离散型随机变量的分布列(b)

1、普通高级中学教科书（必修）第二册（下普通高级中学教科书（必修）第二册（下B B）第九章：直线、平面、简单几何体第九章：直线、平面、简单几何体第一章第一章 概率概率统计统计离散型随机变量的分布列的性质：离散型随机变量的分布列的性质：一、知识回顾：一、知识回顾：定义定义1:1:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做这样的变量叫做随机变量随机变量。随机变量常用希腊字母。随机变量常用希腊字母、表示。表示。定义定义2 2：随机变量：随机变量的可能取值可的可能取值可按一定次序一一列出按一定次序一一列出，这样的随机变量称为这样的随机变量称为离散

2、型随机变量离散型随机变量。 ,2, 1,0 ipi121 pp随机变量随机变量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量引例引例1：在一次试验中，某事件发生的概率为在一次试验中，某事件发生的概率为p，现进行，现进行n次独立重复试验，在次独立重复试验，在n次试验中该事件恰好发生的次数是次试验中该事件恰好发生的次数是个随机变量，写出该随机变量的分布列。个随机变量，写出该随机变量的分布列。解：解：数次试验中恰好发生的次表示在设n), 1 , 0,1( ,)(nkpqqpCkPknkkn则pnk1000nnC p q111nnC p qkkn knC p q0nnnC p q的分布列为：

3、nnnkknknnnnnnpqCpqCpqCpqCpq011100)(二项展开式：我们称这样的随机变量我们称这样的随机变量服从服从二项分布二项分布),(pnB记作：( ; , )kkn knC p qb k n p二、特殊的分布列：二项分布二、特殊的分布列：二项分布1、重复抛一枚骰子、重复抛一枚骰子5次得到点数为次得到点数为6的次数记为的次数记为，)61, 5( B1(2;5, )6b3225)65()61(C2、重复抛一枚硬币、重复抛一枚硬币10次得到正面向上的次数记为次得到正面向上的次数记为，)21,10( B1(0;10, )2b100010)21()21(C练习：练习：) 1(,95)

4、 1(), 4(), 2(PPpBpB求已知设95)1 () 1(22212pCppCP94)1 (202pC31 p8165)32(1)0(1) 1(1) 1(404CPPP引例引例2.某人每次投篮投中的概率为某人每次投篮投中的概率为0.1，各次投篮的结果相，各次投篮的结果相互独立互独立.求他首次投篮投中时投篮次数的分布列，以及他求他首次投篮投中时投篮次数的分布列，以及他在在5次内投中的概率（精确到次内投中的概率（精确到0.01）.篮的次数为解：设首次命中时所投,., 3 , 2 , 1k则1 . 0) 1(P1 . 09 . 0)2(P1 . 09 . 0)3(2P1 . 09 . 0)(

5、1kkP的分布列为：所以123kP1 . 01 . 09 . 01 . 09 . 021 . 09 . 01k我们称这样的随机变量我们称这样的随机变量服从服从几何分布几何分布), 2 , 1, 1( ,),(1kqppqpkgk记作： 在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作试验的次数在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作试验的次数也是一个取值为正整数的离散型随机变量也是一个取值为正整数的离散型随机变量 . “=k” 表示在第表示在第k次次独立重复试验时事件第一次发生独立重复试验时事件第一次发生 . 如果把第如果把第k次试验时事件次试验时事件A发生发生记为记为Ak 、 事件事件A不发生记为不

6、发生记为 Ak ，pAPk )(，qAPk )(那么那么 )(kP 根据相互独立事件的概率乘法公式，根据相互独立事件的概率乘法公式，)()()()()()(1321kkAPAPAPAPAPkP .1pqk )321(， k2Pk31于是得到随机变量于是得到随机变量的概率分布的概率分布pqppq2pqk 1 我们称我们称服从几何分布，并记服从几何分布，并记，pqpkgk 1)( 其中其中.3211， kpq)(1321kkAAAAAP 三、特殊的分布列：几何分布三、特殊的分布列：几何分布特殊的分布列之一特殊的分布列之一二项分布（重点掌握）二项分布（重点掌握）pnk1000nnC p q111nn

