概率的概念和古典概型

1、 第二章 预备知识预备知识1. 加法原理加法原理第第m 种方式有种方式有nm 种方法种方法,设完成一件事有设完成一件事有m种方式：种方式：第一种方式有第一种方式有n1种方法，种方法，第二种方式有第二种方式有n2种方法种方法, 无论通过哪种方法都可以完成无论通过哪种方法都可以完成这件事，这件事，则完成这件事总共则完成这件事总共有有n1 + n2 + + nm 种方法种方法 .例如，某人要从甲地到乙地去例如，某人要从甲地到乙地去, ,甲地甲地乙地乙地可以乘火车可以乘火车, ,也可以乘轮船也可以乘轮船. .火车有两班火车有两班轮船有三班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法乘坐不同班次的火

2、车和轮船，共有几种方法? ?3 + 2 种方法种方法则完成这件事共有则完成这件事共有种不同的方法种不同的方法 . .mnnn212. 乘法原理乘法原理设完成一件事有设完成一件事有m个步骤个步骤:第一个步骤有第一个步骤有n1种方法，种方法，第二个步骤有第二个步骤有n2种方法种方法,； 第第m个步骤有个步骤有nm种方法种方法,必须通过每一步骤必须通过每一步骤,才算完成这件事，才算完成这件事，例如，若一个男人有三顶帽子和两件例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？背心，问他可以有多少种打扮？可以有可以有 种打扮种打扮23 ) 1()2)(1(rnnnnPrn!123)2)(1(n

3、nnnpnn排列排列 排列：从排列：从n个不同的元素中按顺序取个不同的元素中按顺序取r个个排成一列排成一列 称为一个排列称为一个排列。所有可所有可nr 0能的排列记为能的排列记为rnP, ,则由乘法原理得则由乘法原理得特别，当特别，当n = r 时，称该排列为一个全排列，时，称该排列为一个全排列，所有全排列的个数为所有全排列的个数为例例1 1 从从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取五个这六个数字中任取五个 组成五位数组成五位数,问共能组成多少个五位数问共能组成多少个五位数?解解从六个不同数中任取五个组成五位数从六个不同数中任取五个组成五位数,相当于从六个数中任取五个数生成一个排列相当于从六

4、个数中任取五个数生成一个排列,因此因此,所有可能组成五位数共有所有可能组成五位数共有)(7202345656个个P例例2 从从0,1,2,3,4,5, 这六个数字中任取四个这六个数字中任取四个, 问能组成多少个四位偶数问能组成多少个四位偶数?解解组成的四位数是偶数组成的四位数是偶数,要求末位为要求末位为0,2或或4,)(1562412113513个个PPPPP 种种,而而0不能作首位不能作首位,所以所组成的偶数个数为所以所组成的偶数个数为35P可先选末位数可先选末位数,共共 种种,前三位数的选取方法有前三位数的选取方法有13P无重复排列：无重复排列：从含有从含有n个元素的集合中随机抽个元素的集

5、合中随机抽取取k 次，每次取一个，取后不放回，将所取元次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列素排成一列共有共有Pnk=n(n-1)(n-k+1)种排列方式种排列方式n n-1 n-2n-k+1有重复排列：有重复排列：从含有从含有n个元素的集合中随机个元素的集合中随机抽取抽取k次，每次取一个，记录其结果后放回，次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，将记录结果排成一列，共有共有n nk k种排列方式种排列方式nn nn组合组合,rnC 组合：从组合：从n个不同的元素中任取个不同的元素中任取r个元素个元素组成一组组成一组 称为一个组合。所有可称为一个组合。所有可),0(nr

