（江苏专用）高三数学一轮总复习 第九章 平面解析几何课时跟踪检测 理

1、.第九章 平面解析几何第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程1直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是0°<180°.2斜率公式(1)直线l的倾斜角为90°，则斜率ktan_.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则l的斜率k.3直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不

2、含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0，A2B20平面内所有直线都适用小题体验1若直线l的倾斜角为60°，则该直线的斜率为_解析：因为tan 60°，所以该直线的斜率为.答案：2过点(0,1)，且倾斜角为45°的直线方程是_解析：因为直线的斜率ktan 45°1，所以由已知及直线的点斜式方程，得y1x0，即yx1.答案：yx13已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a_.解析：令x0，则l在y轴的截距为2a；令y0，得直线l在x轴上的截距为1.依

3、题意2a1，解得a1或a2.答案：1或24已知a0，直线axmy5m0过点(2,1)，则此直线的斜率为_解析：因为直线axmy5m0过点(2,1)，所以2am5m0，得a2m，所以直线方程为2mxmy5m0.又a0，所以m0，所以直线方程2mxmy5m0可化为2xy50，即y2x5，故此直线的斜率为2.答案：21利用两点式计算斜率时易忽视x1x2时斜率k不存在的情况2用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误3直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式4由一般式AxByC0确定斜率k时易忽视判断B是否为0，当B0时，k不存在；

4、当B0时，k.小题纠偏1下列有关直线l：xmy10的说法：直线l的斜率为m；直线l的斜率为；直线l过定点(0,1)；直线l过定点(1,0)其中正确的说法是_(填序号)解析：直线l：xmy10可变为my(x1)当m0时，直线l的方程又可变为y(x1)，其斜率为，过定点(1,0)；当m0时，直线l的方程又可变为x1，其斜率不存在，过点(1,0)所以不正确，正确又将点(0,1)代入直线方程得m10，故只有当m1时直线才会过点(0,1)，即不正确答案：2过点M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_解析：若直线过原点，则k，所以yx，即4x3y0.若直线不过原点设1，即xya.则a3(4)

5、1，所以直线的方程为xy10.答案：4x3y0或xy10题组练透1直线x的倾斜角等于_解析：直线x，知倾斜角为.答案：2(2019·南通调研)关于直线的倾斜角和斜率，有下列说法：两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；平行于x轴的直线的倾斜角为0°或180°；若直线过点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)，则该直线的斜率为.其中正确说法的个数为_解析：若两直线的倾斜角均为90°，则它们的斜率都不存在，所以不正确直线倾斜角的取值范围为0°<180°，所以平行于x轴的直线的倾斜角为0°，不可能是180°，所以不正

6、确当x1x2时，过点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的直线的斜率不存在；当x1x2时，过点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的直线的斜率才为，所以不正确答案：03已知线段PQ两端点的坐标分别为P(1,1)和Q(2,2)，若直线l：xmym0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是_解析：如图所示，直线l：xmym0过定点A(0，1)，当m0时，kQA，kPA2，kl.2或.解得0<m或m<0；当m0时，直线l的方程为x0，与线段PQ有交点实数m的取值范围为m.答案：谨记通法求倾斜角的取值范围的2个步骤及1个注意点(1)2个步骤：求出斜率ktan 的取值范围；利用三角函数的单

7、调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角的取值范围(2)1个注意点：求倾斜角时要注意斜率是否存在典例引领(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y4x的斜率的的直线方程(2)求经过点A(5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程解：(1)设所求直线的斜率为k，依题意k4×.又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即4x3y130.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为1，将(5,2)代入所设方程，解得a，所以直线方程为x2y10；当直线过原点时，设直线方程为ykx，则5k2，解得k，所以直线方程为yx，即2x5y0.故所求直线方程为2x5y0或x2y

8、10.由题悟法直线方程求法中2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)即时应用已知直线l过(2,1)，(m,3)两点，则直线l的方程为_解析：当m2时，直线l的方程为x2；当m2时，直线l的方程为，即2x(m2)ym60.因为m2时，代入方程2x(m2)ym60，即为x2，所以直线l的方程为2x(m2)ym60.答案：2x(m2)ym60命题分析直线方程的综合应用是常考内容之一，它与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题常见

