/ AC 是OO 的直径, / ABC=90 , AC=2 , sin C 丄2故选 B.11. （2014?广西来宾，第 17 题 3 分）如图，RtAABC 中，/ C=90 / B=30 BC=6，则AB 的长为 4；.考点：解直角三角形.分析： 根据 cosB=:及特殊角的三角函数值解题.|AB解答： 解：TcosB=，即 cos30=,ABAB AB=-=_=4.cos30 V3T作法，注意数形结合思想的应用.10. （2014?浙江湖州，第 6 题

10、 3 分）如图，已知 Rt ABC 中，/ C=90 AC=4, tanA,2则 BC 的长是（）C. 2，D. 4分析：根据锐角三角函数定义得出tanA=，代入求出即可.AC解： tanA=二,AC=4, BC=2，故选 A .2 AC点评：本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在RtAACB 中,/ C=90 , sinA=ZA的对边斜边cosA=ZA的邻边斜边tanA=NA的对边ZA的邻边点评：此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理此题难度适中，注意掌握辅助线的故答案为：4 丙.点评：本题考查了三角函数的定义及特殊角的三角函数值，是基础知识，需要熟练掌握.12. （2014 年贵州

11、安顺，第 9 题 3 分）如图，在 RtAABC 中，/ C=90 / A=30 E 为 AB 上一点且 AE: EB=4: 1, EF 丄 AC 于 F，连接 FB，则 tan / CFB 的值等于（）A . AB .厂C 厂D .二333考点：锐角三角函数的定义.分析：tan/CFB 的值就是直角 BCF 中，BC 与 CF 的比值，设 BC=x，贝 U BC 与 CF 就可以用 x 表示出来就可以求解.解答：解：根据题意：在 RtAABC 中，/ C=90 , / A=30 ,/ EF 丄 AC, EF / BC, -ACAB/ AE : EB=4: 1,-.=-AC 5设 AB=2x，

12、贝 U BC=x, AC=二 x.则 tan/CFB=.故选 C.点评：本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中, 斜边；正切等于对边比邻边.313. （2014 年广东汕尾，第 7 题 4 分）在 RtAABC 中，/ C=90 若 sinA=?，贝 U cosB 的值5是（正弦等于对比斜；余弦等于邻边比在 RtACFB 中有 CFBC=x.A . B. C. 5D.5543分析：根据互余两角的三角函数关系进行解答.解：T/C=90 / A+ / B=90 cosB=sinA，： sinA=，二 cosB=d .故选 B .55点评：本题考查了互余两角的三角函数关系，熟记关系式是解题的关键

13、.14. （2014?毕节地区，第 15 题 3 分）如图是以厶 ABC 的边 AB 为直径的半圆 O,点 C 恰好3在半圆上，过 C 作 CD 丄 AB 交 AB 于 D .已知 cos/ ACD= , BC=4，则 AC 的长为（）5A . 1B .灯C. 3D.1633考点：圆周角定理；解直角三角形分析：由以 ABC 的边 AB 为直径的半圆 O,点 C 恰好在半圆上，过 C 作 CD丄 AB 交 AB 于 D .易得/ ACD = / B,又由 cos/ ACD=,5BC=4，即可求得答案.AOD B解答：解： AB 为直径， / ACB=90 / ACD+ / BCD=90 ,/ C

14、D 丄 AB, / BCD+ / B=90 / B=/ ACD ,/ cos/ ACD=,5. cos/ B=,54 tan/ B,3/ BC=4 ,.*/DAC AC 4 tan/ B=,AC= .3故选 D.此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.15. （2014 年天津市，第 2 题 3 分）cos60。的值等于（）C.2考点：特殊角的三角函数值.分析：根据特殊角的三角函数值解题即可.解答：解：cos60丄.2故选 A .点评：本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键.二、填空题1. （2014 年贵州黔东南 11. （4 分

15、）cos60 .特殊角的三角函数值.根据特殊角的三角函数值计算.解：cos60 .本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要 掌握特殊角度的三角函数值.2.（2014?江苏苏州，第 15 题 3 分）如图，在 ABC 中，AB=AC=5 , BC=8 .若/ BPC= /锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理先过点 A 作 AE 丄 BC 于点 E，求得/ BAE= / BAC，故/ BPC= / BAE .再在 Rt BAE 中，由勾股定理得 AE 的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan/BPC=tan /BE 4BAE=考点分析解答点评考点：分析：_