6、能的组合数记为能的组合数记为种方种方由乘法原理，从由乘法原理，从n个元个元素中取素中取r个生成的排列可分两步进行，首先个生成的排列可分两步进行，首先从从n个元素中取个元素中取r个组成一组，共有个组成一组，共有rnC法，然后再在取出的法，然后再在取出的r个元素中进行全排列个元素中进行全排列共有共有! r种方法，从而种方法，从而! rCPrnrn!)!(!) 1() 1(!rrnnrrnnnrPCrnrn特别，当特别，当n = r时时, , 而且而且rnnrnCC 1nnC!rCPrnrn所以从所以从n个元素中取个元素中取r个元素组成的组合数为个元素组成的组合数为例例3 从从10名战士中选出名战士

7、中选出3名组成一个突击队，名组成一个突击队，问共有多少种组队方法？问共有多少种组队方法？解解: : 按组合的定义，组队方法共有按组合的定义，组队方法共有120310C（种）（种）!)!(!) 1() 1(!rrnnrrnnnrPCrnrn特别，当特别，当n = r时时, , 而且而且。rnnrnCC1nnC!rCPrnrn所以从所以从n个元素中取个元素中取r个元素组成的组合数为个元素组成的组合数为101!0n和第一节 概率的概念 对于事件发生的可能性大小，需要用一个对于事件发生的可能性大小，需要用一个数量指标去刻画它，这个指标应该是随机事件数量指标去刻画它，这个指标应该是随机事件本身所具有的属

8、性，不能带有主观性，且能在本身所具有的属性，不能带有主观性，且能在大量重复实验中得到验证，必须符合常情。我大量重复实验中得到验证，必须符合常情。我们把刻画事件发生的可能性大小的数量指标叫们把刻画事件发生的可能性大小的数量指标叫做事件的概率。做事件的概率。频率的定义和性质频率的定义和性质 定义定义 在相同的条件下，进行了在相同的条件下，进行了n 次试验，次试验， 在这在这 n 次试验中，事件次试验中，事件 A 发生的次数发生的次数 nA 称为事件称为事件 A 发生的频数。比值发生的频数。比值 nA / n 称为事件称为事件A 发生的频率，并记成发生的频率，并记成 fn(A) 性质性质 (1) 0

9、 fn(A) 1； (2) fn()1； fn( )=0 (3) 可加性：若可加性：若A B ，则则 fn(A B) fn(A) fn(B). 实实 验验 者者 德德摩根摩根 蒲蒲 丰丰K 皮尔逊皮尔逊K 皮尔逊皮尔逊nAfn(A)251 249 256 253 251 246 2440.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488频率的稳定性频率的稳定性n=500时时 n nH fn(H) 2048 40401200024000 1061 2048 6019120120.51810.50960.50160.5005如如: Dewey G. 统计了约统计了约4

10、38023个英语单词个英语单词 中各字母出现的频率中各字母出现的频率, 发现各字母出现发现各字母出现 的频率不同：的频率不同：A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016Y:

11、0.0202 Z: 0.0006实践证明：实践证明：当试验次数当试验次数n增大时，增大时， fn(A) 逐渐逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件作为事件A的概率的概率. 概率的统计定义概率的统计定义：在相同条件下重复进行的在相同条件下重复进行的 n 次试验中次试验中, 事件事件 A 发生的频率稳定地在某一常数发生的频率稳定地在某一常数 p 附近摆动附近摆动, 且随且随 n 越大摆动幅度越小越大摆动幅度越小, 则称则称 p 为事件为事件 A 的概率的概率, 记作记作 P(A).对本定义的评价对本定义的评价优点：直优点：直观观 易懂易懂缺点：粗糙缺

12、点：粗糙 模糊模糊不便不便使用使用概率的性质：概率的性质：q 非负性非负性可加性可加性1Pq q 10P()0P 当当n个事件两两互不相容时：个事件两两互不相容时：P(A1 A2 An )=P(A1) + +P( An)q 规范性规范性 概概 率率概率的定义概率的定义 在数学上概率是用公理化的形式定义的在数学上概率是用公理化的形式定义的. .各种教科书中各种教科书中出现的出现的概率统计定义概率统计定义,古典概率定义古典概率定义,几何几何概率定义概率定义都是一些描述性的说法都是一些描述性的说法, ,教师不应该过分地教师不应该过分地去揣摩去揣摩, ,探究那里的用语探究那里的用语, ,而应理解其实质

