竞赛课件：矢量图解运动问题

1、12v1v2VV=v1+v2v1v2V12=v1-v2v1v2V123 合运动是同一物体在同一时间内同时完成几合运动是同一物体在同一时间内同时完成几个分运动的结果，对同一物体同时参与的几个运动进行合成才有意个分运动的结果，对同一物体同时参与的几个运动进行合成才有意义义 当物体实际发生的运动较复杂时，我们可将其等当物体实际发生的运动较复杂时，我们可将其等效为同时参与几个简单的运动，前者称作合运动，后效为同时参与几个简单的运动，前者称作合运动，后者则称作物体实际运动的分运动这种双向的等效操者则称作物体实际运动的分运动这种双向的等效操作过程叫运动的合成与分解，是研究复杂运动的重要作过程叫运动的合成与

2、分解，是研究复杂运动的重要方法方法 构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、互不相干的，物体的任意一个分运动，都按其自身规律进行，不互不相干的，物体的任意一个分运动，都按其自身规律进行，不会因有其它分运动的存在而发生改变会因有其它分运动的存在而发生改变 描述运动状态的位移、速度、加速度等描述运动状态的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，对运动进行合成与分解时应按矢量法则即平物理量都是矢量，对运动进行合成与分解时应按矢量法则即平行四边形定则作上述物理量的运算行四边形定则作上述物理量的运算 独立性原理独立性原理运动的合成与分解遵循如下原理：运动的合成与分解遵循如

3、下原理： 等时性原理等时性原理 矢量性原理矢量性原理4 引入中介参照系引入中介参照系* * 根据实际效果分解运动根据实际效果分解运动.* * 若设质点若设质点A对静止参考系对静止参考系C的速度（绝对速度）为的速度（绝对速度）为vAC，动，动参考系参考系B对对C的速度（牵连速度）为的速度（牵连速度）为vBC，而，而A对动参考系对动参考系B的速的速度（相对速度）为度（相对速度）为vAB，则有，则有vvvACABBC 同样地，位移的合成与分解为同样地，位移的合成与分解为vvvABACBC 注意矢量运算式中下标的规律性注意矢量运算式中下标的规律性! SSSACABBC SSSABACBC 加速度的合成

4、与分解为加速度的合成与分解为aaaACABBC aaaABACBC 12vvv 5 雨滴在空中以雨滴在空中以4 m/s速度竖直下落，人打着伞以速度竖直下落，人打着伞以3 m/s的速度的速度向东急行，如果希望让雨滴垂直打向伞的截面而少淋雨，伞柄应向东急行，如果希望让雨滴垂直打向伞的截面而少淋雨，伞柄应指向什么方向？指向什么方向？ 本例求雨相对人本例求雨相对人( (伞伞) )的速度，引入的速度，引入中介参照系中介参照系- -人人雨对地的速度（绝对速度雨对地的速度（绝对速度） v雨雨=4 m/s 竖直向下竖直向下v雨雨人对地的速度（牵连速度）人对地的速度（牵连速度）v人人=3 m/s 向东向东雨对人

5、的速度（相对速度）雨对人的速度（相对速度）V雨对人雨对人v人人?vvv 雨雨人人雨雨人人对对三速度矢量关系为三速度矢量关系为OV雨对人雨对人 伞柄方向与竖直成伞柄方向与竖直成113tantan4vv 人人雨雨37 612ABvvv 由由“两质点相遇两质点相遇”知知A处质处质点相对于点相对于B处质点的速处质点的速度度vAB方向沿方向沿AB连线连线CABv1v2 v1v2m12ABvvv vABdl由几何三角形与矢量由几何三角形与矢量三角形关系得三角形关系得:21sinmvv 122=dvdl 方向与方向与BC成成-1122sindvdl 一质点从一质点从A点出发沿点出发沿AC方向以方向以v1速度

6、匀速运动，与此同时，另一质点速度匀速运动，与此同时，另一质点以以v2速度从速度从B点出发做匀速运动，如图所示，已知点出发做匀速运动，如图所示，已知A、C相距相距l，B、C相距相距d，且且BCAC，若要两质点相遇，若要两质点相遇，v2的最小速率为多少？其方向如何？的最小速率为多少？其方向如何？ v27船对岸的速度（绝对速度船对岸的速度（绝对速度） v水对岸的速度（牵连速度）水对岸的速度（牵连速度）v水水船对水的速度（相对速度）船对水的速度（相对速度）v舟舟关于航行时关于航行时间间stv 舟舟舟舟渡河时间取决于渡河时间取决于船对水的速度船对水的速度v舟舟:当当v舟舟方向垂直于河岸时，船相对于水的分

