第九章 常微分方程3-4

1、3.3.微分方程解的存在唯一性定理微分方程解的存在唯一性定理1. 李普希茨条件（李氏条件）李普希茨条件（李氏条件）. 2 , 1,),(|,| ),(),(|2121iDyxyyLyxfyxfi若函数若函数 f(x,y) 在区域在区域 D 内满足内满足则称函数则称函数 f(x,y) 在区域在区域 D 内对内对 y 满足李普满足李普希茨条件，希茨条件，L 称为李氏常数。称为李氏常数。证明：证明：满足李氏条件。内关于在内有界，则在有偏导数，且内关于在凸区域若函数yDyxfDfyDyxfy),(|),(. 2 , 1,),(|,| ),(),(|2121iDyxyyLyxfyxfi . | )(,(

2、| ),(),(|,|, 0|).,( ),)(,(),(),(,),(),(),(21212121212121yyMyyxfyxyxfMfMDfyyyyxfyxfyxfDyxyxyDyxfyyyy所以使得内有界，即在而拉格朗日中值定理，对有偏导数，则由内关于在凸区域因为2. 初值问题初值问题与积分方程与积分方程等价。等价。,)(),(00yxyyxfyxxdxyxfyy0,),(0,)(),(00yxyyxfyxxdxyxfyy0,),(0.),()(),()()(),( ,)(),(00000000 xxxxxxxxdxyxfyxydxyxfxyxydxyxfdxyyxyyxfy两边积分得

3、由也是初值问题的解。时满足初值问题，可见此且求导得则两边的解是积分方程若 )( .),()(),(,(,),()(0000000 xyydxyxfyxyxyxfydxyxfyyxyxxxx3. 初值问题初值问题有局部唯一解的充分条件：有局部唯一解的充分条件：定理：定理：设初值问题中的函数设初值问题中的函数 f(x,y) 在闭矩形域在闭矩形域,)(),(00yxyyxfy| ,|),(00byyaxxyxR上连续，且对上连续，且对 y 满足李氏条件，则初值问题在满足李氏条件，则初值问题在区间区间 x0-h,x0+h 上有且只有一个解，其中常数上有且只有一个解，其中常数),(|,),(max|),

4、min(RyxyxfMahMbxxdxyxfyy0,),(0或或Oxyax 01x),(00yx2xby 0ax 0by 0ax 0Mbax 00 x0yby 0by 0CBAD00)(),(yxyyxfy在在 x0-h,x0+h 上有唯一解上有唯一解.),(|,),(max|),min(RyxyxfMahMb定理证明的步骤：定理证明的步骤：(1)作皮卡序列；作皮卡序列；(2)证明证明(3)由由可见可见(x)既是积分方程的解也是初值问题的解。既是积分方程的解也是初值问题的解。得得(4)证明初值问题的解是唯一的。证明初值问题的解是唯一的。;,),()(lim00hxhxxxxynn,)(,()(

5、00100hxhxxdxxyxfyxyxxnnxxdxxxfyx0,)(,()(0 xxdxyxfyy0,),(0(1)作皮卡序列作皮卡序列.)(,(.|),(|)(| |)(|, ,),()( , 10001010000100000RxyxbMhxxMdxyxfyxyyxyhxhxxdxyxfyxyhxhxxyyxxxx可见后发现估计代入积分方程，得，将常数函数),(|,),(max|),min(RyxyxfMahMbxxdxyxfyy0,),(0(1)作皮卡序列作皮卡序列.)(,(.|)(,(|)(| |)(|, ,)(,()(, ,),()( 20102020010200001000Rx

6、yxbMhxxMdxxyxfyxyyxyhxhxxdxxyxfyxyhxhxxdxyxfyxyxxxxxx可见后发现估计代入积分方程，得将),(|,),(max|),min(RyxyxfMahMbxxdxyxfyy0,),(0(1)作皮卡序列作皮卡序列.,.2 , 1,)(,(, ,)(,()( . , ,)(,()( , ,),()( ,001 -n0n0010200001000nRxyxhxhxxdxxyxfyxyhxhxxdxxyxfyxyhxhxxdxyxfyxynxxxxxx并且得到一串函数序列以此类推),(|,),(max|),min(RyxyxfMahMb(2)证明证明(3)由由

7、可见可见(x)既是积分方程的解也是初值问题的解。既是积分方程的解也是初值问题的解。两边取极限，得两边取极限，得;, ),()(lim00hxhxxxxynn, ,)(,()(00100hxhxxdxxyxfyxyxxnnxxdxxxfyx0,)(,()(0(4)证明初值问题的解是唯一的。证明初值问题的解是唯一的。xxdxyxfyy0,),(0 xxxxxxdxxxfxxfxxdxxxfyxdxxxfyxxyxyhxhxxxyxy000)(,()(,(| )()(| ,)(,()( ,)(,()( )()(.,),(,)(0000都满足积分方程，即和则其中还有另一个解外假设问题有解(4)证明初值

