现代数学与中学数学

1、现代数学与中学数学作业：1撰写有关现代数学在中学数学教学中的应用论文1篇（字数不少于2000字）2.结合教学实践，谈谈高等数学与中学数学结合的意义（字数不少于2000字）3.结合教学实践，撰写高等数学与初等数学结合的意义及教学策略。（字数不少于2000字）   对于30学分的作业，学员需把完成的3个作业分3次上传。1.根据数学概念的教学理论设计一个数学概念教学案 2.教学反思谈谈数学概念教学中的得与失  对于20学分的作业，学员需把完成的2个作业分2次上传。 集合思想在高中数学中的应用集合是近代数学中的一个重要概念，集合思想已成为现代数学的理论

2、基础，与高中数学的许多内容有着广泛的联系，中学数学所研究的各种对象都可以看作集合或集合中的元素，用集合语言可以明了地表述数学概念，准确、简捷地进行数学推理。集合论的创始人是徳国数学家康托尔（G.Cantor，1845 - 1918）。他的集合思想的主要特征包括概括原则、外延原则、一一对应原则和实无穷思想。其概括原则用于造集，外延原则保证了集合的确定性，一一对应原则引出了基数概念，揭示了无穷集的本质特征。三个原则的采用，使数学中引入了实无穷思想。数学教师在教学中还可以运用集合思想建立数学概念系统，或在复习教学中帮助学生归纳、整理数学知识。对于数学学习来说，要帮助学生养成这样一种集合的思维习惯：善

3、于把在某些方面有类似性质的对象（或满足某一条件的对象）放在一起视为一个集合，然后利用集合的有关概念或通过集合的有关计算来研究和解决问题。人教B版教材中更是注重了集合思想,下面谈谈教材在集合思想的突出应用：应用一：中学数学中常见的集合有（1）数集；（2）方程（或方程组的）解集；（3）不等式（或不等式组）的解集；（4）点集。只有深刻理解集合概念，明确集合中元素的属性，熟练地运用集合与集合的关系解决具体问题上下功夫,才能读懂用集合语言描述的数学命题，并顺利地用集合语言解答方程或不等式问题。例1：集合M=yy=x2-1,xR,N=xy=,则MN等于（     ）

4、分析：集合M中的元素是y,它表示函数y=x2-1的值域，从而M= yy-1.集合N中的元素是x,它表示函数y=的定义域，从而N= x .因此，MN=x例2：设f(x)=x2+ax+b,a,bR,A=xf(x)=x=a,求a,b.分析：A是方程f(x)=x的解集，A=a表示方程有两个相等的实根a 。方程即为x2+(a-1)x+b=0，又a是方程的解，由韦达定理可求a=,b=更为重要的是，集合思想沟通了数和形的内在联系，使得由某个图形性质给出的点集和满足某性质P的实数对组成的集合建立起一一对应的关系，进而使中学数学能够用代数方法解答几何问题，能够对代数命题给出几何解释，还能够通过几何图形来解决代数

5、问题。僻如新教材中球、椭圆、双曲线、抛物线等概念都是用集合定义的，形象又直观，便于学生理解。例3：集合A=(x,y)y=x + m,B=(x,y)y=,如果AB是单元素集，求m的取值范围。分析：集合A表示的是斜率为1的一组平行直线，集合B表示的方程变形为x2-y2=4(y0)，表示双曲线x2-y2=4在x轴下方的部分（包括两个交点），而AB是单元素集，则说明直线与半双曲线有一个公共点。如图：将双曲线的一条渐近线y=x分别向上、向下平移，可得m的取值范围是m-2或0<m2。集合的关系、集合的运算等都是从元素的角度予以定义的。因此，求解集合问题时，抓住元素的特征进行分析，就相当于牵牛抓住了牛

6、鼻子。应用二：主要表现为一个概念是另一个概念的一般化，或此概念是彼概念的特殊情形。用集合的包含关系建立概念系统，可以培养学生善于将概念推广的研究精神，并能帮助学生对数学定理、法则、公式等的认识进一步系统化，从而提高学习质量。如：正方体长方体直平行六面体平行六面体四棱柱棱柱；数列与函数两概念；互斥事件与对立事件两概念等。例：给出四个命题：（1）各侧面是正方形的棱柱都是正棱柱，（2）对角面是全等矩形的六面体一定是长方体，（3）有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，（4）长方体一定是正四棱柱。其中正确命题的个数是：A .0  B.1  C.2  D.3分析：借助集合间