9、的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题；(2)与导数几何意义相结合的问题；(3)与圆相结合求直线方程问题题点全练角度一：与基本不等式相结合的最值问题1(2019·福建高考改编)若直线1(a0，b0)过点(1,1)，则ab的最小值等于_解析：将(1,1)代入直线1得1，a>0，b>0，故ab(ab)2224，等号当且仅当ab时取到，故ab的最小值为4.答案：4角度二：与导数的几何意义相结合的问题2(2019·苏州模拟)设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为_解析：由题意知y2x2，设P(x0，

10、y0)，则k2x02.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则0k1，即02x021，故1x0.答案：角度三：与圆相结合求直线方程问题3在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2y22(x0)上一点，直线OA的倾斜角为45°，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是_解析：直线OA的方程为yx，代入半圆方程得A(1,1)，H(1,0)，直线HB的方程为yx1，代入半圆方程得B.所以直线AB的方程为，即xy10.答案：xy10方法归纳处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即

11、能够看出“动中有定”(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值一抓基础，多练小题做到眼疾手快1直线xy10的倾斜角是_解析：由直线的方程得直线的斜率为k，设倾斜角为，则tan ，所以.答案：2直线l：xsin 30°ycos 150°10的斜率是_解析：设直线l的斜率为k，则k.答案：3倾斜角为135°，在y轴上的截距为1的直线方程是_解析：直线的斜率为ktan 135°1，所以直线方程为yx1，即xy10.答案：xy104若直线l的斜率为k，倾斜角为，而，则k的取值范围是_解析：ktan ，k&

12、lt;0或k1.答案：，0)5如果A·C<0，且B·C<0，那么直线AxByC0不经过第_象限解析：由题意知A·B·C0，直线方程变形为yx.A·C<0，B·C<0，A·B>0，其斜率k<0，又y轴上的截距b>0.直线过第一、二、四象限，不经过第三象限答案：三二保高考，全练题型做到高考达标1(2019·常州一中月考)已知直线l的斜率为k，倾斜角为，若30°<<90°，则实数k的取值范围是_解析：因为30°<<90

13、6;，所以斜率k>0，且斜率k随着的增大而增大，所以k>.答案：2(2019·南京学情调研)直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是_解析：依题意，直线的斜率k，因此其倾斜角的取值范围是.答案：3若kR，直线kxy2k10恒过一个定点，则这个定点的坐标为_解析：y1k(x2)是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为(2，1)答案：(2，1)4已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x2y20的倾斜角的2倍，则直线l的方程为_解析：由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为，2，因为直线l0：x2y20的斜率为，则tan ，所以直线l的斜率ktan 2，所以由点斜式可得直线

14、l的方程为y0(x1)，即4x3y40.答案：4x3y405直线l1：(2m25m2)x(m24)y50的斜率与直线l2：xy10的斜率相同，则m等于_解析：由题意知m±2，直线l1的斜率为，直线l2的斜率为1，则1，即m25m60，解得m2或3(m2不合题意，舍去)，故m3.答案：36直线l：(a2)x(a1)y60，则直线l恒过定点_解析：直线l的方程变形为a(xy)2xy60，由解得x2，y2，所以直线l恒过定点(2，2)答案：(2，2)7一条直线经过点A(2，)，并且它的倾斜角等于直线yx的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是_解析：直线yx的倾斜角为30°，所以

15、所求直线的倾斜角为60°，即斜率ktan 60°.又该直线过点A(2，)，故所求直线为y()(x2)，即xy30.答案：xy308(2019·盐城调研)若直线l：1(a>0，b>0)经过点(1,2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是_解析：由直线l：1(a>0，b>0)可知直线在x轴上的截距为a，直线在y轴上的截距为b.求直线在x轴和y轴上的截距之和的最小值，即求ab的最小值由直线经过点(1,2)得1.于是ab(ab)×3，因为22(当且仅当时取等号)，所以ab32.答案：329已知A(1，2)，B(5,6)，直线l经过

