2020年高考数学二轮复习讲义：函数与方程思想

1、专题九数学思想方法精析第一讲函数与方程思想、函数思想就是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，并用函数的解析式将其表示出来，从而通过研究函数的图象和性质，使问题获解.二、方程思想就是分析数学中的变量间的等量关系，构建方程或方程组，转化为对方程的解的讨论, 从而使问题获解.三、函数思想与方程思想联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)= 0，就是求函数 y= f(x)的零点，解不等式f(x)0(或 f(x)2m + 4x 恒成立的实数 x 的取值范围为(D )A.(汽一 2B.2 ,+ )C.(s

2、,2U2,+s)D.( ，2)U(2,+s)2解析因为 x2,16，所以 f(x) = Iog2x1,4，即 m1,4 不等式 x + mx+ 42m+ 4x恒成立，即为 m(x 2) + (x 2)20 恒成立.易错费示易错费示 知识整合Zhi shi zhe ng he(4tf QubN TU押例 1 (1)已知 f(x)= log2X, x 2,16，对于函数 f(x)值域内的任意实数m,使 x2M M 知识知识整整合设 g(m) = (x 2)m+ (x 2)2,则此函数在区间1,4上恒大于 0,X2+(X220,4(x-2”(x220,解得 x2.(2)已知 f(x)是定义在 R 上

3、的偶函数，且在区间(0, 0)上单调递增.若实数 a 满足 f(2|ad Q1|)f( 2)，则 a 的取值范围是,自.解析由 f(x)是偶函数且 f(x)在(0,0)上单调递增可知，f(x)在(0, + 0)上单调递减.又因为 f(2|a-1|)f( 2), f( 2)= f(2), 所以 2-1|_2，即|a 112，解得1af (x),且 f(0) = X 则不等式号 B 的解集为(B )A.( 0,0)B.(0,+0)C.(0,2)D.(2,+0)解析构造函数()切则()eXf (XX-eXf(x)f(xf(x)g(x) =ex，贝 V g (x) =x 2=ex.由题意得e(e eg

4、(x)0 恒成立，所以函数 g(x) =吁在 R 上单调递减又因为 g(0)=爭=1,所以 吁1.即 g(x)0 ,所以不等式的解集为(0,+0).212.若不等式 x + ax+10对一切 x (0, ?恒成立，则 a 的最小值为(C )C. 5D . - 3解析因为 x2+ ax+ 1 0,所以g 1 0,$g 4 0,A. 0B . - 2一x一1ii即ax= (x+X)，令 g(x)=-(x+ X)，1 1当 01)恰有 3 个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是(34, 2).解析由 f(x+ 4) = f(x)，即函数 f(x)的周期为 4,1因为当 xq- 2,0时，f(x)

5、=(3)x 6.所以若 xqo,2，则一 x-2,0,则 f( - x) = (3)-x-6 = 3x-6,因为 f(x)是偶函数，所以 f( - x)= 3x- 6 = f(x)，即 f(x) = 3x- 6，x0,2，由 f(x) - loga(x+ 2) = 0 得 f(x) = loga(x+ 2)，作出函数 f(x)的图象如图.当 a1 时，要使方程 f(x) loga(x+ 2) = 0 恰有 3 个不同的实数根，则等价于函数 f(x)与 g(x) = loga(x+ 2)有 3 个不同的交点，Jg(2f(2)则满足l_g(6 pf(6，解得34a 丁,1f (x)= 2 + si

6、nx0,1n7nff(x) = 2x cosx 在(6, 6)上是增函数.Iloga43,一n n n nf(2)=4cos2=4，在区间（n帑上有且只有一个实数 x=n满足 f（x）=n/ 詰，-cow 1,1n , n,f(x)=2Xcosxw 12+14,由此可得：当 x噺寸，f（x）=7ninn 方程 f（x）= 4 也没有实数根.nn综上可知 f（x）= 4，只有实数根 2.故选C.命题方向 3 解决最值或参数范围问题小值为（D ）a解析当 y = a 时，2(x+1) = a,所以 x= 1.设方程 x+ ln x= a 的根为 t,“at + ln tt ln_t则 t+ In

7、t = a，则 |AB|= t ? + 1 = t -+1 = 2 2 +1、工上 Jn_t设 g(t)= 2 2+1(t0),令 g (t) = 0, 得 t = 1,当 t(0,1)时,g(t)0,3所以g(t)min=g(1)= 2 ,33所以|AB|3,所以|AB|的最小值为|.例 3 直线 y= a 分别与曲线 y= 2（x+ 1）,y= x+ In x 交于点 A,，则|AB|的最(t)=-2 2tt 12T，C.3 *24规律总结求最值或参数范围的技巧(1) 充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解.(2) 充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他

8、变量的函数，然后应用函数知 识求解.(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程再 利用方程知识使问题巧妙解决.(4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数.跟踪训练Gen zong xun lia nIn解析.0A = (1,0), 0P= (cos0,sin9, .OA OP + S= cos0+sin 0= . 2sin(0+)，故 OAOP+ S 的最大值为.2,此时0= n故选 B .命题方向 4 函数与方程思想在解析几何中的应用直线 l 与 y 轴交于点 P(0, m)，与椭圆 C 交于相异两点 A, B,且 AP = 3PB.(

9、1)求椭圆 C 的方程；求 m 的取值范围.2 2解析(1)设椭圆 C 的方程为*+存=1(a b0),2 2 ,2设 c0, c = a b ,由题意，知 2b= 2, =寻，所以 a = 1, b= c= f.a 222故椭圆 C 的方程为 y2+X= 1,即 y2+ 2x2= 1.例 4 椭圆 C 的中心为坐标原点O,焦点在 y 轴上，短轴长为.2，离心率为2设直线 I 的方程为 y= kx+ m(kz0), l 与椭圆 C 的交点坐标为 A(xi, yi), B2(x2, y2),|y= kx+ m, 由2212x + y = 1,得(k2+ 2)X2+ 2kmx+ (m2 1) = 0,= (2km)2 4(k2+ 2)(m2 1) = 4(k2 2m2+ 2)0 , (*)22kmm 1X1+ x2=二,X1x2= ,k2+ 2k2+ 2因为 AP= 3PB ,所以一 X1= 3X2.x1+ x2= 2X2, 所以丫2X1X2= 3X2.则 3(X2+ X2)2+ 4X1X2= 0 ,22km2m 1 即 3) + 4 -k2+ 2k2+ 2整理得 4k2m2+ 2m2 k2 2 = 0 ,即 k2(4m2 1) + (2 m2 2) = 0 ,21当 m2= 4 时，上式不成立；2122 2m当 m丰匚时，k =2 ，44