7、的关系，明确各概念的联系和区别。此题选A。    例：数列an是等差数列，a1=50,d= -0.6，求此数列的前n项和的最大值。分析：数列的定义域是正整数集（或它的有限子集1、2、3、4、n），因此可把数列作为特殊函数理解。思路1：表示等差数列的孤立的点在直线上，因此可应用单调性 。        由a1=50,d= -0.6,得an= -0.6n+50.6,令an0 ,有n84.3 。又 n,则n85,即从第85项起以后各项均小于0。所以(Sn)max=S84=2108.4 

8、60;      思路2：等差数列的前项和Sn是关于n的二次函数,可用二次函数的方法处理 。          Sn=50n +,当n取接近于的自然数，即n=4时，Sn达到最大值 S84=2108.4      例：若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标，求点P在圆内的概率。（人教B版必修3，118页第3题） 分析：记点P在圆内为事件A，则A是基本事件空间的子集。基本事件总数是,A包

9、含的基本事件有（1，1）（2，2）（1，3）（1，2）（2，3）（3，1）（3，2）（2，1）共8个，. 应用三：有许多数学问题，它的解是由几个条件决定的，每一个条件都可以确定某种元素的一个集合，它们的交集的元素就是问题的解，对这样一类数学问题，我们常可以运用求交集的思想来试错与筛选。例：求函数y=的定义域。（人教B版必修1，86页第4题）分析：函数的定义域是指使式子有意义的集合，由多个式子经过代数运算而成的函数，求其定义域需取多个式子有意义的交集。由得所以函数的定义域是（）。例：已知函数y=在-1,+上是减函数，求a的取值范围.分析：本题含着两层意思：3x2-ax+5>0在-

10、1,+上恒成立，t=3x2-ax+5在-1,+上是增函数，实数a的范围是两者的交集。由题意得：，且满足x=-1时3x2-ax+5>0,综上得-8。而有些需要分类讨论的问题，解题过程往往过于繁杂，此时运用补集的思想(即“正难则反”思想)去解答，常常可以简化讨论。例：掷3枚硬币，至少出现一个正面向上的概率是（人教B版必修3，131页第2（3）题）分析：“至少出现一个正面向上”的事件含有个向上，个向上，个向上类可能，正面做答比较繁琐，可以从它的对立面出发，考虑“一次也不出现正面向上”即“全是反面”的概率。例：如果一元二次方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实数根，确定这个结论成立的充要条件。

11、（人教B版选修21，31页第6题）分析：“方程至少有一个负的实数根”有一个负根，两个负根两类可能，正面做答比较繁琐，可以从它的对立面出发，考虑“方程没有负的实数根”。由有，。又a无解。因此，。布鲁纳说过，掌握数学思想可使数学问题更容易理解和记忆，领会数学思想是通向迁移大道的“光明之路”。本部分内容含有丰富的数学思想，例如数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想、正难则反的思想等等，显得十分活跃。在教学过程中，注意这些数学思想的挖掘、提炼和渗透，不仅可以帮助学生掌握知识的本质，驾驭问题的求解，而且对于开发学生的智力，培养学生的能力，优化学生的思维品质，提高课堂教学的效果，都具有十分重要的意

12、义。微积分在中学数学中的应用微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段普通高中数学课程标准（以下简称课标）对微积分教学内容进行了改革课标和过去的高中数学教学大纲相比，一大特点是将一元函数微积分的部分内容拿到高中教材中，让中学生初步了解微积分的思想，为高等数学的学习打下基础那么，微积分在高中数学中有哪些应用？本文将举例说明微积分在判定函数的单调性、极值，讨论方程的根，证明不等式和恒等式，求切线方程、作函数图象、求平面区域的面积等方面的应用一、导数在高中数学中的应用    课标中对微积分的教

13、学内容明确提出：“导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用要求学生通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，体会导数的思想及其内涵；了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础”     1导数在函数单调性问题上的应用    函数的单调性是函数的最基本性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识用单调性的定义来处理单调性问题有很强的技巧性，较难掌握好，而用导数知识来判断函数的单调性简便而且快捷  

14、60; 例 (2009年广东卷文)函数的单调递增区间是 （   ）    A.      B.(0,3)   C.(1,4)     D.  w.w.w.k.s.5.u.c.o.m               分析 ：对函数求导，求不等式和的解，则的解为单调增区间   