16、AB的中点M，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程解：法一：设直线l在x轴，y轴上的截距均为a.由题意得M(3,2)若a0，即l过点(0,0)和(3,2)，直线l的方程为yx，即2x3y0.若a0，设直线l的方程为1，直线l过点(3,2)，1，解得a5，此时直线l的方程为1，即xy50.综上所述，直线l的方程为2x3y0或xy50.法二：由题意知M(3,2)，所求直线l的斜率k存在且k0，则直线l的方程为y2k(x3)，令y0，得x3；令x0，得y23k.323k，解得k1或k，直线l的方程为y2(x3)或y2(x3)，即xy50或2x3y0.10过点A(1,4)引一条直线l，它与x轴，y

17、轴的正半轴的交点分别为(a,0)和(0，b)，当ab最小时，求直线l的方程解：法一：由题意，设直线l：y4k(x1)，由于k<0，则a1，b4k.ab5549.当且仅当k2时，取“”故得l的方程为y2x6.法二：设l：1(a>0，b>0)，由于l经过点A(1,4)，1，ab(ab)·59，当且仅当时，即b2a时，取“”，即a3，b6.所求直线 l的方程为1，即y2x6.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知曲线y，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为_解析：y，因为ex>0，所以ex22当且仅当ex，即x0时取等号，所以ex24，故y(当

18、且仅当x0时取等号)所以当x0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为，切线的方程为y(x0)，即x4y20.该切线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S×2×.答案：2已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程解：(1)证明：直线l的方程可化为yk(x2)1，故无论k取何值，直线l总过定点(2,1)(2)直线l的方程为ykx2k1，则直线l在y轴

19、上的截距为2k1，要使直线l不经过第四象限，则解得k的取值范围是.(3)依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，A，B(0,12k)又<0且12k>0，k>0.故S|OA|OB|××(12k)(44)4，当且仅当4k，即k时，取等号故S的最小值为4，此时直线l的方程为x2y40.第二节 两直线的位置关系1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k

20、2，则有l1l2k1·k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2.2两条直线的交点的求法直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解3距离P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d平行线AxByC10与AxByC20间距离d小题体验1已知过点A(2，m)和B(m,4)的直线与斜率为2的直线平行，则实数m的值是_解析：由题意可知kAB2，所以m8.答案：82已知直线l：y3x3，那么直线xy20关于直线l对称的直线方程为_解析：由得交点坐标

21、P.又直线xy20上的点Q(2,0)关于直线l的对称点为Q，故所求直线(即PQ)的方程为，即7xy220.答案：7xy2203与直线y3x1平行，且在x轴上的截距为3的直线l的方程为_解析：由题意，知直线l的斜率为3，且在x轴上的截距为3，所以直线l的方程为y03x(3)，即3xy90 .答案：3xy901在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑2运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错小题纠偏1已知p：直线l1：xy10与直线l2：xay20平行，q：a1，则p是q的_条件(填

22、“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)解析：由于直线l1：xy10与直线l2：xay20平行的充要条件是1×a(1)×10，即a1.答案：充要2已知直线l1：(t2)x(1t)y1与l2：(t1)x(2t3)y20互相垂直，则t的值为_解析：若l1的斜率不存在，此时t1，l1的方程为x，l2的方程为y，显然l1l2，符合条件；若l2的斜率不存在，此时t，易知l1与l2不垂直当l1，l2的斜率都存在时，直线l1的斜率k1，直线l2的斜率k2，l1l2，k1·k21，即·1，所以t1.综上可知t1或t1.答案：1或1(基础送分型考点自主练

23、透)题组练透1(2019·金陵中学模拟)若直线ax2y10与直线xy20互相垂直，那么a的值等于_解析：由a·12·10得a2.答案：22(2019·金华十校模拟)“直线axy0与直线xay1平行”是“a1”成立的_条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)解析：由直线axy0与xay1平行得a21，即a±1，所以“直线axy0与xay1平行”是“a1”的必要不充分条件答案：必要不充分3(2019·启东调研)已知直线l1：(a1)xyb0，l2：axby40，求满足下列条件的a，b的值(1)l1l2，且l1过点

24、(1,1)；(2)l1l2，且l2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2.解：(1)l1l2，a(a1)b0.又l1过点(1,1)，ab0.由，解得或当a0，b0时不合题意，舍去a2，b2.(2)l1l2，ab(a1)0，由题意，知a>0，b>0，直线l2与两坐标轴的交点坐标分别为，.则××2，得ab4，由，得a2，b2.谨记通法由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1xB1yC10(AB0)l2：A2xB2yC20(AB0)l1与l2垂直的充要条件A1A2B1B20l1与l2平行的充分条件(A2B2C20)l1与l2相交的充分条件(A2B20)