13、而应理解其实质. . 概率的统计定义通常可以这样叙述：在相同的条件下概率的统计定义通常可以这样叙述：在相同的条件下做大量的重复试验做大量的重复试验, ,一个事件出现的次数一个事件出现的次数k k和总的试验和总的试验次数次数n n之比之比, ,称为这个事件在这称为这个事件在这n n次试验中出现的频率次试验中出现的频率. .当试验次数当试验次数n n很大时很大时, ,频率将频率将稳定稳定在一个常数附在一个常数附近近,n,n越大越大, ,频率偏离这个常数大的可能性越小频率偏离这个常数大的可能性越小. .这个常这个常数称为该事件的概率数称为该事件的概率. .概概 率率 对这个定义应该从整体上把握对这个

14、定义应该从整体上把握, ,重要的是掌握以下几点重要的是掌握以下几点: : 我们所讨论的现象是可以做我们所讨论的现象是可以做重复试验重复试验的的. .并非所有不并非所有不确定现象都是概率论研究的对象确定现象都是概率论研究的对象. . 频率和概率的关系频率和概率的关系. .频率是随机的频率是随机的, ,是这是这n n次试验中的频率次试验中的频率. .换另外换另外n n次试验一般说频率将不同次试验一般说频率将不同. .而概率是一个客观存而概率是一个客观存在的常数在的常数. . 概率反映的是概率反映的是多次试验多次试验中频率的稳定性中频率的稳定性 。 出现频率偏离概率较大的情形是可能的出现频率偏离概率

15、较大的情形是可能的. .这是随机现象的这是随机现象的特性特性. . 设随机试验设随机试验E有如下特征有如下特征第二节 古典概型q （等概性）（等概性）每个可能的结果出现是等可能的每个可能的结果出现是等可能的; 则称则称E为古典概型。为古典概型。q （有限性）（有限性）试验的可能结果只有有限个试验的可能结果只有有限个;古典概型概率的定义古典概型概率的定义 设设E为古典概型为古典概型,为为E的样本空间的样本空间,A为为任意一个事件，定义事件任意一个事件，定义事件A的概率为的概率为:AP(A) 事事件件 中中包包含含的的 本本本本空空中中 本本knAP(A) kn事事件件 中中包包含含的的样样本本点

16、点数数样样本本空空间间 中中样样本本点点总总数数设设 =e1, e2, en , 由古典概型的等可能性，由古典概型的等可能性，得得又由于基本事件两两互不相容；所以又由于基本事件两两互不相容；所以121 nPP eP eP e 1,1,2,iP einnP(e1 ) = P( e2 ) = . = P( en).中样本点总数中样本点总数中样本点的个数中样本点的个数 A An nk kP(A)P(A) 例例1 设有设有100件产品，其中次品有件产品，其中次品有30件。现按件。现按 以下两种方式随机抽取以下两种方式随机抽取2件产品：件产品： 放回抽样：放回抽样：第一次取一只球，观察其颜色后放第一次取

17、一只球，观察其颜色后放 回袋中，搅匀后再取一球。回袋中，搅匀后再取一球。 不放回抽样：不放回抽样：第一次取一球不放回袋中，第二第一次取一球不放回袋中，第二 次从剩余的球次从剩余的球 中再取一球。中再取一球。分别就上面两种方式求：分别就上面两种方式求： 1 1）两件都是次品的概率；）两件都是次品的概率； 2 2）第一件是次品，第二件是正品的概率；）第一件是次品，第二件是正品的概率； 古典概型的基本模型古典概型的基本模型摸球问题摸球问题 解解：易知本题的试验为古典概型：易知本题的试验为古典概型 设设 A= 两件都是次品的概率两件都是次品的概率 B=第一件是次品，第二件是正品的概率第一件是次品，第二