15、 解：              令，得，    所以的单调增区间为，故选D    2导数在函数的极值问题上的应用    利用导数求极值可分为三步：1：求导数；2：求方程的根；3：检验在方程的根的左右两边的符号，确定极值例 求函数，的极值，最值 解：因为，令，  得又因为由表中可知，为函数的极小值点，当时，所以在区间上最大值为，最小值为.在高考中，关于函数极值问题比较常见的题型

16、是已知函数的极值确定字母的取值范围或值例 （2008四川卷理）已知是函数的一个极值点，求解：因为，所以，因此3导数在方程解的问题上的应用(1) 利用导数判定单调性，可研究方程根的个数问题.    例 若，则方程在上有多少根？    解：设，则，当且时，故在上单调递减，而在与处都连续，且          ，故 在上只有一个根(2) 用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线法（牛顿法）例 求方程的近似解解 设，可以

17、知道方程的唯一根在开区间(1，2)之中，取x2，牛顿法的迭代公式为xn+1xnxn ， 则    x1.77185    x1.76324    x1.76323因此给定一个精确度，我们就可以求出该方程的近似解    4用导数证明不等式    利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点其主要思想是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式

18、60;   例 当时，证明不等式成立    证明：设，则 在内单调递减，而，    ， 故当时，成立一般地，证明，可以构造函数，如果，则在上是减函数，同时若，由减函数的定义可知，时，有，即证明了    例 （2007年安徽高考试题）设，求证：当时，恒有分析：此题要证明的不等式是由已知函数变形而来所以证明此不等式，我们无需构造新的函数，只需要通过研究已知函数的单调性，就可以使结论获证    解：对求导得：，    故，于是，所以

19、，当时，因为，所以的极小值不难求得，对一切，恒有从而当时，恒有，故在内单调增加所以当时，即故当时，恒有    5用微积分知识证明恒等式    用微积分知识证明恒等式的实质是将等式问题转化成函数问题，进而求导证明恒等关系，依据    例 证明      证 设，则                   

20、      ，    故                            又时，从而 ，因此原题得证    6导数在曲线的切线问题上的应用    导数的几何意义：如果函数的导

21、数存在，则的函数在处的导数即为该函数在点（，）切线的斜率利用这个我们可以求出曲线的切线方程例（2009宁夏海南卷文）曲线在点（0,1）处的切线方程为                解析：因为，在点（0,1）处斜率斜率为k3，所以切线方程为y13x，即例（2009福建卷理）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_.解析：本小题考查导数的几何意义、切线的求法由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，所以这些题目都考查导数的几何意义，在填空题中也是一种

22、典型题型，不容忽视    7运用微分学知识研究函数图像函数图像的直观性有着别的工具不可替代的作用，特别是在说明一个函数的整体情况及其特性的时候，其作用尤为明显，这就要求我们能正确地作出函数的图形学微分学之前，用描点法作图是十分必要的，不过它有缺陷：带有一定的盲目性、点取得不够多也许就会得到一个错误的图像等而运用微分学作出的函数图像，就能克服描点法作图的缺点，可有效地对函数的增减性、极值点、凹凸性等重要性态和关键点作出准确的判断一般来说，讨论函数图像的步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)观察函数是否具有某些特征(奇偶性等)；(3)求出函数的单调区间，极值，列表；(

23、4)观察函数是否有渐进线，如果有，求出渐进线；(5)求出函数的凸凹区间和拐点，列表；(6)确定一些特殊点，如与坐标轴的交点等 例 描绘函数的图像解 定义域为，值域为是偶函数，图形关于轴对称，令，解得驻点，令，解得，当，函数值无限接近于0，即是渐近线综上，画函数草图如下：中学用微分学知识作函数图像，举一、二个例子就行了这里作为函数的一个极为重要的特征凹凸性，B版教材只在“探索与研究”中提到其实学了导数，从单调性到凹凸性是很自然的事情关于函数凹凸性的题目在高考中也屡次露面，我们应该重视函数凹凸性与导数的关系8导数在数列问题中的应用例1 求数列的和(其中，)    分析

24、：这道题可以用错位相减法求和，但若用导数方法运算会使问题更加简明解 注意到是的导数，即，可先求数列的前和当，1时，然后等式两边同时对求导，有                    例2 已知首项与公差都是正整数的等差数列满足对任意，都有，（1）求数列的前n项的和；（2）求数列的最小项分析：这道题第2问可以把数列看成函数，求导得极小值即是所求的项解（1）注意到，恒成立，则，  （2）设，当1n5时，