7、C p qkkn knC p q0nnnC p q),(pnB记作：( ; , )kkn knC p qb k n p特殊的分布列之二特殊的分布列之二几何分布（了解）几何分布（了解）123kPpqppq2pqk 1), 2 , 1, 1( ,),(1kqppqpkgk记作：“=k”表示在第表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生。次独立重复试验时事件第一次发生。“=k”表示在第表示在第n次独立重复试验中事件恰好发生的次数。次独立重复试验中事件恰好发生的次数。例例1. 某厂生产电子元件，其产品的次品率为某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%现从一现从一批产品中任意地连续取出批产品中任意地连续取出

8、2件，写出其中次品数件，写出其中次品数的概率分的概率分布布解：解：依题意，随机变量依题意，随机变量B(2，5%)所以，所以，因此，次品数因此，次品数的概率分布是的概率分布是0. .00250. .0950. .9025P210 0)0)P(P( 2 20 02 21001009595C C)(0.9025,0.9025, 1)1)P(P( 10010095951001005 5C C1 12 2 ，0.0950.095 2)2)P(P( 2 22 22 21001005 5C C)(. .0 0. .0 00 02 25 5 例例2 某人每次射击击中目标的概率是某人每次射击击中目标的概率是0.

9、2，射击中每次射击，射击中每次射击的结果是相互独立的，求他在的结果是相互独立的，求他在10次射击中击中目标的次数次射击中击中目标的次数不超过不超过5次的概率（精确到次的概率（精确到0.01）.解：解：设在设在10次射击中击中目标的次数是次射击中击中目标的次数是，则则B(10，0.2)，P(5) =P(= 0) + P(= 1) + P(= 5) 555109110100108 . 02 . 08 . 02 . 08 . 0 CCC.99. 0 答：他在答：他在10次射击中击中目标的次数不超过次射击中击中目标的次数不超过5次的概率为次的概率为 0.99. 例例3 某人每次投篮投中的概率为某人每次

10、投篮投中的概率为0.1，各次投篮的结果相互，各次投篮的结果相互独立独立 . 求他首次投篮投中时投篮次数的分布列，以及他在求他首次投篮投中时投篮次数的分布列，以及他在5次内投中的概率（精确到次内投中的概率（精确到0.01）.解：解：设他首次投篮投中时投篮次数为设他首次投篮投中时投篮次数为，则则服从几何分布，服从几何分布， 其中其中 p=0.1 .的分布列为：的分布列为：2Pk311 . 009. 0081. 01 . 09 . 01 k他在他在5次内投中的概率是次内投中的概率是 P(5)= P(= 1) + P(= 2) + P(= 3) + P(= 4) + P(= 5) 06561. 007

11、29. 0081. 009. 01 . 0 .41. 0 答：他在答：他在5次内投中的概率是次内投中的概率是 0.41 .例例4.射手有射手有5发子弹，射击一次命中的概率为发子弹，射击一次命中的概率为0.9，如果命，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数 的分布列。的分布列。54321、的取值为解：据题意，: )41 ( ii表示前表示前i-1次没有命中目标，第次没有命中目标，第i次命中次命中:5表示前表示前4次没有命中目标，第次没有命中目标，第5次命中次命中或表示或表示5次都没有命中目标次都没有命中目标12354P0.909. 00

12、09. 00001. 09 . 01 . 0)41 ,(1iiiP4441 . 01 . 09 . 01 . 0)5(P的分布列为：0009. 0例例5.5.将数字将数字1 1、2 2、3 3、4 4排成一列，如果数字排成一列，如果数字k k恰好出现在恰好出现在第第k k个位置，则称为有一个巧合，求巧合数个位置，则称为有一个巧合，求巧合数 的分布列。的分布列。43210、的取值为解：据题意，:0表示数字与位置都不一致表示数字与位置都不一致: i2499)0(4404ACP的分布列为：表示有表示有i个数字出现在与这个数字相应的位置上个数字出现在与这个数字相应的位置上2482) 1(4414ACP

