2025广东省深圳市中考数学复习分类汇编《函数综合题》含答案解析

专题16解答压轴函数综合题

一、解答题

1.（2024.广东深圳•统考中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺

垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为无，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小

组选择不同位置测量数据如下表所示，设5。的读数为无，CD读数为》抛物线的顶点为C.

并求出y与尤的关系式;

（2）如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-/z）2+Z的顶点为C,该数学兴趣小组用水平

和竖直直尺测量其水平跨度为A3,竖直跨度为CD,且=CD=n,为了求出该抛物线的开口大

小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：

方案一：将二次函数,平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为y=.

①此时点B'的坐标为

②将点3'坐标代入＞中，解得；（用含〃的式子表示）

方案二：设C点坐标为他㈤

①此时点B的坐标为；

②将点8坐标代入y=a（x—〃了+女中解得。=；（用含加，”的式子表示）

（3）【应用】如图4,已知平面直角坐标系xQy中有A,8两点，AB=4,且AB〃x轴，二次函数

。1：%=2（%+/7）2+左和。2：%=。（％+力）2+人都经过48两点，且Ci和。2的顶点尸，。距线段A5的

距离之和为10,若AB〃x轴且AB=4,求。的值.

2.（2023・广东深圳•统考中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人

们可以吃到反季节蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，

这样就形成了一个温室空间.如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线构成，其

中A3=3m,BC=4m,取中点O,过点。作线段的垂直平分线交抛物线AED于点E,

若以。点为原点，所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系.

请回答下列问题：

（1）如图，抛物线AEO的顶点后（0,4）,求抛物线的解析式；

（2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LEGT,SMNR,若

FL=NR=Q75m,求两个正方形装置的间距GM的长；

（3）如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为5K,求的长.

3.(2022・广东深圳•统考中考真题)一个玻璃球体近似半圆O,A3为直径，半圆。上点。处有个吊灯

EF//AB,。0,48,所的中点为。,。4=4.

(1)如图①，CM为一条拉线，M在08上，0M=1.6,。尸=0.8,求CZ)长度.

(2)如图②，一个玻璃镜与圆。相切，H为切点，M为。8上一点，为入射光线，为反射光线,

3

ZOHM=ZOHN=45°,tanZCOH='，求ON的长度.

4

(3)如图③，M是线段上的动点，为入射光线，NHOM=50。，/W为反射光线交圆。于点N,

在M从。运动到8的过程中，求N点的运动路径长.

4.(2024•广东深圳•盐田区一模)【项目式学习】

项目主题：车轮的形状

项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮

制作成圆形的相关原理.

【合作探究】

(1)探究A组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变.另外圆形车

轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的.如图1,圆形车轮半径为4cm,其车轮最高点到地面

的距离始终为cm；

(2)探究B组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化.如图2,正方形车轮的轴心为。,

若正方形的边长为6cm,车轮轴心。距离地面的最高点与最低点的高度差为cm；

(3)探究。组：如图3,有一个正三角形车轮，边长为6cm,车轮轴心为。(三边垂直平分线交点),

车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点。经过的路径长.

探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动.

【拓展延伸】

如图4,分别以正三角形的三个顶点A,B,C为圆心，以正三角形的边长为半径作60。圆弧，这样形成

的曲线图形叫做“莱洛三角形”.“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物

体也能够保持平衡，但其车轴中心。并不稳定.

(4)探究。组：使“莱洛三角形”以图4为初始位置沿水平方向向右滚动.在滚动过程中，其“最高点”

和“车轮轴心。”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮

轴心。”所形成的图形按上、下放置，应大致为.

5.(2024•广东深圳•福田区三模)背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物

体的成像差异，来计算距离的方法.它在“4”领域有着广泛的应用.

材料一：基本介绍

如图1,是双目视觉测距的平面图.两个相机的投影中心。/,。，的连线叫做基线，距离为3基线与左、

右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距力两投影面的长均为/G,/,/是同型号双目相机中，内置

的不变参数)，两投影中心。/,。,分别在左、右投影面的中心垂直线上.根据光的直线传播原理，可以确

定目标点尸在左、右相机的成像点，分别用点片，匕表示.4，4分别是左、右成像点到各投影面左端

的距离.

p

材料二：重要定义

①视差——点P在左、右相机的视差定义为d=|4-41

②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面

上均不能形成成像点，则该区域称为盲区(如图2,阴影区域是盲区之一).