8、问题的解是唯一的。证明初值问题的解是唯一的。., |,|)()()(,()(,()(,()(,(| )()(|.,),(,)(000000000hxhxxxxLAdxLAdxxxLdxxxfxxfdxxxfxxfxxhxhxxxyxyxxxxxxxx其中还有另一个解外假设问题有解满足李氏条件),(yxf上连续在,)(),(00hxhxxx(4)证明初值问题的解是唯一的。证明初值问题的解是唯一的。., |,| )()(|)()(| )()(|.,),(,)(000000hxhxxxxLAxxdxxxLxxhxhxxxyxyxx其中还有另一个解外假设问题有解.6|2| )()(|.2| )()(|

9、303202202000 xxALdxxxALLxxxxALdxxxLALxxxxxx(4)证明初值问题的解是唯一的。证明初值问题的解是唯一的。.,),(,)(00hxhxxxyxy其中还有另一个解外假设问题有解.0!| )()(|.6|2| )()(|.2| )()(|0303202202000nnnnnxxxxnhLAnxxALxxxxALdxxxALLxxxxALdxxxLALxx。时，当)()(,0| )()(|lim00 xxhxhxxxxn推论推论:考虑微分方程考虑微分方程若函数若函数 f(x,y), fy(x,y) 在区域在区域 D 上连续，则过上连续，则过 D 内任内任一点一点

10、 (x0,y0), 有且只有一条方程的通积分通过。有且只有一条方程的通积分通过。.),(),(Dyxyxfy定理：定理：设初值问题中的函数设初值问题中的函数 f(x,y) 在闭矩形域在闭矩形域| ,|),(00byyaxxyxR上连续，且对上连续，且对 y 满足李氏条件，则初值问题在满足李氏条件，则初值问题在区间区间 x0-h,x0+h 上有且只有一个解，其中常数上有且只有一个解，其中常数),(|,),(max|),min(RyxyxfMahMb推论推论:考虑微分方程考虑微分方程若函数若函数 f(x,y),fy(x,y) 在区域在区域 D 上连续，则过上连续，则过 D 内任内任一点一点 (x0

11、,y0), 有且只有一条方程的通积分通过。有且只有一条方程的通积分通过。.),(),(Dyxyxfy证明：证明：.),(,),(满足李氏条件中关于内的任意一个闭矩形在则函数内连续在区域若yRDyxfDyxfy. 2 , 1,),(|,| ),(),(|2121iDyxyyLyxfyxfi).,( |,|)(,(),(),(,),(),(,),(.),(,),(,),( 2121212121yyyyMyyxfyxyxfRyxyxyyxfRyxfRDyxfDyxfyyyy对拉格朗日中值定理则由有偏导数关于上有界在从而中也连续内的任意一个闭矩形在则内连续在区域因为注意注意a. ., ),( 00更大

12、范围的积分曲线通过延拓可以得到问题的解对已经得到的初值hxhxxxyyOxyax 01x),(00yx2xby 0ax 0by 0,)(),(00yxyyxfy注意注意c.若若 f(x,y) 在区域在区域 D 上连续，但不满足李氏上连续，但不满足李氏条件，这时过条件，这时过 D 内任一点，微分方程仍然内任一点，微分方程仍然有解，但解可能不唯一。有解，但解可能不唯一。b.由皮卡序列可找到由皮卡序列可找到 y=y(x) 的一串近似解。的一串近似解。.)(),(00yxyyxfy求初值问题求初值问题的皮卡序列及其极限。的皮卡序列及其极限。解：解：等价的积分方程为等价的积分方程为2)0(yyxyxdx

13、yxy0)(2112161241 )22161(2)(2112161 )221(2)(21121)2(22340230232302012201xxxxxdxxxxdxyxyxxxxdxxxdxyxyxxxdxxyxxxxx求初值问题求初值问题的皮卡序列及其极限。的皮卡序列及其极限。解：解：等价的积分方程为等价的积分方程为2)0(yyxyxdxyxy0)(2.1!01! 11!21! 31!411!01! 11!21! 311!01! 1121023430232021xxxxxxyxxxxxyxxxxy！1!1)!1(1 1!01! 11.)!1(1!1)!1(101011xxkxnxxxxnx