16、1解答：解：过点 A 作 AE 丄 BC 于点 E,/ AB=AC=5 , BE=BC= X8=4,/ BAE= / BAC ,/ BPC= / BAC ,/ BPC= / BAE .在 Rt BAE 中，由勾股定理得AE=讥衣_ 梓二 3, tan/ BPC=tan / BAE=更AE_3故答案为：.点评：求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函 数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值.3.（ 2014?四川内江，第 23 题，6 分）如图，/ AOB=30 OP 平分/ AOB , PC 丄 OB 于点3-V3C .若 OC=2，贝 U

17、PC 的长是一T含 30 度角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质.计算题.延长 CP， 与 OA 交于点 Q,过 P 作 PD 丄 OA ,利用角平分线定理得到 PD=PC ,在直角 三角形 OQC中，利用锐角三角函数定义求出 QC 的长，在直角三角形 QDP 中，利用 锐角三角函数定义表示出 PQ,由 QP+PC=QC，求出 PC 的长即可.解：延长 CP，与 OA 交于点 Q,过 P 作 PD 丄 OA ,/ OP 平分/ AOB , PD 丄 OA , PC 丄 OB , PD=PC,在 Rt QOC 中，/ AOB=30 OC=2 , QC=OCtan30 2乂亠=,/ APD=

18、30 ,33在 Rt QPD 中，cos30 =丄_，即 PQ= ；DP= : PC,PQ 3 QC=PQ+PC, 即 卩 二 PC+PC=二-考点：专题：分析：解答:解得：PC= 一.3故答案为：1Aoc B点评：此题考查了含 30 度直角二角形的性质， 锐角二角函数定义， 熟练掌握直角二角形的性质是解本题的关键.4.(2014?四川宜宾，第 16 题，3 分)规定：si n (- x) = - sinx, cos (- x) =cosx, si n( x+y) =sinx?sosy+cosx?si ny.据此判断下列等式成立的是(写出所有正确的序号)1cos (- 60 =-；2sin 7

19、5 后+忑-4，3sin 2x=2s inX?DOSX;4sin (x- y) =sinx?cosy- cosx?siny.考点：锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值.专题：新定义.分析：根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断.解答：(解： cos (- 60 =cos60 = ,命题错误；2sin75=sin (30+45=sin30 c?s45cos30 s?45厶+ 二 x=L+= ，命题正确；2224443sin2x=sinx?sosx+cosx?sinx2sin x?cosx，故命题正确；4sin(x - y) =sinx?cos (- y) +cosx?sin ( y)

20、=sinx?cosy- cosx?siny,命题正 确.故答案是：.点评：/本题考查锐角三角函数以及特殊角的三角函数值，正确理解题目中的定义是关键.5.（2014?甘肃白银、临夏，第15题4分） ABC中，/A、ZB都是锐角，若sinA=1cosB=，则/ C=.考点：锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理.分析：根据正弦是角的对边比斜边，可得答案.解答：解：如图，作 AD 丄 BC 于 D , CE 丄 AB 于 E,由勾股定理得 AB=AC=2 BC=2，AD=3由 BC?AD=AB?CE, 即 CE=25CE _sinA=：=.=，故答案为：.CD/ABj AXA考点：特殊角的三角函

21、数值；三角形内角和定理.分析: 先根据特殊角的三角函数值求出ZA、ZB 的度数，再根据三角形内角和定理求出ZC即可作出判断.解答:解：ABC 中，ZA、ZB 都是锐角 sinA= , cosB=,2/A=ZB=60./C=180-ZA-ZB=180-60 -60 =60.故答案为：60.点评:本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单.6. （ 2014?广西贺州，第 18 题 3 分）网格中的每个小正方形的边长都是， ABC 每个顶点都在网格的交点处，则si nA=.c1KtRJA2点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜

22、边，正切为对边比邻边.第 16 题 3 分)如图，直线 MN 与OO 相切于点 M ,ME=EF且 EF / MN，贝 U cos/ E=_2考点：切线的性质；等边三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值.专题：计算题.分析：连结 OM , OM 的反向延长线交 EF 与 C,由直线 MN 与OO 相切于点 M，根据切线 的性质得OM 丄 MF ,而 EF / MN ,根据平行线的性质得到 MC 丄 EF ,于是根据垂径定 理有 CE=CF，再利用等腰三角形的判定得到ME=MF，易证得厶 MEF 为等边三角形,所以/ E=60然后根据特殊角的三角函数值求解.解答：解：连结 OM , OM 的反向