7、运动位移方向垂直于河岸时，船相对于水的分运动位移S舟舟=d最最小，故可使渡河时间最短小，故可使渡河时间最短:mindtv 舟舟Sv水水v舟舟v河河岸岸d河岸河岸v水水v舟舟vS水水S舟舟水速大小不影响渡河时水速大小不影响渡河时间间!8关于实际航程关于实际航程v水水v舟舟v河岸河岸d河岸河岸v水水v舟舟v河岸河岸d河岸河岸1sinvv 水水舟舟为使航程最小，应使为使航程最小，应使v舟舟与与v水水的合速度的合速度v与河岸的垂线间的夹角与河岸的垂线间的夹角尽量地小！尽量地小！若若v舟舟v水，水，船的实际位移与河岸的垂线夹角最小出现在船的实际位移与河岸的垂线夹角最小出现在若若v舟舟v水水，船的实际位移

8、为河宽船的实际位移为河宽d航程即最短，故航程即最短，故 v舟舟的方的方向与船的航线成向与船的航线成船头指向上游船头指向上游v舟舟v水水v1cosvv 舟舟水水这时船的实际航程为这时船的实际航程为vdv 水水舟舟船头指向上游且与实际航线垂直，与上游河岸成船头指向上游且与实际航线垂直，与上游河岸成当船的航程最短时，航行时间不是最短当船的航程最短时，航行时间不是最短9 假定某日刮正北风，风速为假定某日刮正北风，风速为u，一运动员在，一运动员在风中跑步，他对地面的速度大小是风中跑步，他对地面的速度大小是v，试问他向什么方向跑的时，试问他向什么方向跑的时候，他会感到风是从自己的正右侧吹来的？这种情况在什

9、么条候，他会感到风是从自己的正右侧吹来的？这种情况在什么条件下成为无解？在无解的情况下，运动员向什么方向跑时，感件下成为无解？在无解的情况下，运动员向什么方向跑时，感到风与他跑的方向所成夹角最大？到风与他跑的方向所成夹角最大？ 人对地的速度（牵连速度人对地的速度（牵连速度） v风对地的速度（绝对速度）风对地的速度（绝对速度）u风对人的速度（相对速度）风对人的速度（相对速度）V本例求相对速度，引入本例求相对速度，引入中介参照系中介参照系- -人人由题给条件，速度关系为由题给条件，速度关系为uVv 且且Vv 北北Vuv当运动员朝南偏西当运动员朝南偏西1cosvu 感到风从正右侧吹来感到风从正右侧吹

10、来当当vu时，无此情况！时，无此情况！sinsinvu 由由 90 当当时时 1maxsinuv 当运动员朝南偏西当运动员朝南偏西1cosuv 奔跑时感到风与他跑的方奔跑时感到风与他跑的方向所成夹角最大！向所成夹角最大！m 10 一只木筏离开河岸，初速度为一只木筏离开河岸，初速度为v0 ，方向垂直，方向垂直于岸，划行路线如图虚线所示，经过时间于岸，划行路线如图虚线所示，经过时间T，木筏划到路线上，木筏划到路线上A处，河水速度恒定为处，河水速度恒定为u，且木筏在水中划行方向不变用作图法，且木筏在水中划行方向不变用作图法找到找到2T、3T时刻此木筏在航线上的确切位置时刻此木筏在航线上的确切位置 明

11、确速度关明确速度关系系木筏对岸的速度木筏对岸的速度v木筏对水的速度木筏对水的速度V， 方向不变方向不变水对岸的速度水对岸的速度u，大小方向不变大小方向不变三速度矢量关系三速度矢量关系为为vVu Ayx(河岸河岸)uv0OVuv0vS筏对水筏对水S筏筏V0S水水TS水水TBS水水TB B A A 11 某一恒力作用在以恒定速度某一恒力作用在以恒定速度v运动的物体上，运动的物体上，经过时间经过时间t，物体的速率减少一半，经过同样的时间速率又减少，物体的速率减少一半，经过同样的时间速率又减少一半，试求经过了一半，试求经过了3t时间后，物体的速度时间后，物体的速度v3t之大小之大小 明确矢量关系明确矢