14、nxnynkknnnnnn1xex4.4.高阶线性微分方程高阶线性微分方程1. n阶线性微分方程的形式阶线性微分方程的形式).()()()( )(.)()()(1)1(1)(xfxyxpxyxpxyxpxynnnn特别地，特别地，n=2时时, y (x)+p(x)y (x)+q(x)y(x)=f(x).其中其中pi(x),i=1,2,n在在(a,b)连续。连续。2. 二阶线性微分方程解的存在唯一性定理二阶线性微分方程解的存在唯一性定理定理定理1：设函数：设函数p(x),q(x),f(x)在区间在区间a,b上上连续，则初值问题连续，则初值问题在区间在区间a,b内存在唯一解内存在唯一解y(x)。)

15、.,( ,)( ,)()()()( 01000baxyxyyxyxfyxqyxpy3. 函数线性相关与线性无关的概念函数线性相关与线性无关的概念定义定义：设m个函数 1(x), 2(x), ,m(x)在区间a,b上有定义，若存在m个不全为零的常数k1 , k2 , , km , 使得对任意的x a,b有k1 1 (x) + k2 2 (x) + + km m (x) 0则称函数组 1(x), 2(x), ,m(x)在区间a,b上线性相关，否则称它们是线性无关的。 sin2x, cos2x, 1 在R上线性相关. 因 sin2x + cos2x 1 = 01, x, x2, , xn-1, 在R

16、上线性无关. 若k0 , k1, , kn-1, 使 k0 + k1x + + kn-1 x n1 = 0 在R上成立, 必有k0 = k1 = = kn-1 = 0.两个非零函数 y1, y2在区间a,b上线性无关.21常数yy.,线性无关时由此判定bxaxeeba 4. 二阶线性齐次方程通解的结构二阶线性齐次方程通解的结构定理定理2：若y1(x),y2(x)是线性齐次方程也是齐次方程的解。的两个解，则它们的任意一个线性组合, 0)()()( )()( xyxqxyxpxy为任意常数212211,),()(CCxyCxyC证明：证明：左边得：左边得：, 0)()()( )()( xyxqxy

17、xpxy代入原方程将),()(2211xyCxyC.000)()()( )()( )()()( )()( )()()()()( )()( )()( )( )()()()()()()()(2122221111221122112211221122112211右边CCxyxqxyxpxyCxyxqxyxpxyCxyxqCxyxqCxyxpCxyxpCxyCxyCxyCxyCxqxyCxyCxpxyCxyC也是方程的解。所以)()(2211xyCxyC5. 1 (x), 2 (x)线性相关的充要条件线性相关的充要条件引理引理：若1 (x), 2 (x)是线性齐次方程的两个解。1(x),2(x)在a,b

18、上线性相关的充要条件是：它们确定的朗斯基行列式, 0)()()( )()( xyxqxyxpxy).,(0)(2121baxxW，注：只要存在一点x0a,b，使W(x0)=0即可。 1 (x), 2 (x)线性相关的充要条件的证明线性相关的充要条件的证明).,(, 0)()(),(21baxxWxx线性相关必要性：使得存在不全为零的常数线性相关由,)(),(2121CCxx).(0,)()(2211a,bxxCxC).(0,)( )( 2211a,bxxCxC从而).,(0)( )( 0)()(2122112211CCkxkxkxkx有非零解即方程组其系数行列式由线性代数的理论可知. ),(,

19、 0)( . ),(, 0)( )( )()(2121baxxWbaxxxxx即 1 (x), 2 (x)线性相关的充要条件的证明线性相关的充要条件的证明.)(),(),(, 0)(21线性相关充分性：xxbaxxW即方程组则有任取, 0)(),(00 xWbax.0)( )( 0)()()()(022011002201102211xCxC)(xyxCxC)y(xxCxCy(x)令0)( )( )()(0)( )( 0)()(02010201202101202101xxxxkxkxkxkx的系数行列式也是齐次方程一个解。可知则由定理)(2xy).,(21CC所以方程组存在非零解, 0)()()

20、( )()( xyxqxyxpxy 1 (x), 2 (x)线性相关的充要条件的证明线性相关的充要条件的证明.)(),(),(, 0)(21线性相关充分性：xxbaxxW也是齐次方程一个解。另外),(, 0)(baxxu一性可知，齐次方程由初值问题解的存在唯, 0)()()( )()( xyxqxyxpxy. 0)( , 0)(00 xuxu而且的解是同一个。和满足初值条件0)( 0)(.0)( , 0)(0000 xuxuxyxy, 0)()()( )()( xyxqxyxpxy 1 (x), 2 (x)线性相关的充要条件的证明线性相关的充要条件的证明.)(),(),(, 0)(21线性相关

