向量空间的定义、例子和子空间

1、教学目的与要求：教学目的与要求：理解向量空间的定义 掌握向量空间的性质第六章 向量空间6.1定义和例子重点：向量空间的定义与性质难点：向量空间的定义关键：向量空间定义中的两种运算讲授方式：讲授一定义和例子1.定义 令 是一个数域. 中的元素用小写拉丁字母 来表示.令 是一个非空集合. 中元素用小写黑体希腊字母 来表示.我们把 中的元素叫做向量而把 中的元素叫做标量.如果下列条件被满足,就称 是 上一个向量空间：,cba,FFFFVVVV 有一个标量与向量的乘法.对于 中每一个数和 中每一个向量 ,有 中唯一确定的向量与它们对应,这个向量叫做 与 的积,并且记作 . 2FaaaVV 在 中定义了

2、一个加法。对于 中任意两个向量 有 中一个唯一确定的向量与它们对应,这个向量叫做 与 的和,并且记作 .1,VVV 向量的加法和标量与向量的乘法满足下列算律：3 1) 2)()3)在 中存在一个零向量,记做0,它具有以下性质：对于 中每一个向量 ,都有 V0V4) 对于 中每一个向量 ,在 中存在一个向量 ,使得 .这样的 叫做的 的负向量.VV05) ()aab7)()()aba bbaba)(68) 1这里 是 中任意向量,而 是 F 中任意数., V, a b注：向量空间的定义中的两种运算必须满足规定的条件 18即2.举例： 特别,F上一切 矩阵所成的集合和一切 矩阵所成的集合分别作成F

3、上向量空间.前者成为F上n元行空间，后者称为F上n元列空间.我们用同一个符号 来表示这两个向量空间 . 1 n1nnF例2 数域 上一切 矩阵所成的集合对于矩阵的加法和矩阵的乘法来说作成F上一个向量空间.mnF例3 复数域C可以看成实数域R上的向量空间.事实上，两个复数的和还是一个复数；一个实数与一个复数的乘积还是一个复数.条件 显然都被满足.3 18， ） ）例4 任意数域C总可以看成它自身上的向量空间. 例5 数域F上一元多项式环 对于多项式的加法和数与多项式的乘法来说作成上一个向量空间. F x例6（补充）（此例的目的是进一步帮助学生理解向量空间的加法与数乘运算）.令 是实数域，V是全体

4、正实数作成的集合，在V中定义加法为： （实际为数的普通乘法），再规定数乘为 ，则V作成K上的一个线性空间.K (,)kkkKV证明：首先要说明这两种运算的封闭性.因为V中任意两个元素的乘积仍在V中12,kkKV kV 3下验证上述定义的两种运算满足8条 1)2)()() 3)V中的零向量为1（而不是通常理解的0），因为11 4)kkkkkkkkk 同理可验证也成立，故V作成K上的一个向量空间. 注：由例6知向量空间的加法与数乘是一种抽象的运算，并不是我们通常意义下的加法与数乘，比如例6中的加法实质为数的普通乘法，而数乘实质为普通数的乘方运算.要验证一个非空集合是否作成一个数域上的向量空间，只须

5、对所给的两种运算首先判断其是否封闭.其次，再判断它们是否满足8条运算即可.不利用向量空间中加法的可交换性，证明左逆元和左零元也是右逆元和右零元.向量空间定义中的加法交换律可由定义中的其它公理推出（证明见高代选讲）.（习题8）向量空间定义中条件中的8）不能由其余条件推出，即条件1不是显然的，也不是多余的 例如，令FbabaW,|,在V中定义加法如下， 21212211,bbaababa在与中定义数乘如下： 0 ,kabak可以验证如上定义的加法与数乘运算满足 的其余7条但8）并不满足，事实上，取30bbaaba,0 ,二向量空间的性质性质1：零向量是唯一的证明：设0和 都是向量空间V的零向量，那

