第九届华杯赛决赛试题及解答

1、.蚈羆膈薂螁螈膄薁薀羄肀膇蚃袇羆膇螅肂芅膆蒅袅膁膅薇肀肆芄虿袃羂芃螂蚆芁节蒁袂芇芁蚄蚄膃芁螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈芄芈蚀螁膀莇螂羆肆莆蒂蝿羂莅薄羅袈莅螇螈芆莄蒆肃膂莃蕿袆肈莂蚁肁羄莁螃袄芃蒀蒃蚇腿葿薅袂肅葿蚈蚅羁蒈蒇袁羇蒇蕿螄芅蒆蚂罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃薃薆螀节薃蚈羆膈薂螁螈膄薁薀羄肀膇蚃袇羆膇螅肂芅膆蒅袅膁膅薇肀肆芄虿袃羂芃螂蚆芁节蒁袂芇芁蚄蚄膃芁螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈芄芈蚀螁膀莇螂羆肆莆蒂蝿羂莅薄羅袈莅螇螈芆莄蒆肃膂莃蕿袆肈莂蚁肁羄莁螃袄芃蒀蒃蚇腿葿薅袂肅葿蚈蚅羁蒈蒇袁羇蒇蕿螄芅蒆蚂罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃薃薆螀节薃蚈羆膈薂螁螈膄薁薀羄肀膇蚃袇羆膇螅肂芅膆蒅袅膁膅薇肀肆芄虿袃羂芃螂蚆芁节蒁袂芇芁蚄蚄膃

2、芁螆羀聿芀蒅螃羅艿薈羈芄芈蚀螁膀莇螂羆肆莆蒂蝿羂莅薄羅袈莅螇螈芆莄蒆肃膂莃蕿袆肈莂蚁肁羄莁螃袄芃蒀蒃蚇腿葿薅袂肅葿蚈蚅羁蒈蒇袁羇蒇蕿螄芅蒆蚂罿膁蒅螄螂肇蒄蒄羇羃薃薆螀节薃蚈羆膈薂螁螈膄薁薀羄肀膇蚃袇羆膇螅肂芅膆蒅袅膁膅薇肀肆芄虿袃羂芃螂蚆芁 第九届华杯赛决赛试题及解答2004年4月10日10：0011：00一、填空（每题10分，如果一道题中有两个填空，则每个5分）1.计算：2004.05×1997.05-2001.05×1999.05=()2.图是一些填有数字的方形格子，一个微型机器人从图中阴影格子开始爬行，每爬进邻近一个格子后，它就将该格子也涂上阴影，然后再爬进与该格子有

3、公共边的格子中，继续将该格子涂上阴影，。依次将微型机器人所涂过的阴影格子中的数除以得到的余数排成一列，结果是阴影格子所组成的数字是（）。3.等式：39×恰好出现1、2、3、4、9九个数字，“潮州市”代表的三位数是（）。4.一个半径为1厘米的圆盘沿着一个半径为4厘米的圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后（如图2），小圆盘运动过程中扫出的面积是（）平方厘米。（=3.14）5.甲、乙、丙三只蚂蚁从A、B、C三个不同的洞穴同时出发，分别向洞穴B、C、A爬行，同时到达后，继续向洞穴C、A、B爬行，然后返回自己出发的洞穴。如果甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的路径相同，爬行的总

4、距离都是7.3米，所用时间分别是6分钟、7分钟和8分钟，蚂蚁乙从洞穴B到达洞穴C时爬行了（）米，蚂蚁丙从洞穴C到达洞穴A时爬行了（）米。6.如图3，甲、乙二人分别在A、B两地同时相向而行，于E处相遇后，甲继续向B地行走，乙则休息了14分钟，再继续向A地行走。甲和乙到达B和A后立即折返，仍在E处相遇，已知甲分钟行走60米，乙每分钟行走80米，则A和B两地相（）米。图3二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题10分）7.李家和王家共养了521头牛，李家的牛群中有67%是母牛，而王家的牛群中仅有是母牛，李家和王家各养了多少头牛？8.一个最简真分数，化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干位的数字之

5、和等于2004，求M的值。9.小丽计划用31元买每支2元、3元、4元三种不同价格的圆珠笔，每种至少买1支。问她最多能买多少支？最少能买多少支？10.在3×3的方格纸上（如图4），用铅笔涂其中的5个方格，要求每横行和每竖行列被涂方格的个数都是奇数，如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法。例如图5和图6是相同类型的涂法。回答最多有多少种不同类型的涂法？说明理由。11.三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”。问所有的小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少？12.用455个棱长为1的小正方体粘成一个大的长方体，

6、若拆下沿梭的小正方体，则尚余下371个小正方体，问所粘成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿棱的小正方体后的多面体（图7是示意图）的表面积是多少？一、填空（每题10分，如果一题中有两个填空，则每个5分）题目123456答案198959728188424;211680二、解答下列各题，写出简要过程（每题10分）：7解答：李家和王家各养了300头和221头牛算术解法：李家养牛数的67%是母牛，母牛数应当是整数，67是质数，所以，李家养牛数应当是100的倍数，可能是500、400、300、200或100头，王家养牛数则可能是21、121、221、321和421头王家的牛群中有是母牛，21、121、221