21、充分性：xxbaxxW),(),()(baxxuxy即).(0,)()(2211a,bxxCxC线性相关。不全为零说明而常数)(),(,2121xxCC).()(2211xCxCy(x)都是齐次方程的解。0)(xu.0)( 0)(. 0)( , 0)(0000 xuxuxyxy和件且都满足相同的初值条6. 1 (x), 2 (x)线性无关的充要条件线性无关的充要条件推论推论：若1 (x), 2 (x)是线性齐次方程的两个解。1(x),2(x)在a,b上线性无关的充要条件是：它们确定的朗斯基行列式, 0)()()( )()( xyxqxyxpxy).,(0)(2121baxxW，7. 线性齐次方

22、程的通解线性齐次方程的通解定理定理3：若1 (x), 2 (x)是线性齐次方程的两个线性无关的解，则, 0)()()( )()( xyxqxyxpxy).,()()(2211baxxCxC，就是齐次方程的通解，其中C1,C2为任意常数。证明：证明：已知已知1 (x), 2 (x)是线性齐次方程的两个线性无关的解，则由的两个线性无关的解，则由推论推论可知其朗斯基行可知其朗斯基行列式列式, 0)()()( )()( xyxqxyxpxy).,(0)(baxxW ，有，而由),()()(2211baxxCxCy，),()()(2211baxxCxCy证明：证明：).,(, 0)()()()()(),

23、() ,(2121212121baxxWxxxxCyCyCyCyCCDyyD，),()()(2211baxxCxCy，),()()(2211baxxCxCy是方程的通解。所以无关，中的两个任意常数线性可见)()()()(22112211xCxCyxCxCy 给定方程 y y = 0y1 = ex, y2 = ex是该方程的两个解, 线性无关.故其通解为 y = C1ex +C2 ex, C1 , C2 为任意常数.8. 通解包含了线性齐次方程的一切解通解包含了线性齐次方程的一切解定理定理4：若1(x),2(x), n(x)是线性齐次方程的n个线性无关的解，则)(.)()(2211xCxCxCn

24、n是齐次方程的通解，其中C1,C2,Cn为任意常数。且齐次方程的任一解都包含在通解中。0)()()( )(.)()()(1)1(1)(xyxpxyxpxyxpxynnnn9. 二阶线性非齐次方程通解结构二阶线性非齐次方程通解结构定理定理5：若y*(x)是线性非齐次方程的一个特解，又)()()()( )()( xfxyxqxyxpxy)()(2211xCxC是对应的齐次方程的通解，则是非齐次方程的通解。)()()()(*2211xyxCxCxy证明：证明：),()()()( )()( xfxyxqxyxpxy代入原方程将,)()(*2211yxyCxyC.)()(00)()( )()()( )(

25、)( )()()( )()( )()()()()()()( )()( )( )( )( )()()()()()()()(21*22221111*2211*2211*2211*2211*2211*2211右边左边xfxfCCyxqyxpyxyxqxyxpxyCxyxqxyxpxyCyxqxyxqCxyxqCyxpxyxpCxyxpCyxyCxyCyxyCxyCxqyxyCxyCxpyxyCxyC是方程的通解。所以*2211)()(yxyCxyC10. 二阶线性非齐次方程的解有下列性质二阶线性非齐次方程的解有下列性质定理定理6：设函数y1(x),y2(x)分别是非齐次方程的解，则函数y=y1(x)

26、+y2(x)是非齐次方程)()()()( )()( 1xfxyxqxyxpxy的解。)()()()( )()( 2xfxyxqxyxpxy)()()()()( )()( 21xfxfxyxqxyxpxy证明：证明：),()()()()( )()( 21xfxfxyxqxyxpxy代入原方程将),()(21xyxyy.)()()()()( )()( )()()( )()( )()()()()( )()( )()( )( )()()()()()()()(21222111212121212121右边左边xfxfxyxqxyxpxyxyxqxyxpxyxyxqxyxqxyxpxyxpxyxyxyxyx

27、qxyxyxpxyxy是非齐次方程的解。所以)()(21xyxyy降阶法与常数变易法降阶法与常数变易法1.1.齐次线性方程求线性无关特解齐次线性方程求线性无关特解-降阶法降阶法的的一一个个非非零零特特解解，是是方方程程设设)1(1y12)(yxuy 令令代入代入(1)式式, 得得, 0)()()(2(111111 uyxQyxPyuyxPyuy, 0)(2(111 uyxPyuy即即,uv 令令则有则有, 0)(2(111 vyxPyvy0)(2(111 vyxPyvy的一阶方程的一阶方程 v降阶法降阶法解得解得,1)(21 dxxPeyvdxeyudxxP )(211,1)(2112dxeyyydxxP Liouville公式公式齐次方程通解为齐次方程通解为.1)(211211dxeyyCyCydxxP 2.2.非齐次线性方程通解求法非齐次线性方程通解求法-常数变易法常数变易法设对应齐次方程通解为设对应齐次方程通解为2211yC