【精品】初中数学02勾股定理的应用讲义+练习题

1、讲义主题：勾股定理的应用:课前纠错与课前回顾1、作业检查与知识回顾2、错题分析讲解(3)、课程内容讲解与课堂练习题模一：求线段长例 1.1.1 在 RtABC中，/ C=90° , AC=9 BC=12,则点 C 到 AB 的距离是（012B. 25例1.1.2如图.在 RtABC中，/ A=30° , DE垂直平分斜边则AC的长是（）D.史4AC交AB于D, E是垂足，连接CD 若 BD=1,B. 2D.例1.1.3如图，直线l过等腰直角三角形 ABC顶点B, A C两点到直线l（ ）4的距离分别是 2和3,则AB的长是A. 5C.例1.1.4如图，有一块直角三角形纸片，

2、两直角边 它落在斜边 AB上，且与AE重合，则CDI?于（11 AC 6 cm, )D.BC 8 cm.现将直角边 ACg直线A所叠，使C.4cm【讲透例题】题模一：求线段长例1.1.1【答案】A【解析】根据题意画出相应的图形，如图所示:在 RtAABC 中，AC=9, BC=12,根据勾股定理得：AB= hC BC2 =15,过C作CD ±AB ,交AB于点D ,又 Sa abc=一 AC?BC= - AB?CD , 223 回bc = u = 36AB 155则点C到AB的距离是36.5 故选A例1.1.2【答案】A【解析】/A=30°, ZB=90 °,Z

3、ACB=180 - 30 -90 =60°, DE垂直平分斜边 AC ,AD=CD ,/ A= / ACD=30 °,/ DCB=60 - 30 =30°, BD=1 ,CD=2=AD , . AB=1+2=3 , 在ABCD中，由勾股定理得： CB=/3,在4ABC中，由勾股定理得：AC=VAB2+BC2=25,故选：A .例1.1.3【答案】D【解析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，利用了转化的数学 思想，灵活运用全等三角形的判定与性质是解本题的关键.如图所示：. ABC为等腰直角三角形，AB=BC , / ABC=90

4、, / ABD+ / CBE=90 , 又 AD LBD , ./ ADB=90 , / DAB+ / ABD=90 ,/ CBE= / DAB , 在4ABD和4BCE中，ADB BEC 90DAB CBE , AB BC .ABD ABCE,BD=CE ,又 CE=3 ,BD=3 ,在 RtAABD 中，AD=2 , BD=3 ,根据勾股定理得：AB= 屈2_DB2 = 屈.故选D例1.1.4【答案】B 【解析】该题考查的是勾股定理的计算.AC 6, BC 8, C 90 ,AB 10 , AE 6 , BE 4, 设 CD x DE ,则在 RtADEB 中，2,22x 48 x ,故

5、x 3,故选B.【讲透考点】 求线段长 常用的方法有： 1.直接利用勾股定理：已知直角三角形的两条边，求另外一条； 2.通过设未知数，根据勾股定理列方程，解方程； 3.通过特殊三角形的比例关系来计算（仅限于选择、填空题中的快速计算）如上图，S ABC |ag|bO 1ABpD, CDAC|BCAB5 .挖掘题目中的隐含条件，通过全等三角形、等腰三角形等来求线段长；6 .做辅助线：根据题目中的条件，添加适当的辅助线，如垂直等进而解三角形.随练1.1已知一个直角三角形的两条直角边分别为随练 1.2 在 RtMBC中，/ ACB=90 / BAC=306cm, 8cm,那么这个直角三角形斜边上的高为

6、 cm,BC=2以余边AB为一边，作等边ABD则线段CD的长为【相似题练习】题模二：最短路径问题例1.2.1如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2, 一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）A. 3B.2C.而D.4例1.2.2如图，圆柱形玻璃杯，高为 6cm,底面周长为16cm,在杯内离杯底2cm的点C处有一滴蜂蜜，此时 一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点 A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.例1.2.3如图，是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为5m的半圆

7、，其边缘 AB=CD=20cm小明要在AB上选取一点E,能够使他从点D滑到点E再到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离为m （兀取3）【讲透例题】题模二：最短路径问题例1.2.1【答案】C【解析】该题考查最短路径求解.将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可.如图，AB Ji 2 2F 力？.故选C.例 1.2.2【答案】10【解析】该题考查的是最值问题. 圆柱的侧面展开图如下：以DG为对称轴做点 A的对称点L,连结CL则蚂蚁从A到C处的最短距离为 LC ,1根据轴对称性质可得 ALJKAAJK,又由题息得HI BC 16 8 ,2JLBHAJCI2 ,LBLJJB