25、l1与l2重合的充分条件(A2B2C20)在判断两直线位置关系时，比例式与，的关系容易记住，在解答填空题时，建议多用比例式来解答典例引领已知A(4，3)，B(2，1)和直线l：4x3y20，在坐标平面内求一点P，使|PA|PB|，且点P到直线l的距离为2.解：设点P的坐标为(a，b)A(4，3)，B(2，1)，线段AB的中点M的坐标为(3，2)而AB的斜率kAB1，线段AB的垂直平分线方程为y2x3，即xy50.点P(a，b)在直线xy50上，ab50.又点P(a，b)到直线l：4x3y20的距离为2，2，即4a3b2±10，由联立可得或所求点P的坐标为(1，4)或.由题悟法处理距离

26、问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求注意直线方程为一般式(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA|PB|这一条件的转化处理即时应用(2019·苏州检测)已知三条直线2xy30,4x3y50和axy3a10相交于同一点P.(1)求点P的坐标和a的值；(2)求过点(2,3)且与点P的距离为2的直线方程解：(1)由解得所以点P的坐标为(2,1)将点P的坐标(2,1)代入直线axy3a10，可得a2.(2)设所求直线为l，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x2

27、，此时点P与直线l的距离为4，不合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.点P到直线l的距离d2，解得k2，所以直线l的方程为2xy70.命题分析对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型常见的命题角度有：(1)点关于点对称；(2)点关于线对称；(3)线关于线对称；(4)对称问题的应用题点全练角度一：点关于点的对称问题1(2019·苏北四市调研)点P(3,2)关于点Q(1,4)的对称点M的坐标为_解析：设M(x，y)，则x1，y6，M(1,6)答案：(1,6)角度二：点关于线的对称问题2已知直线l：2x3y1

28、0，点A(1，2)，则点A关于直线l的对称点A的坐标为_解析：设A(x，y)，由已知得解得故A.答案：A角度三：线关于线的对称问题3直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是_解析：设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于xy20的对称点为P(x0，y0)，由得由点P(x0，y0)在直线2xy30上，2(y2)(x2)30，即x2y30.答案：x2y30角度四：对称问题的应用4(2019·淮安一调)已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_解析：设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反

29、射光线所在直线过点M，所以解得a1，b0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为，即6xy60.答案：6xy60方法归纳1中心对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于点对称：若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程2轴对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于直线的对称：若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：AxByC0对称，由方程

30、组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B0，x1x2)(2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019·盐城二模)若直线ykx1与直线2xy40垂直，则k_.解析：因为直线2xy40的斜率为2，故由条件得k.答案：2已知点A(3，4)，B(6,3)到直线l：axy10的距离相等，则实数a的值为_解析：由题意及点到直线的距离公式得，解得a或.答案：或3已知直线3x4y30与直线6xmy140平行，则它们之间的距离是_解析：因为直线3x4y30与直线6x

31、my140平行，所以3m240，解得m8，故直线6xmy140可化为3x4y70，所以两平行直线间的距离是d2.答案：24(2019·宿迁模拟)直线x2y10关于直线x1对称的直线方程是_解析：设所求直线上任一点(x，y)，则它关于直线x1的对称点(2x，y)在直线x2y10上，即2x2y10，化简得x2y30.答案：x2y305已知点P(4，a)到直线4x3y10的距离不大于3，则a的取值范围是_解析：由题意得，点P到直线的距离为.又3，即|153a|15，解得0a10，所以a的取值范围是0,10答案：0,10二保高考，全练题型做到高考达标1(2019·苏州二模)已知直线

32、l1：(3a)x4y53a和直线l2：2x(5a)y8平行，则a_.解析：由题意可得a5，所以，解得a7(a1舍去)答案：72(2019·南京一中检测)P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上的任意一点，则PQ的最小值为_解析：因为，所以两直线平行，根据平面几何的知识，得PQ的最小值为这两条平行直线间的距离在直线3x4y120上取一点(4,0)，此点到另一直线6x8y50的距离为，所以PQ的最小值为.答案：3(2019·苏北四市调研)已知直线l1：ax(3a)y10，l2：2xy0.若l1l2，则实数a的值为_解析：由2×a(3a)×(1)0，解得