23、延长线交 EF 与 C,如图，直线 MN 与OO 相切于点 M, OM 丄 MF ,/ EF / MN , MC 丄 EF , CE=CF, ME = MF,而 ME=EF, ME=EF=MF, MEF 为等边三角形，E=60 , cos/ E=cos60=.7. ( 2014?广西玉林市、防城港市,MA2故答案为号.本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了垂径定理、等边 三角形的判定与性质和特殊角的三角函数值.& （ 2014?温州，第 14 题 5 分）如图，在 ABC 中，/ C=90 AC=2 , BC=1，贝 U tanA 的值 是.点评：本题考查了锐角三角

24、函数定义的应用，注意：在RtAACB 中，/ C=90 ,NA的对边/A的邻边ZA的对边sinA=广，cosA=广，tanA二9.（2014?株洲，第 13 题，3 分）孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500 米处，看塔顶的仰角为 20 （不考虑身高因素），则此塔高约为 182 米（结果保留整数，参考数据:sin20 0.34,(Sin70 0.9397an20 0.3640an70 2.7475考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.考点：锐角三角函数的定义.分析：根据锐角三角函数的定义（解答：解：tanA=_ 一 =,AC 2故答案为：丄.2ta nA=NA的对边的邻边）求出即可.（第1题

25、图）分析：作出图形，可得 AB=500 米，/ A=20,在 RtAABC 中，利用三角函数即可求得 BC的长度.解答：解：在 RtAABC 中，AB=500 米，/ BAC=20 奥=tan20,AB BC=ACtan20=500X0.3640=182 （米）.故答案为：182.点评：本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解.10.（2014 年广西南宁，第 17 题 3 分）如图，一渔船由西往东航行，在A 点测得海岛 C 位于北偏东 40的方向，前进 20 海里到达 B 点，此时，测得海岛 C 位于北偏东 30的方向,则海岛 C 到航线 AB 的距离 C

26、D 等于 10 二海里.分析：根据方向角的定义及余角的性质求出/CAD=30 , / CBD=60，再由三角形外角的性质得到/ CAD=30 = / ACB，根据等角对等边得出 AB=BC=20,然后解 RtABCD，求出 CD即可.解答：解：根据题意可知/ CAD=30 , / CBD=60 , / CBD = / CAD+ / ACB ,/ CAD=30 = / ACB, AB=BC=20 海里,rv在 Rf CBD 中,ZBDC=90ZDBC=60sin/ DBC 喘,x k b1 sin 60=考点：解直角三角形的应用 CD=12Xsi n60=20X遡=10 眉海里，2故答案为：10

27、 7.题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线.11. (2014?攀枝花，第 14 题 4 分)在厶 ABC 中，如果/ A、/ B 满足 |tanA - 1|+ (cosB-,)2=0,那么/ C=75 考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方.分析：先根据 ABC 中，tanA=1 , cosB=，求出/ A 及/ B 的度数，进而可得出结论.W解答：解： ABC 中，tanA=1 , cosB=2/ A=45 , / B=60 ,故答案为：75 点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键.三、解答题1.

28、(2014?上海，第 22 题 10 分)如图，已知 Rt ABC 中，/ ACB=90 , CD 是斜边 AB 上 的中线，过点 A 作 AE 丄 CD, AE 分别与 CD、CB 相交于点 H、E, AH=2CH .(1 )求 sinB 的值；(2)如果 CD= ,求 BE 的值.考点：解直角三角形；直角三角形斜边上的中线.分析：(1)根据/ ACB=90 , CD 是斜边 AB 上的中线，可得出 CD=BD，则/ B= / BCD , 再由 AE 丄CD，可证明/ B= / CAH，由 AH=2CH，可得出 CH : AC=1 : 二，即可得 出 sinB 的值；点评:(2)根据 sin