③感应区一承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区.

材料三：公式推导片段

以下是小明学习笔记的一部分：

京沪f_EP,_FP

△POQ,r

如图3,显然,△。甲/\O,.PrF/\POrH,可得一—----------

Z

Q,HOrH

EPi+FP.

所以，-(依据)…

Z

O,H+OrH

图3图4

任务:

(1)请在图2中(A,B,C,。是两投影面端点)，画出感应区边界，并用阴影标示出感应区.

(2)填空：材料三中的依据是指；已知某双目相机的基线长为200mm,焦距/为4mm,则位

于感应区的目标点尸到基线的距离z(mm)与视差d(mm)之间的函数关系式为

（3）如图4,小明用（2）中那款双目相机（投影面CO长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体〃正

好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知〃的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感

应区时，dx=0.05mm,当M刚好经过点。，.的正上方时，视差d=0.02mm,在整个成像过程中，d呈

现出大一小一大的变化规律，当［恰好减小到上述4的;时，开始变大.

①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛

物线的表达式为（友情提示：注意横、纵轴上的单位：lm=1000mm）；

②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度.

6.（2024•广东深圳S3校联考二模）【项目式学习】

项目主题：设计落地窗的遮阳篷

项目背景：小明家的窗户朝南，窗户的高度AB=2m，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳蓬

的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务.

方案1：直角形遮阳篷

如图1,小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷点C在A5的延长线上

图1

（1）若6C=0.5m,C£）=lm,则支撑杆—m.

（2）小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图2,他观察到此地一年中的正午时刻，太阳光与地平

14

面的最小夹角为小最大夹角为小小明查阅资料，计算出tana=3,tanj3=~,为了让遮阳篷既能最

大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与5。平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与

AD平行）.请求出图2中5C,CD的长度.

c

(3)如图3,为了美观及实用性，小明在(2)的基础上将CD边改为抛物线形可伸缩的遮阳篷，点P为抛

物线的顶点，段可伸缩)，且NCED=90°,BC,CD的长保持不变.若以C为原点，CD方向为

尤轴，方向为y轴.

①求该二次函数的表达式.

②若某时刻太阳光与水平地面夹角。的正切值tan8=|使阳光最大限度地射入室内，求遮阳蓬点。上升

的高度最小值(即点DC至CD的距离)

7.(2024•广东深圳33校联考一模)如图1,一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口〃离地竖直高度为〃=1.2

米.建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象,

把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=2米，竖直高度跖=0.7米，下边缘抛物线是由

上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌

(2)求下边缘抛物线与％轴交点3的坐标;

(3)若d=3.2米，灌溉车行驶时喷出的水(填“能”或“不能”)浇灌到整个绿化带.

8.(2024•广东深圳•南山区一模)己知一次函数丁=米+/?仕。0)的图象与二次函数y=g(x+2)2—2的

图象相交于点4(1,7"),6(—2,〃).

(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；

1

(2)根据函数图象，直接写出不等式6+b<5(x+2)92-2的解集；

(3)当—时，抛物线y=a(x+2)2—2与直线y=”只有一个交点，求〃的取值范围；

(4)把二次函数y=](x+2)2—2的图象左右平移得到抛物线G：y=-(x-/n)2-2,直接写出当抛物

线G与线段AB只有一个交点时机的取值范围.

9.(2024•广东深圳•罗湖区模拟)如图，在平面直角坐标系中，。为原点，已知4(2,0)、C(l,3石)，将

.OAC绕AC的中点旋转180。，点。落到点8的位置，抛物线y=2氐经过点A,点。是抛物线

的顶点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)判断点B是否在抛物线上;

（3）若点尸是线段。4上的点，且NAPD=NQ4B,求点P的坐标;

（4）若点P是x轴上的点，以P、A、〃为平行四边形的三个顶点作平行四边形，使该平行四边形的另一

个顶点在y轴上，请直接写出点尸的坐标.

10.（2024•广东深圳•宝安区三模）根据以下素材，探索完成任务.

如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？

图1中有一座拱桥，图2是其

素抛物线形桥拱的示意图，某时

——--------1-

材测得水面宽20m,拱顶离水面//'\Siw

Z.________________\J

1阖谬!•---------2QmT

15m.据调查，该河段水位在

mi阳2

此基础上再涨1.8m达到最高.