6、么根据零向量的定义，对于 中任意向量 都有 0V000000,于是（注:通过这种方法要向学生灌输这种证明唯一性的方法） 性质2: 每个向量的负向量是唯一的，且把向量 的唯一的负向量记作 证明：设 和都是的负向量，那么 00 于是 00定义向量的差： )(性质3：普通移项规则成立，即证明：“”设 则 0“”设 0则性质4（命题6.1.2）： kkkk, 0000，000,1或特别的kk证明（略）三、一些记法1设是上向量空间V的n个向量，我们把它们排成一行，写成了一个以向量为元素 的矩阵 n,21Fn1n,212设 是数域F上一个 矩阵，我们定义 ijaA mnmnA,2121（实质可看成矩阵的乘

7、法） njaaaannjjjijniij1 ,22111这里BAABnn,.32121课堂讨论与练习：证明： 不利用向量空间的定义中加法的交换律，证明左逆元和左零元也是右逆元和右零元.作业：P221 2，3，4，5思考：P221 6，76.2子空间授课方式：课堂讲授教学目的： 理解子空间的定义 会判断一个非空集合是否是子空间 理解子空间的和与交教学重点与难点： 子空间的定义 子空间的一些等价刻划 子空间的和与交1.子空间的定义：设V是数域F上的一个向量空间，W是V的一个非空子集，若W对于V的加法与数乘作成一个向量空间，则W称是V的一个子空间（注：给出了W是V的一个子空间的判别方法）2.定理6.

8、2.1 设W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W对于F的加法以及标量与向量的乘法是封闭的，那么W本身也作成F上一个向量空间.注：由1，2知V的子空间W也是F上的一个向量空间，并且一定含有V中的零向量.由定理6.2.1知，要判断 是否是V的子空间只须验证加法与数乘封闭即可.VW 3.例子例1：零空间，平凡子空间，真子空间例3：中一切形如 nFFaaaain,0 ,121的向量作成的一个子空间 nF例4：中次数不超过一个给定的整数n的多项式全体连同零多项式一起作成 的一个子空间. xF xF例5：（补充）数域F上齐次线性方程组 000221122221211212111nxaxaxaxaxa

9、xaxaxaxamnmmnnnn的全体解向量作成F上的一个线性空间，称为这个齐次线性方程组的解空间，它是 的一个子空间.nF下面，我们给出了一个非空集合是否是子空间的判别法则.定理6.2.2 数域F上向量空间V的一个非空子集W是的一个子空间，必要且只要对于 WFba,和任意Wba都有证 如果W是子空间，那么由于W对于标量与向量的乘法是封闭的，所以对于 都有WFba,WbWa,.又因为W对于F的加法是封闭的，所以 Wba反过来，如果对于任意 WFba,Wba都有就有取1 baW0b取Wa就有这就证明了W对于V的加法以及标量的乘法的封闭性.4子空间的交与和交：子空间的交仍是子空间（利用定理6.2.

10、2）推广到有限、无限子空间的交，结论仍然成立.即：设 是向量空间V的一组子空间（个数可以有限，也可以无限）.令 iWiiW表示这些子空间的交，则 iiW仍是V的子空间. 和：若是 21,WW是向量空间的子空间22112121,|WWWW则仍是V的子空间叫做 与 的和 1W2W推广到任意有限个的情形：设 nWWW,21V是的子空间，则 iiinWWWW|21仍是V的子空间，称为子空间 的和nWWW,21注： 子空间的并，不一定是子空间.1例如在 中令2RRaaW|0 ,1RbbW|, 02却不是 的子空间。 显然与都是的子空间，但 21WW 2R21,. 2WW是向量空间V的子空间，则 21WW 是V的子空间 2121WWWW或课堂练习5.例题讲解P225 习题4证明：（分两种情况讨论）（）若 是V的真子空间，且 21,WW1221WWWW或结论显然成立.（）若 互不包含，用反证法， 21,WW21WWV0V由于 互不包含，21,WW故必有 1221WWWW但，但.下考虑 ，显然有 21WW 但.若不然，若 21WW ，则有 21WW或不妨假设 11,WW则，这与 12WW但矛盾，所以 不能属于 V即证 V不能表成 21WW P225 习题5证明： 21WW （显然） 122212Wx