8、BHJB6 ,RtALBC 中，CL Vbc""""LB2 V6282 10,AK CK CL 10 ,即蚂蚁到达蜂蜜处的最短距离为10cm.例 1.2.3【答案】10.1；【解析】其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F,连接DF,.中间可供滑行的部分的截面是半径为5m的半圆，BC=t R=5tt =15m, AB=CD=20m ,，CF=30m,在RtACDF中，df= Jcf ' +CD'二'3 0 '+213,，故他滑行的最短距离约为10J 13m.【讲透考点】勾股定理与最短距离在立体图形中，往往会涉及到求某两点

9、之间的最短路程问题，这就需要我们画出立体图形的展开图，然后利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”求出最短距离.【相似题练习】随练 1.34ABC中，AB=13, AC=15, BC边上的高 AD=12, 贝U BC=随练1.4如图所示，在 RtABC中，/ A=90° , BD平分/ ABC交AC于点D,且AB=4, BD=5,则点D到BC 的距离是（）D. 6A (2, 3), B (4, 1), A, B两点到“宝藏”点的距A. 3B. 4C. 5题模三：两点之间距离公式例1.3.1在一次“寻宝”人找到了如图所示的两个标志点离都是府,则“宝藏”点的坐标是（）A . (1, 0)C

10、. (1, 0)或(5, 4)B. (5, 4)D. (0, 1)或(4, 5)【讲透例题】题模三：两点之间距离公式 例1.3.1【答案】C【解析】本题考查了坐标的确定及利用两点的坐标确定两点之间的距离公式，是一道中难度题.根据两点之间的距离公式，d=M_x2)2诙了，将四个选项代入公式中，观察哪一个等于再作答. 设宝藏的坐标点为 C (x, y), 根据坐标系中两点间距离公式可知，AC=BC ,则(x-2) 2+ (y-3) 2= (x-4) 2+ (y-1) 2, 化简得x-y=1 ;又因为标志点到 宝藏”点的距离是 尺,所以(x-2) 2+ (y-3) 2=10;把x=1+y代入方程得，

11、y=0或y=4,即x=1或5, 所以宝藏” C点的坐标是(1, 0)或(5, 4).故选C.【讲透考点】三.两点间距离公式在平面直角坐标系中， 任意给定两点 A a, b , B c, d .过点A、B分别向坐标轴作垂线， 则AC b d| , BC |a c ,由勾股定理可得，AB Ja c2b d 2 .(初中阶段解答题中不能直接应用，如果需要，应【相似题练习】随练1.5如图，长方体的底面边长分别为 1cm和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点 A开始经过4个侧面缠 绕一圈到达点 B,那么所用细线最短需要 cm；如果从点 A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,那么所 用细线最短需要 cm.

12、随练1.6在平面直角坐标系中，已知点A (-75, 0), B(而,0),点C在坐标轴上，且 AC+BC=6写出满足条件的所有点C的坐标题模四：勾股定理与实际问题例2.1.1如图，有两棵树，一棵高 12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵 数的树梢，问小鸟至少飞行 米.例2.1.2如图，点A处有一所中学，点 A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？例2.1.3如图，一根长5米的竹篙AB斜靠在与

13、地面垂直的墙上，顶端A距离墙根4米，点P(1)若竹篙顶端 A下1t 1米，则底端B向外滑行了多少米？(2)若竹篙AB沿墙下滑，则在下滑过程中，点P到墙根端点C的距离是否发生变化？试说明理为竹篙的中点.由.例2.1.4如图，轮船从点 A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100km的点B处，再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200km的点C处.(1)求点C与点A的距离(精确到1km);(2)确定点C相对于点A的方向.(参考数据： 无1.414,点= 1.732 )【讲透例题】题模四：勾股定理与实际问题例 2.1.1【答案】10【解析】如图，设大树高为 A

14、B=12m，小树高为CD=6m,过C点作CEXAB于 巳 则四边形EBDC是矩形，连接 AC,EB=6m, EC=8m , AE=AB-EB=12-6=6 (m),在 RtAAEC 中，AC= V62 8 =10 (m).故小鸟至少飞行10m.故答案为：10.例 2.1.2【答案】会受到影响，影响时间为24s.【解析】会受到影响.因为 80 100 .当拖拉机距离中学 100以外时，不受影响，故 MN上距离A点100m处为受到影响的临界点 B,作AH，MN于H,有HB JAB2 AH 2 60 ,这样的点有两个，故影响的距离为120m,影响时间为 12018 3.624s.例 2.1.3【答案

15、】(1)竹篙顶端A下滑1米，则底端B向外滑行了 1米；(2)竹篙在下滑过程中，点 P到墙根端点C 的距离保持2.5m不变.【解析】(1)设竹篙顶端下滑1米到A,点，底端向外滑行到 B一点.由题意得 AA 1m, AC AC AA 3m, 在 RtACB1 中：B1C Jab2AC2 4m 在 RtACB 中：BC VAAC 3mBB1 B1C BC 1 m即竹篙顶端A下滑1米，则底端B向外滑行了 1米.(2)竹篙在下滑过程中，点P到墙根点C的距离不变.理由：连接CP,在 ACB中，1 _C 90 , AP PB, . CP -AB 2.5m2所以竹篙在下滑过程中，点P到墙根端点C的距离保持2.