为迎佳节，拟在图1桥洞前面

的桥拱上悬挂40cm长的灯

笼，如图3.为了安全，灯笼底桥横n产刖

素

部距离水面不小于1m；为了/安全距离：

材

实效，相邻两盏灯笼悬挂点的/；最高

2水位

水平间距均为1.6m；为了美

图3

观，要求在符合条件处都挂上

灯笼，且挂满后成轴对称分布.

问题解决

任

务确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式.

1

任

在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标

务探究悬挂范围

的最小值和横坐标的取值范围.

2

任给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，

拟定设计方案

务求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标.

11.（2024・广东深圳•福田区二模）根据以下素材，探索完成任务.

如何设计喷泉安全通道？

在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿

梭过程中人的高度变化忽略不计）.

图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化

素

而上下移动.不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的

材♦

一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的M1

1图

右侧.i

图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的/

0M

素示意图，水落地点离喷水口的距离为4m,水柱最高点离图2

材地面3m./A

2图3是某一时刻时，水柱形状的示意图.Q4为喷水管，B为水

A

的落地点，记02长度为喷泉跨度.

0B

图3

素安全通道CD在线段上，若无论喷头高度如何变化，水柱都

A

材不会进入CD上方的矩形区域，则称这个矩形区域CDEF为安/

3全区域.ocDBM

图4

问题解决

任在图2中，以。为原点，所

务确定喷泉形状.在直线为无轴，建立平面直角坐

1标系，求出抛物线的函数表达式.

任若喷水管。4最高可伸长到

务确定喷泉跨度的最小值.2.25m,求出喷泉跨度的最

2小值.

现在需要一条宽为2m的安全通

道CD,为了确保进入安全通道

任

CD上的任何人都能在安全区域

务设计通道位置及儿童的身高上限.

内，则能够进入该安全通道的人

3

的最大身高为多少？（精确到

0.1m）

12.（2024•广东深圳•光明区二模）【项目式学习】

项目主题：学科融合一用数学的眼光观察世界

项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成

像规律.

项目素材：

素材一：凸透镜成像规律：

像的大像的正

物体到凸透镜距离像到凸透镜距离

小倒

大于1倍焦距小于2倍焦

大于2倍焦距缩小倒立

距

2倍焦距2倍焦距等大倒立

大于1倍焦距小于2倍焦

大于2倍焦距放大倒立

距

小于焦距与物同侧放大正立

素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变：平行于主光轴的光线经过折射后

光线经过焦点.

项目任务：

任务一：凸透镜的焦距。尸为6cm,蜡烛A3的高为4cm,离透镜中心。的距离是9cm时，请你利用所

ON

学的知识填空：①——=,②MN=—；

0B

任务二：凸透镜的焦距OF为6cm,蜡烛A3是4cm,离透镜中心。的距离是xcm(%>6)时，蜡烛的成

像"N的高,请你利用所学的知识求出y与x的关系式:

任务三：

(1)根据任务二的关系式得出下表:

物距

810121416

x/cm

像高

1264m2.4

y/cm

其中；

(2)请在坐标系中画出它的图像:

14

12

10

8卜

6

4-

2

68101214161820*

（3）根据函数关系式，结合图像写出1条你得到的结论:

13.（2024・广东深圳-33校三模）数学活动：如何提高篮球运动罚球命中率一以小华同学为例活动背景：

某学校体育节进行班级篮球比赛，在训练过程中发现小华同学罚球命中率较低，为帮助小华同学提高罚球

命中率，该班数学小组拍摄了如下图片并测量了相应的数据（图片标注的是近似值）.

（1）模型建立：如图所示，直线AE是地平线，A为小华罚球时脚的位置，篮球在运动过程中8、D、F

为篮球的三个不同位置，8点为球出手时候的位置.已知

AB=1.75m,CD-3.202m,EF-3.042m,AC=2.2m,AE—3.8m,篮球运动轨迹是抛物线的一部分，

数学小组以A、B、C、D、E、尸中的某一点为原点，水平方向为％轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标

111

系，计算出篮球的运动轨迹对应的抛物线解析式为丁=-1/9+记x,根据解析式，请你判断该数学小组

是以点（填A、B、C、。、E、尸中的一个）作为坐标原点.