18、件是正品的概率 有放回抽取有放回抽取:2230( )0.09100P A 23070( )0.21100P B 不不放回抽取放回抽取: :302929( )0.08810099330P A 30707( )0.211009933P B 如果一次取两件？如果一次取两件？例例2 2 设有设有N 件产品，其中有件产品，其中有 D 件次品，今从中任取件次品，今从中任取n 件，问其中恰有件，问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少件次品的概率是多少?又又 在在 D 件次品中取件次品中取 k 件，所有可能的取法有件，所有可能的取法有 在在 N-D 件正品中取件正品中取 n-k 件件, 所有可能的

19、取法有所有可能的取法有 解解：在：在 N 件产品中抽取件产品中抽取 n 件，取法共有件，取法共有nNC种种kDC种种n kNDC 种种 于是所求的概率为：于是所求的概率为：此式即为超几何分布的概率公式。此式即为超几何分布的概率公式。由乘法原理知：在由乘法原理知：在 N 件产品中取件产品中取 n 件，其中件，其中恰有恰有 k件次品的取法共有件次品的取法共有 kn kDNDC C 种种kn kDNDnNC CpC不放回地逐次取不放回地逐次取 m 个球个球, 与一次任取与一次任取 m 个个球算得的结果相同球算得的结果相同.古典概型的基本模型古典概型的基本模型分球入盒问题分球入盒问题(1) 容量不限容

20、量不限问题问题1 1 把把 4 个球放到个球放到 3个杯子中去个杯子中去,求第求第1、2个个杯子中各有两个球的概率杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可其中假设每个杯子可放任意多个球放任意多个球. 33334个球放到个球放到3个杯子的所有放法个杯子的所有放法种种433333 个个2种种 24个个2种种 22因此第因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为个杯子中各有两个球的概率为432224 p.272 (2)容量有限容量有限至多只能放一个球至多只能放一个球问题问题2 2 把把4个球放到个球放到10个杯子中去个杯子中去,每个杯子只能每个杯子只能放一个球放一个球, 求第求第1 至第至第4个杯子

21、各放一个球的概率个杯子各放一个球的概率.解解第第1至第至第4个杯子各放一个球的概率为个杯子各放一个球的概率为41044ppp 789101234 .2101 例例 4 将将 n 只球随机的放入只球随机的放入 N (N n) 个盒子中个盒子中 去，求每个盒子至多有一只球的概率去，求每个盒子至多有一只球的概率(设设 盒子的容量不限）。盒子的容量不限）。解解： 将将 n 只球放入只球放入 N 个盒子中去个盒子中去, 共有共有而每个盒子中至多放一只球而每个盒子中至多放一只球,共有共有nNNNN种种放放法法(1)(1)nNNNNnA种种放放法法(1)(1).故故nNnnANNNnpNN那么随机选取那么随

22、机选取n ( 365)个人，他们的生日各不相个人，他们的生日各不相同的概率为同的概率为nnAP365)1365(.364365)( 推广推广: 假设每人的生日在一年假设每人的生日在一年 365 天中任一天是天中任一天是等可能的，等可能的，即都是即都是3651（这里（这里 365 天作为盒子数天作为盒子数 N ）推广推广: 假设每人在一栋假设每人在一栋18层楼的哪一层下电梯是层楼的哪一层下电梯是等可能的，现有等可能的，现有9人从一层上了电梯人从一层上了电梯, 求各人在求各人在不同楼层下电梯的概率不同楼层下电梯的概率?推广推广: 假设每人在假设每人在18个车站的哪一站下车是等可个车站的哪一站下车是