16、5m不变.例 2.1.4【答案】(1) 173km (2)点C位于点A的南偏东75°方向【解析】(1)如右图，过点 A 作 ADLBC 于点 D, /ABE=/BAF=15 ,由图得，/ ABC= / EBC- / ABE= / EBC- / BAF=75 -15 =60° ,在 RtAABD 中，. / ABC=60 , AB=100 ,BD=50 , AD=50 . 3 , . CD=BC-BD=200-50=150 ,在RtAACD中，由勾股定理得：AC= VADCD2 =1005/3173( km).答：点C与点A的距离约为173km.(2)在 4ABC 中，.AB

17、2+AC 2=1002+ ( 100晶)2=40000,BC2=2002=40000,AB 2+AC2=BC2,/ BAC=90 ,/ CAF= / BAC- / BAF=90 -15 =75° .答：点C位于点A的南偏东75°方向.【讲透考点】勾股定理与实际问题利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：1 .认真审题，读懂题目，理解题意；2 .根据题意，画出相应的几何图形，并在图中标出相应的数量关系;3 .根据几何图形和数量关系，解三角形，求出答案；4 .作答.【相似题练习】随练2.1如图，受台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前(不包

18、括树根)长度是 m随练2.2如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物， 点C D是河岸b上的两点，A B的距离约为200米.某人在河岸 b上的点P处测得/ APC=75 , / BPD=30 ,则河流的宽度约为 米.随练2.3如图，OALOBW点Q OA 45cm, OB 15cm,小猫在点B处发现有一只老鼠自点 A出发正沿着 AO 方向匀速跑向点 Q小猫立即从B处出发，并以相同的速度匀速直线前进去拦截老鼠，在点C处截住小老鼠，求小猫跑过的路程 BC的长度.随练2.4如图，校园内有两棵树，相距 12米，一棵树 AB高13米，另一棵树 CD高8米.(1) 一只小鸟从一棵树的顶

19、端飞到另一棵树的顶端，至少要飞多少米？(2)如果两树之间的地面(线段 BC上有一些食物，小鸟要从一棵树的顶端飞到地面找食吃，再飞到另 棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？随练2.5超速行驶是引发交通事故的主要原因.上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速,如图，观测点设在到万丰路的距离为100米的点P处.这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为y m秒且 APO 60 , BPO 45 x(1)求A、B之间的路程；(2)请判断此车是否超过了万丰路每小时70千米的限制速度？(参考数据：& 1.41,弗1.73).随练2.6 一个长为10m的梯子斜靠在墙

20、上，梯子底端距墙底6m.(1)若梯子的底端水平向外滑动1m,梯子的顶端下滑多少米？(2)如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米?随练2.7如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60。方向走了 100/3 km到达B点，然后再沿北偏西 30。方向走了 100km到达目的地C点，求出A C两点之间的距离.三、课后练习(写出各题的主要解答过程。)作业1如图，将 ABC放在正方形网格图中(图中每个小正方形的边长均为1),点A, B, C恰好在网格图中a 10A .B.如的格点上，那么 ABC中BC的高是()C.疝5作业2将一个有45。角的三角板

21、的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30。角，如图，则三角板的最大边的长为（）A. 3cmB. 6cmC. 372cmD. 6 72cm作业3如图，D为ABC外一点，BD AD , BD平分 ABC的一个外角，C CAD ,若AB 5, BC 3,则BD的长为（）A . 1B. 1.5C. 2D. 3作业4如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A, B, C, D的边长分别是3, 5, 2, 3,则最大正方形 E的面积是（）A. 13B. 26C. 47D. 94作业5如图，在RtABC中，/ C=90° , AC=/3, BC=1, D在AC上，将 ADB沿直线BD翻折后，点 A落在 点E处，如果 ADL ED,那公' ABE的面积是（）3 ED 1 2d334作业6如图，在四边形 ABCM, / A=120° , / C=60° , AB=2, AD=DC=4则BC边的长为作业7如图，长方体的高BC 5 cm, 一只小蚂蚁从 A点爬到BC上某一点P,再爬到D点去吃糖，如果小蚂蚁走的最短路程是13cm,