29、B 的值，可得出 AC: AB=1 :丽，再由 AB=2 馮，得 AC=2，贝 U CE=1 , 从而得出 BE.解答：解：(1)vZACB=90,CD 是斜边 AB 上的中线， CD=BD ,/B=/BCD,/ AE 丄 CD ,/CAH+/ACH=90,/B=/CAH,/ AH=2CH ,由勾股定理得 AC=gCH , CH : AC=1 :二， si nB ;5 AC : AB=1 :CD= AB=2 7,由勾股定理得 AC=2，则 CE=1 , 在 Rt ABC 中，AC2+BC2=AB2, BC=4, BE=BC - CE=3 .点评：本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中

30、线，注意性质的应用，难度不大.2.（2014?山东烟台，第 24 题 8 分）如图，AB 是OO 的直径，延长 AB 至 P,使 BP=OB, BD 垂直于弦 BC,垂足为点 B，点 D 在 PC 上.设/ PCB=a,/ POC=3-求证：tan缶门丄=.考点:圆的基本性质，相似三角形的判定，锐角三角函数分析:解答:PRB连接 AC 先求出 PBDPAC,再求出=，最后得到 tanatan证明：连接 AC,则/ A= / POC= ,2点评: 本题考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值,在二次根式的混合运算中,/AB 是OO 的直径，/ ACB=90 tana昱,BD / AC,BC

31、/BPD =/A,vZP=/P,PBD s FAC,厶=丨,AC PA/ PB=OB=OA,!=, tan a?ta m=-?= =.PA2 BC AC AC点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识，本题解题的关键是求 出厶PBDPAC,再求出 tanOtan=.223. (2014?江苏徐州，第 19 题 5 分)(1)计算:(-1) +sin30。-牡=；考点：实数的运算；特殊角的三角函数值.专题：计算题.分析：(1)原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用立方根定义化简，计算即可得到结果；解答： 解：(1)原式=1+ - 2=-;点评：

32、此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则解本题的关键.20141304.(2014?年山东东营,第19题7分)(计算：(-1)+(sin30+0实数的运算；零指数幕；负整数指数幕；特殊角的三角函数值.计算题.(1)原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用负指数幕法则计算，第三项利 用零指数幕法则计算， 第四项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用积的乘方逆运算法则变形，计算即可得到可结果；_(2)解答： 解：(1)原式=1+2+1 - 3 二+3 - 1=6 - 3 ；点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.5. (2014?山 东临沂，第 20 题 7 分)计算：-sin6

33、0 ._: X 二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值根据特殊角的三角函数、二次根式的化简进行计算即可.V3V3: - +22 22V3_o+2|3-甘丨:-|+83X ( -0.125)3考点：分析：解答：V3 - 1解：原式要掌握好运算顺序及各运算律.6.（ 2014?四川南充，第 17, 6分）计算：1）0-（:- 2） +3ta n30+ （）1分析：本题涉及零指数幕、负整指数幕、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果解：原式=1 - ZAECC=9U =在 XtAABz 中，/ sinB- , /. AE-亠顼3忑主=九A

34、B2VZB-45, -ZBAE-45 /.BE-AE-3AEAE33 l在 XtAAC2 中.；tanZACE =,二忙广心-=-=ECtantaiiud0 BC=3.3.(2)由(1)得，在 Rt ACE 中，/ EAC=30 EC=J3, AC=2j3./D=/ACB，/B=/B,. BACsBCDAB =AC即3 2乙3.CB CD 3+V3 CD二CDM+Q如图,连接 DO 并延长交 O0 于点 M 连搏 CM P1_3CM=P3D./ Z3=45 ZAC3=6Q -Z3AC=75:/ Z3AC 是四边形 AD 出一个外角-/；IFZBAC=?S:.在 C3 C 点 Q 使 DQ-MQ

35、,贝 _M=ZDMQ-13 /-ZCQM-301.igCM-X,贝 iCQ=曲埜，2x *则品+：葢=五+返,解得梵二祈一血/. mi;f +(/e-J? r =16.DM=4.O O 的半径为 2.考点：1锐角三角函数定义；2.特殊角的三角函数值；3相似三角形的判定和性质；4圆周角定理；5圆内接四边形的性质；6含 30 度角直角三角形的性质；7勾股定理9.（ 2014?襄阳，第 15 题 3 分）如图，在建筑平台 CD 的顶部 C 处，测得大树 AB 的顶部 A 的仰角为 45测得大树 AB 的底部 B 的俯角为 30已知平台 CD 的高度为 5m,则大树的 高度为 （5+5 V .） m