25、0，当n5时，0，故    二、积分在高中数学中的应用定积分是新课标中新加的内容，课标对定积分的定位如下：“（1）通过求曲边梯形的面积、变力做功等实例，从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础；（2）通过实例，直观了解微积分基本定理的含义；（3）了解微积分的文化价值可见，高中课程学习定积分，重在粗浅地领略其主要思想和基本方法，从一些实例中初步认识定积分的工具作用纵观08、09年新课改地区高考主要在定积分的求法，定积分的简单应用尤其是利用定积分求面积上作文章连续曲线，轴二直线所围成的曲边

26、梯形的面积例1（2008海南、宁夏卷理）由直线，曲线及轴所围图形的面积是（    ）A          B          C          D 解：如图，则此区域的面积，故选D如果平面区域是区间上的两条连续曲线与（相交）及直线所围成的，它的面积为例2求由两条曲线与围成的平面区域，如图解：两

27、条曲线的交点是与，则此区域的面积    定积分还可以用来求曲线的弧长、求旋转体的体积，虽然教材不作为教学内容，但可以向学生渗透一些思想    微积分在解决数学问题中有更广泛的用途，我们高中数学主要有这几种用法，今后也需要我们更全面地探索和研究更多的用法高中阶段微积分的应用是体现了数学的价值：既给学生提供了一种新的方法，又给学生提供了一种重要的思想，也为今后进一步学好微积分打下基础相对于对代数和几何等经典内容已经臻于完善的教学研究，微积分的教学研究还不成熟，处于摸索的阶段但也正因为如此，探讨微积分的教学才更有价值和意义 

28、60; 高等数学与初等数学结合的意义及教学策略近十年来，我国的基础教育已经从应试教育转向了素质教育。对于数学教育科学而言，提高学生素质和数学教学质量的关键是数学教师的素质。通过多年来的教学经验和大量的事实表明，通过高初结合可以更好地把握数学知识的深度，了解数学问题的背景和实质，能够从更高的角度俯瞰初等数学及其教学，提高数学教师的数学素质和数学解题能力，更好地把握初等数学教学。因此，笔者认为，数学教师必须要研究且明白：高等数学与初等数学之间在数学教学中究竟有哪些内在的联系？应当采取哪些方法和途径使学生能够真正在数学教学中做到高初结合？     &

29、#160;   二、高初结合在数学教学中的几个应用         高等数学是在初等数学的基础上发展起来的，前者是后者的延续和补充，如高等几何、高等代数就分别是在初等几何、初等代数基础上逐步发展起来的。在数学活动中，有的人往往错误的认为它们是各自孤立的学科，因而难于综合运用各门知识，可以说，这样的执教思想将遗憾终身，甚者对学生形成了不正确的数学观念。         1、通过高初结合，可

30、以用高观点指导初等数学教学         许多教育家提出：数学教育的目的是培养学生的数学观念，把数学科学理解为一个巨大的相互联系的整体，应该说是：“数学观念的核心”。而对于教师来说，应具备较高的数学观点，那样对高等或初等数学问题就能“轻车熟路”、“得心应手”了(教育学/学科教育论文                  从这个例子可以验证初

31、等数学中的指数运算法则ex.ey=ex+y。因此说，运用高等数学知识能将中学数学中不能或很难彻底解决的基本理论加以严格地证明。再比如例2：在初等数学教材中，对数的定义是：如果an=b，则log(a)b=n ，那么n叫做以a为底的 b的对数。这个定义本身没有回答这样一个问题，b是否存在？若存在是否唯一？这个问题是初等数学本身回答不了的。掌握了高等数学的知识就可以很快的得到解决：已知底数和幂的值求指数的运算，在一定条件下，运算结果的条件性和唯一性是由对数存在定理保证的，即：如果正实数a不等于1，那么就对于任意给定的正实数N，有唯一的实数，使a的次幂等于N。所以，笔者认为，作为合

32、格的中学教师，只有学好高等数学，才能用高等数学的理论和方法去指导初等数学的教学和研究，通过高初结合，运用高观点指导初等数学的教学，是培养学生数学思维能力的良好教学手段，可以使学生经“高初结合”的思维启迪而收到事半功倍的效果，从而掌握坚实的初等数学基础理论。因此，教师只有站得高才能看的远；只有做到心中有数，才能引导学生安全度过艰难险阻。         2、通过高初结合，可以对初等数学问题进行多题一解         

