次函数与三角形的存在性问题的解法

1、二次函数与三角形的存在性问题一、预备知识1、坐标系中或抛物线上有两个点为 P (x1, y), Q (x2, y)x(1)线段对称轴是直线x1 x22(2)AB两点之间距离公式:PQ.(Xi X2)2 (yi y2)2xiX2 yiy2中点公式：已知两点2 、两直线的解析式为y kix bi与y k2x b2如果这两天两直线互相垂直，则有 ki k2i3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：Li: y=kix+bi L2 : y=k2x+b2(I)当 ki=k2, biwb2 , Li / L2(2)当 ki wk2, Li 与 L2 相交(3) Kixk2= -i 时，Li 与 L2

2、垂直二、三角形的存在性问题探究：三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形(一)三角形的性质和判定：1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45。判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60，三

3、线合一，具有等腰三角形的一切性质。判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。总结：（1）已知A、B两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A、 B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上（ 2） 已知A、 B 两点， 通过 “两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点 （不与A、B点重合）即在圆上以及在两条与直径 AB垂直的直线上。（二）关于等腰三角形找点（作点）和求点的不同，1 、等腰三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作等腰三角形，运用两园一线法，在图 上找出存在点的个数，只找不求。2 、等腰三角形

4、求点方法：以已知边为边长，在抛物线或坐标轴或对称轴上找点，与已知点构成等腰三角形，先设所求点的坐标，然后根据两点间的距离公式求出三点间的线段长度，然后分顶点进行讨论，如：已知两点A B,在抛物线上求一点C,使得三角形ABC为等腰三角形解法：这是求点法：先运用两点间的距离公式分别求出线段AB BC AC 的长度，第二步，作假设，（1）以点A为顶点的两条腰相等，即AB=AC（2）以点B为顶点的两条腰相等，即BA=BC （3）以点C为顶点的两条腰相等，即 CA=CB第三步，根据以上等量关系，求出所求点的坐标第四步进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。如：已知两点A B,在抛物

5、线上求一点C,使得三角形ABC为等腰三角形解法：这是求点法：先运用两点间的距离公式分别求出线段AB BC AC的长度，第二步，作假设，(1)以点A为顶点的两条腰相等，即AB=AC(2)以点B为顶点的两条腰相等，即BA=BC(3)以点C为顶点的两条腰相等，即CA=CB第三步，根据以上等量关系，求出所求点的坐标第四步，进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。(三)关于直角三角形找点和求点的方法1、直角三角形找点(作点)方法：以已知边为边长，作直角三角形，运用两线一园法，在图 上找出存在点的个数，只找不求。所谓的两线就是指以已知边为直角边，过已知边的两个端点分 别作垂线与抛物线

6、或坐标轴或对称轴的交点，就是所求的点；一圆就是以已知边为直径，以已知 边的中点作圆，与抛物线或坐标轴或对称轴的交点即为所求的点。2、具体方法(1) ki k2 1 ；(2)三角形全等(注意寻找特殊角，如30、60、45、90 )(3)三角形相似；经常利用一线三等角模型(4)勾股定理；当题目中出现了特殊角时，优先考虑全等法三、二次函数的应用：1 、应用类型一、利用二次函数求实际问题中的最大(小)值：这类问题常见有面积、利润销售量的最大(小)值，一般这类问题的解题方法是：先表示出二次 函数关系式，再根据二次函数的最值问题来求解即可。2、应用类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题 ：3、应用类型三

7、、利用二次函数求跳水、投篮、网球等实际问题；四、等腰三角形的例题解析例题1、(扬州)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A (-1 , 0)、B (3, 0)、C (0, 3)三点，直线 l是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当 PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M使MAM等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)将A (-1, 0)、B (3, 0)、C (0, 3)代入抛物线y=ax2+bx+c中，得到抛物线的解析式：y=-x 2+2x+3.(2)二点A、B关于直线l对称，连接B