33、a1.答案：14(2019·天一中学检测)已知直线l：xy10，l1：2xy20.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是_解析：因为l1与l2关于l对称，所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上又易知(0，2)为l1上一点，设它关于l的对称点为(x，y)，则解得即(1,0)，(1，1)为l2上两点，可得l2的方程为x2y10.答案：x2y105已知定点A(1,0)，点B在直线xy0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是_解析：因为定点A(1,0)，点B在直线xy0上运动，所以当线段AB最短时，直线AB和直线xy0垂直，AB的方程为yx10，它与

34、xy0联立解得x，y，所以B的坐标是.答案：6(2019·无锡调研)已知直线l过点P(3,4)且与点A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线l的方程为_解析：依题意，设直线l：y4k(x3)，即kxy43k0，则有，因此5k2k6，或5k2(k6)，解得k或k2，故直线l的方程为2x3y180或2xy20.答案：2x3y180或2xy207. 设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为3，且|PA|PB|，若直线PA的方程为xy10，则直线PB的方程是_解析：由|PA|PB|知点P在AB的垂直平分线上由点P的横坐标为3，且PA的方程为xy10，得P(3，4)直线PA，PB关于直线x3对称

35、，直线PA上的点(0,1)关于直线x3的对称点(6,1)在直线PB上，直线PB的方程为xy70.答案：xy708(2019·江苏五星级学校联考)已知点P(x，y)到A(0,4)和B(2,0)的距离相等，则2x4y的最小值为_解析：由题意得，点P在线段AB的中垂线上，则易得x2y3，2x4y224，当且仅当x2y时等号成立，故2x4y的最小值为4.答案：49已知光线从点A(4，2)射出，到直线yx上的B点后被直线yx反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(1,6)，求BC所在的直线方程解：作出草图，如图所示，设A关于直线yx的对称点为A，D关于y轴的对称点为D，则易得

36、A(2，4)，D(1,6)由入射角等于反射角可得AD所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为，即10x3y80.10已知直线l：(2ab)x(ab)yab0及点P(3,4)(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程解：(1)证明：直线l的方程可化为a(2xy1)b(xy1)0，由得直线l恒过定点(2,3)(2)设直线l恒过定点A(2,3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大又直线PA的斜率kPA，直线l的斜率kl5.故直线l的方程为y35(x2)，即5xy70.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2019·湖北七市三联)

37、设两条直线的方程分别为xya0，xyb0，已知a，b是方程x2xc0的两个实根，且0c，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是_解析：依题意得|ab|，当0c时，|ab|1.因为两条直线间的距离等于，所以两条直线间的距离的最大值与最小值分别是，.答案：，2(2019·徐州一中检测)已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使PM4，则称该直线为“切割型直线”下列直线中是“切割型直线”的是_(填序号)yx1；y2；yx；y2x1.解析：设点M到所给直线的距离为d，d3>4，故直线上不存在点P到点M的距离等于4，不是“切割型直线”；d2<4，所以在直线上可以找到两个不

38、同的点P，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；d4，所以直线上存在一点P，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；d>4，故直线上不存在点P，使之到点M的距离等于4，不是“切割型直线”故填.答案：3已知直线l1：xa2y10和直线l2：(a21)xby30(a，bR)(1)若l1l2，求b的取值范围；(2)若l1l2，求|ab|的最小值解：(1)因为l1l2，所以b(a21)a20，即ba2(a21)a4a22，因为a20，所以b0.又因为a213，所以b6.故b的取值范围是(，6)(6,0(2)因为l1l2，所以(a21)a2b0，显然a0，所以aba，|ab|2，当且仅当a&

39、#177;1时等号成立，因此|ab|的最小值为2.第三节 圆的方程1圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2y2DxEyF0，(D2E24F0)圆心：半径：2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2.小题体验1(教材习题改编)圆x2y24x6y0的圆心坐标是_解析：由(x2

40、)2(y3)213，知圆心坐标为(2，3)答案：(2，3)2圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是_解析：设圆心为(0，b)，半径为r，则r|b|，圆的方程为x2(yb)2b2.点(3,1)在圆上，9(1b)2b2，解得b5.圆的方程为x2y210y0.答案：x2y210y03(教材习题改编)已知圆心为C的圆过点A(1,1)，B(2，2)且圆心C在直线l：xy10上，则圆的标准方程为_答案：(x3)2(y2)2254若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是_解析：因为点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，所以(1a)2(1a)24.即a