33、多题一解的数学教学方法可以培养学生的创新思维以及训练学生的发散思维，提高他们各方面的素质，使学生对所学的内容更加感兴趣，感到一切都是通过转化成已经解决的问题来达到解决新问题的目的。在日常的数学教学中，我们常常发现很多教师和教研单位特别注重一题多解的解题方法，重视数学问题的一题多解固然值得提倡，但事实上，重视数学问题的多题一解也是十分重要的。在解决初等数学问题时，我们只要找到初等数学问题与高等数学之间的联系，也就是找到高等数学的背景，就可以类比法解决一类数学问题。例如：在初中涉及到解二元一次方程组，作为一名教师应了解二元一次方程组解的情况，对一个二元一次方程组在什么情况下有唯一解，无解或有无穷解

34、，并能阐明产生上述三种情况的原因。而只有学习了高等数学中的线性方程组解的理论，才能对这个问题有本质的认识，把教材内容讲清楚。         3、通过高初结合，探讨高等数学问题的初等解法         初等数学研究的是常量，高等数学研究的是变量。从初等数学的角度来思考高等数学中的问题对于高等数学的学习非常重要。这种思维在培养学生观察分析能力的同时，可使学生将所学数学知识融会贯通，提高学生的数学素养。从另一个侧面反映

35、了初等数学与高等数学的联系，为解决数学问题提供了思想方法，同时，也可以看出打好初等数学基础的重要性。  免费论文下载中心          例如：高等数学的“求最值问题”，目标函数m=xy+yz+zx，约束条件         x2+y2+z2=1,我们可以用初等数学的办法解题：由xy+yz+zxx2+y2+z2=1得知，当x=y=z时，xy+yz+zx= x2+y2+z2=1，m取得最

36、大值为1.         用初等方法还可求得m的最小值：由题意可得：m=1/2(x+y)2+(y+z)2+(z+x)2-2-1,若m取得-1，则 ，但此方程组没有非零解，由初等公式可得m= xy+yz+zx=1/2(x+y+z)2-( x2+y2+z2)=1/2(x+y+z)2-1，当x+y+z=0时，m取得最小值-（1/2）,且 。由此该目标函数不但有解，而且有无数组解。       

37、0; 类似上面这样的例子很多，在这不用一一列举。因此，在高等数学教学中，运用“联系的观念”去联想高等数学与初等数学知识系统间的关系，通过比较分析，容易得到一个共识：一方面在讲授高等数学新知识时应当尽量联系初等数学的相关知识作基础，灵活运用类比法去讲授高等数学新概念及新结论，往往收到事半功倍的理想效果。         三、建立科学合理的对策和数学教育评价体系         教育教学改革是当代中国教育的主题

38、。对此，加快数学教育改革的进程，就要适当借鉴先进国家的经验，制定出适合我国实际情况的教育制度，充分调动各种教育资源的潜力。笔者认为，当前迫切建立科学合理的教育教学质量评价，探讨适应改革创新的社会潮流，具有时代特征的高等数学和初等数学教学相长的模式。在高师数学教学课堂中，教师应该走有意识地加强高初结合的高等数学教学改革的一条新路。         1、加强高初结合的专题研究，充分认识高初结合的重要性         用

39、数学的意识是一种重要的数学素养，应是每一个公民都具备的素质。长期以来，高等数学课程与初等数学课程存在着比较严重的脱节现象，对培养具有高素质的人才十分不利，因此加强“高初结合”问题的研究与实践是十分必要的。使广大师生充分了解高初结合的意义，自觉地加强高等数学与初等数学之间的研究，从而对“高初结合”有一个正确全面的理解。同时，通过研究，充分挖掘高初结合的内在联系，自觉地从理论观点上予以提高和加深。         总之，要搞好高等数学与初等数学的衔接和整合，必须牢固树立素质教育的思想观念。 

40、0;       2、规范数学教育评价的环节         高科技本质上是数学技术，数学已经渗透到整个社会。全社会，特别是广大教育工作者应以长远的眼光，切实关心“素质教育”的实施过程。学生素质的高低往往体现在公平的评价体系中，在数学评价过程中，我认为必须注意一下几点：         第一，数学教育评价与数学教育目标的关系是循环促进关系。第二，数