36、（结果保留根号）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：作 CE 丄 AB 于点丘，则厶 BCE 和厶 BCD 都是直角三角形，即可求得 CE, BE 的长，然 后在RtAACE 中利用三角函数求得 AE 的长，进而求得 AB 的长，即为大树的高度.解答：解：作 CE 丄 AB 于点 E,在 RtABCE 中，BE=CD=5m,AE=CE?a n45 5m,AB=BE+AE= （5+5；）m.在 RtAACE 中,故答案为：（5+5；）.点评：本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.10.（ 2014?邵阳，第 24 题 8 分）一艘

37、观光游船从港口A 以北偏东 60。的方向出港观光，航行 80海里至 C 处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37方向，马上以 40 海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船 C 处所需的大约时间.（温馨提示：sin53 0,8cos53 0）6过点 C 作 CD 丄 AB 交 AB 延长线于 D .先解 RtAACD 得出 CD=丄 AC=40 海2里，再解 RtACBD 中，得出 BC 岁一 50 然后根据时间=路程习束sinZCBD度即可求出海警船到大事故船 C 处所需的时间.解答：解：如图，过点 C 作 CD 丄

38、AB 交 AB 延长线于 D .在 RtAACD 中，/ ADC =90 , / CAD =30 AC=80 海里，考点:分析:解直角三角形的应用-方向角问题巩海警船） CD=丄 AC=40 海里.2在 RtACBD 中，/ CDB=90 / CBD =90 - 37 =53BC=马=50 （海里），sin.ZCBD 0. 8海警船到大事故船 C 处所需的时间大约为：50T0 更（小时）4卫矗口)顷海晉飾)点评：本题考查了解直角三角形的应用-方向角冋题，难度适中，作出辅助线构 造直角三角形是解题的关键.11.(2014?湘潭，第 25 题) ABC 为等边三角形，边长为 a, DF 丄 AB,

39、 EF 丄 AC,(1) 求证： BDF sCEF ;(2)若 a=4，设 BF = m,四边形 ADFE 面积为 S,求出 S 与 m 之间的函数关系，并探究当m为何值时 S 取最大值；(3) 已知 A、D、F、E 四点共圆，已知 tan/EDF =-；,求此圆直径.2考点：:相似形综合题；二次函数的最值；等边三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形分析：j(1) 只需找到两组对应角相等即可.(2)四边形 ADFE 面积 S 可以看成厶 ADF 与厶 AEF 的面积之和，借助三角函数用m 表示出 AD、DF、AE、EF 的长，进而可以用含 m 的代数式表示 S,然后通过配方，转化为 二次函数的

40、最值问题，就可以解决问题.(3)易知 AF 就是圆的直径，利用圆周角定理将/EDF 转化为/ EAF .在 AFC 中，知道 tan/ EAF、/ C、AC,通过解直角三角形就可求出AF 长.解答：丿解:(1)vDF 丄 AB,EF 丄 AC,/ BDF = / CEF=90 .ABC 为等边三角形，/ B= / C=60 .(第 1 题图)/ BDF = / CEF，/ B= / C,BDF sCEF.(2)vZBDF =90, /B=60,sin60=T=l,cos60=.BF 2BF同理：SAEF=AE?EF)C(4m)=-m2+2=.S=SADF+SAEF=口2+丘口+2 丙=- -(

41、m2 4m 8)44=(m 2)2+3；.其中 0vmv4.v 0,0v2v4,当 m=2 时，S 取最大值，最大值为 3 7. S 与 m 之间的函数关系为：(m 2)2+3；(其中 0vmv4).当 m=2 时，S 取到最大值，最大值为 3 二.(3)如图 2, A、D、F、E 四点共圆， / EDF = / EAF ./ ADF = / AEF=90 , AF 是此圆的直径.曲 ED：；,/ AB=4, AD=4/ BF=m,-&ADF=AD ?DFsin68.2 Q.93os68.2 Q.3tan68.2.2.5 tan / EAF 仝2- -=- .EA 2/ C=60 ,=

42、ta n60 =話；EC设 EC=x，贝 U EF=X, EA=2x.AC= a, 2x+x=A. x=. EF= -, AE=Z ,.3a3a/ AEF=90 ,AF=1 .1 : J .此圆直径长为点评：本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定理、等边三角形的性质等知识，综合性强.禾 U 用圆周角定理将条件中的圆周角转化到合适的位置是解决最后一小题的关键.12.（2014?益阳，第 18 题，8 分）中国-益阳网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥.如图，新大桥的两端位于A、B 两点，小张为了测量 A、B 之间的