8、C直线BC与直线l的交点为P; p点即为所求的点。设直线BC的解析式为y=kx+b (k*0),将B (3, 0), C (0, 3)代入上式，得：直线BC的函数关系式y=-x+3;当x=1时，y=2,即P的坐标(1, 2).(3)抛物线的对称轴为：x=1,设M (1, mj),已知A (-1 , 0)、C (0, 3),则：MA=m2+4 MC2= (m -3) 2+1=m-6m+10, AC 2=10;(1) MA=MC 则 mA=M。得：m2+4=m6m+10,得：m=1若 MA=AC 则 MA=AC,得：m2+4=10,得：m=，6;若 MC=AC 则 MC=AC,得：m6m+10=1

9、Q 得：m1=0 m2=6设直线AC的解析式为y=k1x+b1 (k*0),将A (-1 , 0), C (0, 3)代入上式，得Y=3x+3,与直线x=1的交点坐标为(1,6),所以：当m=6时，M A C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的 M点，且坐标为M (1, 1), (1, -V6 ), (1, V6), (1, 0).易错点及方法总结：当以C为顶点的两条腰相等时，求出的点M有可能与AC共线，所以要进 行检验，这一点非常关键。以其它两点为顶点的两条腰相等时，不可能存在共线问题，所以不用 检验。五、直角三角形存在性问题汇总例1、如图：A(0, 1) B(4

10、, 3)是直线y=1/2x+1上的两点，点p是x轴上一点，若 ABP是 直角三角形，则点p的坐标是多少？解：(1)当/BAP为90时，因为LAB: y=1/2x+1 LAP1: y=-2x+1所以 pl (1/2 , 0)(2)当 / PBA=90 时，因为 LAB:y=1/2x+1 LAP2: y=-2x+11所以 p2 (11/2, 0)B作BDLX轴于D(3)当/ APB=90时，如图过点例2、(攀枝花)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A (-3, 0),B (1, 0),C (0, -3).(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设八 PAC的面积为S,求

11、S的最大值并求出此时 点P的坐标；(3)设抛物线的顶点为D, DHx轴于点E,在y轴上是否存在点M,使得AADM直角三角 形？若存在，请直接写出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)由于抛物线y=ax2+bx+c经过A (-3, 0), B (1, 0),可设抛物线的解析式为:y=a (x+3) (x-1 ),将 C点坐标(0,-3)代入，得：a (0+3) (0-1 ) =-3,解得 a=1 ,则y= (x+3) (x-1 ) =x2+2x-3 ,所以抛物线的解析式为：y=x2+2x-3 ;(2)过点P作x轴的垂线，交AC于点N.设直线AC的解析式为y=kx+mi,由题意，得直线AC

12、的解析式为：y= -x-3 . 设P点坐标为(x, x2+2x-3),则点N的坐标为(x, -x-3 ),. PN=(-x-3) - (x2+2x-3) =-x2-3x.11f h % W 3丫S = PN OA=-x5(-x -3xl=： X+- +vS；A PAGSA PAh+SA PCN .二 22翡 力当x=-2/3 时，S有最大值27/8,此时点P的坐标为(-3/2 , - 15/4 );(3)在y轴上是存在点M能够使得 ADMfe直角三角形.理由如下：. y=x2+2x-3=y= (x+1) 2-4 , .顶点 D的坐标为(-1 , -4),. A (-3, 0), .aD= (-

13、1+3) 2+ (-4-0) 2=20.设点M的坐标为(0, t),分三种情况进行讨论：(1)A为直角顶点时，如图3，由勾股定理，得 aM+aD=dM,即(0+3) 2+ (t-0 ) 2+20= (0+1) 2+ (t+4) 2,解得t=3/2 ,所以点M的坐标为(0, 3/2);当d为直角顶点时，如图3，由勾股定理，得dM+aD=aM,即(0+1) 2+ (t+4) 2+20= (0+3) 2+ (t-0 ) 2,解得t=- 7/2 ,所以点M的坐标为(0, - 7/2 );当M为直角顶点时，如图3，由勾股定理，得AM+D认AD,即(0+3) 2+ (t-0 ) 2+ (0+1) 2+ (