©©

I;

II

I

I

III

III

III

ACE

（2）问题解决：已知篮球框与罚球线水平距离为4米，距离地面为3米，请问在（1）的情况下，小华的

这次罚球能否罚进？并说明理由.

（3）模型应用：如下图所示为抛物线y=-y/+x+2的一部分函数图象，抛物线外一点尸（4,3）,试通

过计算说明在不改变抛物线形状的情况下，把原抛物线向上平移多少个单位，能使平移后的抛物线经过点

P.

14.（2024•广东深圳•龙华区二模）【项目式学习】

项目主题：合理设计智慧泉源

项目背景：为加强校园文化建设，学校计划在原有的喷泉池内增设一块矩形区域，安装LEO发光地砖灯，

用于展示校园文化标语，要求该矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，因此需要对原有喷泉的喷头竖直高度

进行合理调整.围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习.

任务一测量建模

（1）如图1,在水平地面上的喷泉池中心有一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线.经

过测量，水柱的落点均在水平地面半径为2米的圆上，在距池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高

度为1.25米.学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为无轴，竖直方向为y轴建

立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不

需写自变量的取值范围）；

任务二推理分析

（2）学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，

当喷头竖直高度增加九米，水柱落点形成的圆半径相应增加d米，〃与d之间存在一定的数量关系，求出

与1之间的数量关系式；

任务三设计方案

(3)现计划在原有喷水池内增设一块矩形区域ABCD,48=1.4米，5c=0.4米，增设后的俯视图如

图3所示，A5与原水柱落点形成的圆相切，切点为A5的中点P.若要求增设的矩形区域ABCD被喷泉

喷出水柱完全覆盖，则喷头竖直高度至少应该增加米.

15.(2024・广东深圳・罗湖区二模)综合与应用

如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分.建立如图2所

示的平面直角坐标系运动员从点4(0,10)起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y(m)

与水平距离x(m)满足二次函数的关系.

(1)在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表:

水平距离X

011.5

(m)

竖直高度y

10106.25

(m)

根据上述数据，求出y关于x的关系式；

(2)在(1)这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长;

(3)信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为Mm),从到达到最高点8开始计时，则他

到水面的距离//(m)与时间，(s)之间满足〃=—5/+k.

信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270c动作.

问题解决：

①请通过计算说明，在(1)的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？

②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度y(m)与水平距离x(m)的关系为

丁=依2_依+10(。＜0),若选手在达到最高点后要顺利完成270c动作，则。的取值范围是.

16.(2024.广东深圳•罗湖区三模)【项目式学习】

项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？

项目背景：

任务一：确定滑道的形状

(1)图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图.AC垂

直于水平底面点。到A之间的滑道呈抛物线型，已知AC=3m,BC=4m,且点B处于跳台滑道

的最低处，在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式.

任务二：确定运动员达到最高点的位置

(2)如图3,某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件：

①运动员滑出路径与。、A之间的抛物线好年用回，

②该运动员在底面上方竖直距离9.75m处达到最高点P

③落点。在底面BC下方竖直距离2.25m.

在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离.

任务三：确定拍摄俯角a

(3)高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4,有一台摄像机M进行跟踪拍摄：

①它与点2位于同一高度，且与点8距离25.5m；

②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为1；

③在平面直角坐标系中，设射线肱V的解析式为y=Ax+b(左/0),其比例系数上和俯角a的函数关系如

图5所示.

若要求运动员的落点。必须在摄像机M的视角范围内，则俯角1至少多少度(精确到个位)？

度

3s

17.（2024・广东深圳•南山区三模）【问题背景】

水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂.图

1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭.

图I图2

【实验操作】

为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离X（单位：m）

与飞行时间/（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为：x=3t.同时也收集了飞行高度J（单位：m）

任务1：求丁关于/的函数表达式.

【反思优化】

图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为PQ）,

当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段A5为水火箭回收区域，已知

AP=42m，AB=(180-24)m.

任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为0m）时，求水火箭飞行的水平距离.

任务3：当水火箭落到A5内（包括端点A,B）,求发射台高度的取值范围.

18.（2024・广东深圳•南山区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数丁=-必+法+。的图象与轴交

于A,B点、,与y轴交于点。（0,3）,点B的坐标为（3,0）,点尸是抛物线上一个动点.