43、河宽，在垂直于新大桥AB 的直线型道路 I 上测得如下数据：/ BAD =76.1 , / BCA=68.2 CD=82 米.求 AB 的长（精确到 0.1 米）.参考数据：sin76.1 Q.97os76.1 Q.2tan76.1 ；.0B考点：解直角三角形的应用.分析：设 AD=x 米，则 AC= ( x+82)米.在 RtAABC 中，根据三角函数得到 AB=2.5 (x+82),在 RtAABD 中，根据三角函数得到 AB=4x,依此得到关于 x 的方程，进一步即可求解. 解答：解：设 AD=x 米，贝 U AC= (x+82)米.在 RtAABC 中，tan/ BCA=,AC AB=

44、AC?tan/ BCA=2.5 ( x+82).在 RtAABD 中，tan/ BDA=5,AD AB=AD?tan/ BDA=4x.2.5 (x+82) =4x, 解得 x 县.3 AB=4x=4Xl 546.73答：AB 的长约为 546.7 米.点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题.13. (2014?株洲，第 17 题，4 分)计算：.+ ( n- 3)-tan45考点：实数的运算；零指数幕；特殊角的三角函数值.分析：原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用零指数幕法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果.解答

45、：解：原式=4+1 -仁 4.点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.14.（ 2014 年江苏南京，第 23 题）如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为 O）的墙上，当梯 子位于AB 位置时，它与地面所成的角/ ABO=60当梯子底端向右滑动 1m （即 BD=1m） 到达 CD 位置时，它与地面所成的角/ CDO=51 1 &求梯子的长.（参考数据:sin51 18 0.780os51 18 0.62&n51 18 1）48（第 4 题图）考点：解直角三角形的应用分析：设梯子的长为 xm.在 RtAABO 中，根据三角函数得到 OB ,在 Rt CDO 中，

46、根 据三角函数得到 OD，再根据 BD=OD - OB，得到关于 x 的方程，解方程即可求解.解答：设梯子的长为 xm.在 RtAABO 中，cos/ ABO= ,AOB=AB?cosZABO=x?cos60= x.AB2在 RtACDO 中，cos/ CDO=,AOD=CD?cos/ CDO=x?cos51 18 0.625CD/ BD = OD - OB,A0.625x-x=1，解得 x=8.故梯子的长是 8 米.2点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实 际问题转化为数学问题加以计算.15.（2014?泰州，16 题，3 分）如图，正方向 ABCD 的

47、边长为 3cm, E 为 CD 边上一点，/ DAE =30 , M 为 AE 的中点，过点 M 作直线分别与 AD、BC 相交于点 P、Q.若 PQ=AE, 则 AP 等于1 或 2cm.考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形分析：根据题意画出图形，过 P 作 PN 丄 BC,交 BC 于点 N,由 ABCD 为正方形，得到AD = DC = PN,在直角三角形 ADE 中，利用锐角三角函数定义求出DE 的长，进而利用勾股定理求出 AE 的长，根据 M 为 AE 中点求出 AM 的长，利用 HL 得到三角形 ADE 与三角形PQN 全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到

48、DE=NQ,/ DAE=ZNPQ=30 ,再由 PN 与 DC 平行，得到/ PFA= / DEA=60 ,进而得到 PM 垂 直于 AE，在直角三角形 APM 中，根据 AM 的长，利用锐角三角函数定义求出 AP 的 长，再利用对称性确定出 AP 的长即可.解答：解：根据题意画出图形，过 P 作 PN 丄 BC,交 BC 于点 N ,四边形 ABCD 为正方形， AD=DC = PN,在 RtAADE 中，/ DAE=30 , AD=3cm, tan30=，即 DE = cm,AD根据勾股定理得：AE=阴亍? =2、兀 cm , M 为 AE 的中点， AM =*AE= Vcm ,在 RtA

49、ADE 和 RtAPNQ 中，(AD二PN RtAADE 也 RtAPNQ(HL), DE=NQ,ZDAE =/NPQ=30,/ PN / DC ,/PFA=ZDEA=60, / PMF=90 ,即 PM 丄 AF,在 RtAAMP 中，/ MAP =30 cos30=辿,AP AP= =-=2cm；cosSO5V3由对称性得至 U AP DP=AD - AP=3 - 2=1cm,综上,AP等于 1 cm 或 2cm.故答案为：1 或 2.A P， P D点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与 性质是解本题的关键.16.（2014?泰州，第 22 题，