13、2461)2(4424ACP00)3(4434ACP2411)4(4444ACP01243P8331412410例例6 （05浙江）袋子浙江）袋子A和和B中装有若干个均匀的红球和白球，从中装有若干个均匀的红球和白球，从A中中 摸出一个红球的概率是摸出一个红球的概率是1/3，从，从B中摸出一个红球的概率为中摸出一个红球的概率为p () 从从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止次摸到红球即停止(1)求恰好摸求恰好摸5次停止的概率次停止的概率;(2)记记5次之内次之内(含含5次次)摸到红球的次数为摸到红球的次数为，求随机变量求随机变量的分布列的分布列

14、() 若若A、B两个袋子中的球数之比为两个袋子中的球数之比为1：2，将，将A、B中的球装在一中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是起后，从中摸出一个红球的概率是2/5，求，求p的值的值分析：这是独立重复试验，分析：这是独立重复试验，5次内（含次内（含5次）摸到红球的次数次）摸到红球的次数的的概率分布属于二项分布概率分布属于二项分布.解：解： () (1) 31)32()31(2224 C.818 ()随机变量随机变量的取值为：的取值为： 0、1、2、3. 由由n次独立重复试验概率公式次独立重复试验概率公式 knkknnPPCkP 132(0)243P，80(1)243P，即即B(5，1/3

15、) .80(2)243P，17(3)81P，解解()设袋子设袋子A中有中有m个球个球,则袋子则袋子B中有中有2m个球个球,由由，523231 mmpm得得.3013 p例例6 （05浙江）袋子浙江）袋子A和和B中装有若干个均匀的红球和白球，从中装有若干个均匀的红球和白球，从A中中 摸出一个红球的概率是摸出一个红球的概率是1/3，从，从B中摸出一个红球的概率为中摸出一个红球的概率为p () 从从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止次摸到红球即停止(1)求恰好摸求恰好摸5次停止的概率次停止的概率;(2)记记5次之内次之内(含含5次次)摸到红球的次数为

16、摸到红球的次数为，求随机变量求随机变量的分布列的分布列 () 若若A、B两个袋子中的球数之比为两个袋子中的球数之比为1：2，将，将A、B中的球装在一中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是起后，从中摸出一个红球的概率是2/5，求，求p的值的值32102433224380243808117P则分布列为：则分布列为：确定分布列的类型非常重要，其中二项分布对应独立重复试验，这确定分布列的类型非常重要，其中二项分布对应独立重复试验，这一点是我们判断一个分布列是否为二项分布的标准一点是我们判断一个分布列是否为二项分布的标准 .单点分布单点分布cP1两点分布两点分布01Ppq01,1ppq（其中且）超几

17、何分布超几何分布N-NMN()(0,M)N,M, mmn mMMnNmC Cpmml lnC一般的，设有 件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取n件（n），这n件中所含这类物品数是一个离散型随机变量，他取值为 时的概率为：为 和中较小的一个服从参数为 的超几何分布。例2、某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用 表示其中男生人数，求 的分布列。464410(0,1,2,3,4)kkC CpkkC分析：本题是超几何分布： ( = )=22PPP16xy练习1、抛掷两颗骰子，取其中一颗的点数为点 的横坐标，另一颗的点数为点 的横坐标，求连续抛

18、掷这两颗骰子三次，点 在圆内的次数 的分布列。练习练习2、(2006年全国卷年全国卷)第第18题：题： A.B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比实验，每个试验组由行对比实验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中只小白鼠组成，其中2只服只服用用A，另两只服用，另两只服用B。然后观察疗效，若在一个试验组。然后观察疗效，若在一个试验组中，服用中，服用A有效的小白鼠的只数比服用有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就有效的多，就称试验组为甲类组。设每只小白鼠服用称试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为有效的概率为23，12。服用服用B有效有效）求一个试验组为甲类组的概率。）求一个试验组为甲类组的概率。）观察三个试验组，用）观察三个试验组，用表示表示3个试验组中甲类组的个个试验组中甲类组的个数。求数。求的分布列和数学期望。的分布列和数学期望。的概率为的概率为112124339P AC222433