（1）求二次函数解析式；

（2）若P点在第一象限运动，当尸运动到什么位置时，△5PC的面积最大？请求出点尸的坐标和△3PC

面积的最大值；

（3）连接尸。，PC,并把△POC沿CO翻折，那么是否存在点P,使四边形POPC为菱形；若不存在,

请说明理由.

喷出的水柱最外层的形状为抛物线.以水平E处，正上方有一树枝叶孔旋转

方向为无轴，点。为原点建立平面直角坐标式喷洒水柱外端刚好碰到树叶F

系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点。的最低处.

为水柱的最外落水点.

丙小组在甲小组基础上，测量得喷水口中心。到水柱的最外落水点。距离为半径，

建立C。半径为的扇形平面图（图3）.

问题解决

丁小组测量得喷头的高=2米，喷水口中心点。

3

到水柱的最外落水点D水平距离为8米，经过点

获取数据

任务

用

1

解决问题求出水柱所在抛物线的函数解析式.

13

丁小组测树叶尸距水平地面最低高度=^米，点

获取数据

任务产在抛物线上且离水喷头水平距离较远，E在OD上，

2ODVEF.

解决问题求OE的长.

丁小组观察自动旋转式洒水喷头可顺、逆时针往返喷

任务洒，可平面旋转角度不超过240。，求：

推理计算

3①这个喷头最多可洒水多少平方米？

②在①条件下，此时DD的长.

20.（2024・广东深圳•红岭中学模拟）已知抛物线丁=%2+2尤-3.

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）将该抛物线向右平移机（机＞0）个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求机的值.

专题16解答压轴函数综合题

一、解答题

1.（2024.广东深圳•统考中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺

垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为无，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小

组选择不同位置测量数据如下表所示，设5。的读数为无，CD读数为》抛物线的顶点为C.

并求出y与尤的关系式;

（2）如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-/z）2+Z的顶点为C,该数学兴趣小组用水平

和竖直直尺测量其水平跨度为A3,竖直跨度为CD,且=CD=n,为了求出该抛物线的开口大

小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：

方案一：将二次函数,平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为y=.

①此时点B'的坐标为

②将点3'坐标代入＞中，解得；（用含〃的式子表示）

方案二：设C点坐标为他㈤

①此时点B的坐标为；

②将点8坐标代入y=a（x—〃了+女中解得。=；（用含加，”的式子表示）

（3）【应用】如图4,已知平面直角坐标系xQy中有A,8两点，AB=4,且AB〃x轴，二次函数

。1：%=2（%+/7）2+左和。2：%=。（％+力）2+匕都经过48两点，且Ci和。2的顶点尸，。距线段A5的

距离之和为10,若AB〃x轴且AB=4,求。的值.

【答案】（1）图见解析，=-x2；

74

（1、4〃（1、4〃

（2）方案一：@-m,n；②一■；方案二：0h+-m,k+n；②一■；

【2）m2I2）m2

（3）。的值为J或一彳.

22

【解析】

【分析】（1）描点，连线，再利用待定系数法求解即可；

（2）根据图形写出点3,或点B的坐标，再代入求解即可；

（3）先求得4（—万一2,8+左），B（-h+2,S+n）,G顶点坐标为P（—〃，k）,再求得G顶点距线段AB

的距离为|（8+左）-左|=8,得到的顶点距线段A3的距离为10-8=2,得到的顶点坐标为

0（-410+左）或0（-人,6+左），再分类求解即可.

【小问1详解】

解：描点，连线，函数图象如图所示，

设抛物线的解析式为y^ax2+bx+c,

c=0

由题意得＜4〃+2b+c=1,

16a+4b+c=4

Cl———

4

解得］b=0,

c=0

与x的关系式为y=-；

【小问2详解】

解：方案一：①=CD=n,

：.D'B'=-m,

2

此时点5'的坐标为Qm,〃］；

故答案：

解得a——-,

故答案为：一Y；

方案二：①：C点坐标为伍,女），AB=m,CD=n,

DB=—m,

此时点5的坐标为1/z+g加，左+〃

故答案h+—2m.k+nJ-

②由题意得k+n=ah+—m—h+k,

2

解得a——-,

m

4-n

故答案为：一Y;

m

【小问3详解】

解：根据题意和。2的对称轴为左=—“，

则A（—〃—2,8+左），B（-/z+2,8+M）,C的顶点坐标为P（—〃，k）,

：.C,顶点距线段AB的距离为|（8+左）_引=8,

/.C2的顶点距线段AB的距离为10—8=2,

C2的顶点坐标为。（—始0+左）或。（—"6+左），

当。2的顶点坐标为0（—阳。+左）时，y2=a（x+hf+10+k,

将A（—/z—2,8+左）代入得4。+10+左=8+左，解得a=——；

当G的顶点坐标为。（一〃，6+左）时，%+6+左，

将4（—力一2,8+左）代入得4。+6+左=8+左，解得a=g；

综上，。的值为;或—.