14、t+4) 2=20,解得t=-1或-3,所以点M的坐标为(0, -1 )或(0, -3);综上可知，在y轴上存在点M能够使得 ADM直角三角形，此时点M的坐标为(0, 3/2)或(0, - 7/2 )或(0, -1 )或(0, -3).例3、如图，抛物线y x2 2x k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C (0, 3).在抛物线上求点Q,使BCQ1以BC为直角边的直角三角形.分析：定解法：有45可以考虑几何法。代数法虽然可以，但求解太麻烦，还有四次方解法 1: (1): / BCQ=90 ;作 Q口 y 轴因为：OC=OB=3,zOBE等腰直角三角形。所以：/ OCB=45 ; / FCQ=

15、45。则 QF=CF.设 Q (x, x 2-2x-3 )，则-(x2-2x-3 ) -3=x ,解得：x1 1；x2 0(舍去)所以 Q(1,-4)(2): /CBQ=90 ;作QFx轴 易得：/ QBF=45 ;则 QF叨等腰直角三角形设 Q （mi m2-2m-3） , m2-2m-3=3-m,解彳mi m1=3倍去）m2=-2 Q（-2,5）综上所述： Q1（ -2， 5） 、 Q2（ 1， -4） 2解法 2: Q（x，x 2x 3）BC232 32 182222QC2 x2 （2x x2）22222QB2 （3 x）2 （x2 2x 3）2后面利用勾股定理建立方程（过程略）解法3

16、:如图，过点B作BQLBC,交抛物线于点 Q1、交y轴于点E,连接Q1Cv / CBO=45 ,. / EBO=45 , BO=OE=3.二点E的坐标为（0, 3）. 直线BE的解析式为y x 3. 12分yx3，?x1= - 2,?x2 =3,由 yx2x3 解得?yi= 5；?y2=0.点Q1 的坐标为（-2 , 5）.13 分如图14 （4）,过点C作CF,CB交抛物线于点 Q2交x轴于点F,连接BQ2v / CBO=45 ,. / CFB=45 , OF=OC=3.二点F的坐标为（-3, 0）.直线CF的解析式为y x 3. 14分yx3,叙=0,?& =1,由 yx22x3 解得 ?

17、y1= - 3；?y2 =- 4点Q2的坐标为（1, -4）.综上，在抛物线上存在点 Q1 （-2, 5）、Q2 （1,-4）,使4BCQ1 zBCQ犯以BC为直角边的直角三角形.点睛：（1）解法1在设点Q的坐标时，要考虑长度转化为坐标时，坐标所处的象限。（2）解法3 :关键抓住点Q是直线和抛物线的交点，所以可以联立两个解析式求交点坐标。（值得学习的一种求交点的方法。）例 4、 （东营）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2） ，点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2-ax-2 经过点B（ 1）求点 B 的坐标；（ 2）求抛物线的解析式；（

18、3）在抛物线上是否还存在点P （点B除外），使ACP0然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)过点B作BCLx轴，垂足为D,/ BCD+ ACO=90 , / AC0吆 OAC=90 ,/ BCD= CAO又BDCh COA=90 , CB=AC . .BDC COABD=OC=1CD=OA=2；点 B 的坐标为(3, 1);(2)二.抛物线 y=ax2-ax-2 过点 B (3, 1), . 1=9a-3a-2 ,解得：a=1,抛物线的解析式为y=x2-x-2 ;(3)假设存在点P,使彳# ACP是等腰直角三角形,若以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC得到等腰直角三角形 ACP1过点P1作P1MLx轴，如图(1),v CP1=BC / MCP1= BCD / P1MC = BDC=90 , .MP1窿ADB(C a CM=CD=2P1M=BD=1，P1 (-1 , -1),经检验点P1在抛物线y=x2-x-2上；若以AC为直角边，点A为直角顶点