7、、321和421中仅有221能为13整除，所以，王家养牛数是221头，李家养牛数是300头代数解法：李家的牛群中有67%是母牛，67是质数，可以设李家养牛头数为100x，王家的牛群中仅有是母牛，13是质数，可以设王家养牛数是13y，列出方程100x+13y=521（*）x和y是整数，分别取x=1，2，3，4，5可以得到x=3，y=13或者解同余方程（*）（*）式两边除13，-4x=1，Mod（13）（*）x=3是（*）式的解，得到y=138解答：M是3，把最简分数写成循环小数：，上面6个最简真分数的循环小数节的数字和都是27，2004被27除的余数是6，仅3/7符合要求9解答：小丽最多能买14

8、支圆珠笔，小丽最少能买9支圆珠笔方法一：买圆珠笔总费用是奇数，所以，买3元1支的圆珠笔的数量必须是奇数高价格的笔买的越少，买圆珠笔的总数量就越多，若3元和4元的圆珠笔只各买1支，则小丽能买(31-4-3)÷2=12支单价2元的圆珠笔，最多能买12+2=14(支)类似，低价格笔买的越少，买圆珠笔总的数量就越少，如果小丽2元和3元的圆珠笔计划各买1支，余下的钱有26元，能买6支单价4元的笔，尚余2元，可以再买1支2元的圆珠笔所以，小丽最少能买9支圆珠笔方法二：设2元、3元、4元的圆珠笔各买x、y、z支，则：2x+3y+4z=31，(*)分析等式（*）的奇偶性，y必须是奇数因为x，y，z1

9、， 3y=31-2x-4z25，y7列下表：y=1x 12 10 8 6 4 2z 12  3 4 5 6y=3x 135 7 9z 543 2 1y=5x 246z 321y=7x 13z 21从上表，小丽最多能买14支圆珠笔，小丽最少能买9支圆珠笔方法三：因为x，y，z1，所以从(*)式，2x+2y+2z=31-y-2z31-3=28，得到x+y+z14取x=12，y=1，z=1满足(*)式，且x+y+z=14小丽最多能买14支圆珠笔类似，4x+4y+4z=31+2x+y31+3=34，取x=2，y=1，z=6满足(*)式，并且，x+y+z=9小丽最少可以买9支圆珠笔10解答：不

10、同类型的涂法有3种，如下图A说明：所涂5个阴影方格分布在3行中，只有一行涂有3个阴影方格同样，仅有一列涂有3个阴影方格所以，仅有一个方格，它所在的行和列均有3个阴影方格，有这种性质的方格称为“特征阴影方格”“特征阴影方格”在3×3正方格纸中的位置，就唯一地决定了3×3的方格纸的涂法“特征阴影方格”在方格纸的角上（图A左边）、外边中间的方格（图A中间）和中心的方格（图A右边）三个位置确定了只有3种类型的涂法11解答：60说明：任何三个连续正整数，必有一个能为3整除所以，任何“美妙数”必有因子3若三个连续正整数中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除；若中间的数是奇数，

11、则第一和第三个数是偶数，所以任何“美妙数”必有因子4完全平方数的个位只能是1、4、5、6、9和0，若其个位是5和0，则中间的数必能被5整除，若其个位是1和6，则第一个数必能被5整除，若其个位是4和9，则第三个数必能被5整除所以，任何“美妙数”必有因子5上述说明“美妙数”都有因子3、4、和5，也就有因子60，即所有的美妙数的最大公约数至少是6060=3×4×5是一个“美妙数”，美妙数的最大公约至多是60所有的美妙数的最大公约数既不能大于60，又至少是60，只能是6012解答：多面体的表面积是358设长方体长宽高分别为x、y、z无仿设xzy，它们只能取正整数长方体的体积是455

12、，则有x×y×z=455，分解455=5×7×13，即：x×y×z=5×7×13(1)沿棱拆下的小正方体有455-371=84个，若认为从“长”边拆下的小正方体为(x-1)个，则从每个“宽”边拆下的小正方体为(y-1)个，而从每个“高”边拆下的小正方体为(z-2)个，应当有下面关系式：4×(x-1+y-1+z-2)=84，x+y+z=25(2)分析(1)和(2)，既然x，y，z只取正整数，验证x=13，z=7，y=5是唯一解计算表面积：方法一：如右图B，拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积由两部分组成：第

13、一部分是突出在外面的6个平面，总面积是：2×(11×5+11×3+5×3)=206第二部分是24个宽都是1的长条，总面积是：8×(11+3+5)=152方法二：拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积和原长方体表面积去掉8个顶点处的小正方体的三个侧面的面积相同(想像一下为什么)所以，2×(13×7+13×5+7×5)-3×8=358 芆薄羅芀芅蚇螈膆芄蝿羃肂芃葿螆羈莂薁羁芇莁蚃螄膃莀袆羀腿莀薅袃肅荿蚈肈羁莈螀袁芀莇蒀肆膆莆薂衿肁蒅蚄肅羇蒄螇袇芆蒄蒆蚀节蒃蚈羆膈蒂螁蝿肄蒁蒀羄羀蒀薃螇艿葿蚅羂膅薈螇螅肁薈蒇羁羇薇虿螃莅薆螂聿芁薅袄袂膇薄薄肇肃膁蚆袀罿膀螈肅芈艿蒈袈膄芈薀肄肀芇螃袇肆芆袅蝿莄芆薄羅芀芅蚇螈膆芄蝿羃肂芃葿螆羈莂薁羁芇莁蚃螄膃莀袆羀腿莀薅袃肅荿蚈肈羁莈螀袁芀莇蒀肆膆莆薂衿肁蒅蚄肅羇蒄螇袇芆蒄蒆蚀节蒃蚈羆膈蒂螁蝿肄蒁蒀羄羀蒀薃螇艿葿蚅羂膅薈螇