50、10 分）图、分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板 CD 长为 1.6m, CD 与地面 DE 的夹角/ CDE 为 12支架 AC 长为 0.8m,/ ACD 为80 求跑步机手柄的一端 A 的高度 h （精确到 0.1m）.（参考数据：sin12cos78 0.21 sin68=cos22 0.93tan68 2.48考点：解直角三角形的应用分析：过 C 点作 FG 丄 AB 于 F，交 DE 于 G .在 RtAACF 中，根据三角函数可求 CF，在 RtACDG 中，根据三角函数可求 CG,再根据 FG=FC+CG 即可求解.解答：解：过 C 点作 FG 丄 AB 于 F，交

51、 DE 于 G ./ CD 与地面 DE 的夹角/ CDE 为 12 / ACD 为 80/ ACF=90+12 - 80=22 ,/ CAF=68 ,在 RtAACF 中，CF=AC?sin/CAF0.744m,在 RtA CDG 中，CG=CD?sin / CDE0.336n, FG = FC+CG 1.Hn.故跑步机手柄的一端 A 的高度约为 1.1 m.知识解决实际问题.17.( 2014?畐建泉州，第 26 题 14 分)如图，直线y- x+3 与 x, y 轴分别交于点 A, B,与反比例函数的图象交于点P (2, 1).(1) 求该反比例函数的关系式；(2) 设 PC 丄 y 轴

52、于点 C,点 A 关于 y 轴的对称点为 A;1求 ABC 的周长和 sin/ BAC 的值；2对大于 1 的常数 m,求 x 轴上的点 M 的坐标，使得 sin/ BMC=考点：反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的判定与性质;垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义专题：压轴题；探究型.分析：(1)设反比例函数的关系式 y=，然后把点 P 的坐标(2, 1)代入即可.(2)先求出直线 y= - x+3 与 x、y 轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出厶A BC此题考查了解直角三角形的应用，主要是 三角函数的基本概念及运算，关键是用数学的周长；过点 C 作

53、CD 丄 AB,垂足为 D，运用面积法可以求出 CD 长，从而求出 sin / BAC的值.由于 BC=2, sin/BMC=1，因此点 M 在以 BC 为弦，半径为 m 的OE 上，因而点ITM 应是OE 与 x 轴的交点.然后对OE 与 x 轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点M 的坐标.解答：解：(1)设反比例函数的关系式 y=，.x点 P (2, 1)在反比例函数y=h的图象上，x k=2X1=2.反比例函数的关系式 y=.x(2)过点 C 作 CD 丄 AB,垂足为 D,如图 1 所示.当 x=0 时，y=0+3=3 ,则点 B 的坐标为

54、(0, 3). OB=3.当 y=0 时，0= - x+3,解得 x=3,则点 A 的坐标为(3, 0), OA=3.点 A 关于 y 轴的对称点为 A, OA OA=3. PC 丄 y 轴，点 P (2, 1), OC=1 , PC=2 . BC=2./ AOB=90 OA OB=3 , OC=1, A=3 伍,AC=V!5. ABC 的周长为 3弓+小万+2 . &ABC=2BC?AO=2AB?CD,2 2 BC?A O=A B?CD. 2X3=3 逅XCD. CD2./ CD 丄 A B, sin/ BAC= = =二.C VI5 5 ABC 的周长为 3+ 一 TI+2 , s

55、in/BAC 的值为 -.5当 1vmv2 时，作经过点 B、C 且半径为 m 的OE,连接 CE 并延长，交OE 于点 P,连接 BP, 过点 E 作 EG 丄 OB，垂足为 G,过点 E 作 EH 丄 x 轴，垂足为 H，如图 2所示./ CP 是OE 的直径， / PBC=90 . sin/ BPC=PC 2irIT/ sin/ BMC=_IT / BMC= / BPC.点 M 在OE 上.点 M 在 x 轴上点 M 是OE 与 x 轴的交点./ EG 丄 BC， BG=GC=1 . OG=2 ./ EHO= / GOH = / OGE=90四边形 OGEH 是矩形. EH = OG=2，EG=OH./ 1vmv2， EHEC.OE 与 x