41、学教育评价是联系的，动态的过程。第三，数学教育评价更多地是依据实际情况的协调而不是专家的鉴定。第四，在数学教与学的评价实践中要注意评价信息收集，在评价方式、评价角度、评价结果等方面做好改进。         3、积极探索高初结合的途径，培养学生的创新意识         高等数学是一门基础课，应用性很强，我们应当努力把握其特点，寻找高初结合的切入点，从而既让学生掌握高等数学知识，又培养学生“居高临下”的能力。此外，在

42、有关初等数学课程中应用高观点分析、研究问题，使高初结合落到实处。例如，在初等数学研究课程中，注重初等数学与高等数学思想方法的结合，不要只顾单纯的解题。只有让学生从观点上把握知识的深度，才能从更高的角度俯瞰中学数学及其教学；在数学竞赛研究课程中，寻找竞赛题的高等数学背景以实现高初结合。         同时，教师在课内外更多的进行有关的课题研究，通过对高初结合的探索，我们可以得出包括如何用高等数学知识、思想和方法去联系、分析和解决初等数学中的某些内容的专题，并通过数学的教学实践，培养和提高学生高初结合能力，

43、使之不但学会应用所学的高等数学去深入理解中学数学，还能具有提出、研究和解决中学数学问题的能力。         创新是一个民族进步的灵魂，创新意识是创新能力的灵魂与基础。胡锦涛总书记曾指出:“科技创新能力是一个国家科技事业发展的决定性因素”。我们在探索研究数学技术的过程中，教师首先要引导学生从教材中发掘小题材，自己寻找高初结合途径进行解决问题。导师提出问题，尤其是系统地介绍并探讨进行高初结合研究的方法与途径，提出高初结合的一些问题与课题，并适时地作一些启发，尽可能地让学生自己摸索，以激发学生的学习兴趣，引

44、导学生对高初结合问题的探讨，以培养他们运用高初结合研究问题的能力。除此之外，我们为了加强高初结合，可以组织高等数学或初等数学的学习兴趣小组，学生可从事一些力所能及的研究工作，撰写研究报告或小论文，使学生具有初步创新研究意识，从而具备独立、自觉地研究数学问题的能力。         四、结束语         高等数学与初等数学有着千丝万缕的联系，初等数学中的一些思想方法至今仍在高等数学中起着非常重要的作用，而初等数学

45、的研究对高等数学的发展也起了很大的促进作用。因此，加强高初结合是高师数学课程改革的重要课题之一，是提高中学数学教师素质的一条有效途径。同时，高初结合是一个很值得研究的课题。我们应根据数学教育改革发展的需要，有机地进行高初结合的研究，大量搜集高等数学与初等数学有机结合的实例。通过高初结合的研究，切实提高学生的数学修养，使学生能够居高临下，全面提高中学数学的教学质量和水平。数列的概念与简单表示法(第一课时)教学设计案例一、教材与教学分析1数列在教材中的地位根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示

46、法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边.作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端。教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题)2教学任务分析(1)了解数列的概念新课标的教学更贴近生活实际.通过实例，引入数列的概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型了解数列的几种分类(2)了解数列是一类离散函数，体会数列中项与序号之间的变

47、量依赖关系3教学重点与难点重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型难点：认识数列是一种特殊的函数，发现数列与函数之间的关系二、教学方法小组合作、探究学习模式通过对问题情境的分析讨论的方式，运用从具体到抽象、从特殊到一般的思维训练方法，引导学生探究数学归纳法。三、学习过程设计【问题情境】1国际象棋的传说（在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，照这样下去，每一小格都比前一小格加一倍）：每格棋盘上的麦粒数排成一列数；2古语：一尺之棰，日取其半，万世不竭.每日所取棰长排成一列数；3童谣：一只青蛙，一张嘴 ，两只眼睛，四条腿； 两只青蛙，两张嘴

48、 ，四只眼睛，八条腿； 三只青蛙，三张嘴 ，六只眼睛，十二条腿；4中国体育代表团参加六届奥运会获得的金牌数依次排成一列数 。教师：以上四个问题中的数蕴涵着哪四列数呢？学生：1： 2一列数：3：青蛙嘴眼睛腿1124224833612448164：15，5，16，16，28，32设计说明：利用学生熟悉的生活实例创设情景引入问题，既可以帮助学生直观地理解数列的概念，又可以使学生认识到“数学来自于生活”活动一：数列的概念探究教师：以上几列数的共同特点是什么？引导学生思考这四列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等比数列概念。学生：分组讨论，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合一定规律