23、等可能的，现有能的，现有9人从起点站出发人从起点站出发, 求各人在不同车站求各人在不同车站下车的概率下车的概率?当当n = 64时，时，P = 0.997当当n = 50时，时，P = 0.970 ;当当n = 40时，时，P = 0.891;例例5.某城市电话号码升位后为六位数，且第某城市电话号码升位后为六位数，且第 一位为一位为6或或8。 求（求（1）随机抽取的一个电话号码为不重）随机抽取的一个电话号码为不重 复的六位数的概率；复的六位数的概率； （2）随机抽取的电话号码末位数是）随机抽取的电话号码末位数是8的的 概率。概率。解解: 记记(1)所求事件为所求事件为A, (2)所求事件为所求

24、事件为B.古典概型的基本模型古典概型的基本模型取数问题取数问题解解样本点总数：样本点总数：52 10事件事件A的样本点数：的样本点数： 298765事件事件B的样本点数：的样本点数：42 1015452 9 8 7 6 5( )0.15122 102 10( )0.12 10P AP B 例例6 某接待站在某一周曾接待过某接待站在某一周曾接待过 12次来访次来访,已知已知所有这所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的次接待都是在周二和周四进行的,问是问是否可以推断接待时间是有规定的否可以推断接待时间是有规定的. 假设接待站的接待时间没有假设接待站的接待时间没有规定规定,且各来访者在一周的任一

25、天且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的中去接待站是等可能的.解解周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日.种种12712341277777 故一周内接待故一周内接待 12 次来访共有次来访共有.种种122121272 p0000003.0 周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日周二周二周四周四12341222222 12 次接待都是在周二和周四进行的共有次接待都是在周二和周四进行的共有故故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为次接待都是在周二和周四进行的概率为即百万分之即百万分之0.3!这是一个非常小的概率！这是一个非常小的概率！但是根据题意它确实发

26、生了！这与实际推但是根据题意它确实发生了！这与实际推断原理矛盾！从而假设不正确，因此可以断原理矛盾！从而假设不正确，因此可以推测接待是有时间规定的。推测接待是有时间规定的。练习练习1. . 将一颗骰子接连掷两次，试求下列事将一颗骰子接连掷两次，试求下列事件的概率：件的概率：（1 1）两次掷得的点数之和为）两次掷得的点数之和为8 8；（2 2）第二次掷得）第二次掷得3 3点点. .A 表示表示“点数之和为点数之和为8”事件事件B 表示表示“第二次掷得第二次掷得3点点”事件事件 解解：设：设 课堂练习课堂练习)6 , 6(),1 , 6( ,),6 , 2( ,),1 , 2(),6 , 1( ,

27、),2 , 1(),1 , 1( )2 , 6(),3 , 5(),4 , 4(),5 , 3(),6 , 2( A)3 , 6(),3 , 5(),3 , 4(),3 , 3(),3 , 2(),3 , 1( B365)( AP61366)( BP所以所以练习练习2 2 在房间里有在房间里有10个人个人,分别佩戴从分别佩戴从1号到号到10号的纪念章号的纪念章,任选任选3个记录其纪念章的号码个记录其纪念章的号码.(1)求最小号码为求最小号码为5的概率的概率;(2)求最大号码为求最大号码为5的概率的概率.解解(1)总的选法种数为总的选法种数为,310 n最小号码为最小号码为5的选法种数为的选法种

28、数为,25 m(2)最大号码为最大号码为5的选法种数为的选法种数为,24 故最大号码为故最大号码为5的概率为的概率为 31024P故小号码为故小号码为5的概率为的概率为 31025P.121 .201 将将4只球随机地放入只球随机地放入6个盒子中去个盒子中去 , 共有共有64 种放法种放法.练习练习3 将将 4 只球随机地放入只球随机地放入 6 个盒子中去个盒子中去 ,试试求每个盒子至多有一只球的概率求每个盒子至多有一只球的概率.解解 每个盒子中至多放一只球共有每个盒子中至多放一只球共有 种不同放种不同放法法.3456 因而所求的概率为因而所求的概率为463456 p.2778.0 练习练习4 将将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中名新生随机地平均分配到三个班级中去去,这这15名新生中有名新生中有3名是优秀生名是优秀生.问问 (1)