12、量关系! !2132tttttvvvvvvv BDvvtv2tv3tvOAvvC在矢量三角形中运用在矢量三角形中运用余弦定理余弦定理:2222cos2vvvvv 222222cos4vvvvv 2223323costvvvvv 374tvv 12 从从h高处斜向上抛出一初速度大小为高处斜向上抛出一初速度大小为v0的物体，的物体，讨论抛出角讨论抛出角为多大时物体落地的水平位移最大为多大时物体落地的水平位移最大 物体做抛体运动时，只受重力作用在落下物体做抛体运动时，只受重力作用在落下h高度的高度的时间时间t内，速度增量内，速度增量v恒为竖直向下恒为竖直向下,大小为大小为gt;落地时速度落地时速度v

13、的大小为的大小为 202tvvgh 矢量关系矢量关系: :0tvvv hv0vtv v0矢量矢量“面积面积”01cos2Sgt v x12gx 01sin2tvv 2200sintvvvxg 90 即即当当 22max00tvvvgx 10220tantvvv 时时13Oxy 网球以速度网球以速度v0落到一重球拍上后弹性地射落到一重球拍上后弹性地射回为使球能沿着与原轨道垂直的方向射回，球拍应以什么样的回为使球能沿着与原轨道垂直的方向射回，球拍应以什么样的速度速度vP运动？如果速度运动？如果速度v0和球拍面的法线的夹角是和球拍面的法线的夹角是，速度，速度vP 和此和此法线的夹角法线的夹角是多少？

14、设任何时刻球拍和球都是做平动的是多少？设任何时刻球拍和球都是做平动的关于矢量间关系的隐含条件：关于矢量间关系的隐含条件：1.重球拍的重球拍的“重重”可以认为拍的速度可以认为拍的速度vp在碰球前后保持不变；在碰球前后保持不变；2. 网球弹性地射回在碰撞前后，球相对于拍的速度大小相等、网球弹性地射回在碰撞前后，球相对于拍的速度大小相等、方向相反；方向相反；3. 球和拍都是做平动球相对于拍只有沿拍面法向速度而无切球和拍都是做平动球相对于拍只有沿拍面法向速度而无切向速度分量向速度分量 vp C v0球对拍球对拍vt球对拍球对拍vtB,2cosABOAOCAB 在矢量三角形中在矢量三角形中: :02co

15、spvv 故故22 球拍速度与球拍法线方向夹角球拍速度与球拍法线方向夹角 2 v014 如图所示，甲、乙两船在静水中航行速度分别为如图所示，甲、乙两船在静水中航行速度分别为 v甲甲和和v乙乙 ，两船从同一渡口向河对岸划去已知甲船想以最短时，两船从同一渡口向河对岸划去已知甲船想以最短时间过河，乙船想以最短航程过河，结果两船抵达对岸的地点恰好间过河，乙船想以最短航程过河，结果两船抵达对岸的地点恰好相同，则甲、乙两船渡河所用时间之比相同，则甲、乙两船渡河所用时间之比t甲甲 t乙乙= 起、止点相同，甲、乙合速度起、止点相同，甲、乙合速度方向一致，运动合成情况如示方向一致，运动合成情况如示:V 水水V

16、甲甲V 甲合甲合V 乙乙V 乙合乙合2sinsin/sintvvtvv 甲甲乙乙合合水水乙乙甲甲合合水水22sinvv 乙乙甲甲而而2vttv 乙乙甲甲甲甲乙乙故故:vv2 22 2乙乙甲甲两船航程相同，时间应与合两船航程相同，时间应与合速度成反比，由图速度成反比，由图 15 骑自行车的人以骑自行车的人以20 kmh 的速率向东行的速率向东行驶，感到风从正北方吹来，以驶，感到风从正北方吹来，以40 kmh 的速率向东行驶，的速率向东行驶，感到风从东北方向吹来，试求风向和风速感到风从东北方向吹来，试求风向和风速人对地的速度人对地的速度 v人人1=20 km/h ,v人人2=40 km/h,方向正

17、东方向正东风对地的速度风对地的速度v风风？风对人的速度风对人的速度 v风对人风对人1方向正南，方向正南， v风对人风对人2方向西南方向西南v风风v风对人风对人1v风对人风对人2v人人1v人人2 速度矢量速度矢量v风风= v风对人风对人+ v人人的关系如图的关系如图 由图中几何关系易得由图中几何关系易得2vv 人人1 1风风风向西北风向西北28km/h 16 从离地面同一高度从离地面同一高度h、相距、相距l的两处同时各抛出一个石块，的两处同时各抛出一个石块，一个以速度一个以速度v1竖直上抛，另一个石块以速度竖直上抛，另一个石块以速度v2向第一个石块原来位置水平抛出，向第一个石块原来位置水平抛出，

