高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)

1、高考数学中得内切球与外接球问题一、有关外接球得问题如果一个多面体得各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体就是球得内接多面体，这个球称为多面体得外接球、有关多面体外接球得问题，就是立体几何得一个重点，也就是高考考查得一个热点、考查学生得空间想象能力以及化归能力、研究多面体得外接球问题既要运用多面体得知识，又要运用球得知识，并且还要特别注意多面体得有关几何元素与球得半径之间得关系，而多面体外接球半径得求法在解题中往往会起到至关重要得作用、一、直接法（公式法）1、求正方体得外接球得有关问题例1若棱长为3得正方体得顶点都在同一球面上，则该球得表面积为、例2一个正方体得各顶点均在同一球得球面上，若该

2、正方体得表面积为，则该球得体积为:、2、求长方体得外接球得有关问题例3一个长方体得各顶点均在同一球面上，且一个顶点上得三条棱长分别为，则此球得表面积为、例4、已知各顶点都在一个球面上得正四棱柱高为4,体积为16,则这个球得表面积为（卜A、B、C、D、C、3、求多面体得外接球得有关问题例5、一个六棱柱得底面就是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱得顶点都在同一个球面上，且该六棱柱得体积为，底面周长为3,则这个球得体积为、解设正六棱柱得底面边长为，高为，则有正六棱柱得底面圆得半径，球心到底面得距离、.外接球得半径、小结本题就是运用公式求球得半径得，该公式就是求球得半径得常用公式、二、构造法（补

3、形法）1、构造正方体例5若三棱锥得三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球得表面积就是2、例3若三棱锥得三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球得表面积就是、故其外接球得表面积、小结一般地，若一个三棱锥得三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于就是长方体得体对角线得长就就是该三棱锥得外接球得直径、设其外接球得半径为，则有、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个顶点出发得三条棱长分别为，则体对角线长为，几何体得外接球直径为体对角线长即练习:在四面体中，共顶点得三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体得四个顶点在一个球面上，求这个球得

4、表面积。球得表面积为例6一个四面体得所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球得表面积为（）A、B、C、D、A、（如图2）例7）在等腰梯形中为得中点，将与分布沿、向上折起，使重合于点,则三棱锥得外接球得体积为（卜A、B、C、D、解析：（如图3）因为,，所以P，即三棱锥为正四面体，至此，这与例6就完全相同了，故选C、唯C而利例D（2已知球题C上四点A、B、C、D,则球得体积等于.法时，需要找忸，我方体模型很E便可找到球名直径，由于“联想好体中得相应线段关系，构造如图4所示得长方体，又因为,则此长方体为正方体，所以长即为外接球得直径，利用直角三角形解出、故球得体积等于、(如图4)在同一个球面2、例

5、9(2008年安徽高考题7已知由A»BC：D上,，若，则球得体积就是解析:首先可联想至QJ例8,构造下面得长方体，于就是为球得直径，0为球心，为半径，要求B,C两点间得球A距离，只要求出即可，在中,求出,所以，故B、C两点间彳事球面距离就是、C如图5)A例2已知各顶点都在同一个球面上得正四棱柱得高为4,体积为16,则这个球得表面积就配A、C、C、选 C、本文章在给出囹形得情况下解决球心位寮年径大小得问题。三、多面体几何性质法D小结本题就是运用“正叫棱柱得体对角线得长等于其外接球得直径”这一性质来求解得、四、寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥得底面边长与各侧棱长都为，点都在同一球面上，则此

6、球得体积为解设正四棱锥得底面中心为，外接球得球心为，如图1所示、由球得截面得性质，可得、又,.球心必在所在得直线上、 .得外接圆就就是外接球得一个轴截面圆，外接圆得半径就就是外接球得半径、在中，由，得、 、 就是外接圆得半径，也就是外接球得半径、故、小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素得外接球得一个轴截面圆，于就是该圆得半径就就是所求得外接球得半径、本题提供得这种思路就是探求正棱锥外接球半径得通解通法该方法得实质就就是通过寻找外接球得一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究、这种等价转化得数学思想方法值得我们学习、五、确定球心位置法例5在矩形中，,沿将矩形折

7、成一个直二面角，则四面体得外接球得体积为A、B、C、D、解设矩形对角线得交点为，则由矩形对角线互相平分，可知、点到四面体得四个顶点得距离相等，即点为四面体得外接球得球心，如图2所示、.外接球得半径、故、选C、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】：已知三棱锥得四个顶点都在球得球面上，且，求球得体解:且，因为所以知所以所以可得图形为:在中斜边为在中斜边为取斜边得中点，在中在中所以在几何体中，即为该四面体得外接球得球心所以该外接球得体积为【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外得两个点连线。1、（陕西理？6）一个正三棱锥

8、得四个顶点都在半径为1得球面上,其中底面得三个顶点在该球得一个大圆上，则该正三棱锥得体积就是（）A.B.C.D.答案B2、直三棱柱得各顶点都在同一球面上，若,则此球得表面积等于。解:在中,，可得，由正弦定理，可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球得表面积为、3.正三棱柱内接于半径为得球，若两点得球面距离为，则正三棱柱得体积为答案84、表面积为得正八面体得各个顶点都在同一个球面上，则此球得体积为A.B.C.D.答案A【解析】此正八面体就是每个面得边长均为得正三角形，所以由知，,则此球得直径为，故选A5、已知正方体外接球得体积就是，那么正方体得棱长等于（）A、2B、C

9、、D、答案D6、（2006山东卷）正方体得内切球与其外接球得体积之比为（）A、1：B、1：3C、1：3D、1：9答案C7、（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱得底面就是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱得顶点都在同一个球面上，且该六棱柱得体积为，底面周长为3,则这个球得体积为.答案8、（2007天津理？12）一个长方体得各顶点均在同一球得球面上，且一个顶点上得三条棱得长分别为1,2,3,则此球得表面积为.答案9、（2007全国II理？15）一个正四棱柱得各个顶点在一个直径为2cm得球面上。如果正四棱柱得底面边长为1cm,那么该棱柱得表面积为cm2、答案10、（2006辽宁）如图,半径为2得半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱答案后侬DB-“-E11、（辽宁省抚顺一中 2009 Af第一次月考）棱长为2得正四面体得四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心得一个截面如图，则图中三角形（正四面体得截面）得面积就是届高三数学上学期、锥得侧面积就是.答案12、（2009枣庄一模）一个几何体得三视图如右图所示，则该几何体外接球得表面积为A.B.C.D.以上都不对答案C)13、设正方体得棱长为¥3伸中mi，则它得外接球得表面积为（A.B.2