49、；这些数都是按照一定顺序排列的只要合理教师就要给予肯定。教师引导归纳出：1. 数列的定义；2. 数列的项；3. 数列的一般形式 简记为（板书）活动二：数列和集合的关系教师：将以上几列数用集合如何表示？请写出相应的集合。观察集合中的元素和原来数列中数有什么差别？学生：发现问题4的一列数写成集合后，集合中的元素只有一个16教师：经过以上研究，同学们能否说说数列中的项和集合中的元素有何区别呢？学生思考并作答。集合和数列的区别是：第一，集合的对象可以是任意的东西。如全体中华人民共和国的公民组成一个集合，某农场全部拖拉机组成一个集合，所有的化学元素组成一个集合，等等。而数列的对象都是数，组成数列各项的元

50、素只能是数，而不能是其他的对象。第二，集合里的元素不能重复，而数列中的数是可以重复的。如上面所讲的数列1，1，2，2，3，3，4，4，是按照自然数列的规律，连续重复一次排列而成的，但是若把这个数列的各项看成是一个集合的元素，那么这个数列只能写成1，2，3，4，而不能写成1，1，2，2，3，3，4，4，。第三，集合中的元素是不考虑顺序的，而数列中各数的顺序是十分重要的。例如，数列1，2，3，4 与数列 4，3，2，1是两个不同的数列。可是集合1，2，3，4与集合4，3，2，1则被认为是相同的。活动三：数列的分类根据数列的项，以及数列项之间的大小关系可以对数列进行怎么样分类？教师引导学生分析本节课

51、所举的数列的特点，按一定的分类标准给出数列的分类：按项数，可分为有穷数列和无穷数列；按项之间的大小关系（单调性）可分为，递增数列，递减数列，常数列，以及摆动数列。（板书）【拓展延伸】数列与函数的关系展示以下数列：4，5，6，7，8，9，10 1，. 1，0.1，0.01，0.001，0.0001，. 1，1.4，1.41，1.414，. -1，1，-1，1，-1，1，. 2，2，2，2，2，. 教师：观察以上数列，请同学们思考：数列中的数和它的序号是什么关系？哪个是变动的量，哪个是随之变动的量？你能联想到以前学过的哪些相关内容？教师：下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应

52、关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 序号 1 2 3 4 5教师：看来，这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：来表示其对应关系即：只要依次用1，2，3代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项学生：结合上述其他例子，练习找其对应关系如：数列：=n+3(1n7)数列：1）数列：n1） 通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。教师：从映射、函数的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集N+（或它的有限子集的函数，当

53、自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式。数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法。对应于函数的解析式法，认识数列的通项公式。下面同学们练习画数列的图象【应用提升】1根据下面数列的通项公式，写出前5项。 解：（1） (2) 2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7； （2）（3）教师引导学生去思考，让学生来完成例题解答。分析：（1）项1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1 序号 1 2 3 4

54、；（2）序号：1 2 3 4 项分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1 项分子： 22-1 32-1 42-1 52-1；（3）序号 教师：怎样写出已知数列的通项公式？基本思路是什么？引导学生归纳以下思路：根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式应注意分析数列的项和项数的关系，研究这几项的表示式中哪些是变化的，哪些是不变的，探索各项中变化部分与项数之间关系，从而归纳出项与项数的关系，写出通项公式.活动四：生生互动教师：怎样从实际生活中，依据一定的规律抽象出一些数列？每位学生写四个数作为一个数列的前四项，请同桌写出这个数列的一个通项公式。思考：出题者是依据什么规律写出这四个数的？你

55、能够说出他的意图吗？【课堂小结】教师：本节课学习了那些知识？这些知识的研究途径是什么？1 数列的有关概念2 数列的分类3 数列函数性定义数列的通项公式（投影）教师：小结概括了这节课的主要内容,使学生对这节课有个全面认识。【任务后延】教师：可以有数列的通项公式写出数列的项？是不是每一个数列都有通项公式？有的话是不是唯一的？作业：习题2.1 A组 1，2思考题：为什么课本练习4中要求写出数列的“一个”通项公式？你能写出前四项为1，1，1，1的数列的两个通项公式吗？你认为所有的数列都有通项公式吗？引例4的数列有没有通项公式？若有，你能写出它的一个通项公式吗？（投影）四、教学评价与反思1、通过概念课教