18、求这两个石块在运动过程中，它们之间的最短距离求这两个石块在运动过程中，它们之间的最短距离 一个石块对地的速度为一个石块对地的速度为 v1+vy另一个石块对地的速度为另一个石块对地的速度为 v2+vy两者相对速度为两者相对速度为 212121yyvvvvvvv v1v2v21lx21以石块以石块1为参考系，石块为参考系，石块2的位移方的位移方向向与与v21相同相同:以石块以石块1为参考系，两石块初始距离为参考系，两石块初始距离为为l:最最小小距距离离 d sindl 由由图图11222112sinvvvvv 而而12212lvdvv 这个最短距离适用于这个最短距离适用于另一石块落地之前另一石块落

19、地之前21coslv 即即2hg 22212lvvv 17v0vDAB 如图所示，一条船平行于平直海岸线航行，船离如图所示，一条船平行于平直海岸线航行，船离岸的距离为岸的距离为D，船速为，船速为v0 ，一艘速率为，一艘速率为v（vv0 ）的海上警卫小艇）的海上警卫小艇从港口出发沿直线航行去拦截这条船证明小艇必须在这条船驶从港口出发沿直线航行去拦截这条船证明小艇必须在这条船驶过海岸线的某特定点过海岸线的某特定点A之前出发，这点在港口后面的之前出发，这点在港口后面的 处处如果快艇在尽可能迟的瞬时出发，它在什么时候和什么地方截住这如果快艇在尽可能迟的瞬时出发，它在什么时候和什么地方截住这条船？条船？

20、 小试身手题小试身手题4 4220vvDv 艇拦截到船即相遇艇拦截到船即相遇, ,有有艇相艇相对于船的速度对于船的速度V方向沿方向沿AB连线连线两者相对速度为两者相对速度为0Vvv 2201cotvvv Bv0v Vv、V夹角夹角不会超过不会超过90! !由速度矢量三角形得由速度矢量三角形得S则则220cotvvDSvD 上述上述是最迟出发的是最迟出发的临界情临界情况况! !此时此时0cscvSDDv 相相220Vvv 0220cscv Dv vDtvV 截住船的位置在截住船的位置在A A前方前方20220Dvv vv A18 一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为一辆汽车的正面玻璃一

21、次安装成与水平方向倾斜角为130，另一次安装成倾斜角度为，另一次安装成倾斜角度为215，问汽车两次速度之比，问汽车两次速度之比v1 v2为多为多少时，司机看见冰雹两次都是以竖直方向从车的正面玻璃上弹开？（冰雹相少时，司机看见冰雹两次都是以竖直方向从车的正面玻璃上弹开？（冰雹相对地面是竖直下落的）对地面是竖直下落的） 本题题眼本题题眼: 各速度的矢量关系各速度的矢量关系冰雹近、离车的速度遵守冰雹近、离车的速度遵守“反射定律反射定律”第一次第一次对对车车1vvv 雹雹雹雹15 v1v雹雹v雹离车雹离车v雹近车雹近车30 30 30 30 第二次第二次对对车车2vvv 雹雹雹雹v2v雹雹v雹近车雹近

22、车v雹离车雹离车15 15 60 由两矢量由两矢量图图1cot30vv 雹雹2cot60vv 雹雹则则1231vv 19人具有与木马站立点相同的线速度人具有与木马站立点相同的线速度r 敞开的旋转木马离转动轴距离为敞开的旋转木马离转动轴距离为r，以角速度，以角速度转转动，人站在木马上下雨了，雨滴以速度动，人站在木马上下雨了，雨滴以速度v0竖直下落试问人应该竖直下落试问人应该怎样支撑着雨伞才能够最有效地避开雨？怎样支撑着雨伞才能够最有效地避开雨？ 本题求雨相对人本题求雨相对人( (伞伞) )的速度方向，引入的速度方向，引入中介参照系中介参照系- -人人雨对地的速度（绝对速度雨对地的速度（绝对速度）