【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，抛物线的平移等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关

键.

2.（2023・广东深圳•统考中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人

们可以吃到反季节蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，

这样就形成了一个温室空间.如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其

中A5=3m,BC=4m,取中点O,过点。作线段的垂直平分线OE交抛物线于点E,

若以。点为原点，所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系.

请回答下列问题：

（1）如图，抛物线的顶点后（0,4）,求抛物线的解析式;

（2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT,SMNR,若

FL=NR=0.75m,求两个正方形装置的间距GM的长；

（3）如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为3K,求BK的长.

(2)0.5m

【解析】

【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为丁=。必+4,求出A点坐标，待定系数法求出函数解析式

即可；

(2)求出y=3.75时对应的自变量的值，得到FN的长，再减去两个正方形的边长即可得解；

(3)求出直线AC的解析式，进而设出过点K的光线解析式为y=-1x+〃?，利用光线与抛物线相切，求

4

出加的值，进而求出K点坐标，即可得出3K的长.

【小问1详解】

解：：抛物线AED的顶点£(0,4),

设抛物线的解析式为y=ax2+4,

•..四边形ABC。为矩形，OE为的中垂线，

AD=BC=4m,OB=2m,

*.*AB=3m,

点A(-2,3),代入y=ax2+4,得：

3=4Q+4,

.1

ci——,

4

1,

.••抛物线的解析式为y=-7V+4；

【小问2详解】

•..四边形LFGT,四边形SMM?均正方形，FL=NR=Q75m,

：.MG=FN=FL=NR^0J5m,

延长“交于点延长RN交BC于点、J,则四边形FH/N,四边形A3EH均为矩形，

FH=AB=3m,FN=HJ,

：.HL=HF+FL=3J5m,

1,1,

•••y=——X2+4,当y=3.75时，3.75=——x2+4,解得：=±l,

-4-4x

.•.〃(-1,0)，J(1,0),

FN=HJ=2m,

:.GM=FN—FG—MN=Q5m；

【小问3详解】

,••50=4111,OE垂直平分BC,

OB=OC-2m,

.-.B（-2,0）,C（2,0）,

设直线AC的解析式为y=kx+b,

2k+b=0

贝U：\,解得:

-2k+b=3

b=-

2

.33

..y——xH—,

42

•••太阳光为平行光,

3

设过点K平行于AC的光线的解析式为y=--x+m,

4

3

由题意，得：丁=-二力+根与抛物线相切，

4

12,

y=——x+4

4

联立《3，整理得：X2—3x+4m—16=0，

y=—x+m

4

73

则：A=(-3)2-4(4m-16)=0,解得:m=一

16

37373

=——x-\----当y=o时,x=一

••y41612

vB(-2,0),

・・・BK2+"m

1212

【点睛】本题考查二次函数的实际应用.读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想,

进行求解，是解题的关键.

3.(2022.广东深圳•统考中考真题)一个玻璃球体近似半圆O,A3为直径，半圆。上点C处有个吊灯

EF//AB,。0,45,£尸的中点为。,。4=4.

(1)如图①，CM为一条拉线，M在03上，0M=1.6,。尸=0.8,求。长度.

(2)如图②，一个玻璃镜与圆。相切，H为切点、,M为OB上一点,为入射光线，NH为反射光线，

3

ZOHM=ZOHN=45°,tanZCOH=—，求ON的长度.

4

(3)如图③，M是线段。3上的动点，为入射光线，/网如=50。,冽为反射光线交圆。于点乂

在M从。运动到B的过程中，求N点的运动路径长.

【答案】(1)2(2)0N=—

7

“16

(3)4+—兀

9

【解析】

【分析】(1)由。尸=0.8,=1.6,DF//05,可得出止为7coM的中位线，可得出。为CO中点，

即可得出CD的长度；