56、学，力求使学生明确（1）概念的发生、发展过程以及产生背景；（2）概念中有哪些规定和限制的条件，它们与以前的什么知识有联系；（3）概念的名称、表述的语言有何特点；（4）概念有没有等价的叙述；（5）运用概念能解决哪些数学问题等。目前，课时不足是数学新课程教学的突出问题，这会使概念教学受到严重冲击。我认为在概念教学中多花一些时间是值得的，因为只有理解掌握了概念，才能更好地帮助学生落实“双基”，更好地帮助学生认识数学，认识数学的思想和本质，进一步地发展学生的思维，提高学生的解题能力。2、让学生置身于知识的发生、发展过程中，经历直观感知、观察发现、抽象概括、符号表示等思维过程，展示“数学定义的严谨性”是

57、对事物的感性认识的升华和提高，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力。3、教学通过丰富的实例展开的，这一方面可以使学生体会数列与现实世界的联系，另一方面，活生生的例子也会增强学生学习数列的兴趣，产生学习数学的积极情感，使他们感受到数列离自己很近，数列有用。点评：通过对一定数量感性材料的观察、分析，可以提炼出感性材料的本质属性。从学生熟悉的童谣、体育知识和数学史、数学文化等角度切入课题，可以吸引学生“眼球”，激发学生探究问题的热情。活动一使学生体会到这些数的排列的顺序性；数列中的项与它的序号的对应关系；落实对概念的准确表达。学生对新知识的学习应当建立在知识的最近发展点上，在寻找新旧概念之间联系的

58、基础上掌握概念。这样学生掌握知识好比滚雪球那样，新知识裹在旧知识之上，新知识又深化旧知识，雪球不仅越滚越大，而且比较省力。本节课利用数学知识的对比探究，既加深对数列的理解，又避免了数学概念的混淆。数列是一种特殊的函数，在这里教师通过层层深入提出问题，逐步引导学生用函数的思想理解数列。联系函数的相关知识，用函数的观点和方法分析、解决数列问题，既注意了函数方法的普遍性，又注意了数列方法的特殊性.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是本节课的一个重点和难点，这里教师采用列表对应的方式，分析数列的项和项数的关系，研究这几项的表示式中哪些是变化的，哪些是不变的，探索各项中变化部分与项数之间关系，从而归

59、纳出项与项数的关系，写出通项公式。这里应用归纳的方法帮助学生提高分析问题、解决问题的能力，同时让学生明白归纳法是探索世界的基本方法。学生的互动是本节课的一个亮点，这样不仅让学生加深理解了数列的概念，同时同学之间相互的设疑、解疑可以大大激发学生的探知欲和创造力。数学概念课教学体会众所周知，概念是思维的基本形式之一，是对一切事物进行判断和推理的基础数学概念是构成数学知识的基础,是基础知识和基本技能教学的核心,正确地理解数学概念是掌握数学知识的前提因此数学概念的教学是数学教学的一个重要方面,但数学概念的抽象性使得数学概念的教学相对棘手 概念的产生都有其必然性，我们要抓住概念产生的背景，让学

60、生了解数学概念的产生、发展、演变的原因以及在这些原因中所隐藏着数学概念间的内在联系,将数学概念在数学思想的整体连贯性中的作用体现出来 因此，教师在讲授新的概念时，可以分析概念产生的背景找出合适学生理解的、有趣而生动的切入点，让学生更容易理解新概念，更容易对新知识找到共鸣,才能让学生有更多的机会参与发现需要建立新概念的时机并加入到这一创造活动中去,从中感受和谐、连贯、严密、有用的数学之美下面浅谈一下在概念教学中用到的几种方法 一、从概念的产生背景着手，层层深入 对数这一概念就是学生在数学学习中遇到的一个非常抽象的概念，直接讲授的方式会使学生难于理解其实我们分析一下对数产生的背景，可以发现这是数学运算发展到一定的阶段后，必然产生的一种新运算加法发展到一定程度必然要引入减法，乘方发展到一定阶段必然要出现开方一样，对数也是为了生产生活中的计算需要而必然产生的如果把这些概念的背景、运算方式列成表格，在对比过程中自然而然形成新的概念，使学生轻松地接受并理解它 教师可