23、 v0 竖直向下竖直向下v0人对地的速度（牵连速度）人对地的速度（牵连速度）v人人=r 水平水平雨对人的速度（相对速度）雨对人的速度（相对速度）V雨对人雨对人v人人?对对vvr 0 0雨雨人人三速度关系为三速度关系为OV雨对人雨对人 伞柄方向与竖直成伞柄方向与竖直成1tanrv 0 020 如图所示为从两列蒸汽机车上冒出的两股汽雾拖如图所示为从两列蒸汽机车上冒出的两股汽雾拖尾的照片（俯视）两列车沿直轨道分别以速度尾的照片（俯视）两列车沿直轨道分别以速度v150 kmh和和v270 kmh行驶，行驶方向如图所示求风速行驶，行驶方向如图所示求风速 ? 观察照片，将两车之距离观察照片，将两车之距离A

24、B按按5 7比比例分成左、右两部分，分点例分成左、右两部分，分点C为两车相为两车相遇处，汽雾交点为遇处，汽雾交点为O，CO即为相遇时两即为相遇时两车喷出之汽被风吹后的位移，两车从相车喷出之汽被风吹后的位移，两车从相遇点遇点C到照片上位置历时到照片上位置历时COv1v212ABtvv 风速为风速为 12COVvvAB 在照片上量出在照片上量出AB与与CO长度长度,代入上式得代入上式得35km/hV AB21 敞开的磁带录音机的空带轴以恒定角速度转动，敞开的磁带录音机的空带轴以恒定角速度转动，重新绕上磁带绕好后带卷的末半径重新绕上磁带绕好后带卷的末半径r末末为初半径为初半径r初初的的3倍绕带的倍绕

25、带的时间为时间为t1要在相同的带轴上重新绕上厚度为原磁带一半的薄磁带，要在相同的带轴上重新绕上厚度为原磁带一半的薄磁带，问需要多少时间？问需要多少时间？ 设磁带总长设磁带总长l,绕厚磁带时绕厚磁带时, ,由题意由题意dr初初r末末 229ldrr 初初初初绕薄磁带时绕薄磁带时, , 222dlRr 初初5Rr 初初122rtd 初初由由 1251tt 得得 带卷面积带卷面积 绕一层时绕一层时间间绕多少层绕多少层 2512/2rtd 初初 带卷面积带卷面积 22 在听磁带录音机的录音时发觉：带轴上带卷的半在听磁带录音机的录音时发觉：带轴上带卷的半径经过时间径经过时间t120min 减小一半问此后

26、半径又减小一半需要多少减小一半问此后半径又减小一半需要多少时间时间t2 ？ 与上题不同的是，放音时与上题不同的是，放音时磁带是匀速率地通过的磁带是匀速率地通过的! !走带速度走带速度/ 2r 2214rrtdv 1245mintt 22214rrtdv 通过的带通过的带长长 带卷半径减半历时带卷半径减半历时 dr23 快艇系在湖面很大的湖的岸边湖岸线可以认为快艇系在湖面很大的湖的岸边湖岸线可以认为是直线突然缆绳断开，风吹着快艇以恒定的速度是直线突然缆绳断开，风吹着快艇以恒定的速度v02.5 km/h沿沿与湖岸成与湖岸成15角的方向飘去同时岸上一人从同一地点沿湖岸角的方向飘去同时岸上一人从同一地

27、点沿湖岸以速度以速度v14 km/h行走或在水中以速度行走或在水中以速度v22 km/h游去，此人能否游去，此人能否赶上快艇？当快艇速度为多大时总可以被此人赶上？赶上快艇？当快艇速度为多大时总可以被此人赶上？ 15v0(x+y)v1xv2y设人以设人以v1速度运动时间速度运动时间x，以，以v2速度运动时间速度运动时间y，则有，则有 人赶上艇，人赶上艇，两者位移矢量构成两者位移矢量构成闭合三角形闭合三角形，位移的矢量关系，位移的矢量关系 02vxyv xv y 1 1 222242.52 42.5cos15yxxyxxy 即即整理得整理得 2295020628920620yxyx 此式有解，即人能赶上以此式有解，即人能赶上以2.5 km/h飘行的快艇飘行的快艇! !推至推至一般一般 25020624 9 8920620 v 231262160vv v2 2 km/hv 人总能赶上快艇人总能赶上快艇! !24 如图所示，如图所示， 在仰角在仰角 的雪坡上举行跳台滑雪的雪坡上举行跳台滑雪比赛运动员从坡上方比赛运动员从坡上方A点开始下滑，到起跳点点开始下滑，到起跳点O时借