41、21，故1a1.答案：(1,1)对于方程x2y2DxEyF0表示圆时易忽视D2E24F0这一成立条件小题纠偏1方程x2y24mx2y5m0表示圆的充要条件是_解析：由(4m)244×5m0，得m或m1.答案：m(1，)2方程x2y2ax2ay2a23a0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆圆心位于第_象限解析：因为方程x2y2ax2ay2a23a0表示的图形是半径为r的圆，所以a2(2a)24(2a23a)3a212a>0，即a(a4)<0，所以4<a<0.又该圆圆心坐标为，显然圆心位于第四象限答案：四题组练透1(易错题)(2019·镇江

42、调研)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为_解析：由题意知圆C的半径为2，且圆心坐标可设为(2，b)，因此有2，解得b±，从而圆C的方程为(x2)2(y±)24.答案：(x2)2(y±)242(2019·徐州模拟)若圆C的半径为1，点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为_解析：因为点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2y21.答案：x2y213(2019·全国卷改编)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到

43、原点的距离为_解析：设圆的一般方程为x2y2DxEyF0，则解得ABC外接圆的圆心为，故ABC外接圆的圆心到原点的距离为 .答案：谨记通法1求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值2确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上，如“题组练透”第

44、1题(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线提醒解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质命题分析与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想常见的命题角度有：(1)斜率型最值问题；(2)截距型最值问题；(3)距离型最值问题；(4)建立目标函数求最值问题题点全练角度一：斜率型最值问题1(2019·苏州模拟)已知实数x，y满足方程x2y24x10，求的最大值和最小值解：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k

45、±.所以的最大值为，最小值为.角度二：截距型最值问题2在角度一条件下求yx的最大值和最小值解：yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，如图所示，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2±.所以yx的最大值为2，最小值为2.角度三：距离型最值问题3在角度一条件下求x2y2的最大值和最小值解：如图所示，x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.角度四：建立目标函数求最值问题4已知圆C：(x3)2(y

46、4)21 和两点A(m,0), B(m,0)(m0)若圆C上存在点P，使得APB90°，则m的最大值为_解析：由(x3)2(y4)21知圆上点P(x0，y0)可化为APB90°，即·0，(x0m)(x0m)y0，m2xy266cos 8sin 2610sin()36，0m6，即m的最大值为6.答案：6方法归纳求解与圆有关的最值问题的2大规律(1)借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、

47、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的典例引领在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r，则y22r2，x23r2.y22x23，即y2x21.P点的轨迹方程为y2x21.(2)设P的坐标为(x0，y0)，则，即|x0y0|1.y0x0±1，即y0x0±1.当y0x01时，由yx1得(x01)2x1，r23，圆P的方程为x2(y1)23；当y0x01时，由yx1得(x01)2x1，r23，圆P的方程为x2(y1)23.综

48、上所述，圆P的方程为x2(y±1)23.由题悟法与圆有关的轨迹问题的4种求法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等即时应用经过点A(4,0)作圆O：x2y24的割线ABC，求弦BC的中点P的轨迹方程解：法一：(直接法)设点P的坐标为(x，y)，连结OP.当x0时，OP，AP所在直线的斜率均存在，则kOP，kAP.又OPBC，kOP·kAP1，即·1，化简，得x2y24x0.当x0时，点P的坐标为(0,0)，显然x0，y0是方程的解弦BC的中点P的轨迹方程为(x2)2y24(0x<1)法二：(定义法)取OA的中点为M，则点M的坐标为(2,0)，且PMOA2.由圆的定义，知点P的轨迹方程是(x2)2y24(0x<1)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1点(1,2)与圆x2y25的位置关系是_(填“点在圆内”“点在圆上”“点在圆外”)解析：把点(1,2)代入圆的方程左边等于5，所以点在圆上答案：点在圆上2已知点A(4，5)，B(6，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是_解析：因为圆心为线段AB的中点(1，3)，半径为，所以所求圆的方程为(x1)2(y3)229.答案：(x1)2(y3)2293圆(x2)